Integral 2008

Cálculo integral en  Matemáticas – 2º Bachillerato

200

150

z 100 −10

50

y

5

0 −10

0

−5

y

5

0

10

x

10

g(x)

4

f(x) 3

2

1

f(x)-g(x )

x

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Cálculo integral en 

© Carlos J. Sánchez de Merás, noviembre 2007

�[email protected]

2

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1. Primitiva de una función Sea f (x) una función definida en el intervalo [a, b ]. Se dice que una función F (x) es una primitiva de f (x) en [a, b ] cuando F (x) tiene por derivada la función f (x) en [a, b ]: F (x ) es primitiva de f (x ) en [a, b ] ⇔ F ′(x ) = f (x ) ∀x ∈ a, b  Si una función f (x) tiene una función primitiva, F (x), entonces f (x) admite infinitas primitivas, cuya expresión general puede escribirse F (x)+C. Como se observa, las infinitas primitivas que puede admitir una función se diferencian en una constante arbitraria, C , que se llama constante de integración. A la expresión F (x)+C  se le denomina integral indefinida de f (x), y se escribe:

∫ f (x )dx = F(x ) + C 1.1. Propiedades ➊ La derivada de la integral de una función f (x) es la propia función f (x):

∫

d    f (x )dx  = f (x ) dx  

➋ Linealidad de la integral:

∫ λ ⋅ f (x ) ± µ ⋅ g(x ) dx = λ ∫ f (x )dx ± µ∫ g(x )dx

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2. Primitivas inmediatas

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3. Integración de funciones racionales 3.1. Raíces reales

∫

P(x ) dx , con P(x) y Q(x) polinomios, tales que el grado de Q(x ) P(x) es menor que el grado de Q(x). Si no se cumple esta condición, efectuaremos la división correspondiente, Nos encontramos ante integrales de la forma

y reduciremos el problema original a una integral polinómica y otra del tipo bajo consideración, según se muestra a continuación: F (x ) tales que gr F (x ) > gr G(x ) ⇒ G(x ) F (x ) P(x ) ⇒ = H (x ) + , con gr P(x ) < gr Q(x ) G(x ) Q(x )

{

}

{

}

{

}

{

}

Factoricemos entonces el polinomioQ(x). Sea Q(x ) = (x − xa )α ⋅ (x − xb )β ⋅  ⋅ (x − x z )ξ dicha factorización del polinomio Q(x), y xa , xb , …, xz las raíces reales del polinomio con multiplicidades α, β, …, ξ, respectivamente. El cociente de P(x) y Q(x) podrá escribirse como P(x ) P(x ) = = α Q(x ) (x − xa ) (x − xb )β (x − x z )ξ =

A1 (x − xa )α

+

A2 (x − xa )α −1

Aα ++ + (x − xa )

β

∑ (x − x ) Bi

β −i +1

i =1

ξ

++

b

[1]

∑ (x − x ) Zi

ξ −i +1

i =1



z

por lo que, integrando miembro a miembro, obtendremos

∫

−A1 −A2 P(x ) 1 1 + +  + Aα ln x − xa + dx = α −1 Q(x ) α − 1 (x − xa ) α − 2 (x − xa )α − 2 −B1 −B2 1 1 + + +  + Bβ ln x − xb +  β −1 β − 1 (x − xb ) β − 2 (x − xb )β − 2 −Z 2 −Z1 1 1 + +  + Z ξ ln x − x z + C + ξ −1 ξ − 2 (x − x z )ξ − 2 ξ − 1 (x − x z )

que se puede escribir de forma más compacta como

∫

P(x ) dx = Q(x )

α −1

∑ i =1

−Ai 1 + (α − i ) (x − xa )α −i

β −1

∑ i =1

−Bi 1 ++ (β − i ) (x − xb )β −i

ξ −1

∑ (ξ − i) (x − 1x ) −Z i

ξ −i

i =1

+

z

+Aα ln x − xa + Bβ ln x − xb +  + Z ξ ln x − x z + C El único problema que nos queda por resolver es el de la determinación de las constantes Ai , Bi , …, Zi . Teniendo en cuenta la relación [ 1 ], y efectuando las sumas correspondientes, podemos escribir CJS v2008

7

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato α

∑ A (x − x ) +(x − x ) ⋅ (x − x ) ⋅  ⋅ (x − x ) ⋅ ∑ B (x − x )  + (x − x ) ⋅ (x − x ) ⋅  ⋅ ∑ Z (x − x ) β

γ

ξ

P(x ) = (x − xb ) ⋅ (x − xc ) ⋅  ⋅ (x − x z ) ⋅

i

a

i

b

i −1

+

i −1

+

i =1 β

γ

α

a

ξ

c

z

i =1

ξ

α

i −1

β

a

b

i

z

i =1

Ejemplo Calcular la integral

∫

x2 dx x 5 − 10x 4 + 39x 3 − 74x 2 + 68x − 24

En este caso, no hace falta dividir los polinomios, ya que el grado del numerador es inferior al grado del denominador. Procederemos entonces a factorizar el denominador. Aplicando el método de Ruffini, 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3

-10

39

-74

68

-24

1

-9

30

-44

24

-9

30

-44

24

0

2

-14

32

-24

-7

16

-12

0

2

-10

12

-5

6

0

2

-6

-3

0

x 5 − 10x 4 + 39x 3 − 74x 2 + 68x − 24 = = (x − 1) ⋅ (x − 2)3 ⋅ (x − 3)

3 1

0

podemos identificar las raíces a =1, b =2, c =3 , con sus respectivas multiplicidades α=1, β=3, γ=1. La integral queda por tanto

∫

∫

x2 x2 = dx dx = (x − 1)(x − 2)3 (x − 3) x 5 − 10x 4 + 39x 3 − 74x 2 + 68x − 24 B1 B2 B3 C1 A1 = + + + + dx 3 2 x −2 x −3 x − 1 (x − 2) (x − 2)

∫

cuyo resultado es 2

I = A1 ln x − 1 +

∑ (3 − i)(x − 2) −Bi

3 −i

+ B3 ln x − 2 + C 1 ln x − 3 + C =

i =1

= A1 ln x − 1 +

−B1 −B2 1 1 + + B3 ln x − 2 + C 1 ln x − 3 + C 2 2 (x − 2) 1 (x − 2)1

donde las constantes se calculan mediante

8

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Matemáticas – 2º Bachillerato x 2 = (x - 2)3 (x - 3)A1 + (x - 1)(x - 2)3C 1 + +(x - 1)(x - 3) éêB1(x - 2)0 + B2 (x - 2)1 + B3 (x - 2)2 ùú ë û

sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se puede resolver ⇨ desarrollando el polinomio del segundo miembro, igualando coeficientes y aplicando algún método conocido de resolución ⇨ sustituyendo x  por valores adecuados: las raíces (que proporcionan las constantes con subíndice 1) y números con los que sea fácil operar (0, por ejemplo).

3.2. Raíces complejas Si Q (x) tiene raíces complejas (simples), además de raíces reales (simples o múltiples) la descomposición en fracciones simples del cociente nos lleva a A A1 A2 P(x ) P(x ) Mx + N = = + ++ α + 2 α 2 2 α α −1 Q(x ) (x − a ) (x + k ) (x − a ) x −a (x − a ) x + k2 donde, por comodidad, hemos considerado una única raíz real (x =a ) de multiplicidad α, y una única raíz compleja –imaginaria– ( x = ±k i, i =

−1 ). El término debido a la raíz compleja proporciona dos nuevas integrales: una

del tipo logaritmo neperiano,

∫

Mx M ln x 2 + k 2 dx = 2 2 x +k 2

y otra del tipo arcotangente,

∫x

2

N N dx = 2 2 +k k

∫1 + x  dx

  k 

2

=

x  N arctg   k k 

Las constantes se calculan como en el caso anterior, igualando los coeficientes de los polinomios tras realizar las sumas correspondientes.

3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x Nos encontramos ahora ante integrales del tipo cualquiera. CJS v2008

∫ R(sen x, cos x )dx , donde R es una función racional 9

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3.3.1. Método general x  Este tipo de integrales se resuelven utilizando el cambio de variable tg   = t 2 Utilizando los resultados conocidos de trigonometría  x  tg    t 2 sen  x  = =  1 1   2  2 1 + tg α = ⇒ cos α =   1 + t2  2 x  x  cos2 α α= 1 tg +  1 + tg 2 α    2 →   2 tg α  2 2  sen α = 1 − cos α ⇒ sen α = x  1 1 cos   = = 1 + tg 2 α   x  2 1 + t2 1 + tg 2    2   2t sen x = x 1 + t2 sen 2α = 2 sen α ⋅ cos α  α=  2  →  cos 2α = cos2 α − sen 2 α    1 − t2 cos x =  1 + t2

y como

x = 2 arctg t ⇒ dx =

2 dt 1 + t2

entonces la integral puede reescribirse como

∫

R(sen x , cos x )dx =

∫

 2t 1 − t 2  2 R , dt 2 2  2 1 + t 1 + t 1 + t

racional en t, fácil de resolver, aplicando descomposición en fracciones simples como hemos visto anteriormente.

3.3.2. Casos particulares 3.3.2.1.

La función racional es par en seno y coseno

Si la función racional cumple R(- sen x , cos x ) = R(sen x , cos x ) y R(sen x , - cos x ) = R(sen x , cos x ) simultáneamente, es decir, es par (simétrica con respecto al eje OY ), efectuaremos el cambio de variable tg x = t , x  más sencillo que el cambio general tg   = t . Con este cambio se tiene 2  1 1  ±1 1 + tg 2 α = ⇒ cos α = cos x =  2  2 cos α  1 + tg α  1 + t2 ⇒ 2 tg α  sen x = ±t sen 2 α = 1 − cos2 α ⇒ sen α =  1 + tg 2 α  1 + t2 10

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Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato x = arctg t ⇒ dx =

1 dt 1 + t2

y entonces reducimos la integral a

∫

 ±t ±1 R ,  2 1 + t2  1+t  t2 1  1 R1  , dt 2 2  2 1 + t 1 + t 1 + t

R(sen x , cos x )dx = =

∫

∫

 1 dt =  2 + 1 t 

siendo R1 una función racional distinta de R.

3.3.2.2.

La función racional es impar en seno o coseno

Si la función racional cumple R(- sen x , cos x ) = -R(sen x , cos x ) , es decir, si es impar en sen x, haremos el cambio de variable cos x = t . Si por el contrario se cumple que R(sen x , - cos x ) = -R(sen x , cos x ) (esto es, la función racional es impar en cos x ) efectuaremos el cambio sen x = t .

Ejemplo Calcular la primitiva de

∫

sen x + sen 3 x dx 1 + 2 cos2 x

En este caso, el integrando es claramente impar en sen x, por lo que haremos

cos x = t ⇒ − sen xdx = dt ⇒ dx = −

dt sen x

Aplicando este cambio, la integral queda

∫

sen x + sen 3 x dx = 1 + 2 cos2 x

2 − cos2 x sen x ⋅ (1 + sen 2 x ) −dt = − dt = 1 + 2 cos2 x 1 + 2 cos2 x sen x 2 − t2 =− dt 1 + 2t 2

∫ ∫

∫

racional en t, de resolución sencilla.

3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x En este caso, la función racional únicamente presenta términos en seno o en coseno, es decir, la integral es del tipo

∫ R(sen x )dx o bien ∫ R(cos x )dx . Lo más conveniente en estos casos es realizar la división, y

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11

Cálculo integral en 

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descomponer el resultado en fracciones simples. En definitiva, lo que haremos será tratar la función racional trigonométrica correspondiente como si fuera una función racional polinómica, asimilando sen x = t o bien cos x = t .

Ejemplo Calcular

∫

1 + cos4 x dx cos3 x + cos2 x − 4 cos x − 4

Haciendo la división, y descomponiendo en fracciones simples,

cos4 x + 1 5 cos2 x - 3 = (cos x 1 ) + cos3 x + cos2 x - 4 cos x - 4 cos3 x + cos2 x - 4 cos x - 4 cos3 x + cos2 x - 4 cos x - 4 = (cos x - 2)(cos x + 2)(cos x + 1) Þ Þ

5 cos2 x - 3 A B C = + + 3 2 cos x - 2 cos x + 2 cos x + 1 cos x + cos x - 4 cos x - 4

con lo que la integral puede escribirse de la forma

∫

1 + cos4 x dx = cos3 x + cos2 x − 4 cos x − 4 = sen x − x +

∫

∫

  5 cos2 x − 3 cos x − 1 +   dx = 3 2 cos x + cos x − 4 cos x − 4  

  A B C  cos x − 2 + cos x + 2 + cos x + 1  dx  

Estas últimas integrales se resuelven mediante el cambio general

12

x  tg   = t . 2

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4. Integración por partes Se utiliza este método de integración en integrales del tipo

∫ u ⋅ dv , siendo tanto u (x) como v (x) funciones

de x. Su cálculo se basa en el hecho conocido de que la derivada del producto de funciones viene dada por d[u(x ) ⋅ v(x )] d u(x ) d v(x ) = ⋅ v(x ) + u(x ) ⋅ dx dx dx Integrando miembro a miembro la anterior expresión, obtenemos

∫ d(u ⋅ v) = ∫ v ⋅ du + ∫ u ⋅ dv donde encontramos en el segundo miembro la integral buscada. Simplificando y despejando, hallamos la solución

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du Ejemplo Calcular la primitiva de

∫ x sen x dx

Tomando

u= x ⇒ du = dx dv = sen xdx ⇒ v =− cos x y por aplicación directa de la fórmula se tiene

∫ x sen x dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sen x + C

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13

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5. Integral definida La integral definida proporciona la solución al problema del cálculo del área bajo una curva. En efecto, sea una función f (x) positiva, continua y monótona creciente en un intervalo [a, b]. Dividiremos dicho intervalo en n partes, que supondremos iguales por comodidad, mediante los puntos x1, x2, …, xn-1. Llamaremos partición del intervalo al conjunto P  de puntos

{

P = x 0 = a, x 1 , x 2 , , x n −1 , x n = b

 b −a , P =  xi = x 0 + i n 

}

 i = 1, 2, , n  

Una partición P’ es más fina que la partición P (lo que se escribe P’  P ) cuando la anchura de los subintervalos de P’ es menor que la de los subintervalos de P . Esto equivale a incluir más puntos en dicha partición. Podemos calcular ahora el área bajo la gráfica de f (x) de manera aproximada, como suma de las áreas de los rectángulos que tienen como base los subintervalos de la partición, y como altura, bien el valor máximo de la función en dicho subintervalo, Mi (área por exceso), o bien el valor mínimo de la función en dicho subintervalo, mi (área por defecto). Evidentemente, el área exacta bajo la curva, S, está entre estos dos valores. Así las cosas, tenemos: y

Si º área por exceso M2

M1

n

∑m ⋅ (x − x = ∑ M ⋅ (x − x

si =

M3

i

i −1

i

)

área por defecto

i =1 n

m3

Si

m2

i

i

i −1

)

área por exceso

i =1

si ≤ S ≤ S i m1

Ahora bien, si reducimos la anchura de los subintervalos (es decir, si refinamos la partición), puede apreciarse que la diferencia entre los si º área por defecto

valores máximo y mínimo de la función en dichos x

subintervalos se va haciendo progresivamente menor. En el límite, cuando el número de subintervalos tiende a infinito, el intervalo tiene una anchura diferencial y los valores máximo Mi y mínimo mi coinciden con el valor de la función en dicho punto. En dichas condiciones, el área por exceso y el área por defecto coinciden. Al estar el valor exacto de área acotado por dos sucesiones que tienden al mismo valor, necesariamente entonces n

S = lim

n →+∞

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∑ i =1

f (x i ) ⋅ (x i − x i −1 ) =

b

∫ f (x )dx a

15

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato En definitiva,

Sea f (x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] como el área S  de la región R  del plano limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. S =

b

∫ f (x )dx a

5.1. Propiedades ➊ Si los límites de una integral definida son iguales, la integral definida es nula:

∫

a

f (x )dx = 0

∀f (x )

a

➋ Aditividad: si f (x) es una función continua en [a,b] y c Î]a,b[:

∫

b

f (x )dx =

a

∫

c

f (x )dx +

a

b

∫ f (x )dx

∀c ∈ [a, b ]

c

➌ Si se intercambian los límites de integración, la integral definida cambia de signo:

∫

b

f (x )dx = −

a

∫

a

f (x )dx

b

➍ Linealidad de la integral: α

∫

b

a

f (x )dx + β

∫

b

b

∫ αf (x ) + βg(x ) dx

g(x )dx =

a

∀α, β ∈ 

a

➎ Si f (x) y g (x) son continuas en [a,b] y si f (x)³g (x) "x Î]a,b[:

∫

b

f (x )dx ≥

a

b

∫ g(x )dx a

➏ Signo de la integral:Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)>0 "x Î]a,b[ : b

∫ f (x )dx > 0 a

Si f (x) es continua en [a, b] y si f (x)<0 "x Î]a,b[: b

∫ f (x )dx < 0 a

16

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Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Por tanto, si f (x) cambia de signo en [a,b], la integral definida proporciona la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje de abscisas, cada una con su signo. Si quisiéramos calcular el área en términos absolutos, tendríamos que calcular el área de cada recinto y, antes de sumar, cambiar de signo las negativas, es decir, hemos de realizar una suma de los valores absolutos de las áreas de cada uno de los recintos.

5.2. Regla de Barrow Si f (x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x) [cfr. §1 ] ,entonces b

∫ f (x )dx = F(b) − F(a) a

5.3. Cálculo del área comprendida entre dos curvas y

El área comprendida entre dos curvas f (x) y g (x) es igual al área comprendida entre la función diferencia, f (x) – g (x), y el eje de abscisas.

5

g(x)

Por consiguiente, el proceso que deberemos 4

f(x)

seguir para calcular el área es: 3

➊ Calcular los puntos de corte entre las 2

funciones f (x) y g (x), es decir, resolver

f(x)-g(x)

1

la ecuación x

f (x ) − g(x ) = 0

➋ Estudiar el signo de la función f (x) – g (x) en los distintos intervalos generados por las raíces de la ecuación anterior ➌ Aplicar la propiedad de aditividad de la integral definida, teniendo en cuenta el signo de cada integral

Ejemplo Calcular el área comprendida entre las funciones CJS v2008

y = x 2 − 5 e y = −x − 5 17

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato -2

y

f (x ) − g(x ) = x 2 − 5 − (−x − 5) = x 2 + x x 2 + x = 0 ⇒ x (x + 1) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −1

f(x) -3

Para cualquier valor entre 0 y -1, que es el intervalo de integración, f (x) < g (x), por lo que podremos calcular el área mediante la

g(x) S=1/6 u.d.s.

-4

expresión

S =−

∫

0

x 2 + x dx

−1

-5

Calculando la primitiva y aplicando la regla de Barrow se obtiene

x 3 x 2  S = − +  2 3

0

−1

 (−1)3 (−1)2  1 1 1 = +  = − + = u.d.s. 2  3 2 6  3

5.4. Cálculo del volumen de revolución generado por una curva De la misma forma que calculamos el área contenida entre el eje OX, las rectas x = a y x = b y una función f (x), podemos calcular el volumen de revolución que genera una función al girar en torno al eje OX. En este

Y

caso, los distintos subintervalos de la partición generan cilindros de altura igual al ancho del

FX

subintervalo y radio igual al máximo (volumen por exceso) o al mínimo (volumen por defecto) que toma la función en dicho subintervalo, como puede apreciarse en la figura.

X

En el límite, cuando la partición se ha refinado hasta obtener infinitos subintervalos de anchura diferencial, el volumen por exceso y el volumen por defecto convergen al valor del volumen exacto, ya que los valores máximo y mínimo coinciden. Podremos afirmar, por tanto, que El volumen de revolución generado por una función f (x) al rotar alrededor del eje OX, y limitado por las rectas x = a y x = b se calcula según V =π

∫

b

a

18

2

 f (x ) dx

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6. Ejercicios resueltos Ejercicio 1 e cos e dx = sen e ∫    x

x

x

+C

∫ f ′(x ) cos f (x )dx

Ejercicio 2

∫

3

3 3 (x 2 − 2x )4 1 3 2 x − 2x (x − 1)dx = x − 2x 2(x − 1)dx = +C 2  8    n ∫ [ f (x )] f ′(x )dx

∫

2

Ejercicio 3

∫

x 1 − x2

dx =

∫

−

1

x (1 − x 2 ) 2 dx = −

1 − 1 −2x (1 − x 2 ) 2 dx = − 1 − x 2 + C 2  n ∫ [ f (x )] f ′(x )dx

∫

Ejercicio 4

∫

2x + 1 dx 1 + (2x + 1)2

En primer lugar, podríamos pensar que se trata de una integral inmediata de tipo arcotangente, pero desechamos esta opción puesto que el numerador no puede transformarse en la derivada del término cuadrático del denominador. Si optamos por calcular la derivada del denominador, sin embargo, comprobaremos que con una sencilla transformación la integral se convierte en una inmediata de tipo logaritmo neperiano. En concreto, 1 + (2x + 1)2 ′ = 4(2x + 1) ⇒  

∫

2x + 1 1 dx = 2 4 1 + (2x + 1)

∫

4(2x + 1) dx 1 + (2x + 1)2

Una vez llegados a este punto, podemos concluir

∫ CJS v2008

1 2x + 1 1 4(2x + 1) dx = dx = ln 1 + (2x + 1)2  + C 2 2 4 4 1 + (2x + 1) 1 + (2x + 1)    f ′(x ) ∫ f (x ) dx

∫

19

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Ejercicio 5

∫ cos x sen x dx 3

4

Como el integrando es claramente impar en cosx, efectuaremos el cambio sen x =t : dt cos x sen 2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 1 − sen 2 x = 1 − t 2 sen x = t ⇒ cos xdx = dt ⇒ dx =

con lo que la integral se transforma en

∫

cos3 x sen 4 x dx =

∫

(1 − t 2 )t 4 dt =

∫

t 4 − t 6 dt =

t5 t7 − +C 5 7

Y deshaciendo el cambio llegamos al resultado final

∫

cos3 x sen 4 x dx =

sen 5 x sen 7 x − +C 5 7

Ejercicio 6

∫

tg 3 x + tg x dx 1 − 2 tg x

Nos encontramos ante una integral racional con funciones trigonométricas. Además, como el integrando es una función impar aplicaremos el cambio tgx = t : tg x = t ⇒ dx =

∫

tg 3 x + tg x dx = 1 − 2 tg x

∫

t 3 + t dt = 1 − 2t 1 + t 2

∫

dt 1 + t2 (t 2 + 1)t

dt

1 − 2t

1 + t2

=

∫

t dt 1 − 2t

Con este cambio hemos transformado la integral en una racional polinómica. Ahora bien, como los grados del numerador y denominador coinciden, habremos de efectuar la correspondiente división polinómica: 1 t 1 1 1  = − + 2 = − 1 −  1 − 2t 2 1 − 2t 2 1 − 2t  La integral queda por tanto

∫ 20

∫

∫

∫

t 1 t 1 1 1 1 1 dt = − dt = − dt + dt = − − ln 1 − 2t + C 1− 2 4 1 − 2t 2 1 − 2t 2 2  1 − 2t   f ′(x ) ∫ f (x ) dx CJS v2008

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

y deshaciendo el cambio de variable,

∫

tg 3 x + tg x tg x 1 dx = − − ln 1 − 2 tg x + C 1 − 2 tg x 2 4

Ejercicio 7

∫

x2 − 1 dx x3 − x2

La integral bajo consideración es racional polinómica, por lo que deberíamos efectuar la descomposición del integrando en fracciones simples, previa factorización del polinomio del denominador. Sin embargo, resulta mucho más cómodo en este caso factorizar tanto el denominador como el denominador. En efecto,

∫

x2 − 1 dx = x3 − x2

∫

(x − 1)(x + 1) (x − 1)x

2

dx =

∫

x +1 dx = x2

∫ x dx + ∫ x dx 1

1

2

Ahora ya es inmediato realizar el cálculo de la integral:

∫

x2 − 1 1 dx = ln x − + C 3 2 x x −x

Comprobemos ahora cómo la descomposición en fracciones simples propor

∫

x2 − 1 dx = x3 − x2

∫

x2 − 1 dx = (x − 1)x 2

∫ x −1 + x A

B 2

+

D B dx = A ln x − 1 − + D ln x + C x x

Nos queda ahora calcular las constantes A , B  y D  de la descomposición, para lo que tendremos que resolver la ecuación Ax 2 + B(x − 1) + Dx (x − 1) = x 2 − 1 x 2 (A + D ) + x (B − D ) − B = x 2 − 1 que se traduce, identificando coeficientes, en el sistema A = 0 A + D = 1   B − D = 0  ⇒ B = 1 D = 1  B =1   y nos lleva, finalmente a

∫

x2 − 1 B 1 dx = A ln x − 1 − + D ln x + C = ln x − + C 3 2 x x x −x

resultado que coincide, como se observa claramente, con el obtenido inicialmente. CJS v2008

21

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 8

∫

1 dx x − 4x + 5 2

La integral que se nos presenta es racional polinómica. En este caso, además, el numerador es una constante y el denominador es de segundo grado. Todos los integrandos de estas características conducen a soluciones de la forma arcotangente, y la primitiva se calcula utilizando el método conocido como completar cuadrados (si la integral no viene expresada en su forma canónica). En concreto, intentaremos transformar el polinomio completo de segundo grado de forma que pueda escribirse como el cuadrado de un binomio más una constante. Para ello:

➀ Dividiremos el polinomio por el coeficiente del término de segundo grado (si es necesario) ➁ El binomio buscado tomará la forma (x +k ), donde k  es el coeficiente del término de grado uno dividido por dos (y por el coeficiente del término de segundo grado, si hemos efectuado el paso anterior)

➂ Completaremos la transformación sumando una constante p  para que se cumpla que p +(x +k )2 coincida con el polinomio Con los datos del problema, la transformación es x 2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 lo que convierte la integral en

∫

∫

1 1 dx = dx = arctg(x − 2) + C 2 x − 4x + 5 + ( x − ) 1 2  f ′(x ) ∫ 1 +[ f (x )]2 dx 2

Ejercicio 9

∫ tg x dx 2

Para calcular esta integral podriamos pensar en aplicar el método de integración por partes, puesto que no se corresponde con ningún tipo de integral inmediata. La aplicación de dicho método, sin embargo, no conduce a resultado satisfactorio. Emplearemos un camino algo más creativo: la adición y sustracción de la misma constante en el integrando transforma el problema en la suma de dos integrales inmediatas:

∫ tg x dx = ∫ −1 + 1 + tg x dx = −∫ dx + ∫ 1 + tg x dx = −x + tg x + C 2

22

2

2

CJS v2008

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 10

∫

x ln x dx

Para resolver esta integral es necesario aplicar el método de integración por partes:

∫

x ln x dx =

u

= ln x

⇒

du =

dv

=

⇒

v =

x dx

dx x 2 x3 3

=

2 x3 ln x − 3

∫

2 x 3 dx = 3 x

2 x 2 x3 2 2 x3 dx = ln x − = 3 3 3 3 2 ) +C 3

2 x3 ln x − 3 2 x3 = (ln x − 3

∫

=

Ejercicio 11

∫

3x + 1 dx x − 4x − 5 2

Puesto que se trata de una integral racional polinómica, procederemos a factorizar el denominador y descomponer el integrando en fracciones simples:

∫x

2

3x + 1 dx = − 4x − 5

3x + 1

∫ (x + 1)(x − 5) dx = ∫ x + 1 + x − 5 dx = A ln x + 1 + B ln x − 5 + C A

B

Sólo nos queda calcular las constantes de integración, a partir de 3x + 1 = A(x − 5) + B(x + 1) = x (A + B ) + (B − 5A) A + B = 3   −5A + B = 1   Sin embargo, cuando las raíces son simples, es más cómodo sustituir x  por dichas raíces, lo que proporciona directamente 3x + 1 = A(x − 5) + B(x + 1) x = −1] x = 5]

1 3 8 6B = 16 ⇒ B = 3 −6A = −2 ⇒ A =

En definitiva,

∫ CJS v2008

3x + 1 1 8 dx = ln x + 1 + ln x − 5 + C 3 3 x − 4x − 5 2

23

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato Una vez llegados a este punto, podemos simplificar el resultado

∫

1 8 3x + 1 1 8 3 3 ln ln ln ln dx = x + 1 + x − 5 + C = x + 1 + x − 5 +C = 3 3 x 2 − 4x − 5 8  = ln  3 x + 1 ⋅ x − 5  + C  

Ejercicio 12

∫ cos x dx 2

Apliquemos el método por partes:

∫



cos2 x dx =

u = cos x ⇒ du = − sen xdx = sen x cos x + dv = cos xdx ⇒ v = sen x

∫ sen x dx 2

[1]

Llegamos a una integral que es formalmente análoga a la primera, por lo que si aplicamos el método por partes a esta última integral

∫



sen 2 x dx =

u = sen x ⇒ du = cos xdx = − sen x cos x + dv = sen xdx ⇒ v = − cos x

∫ cos x dx 2

[2]

Llevando el resultado de [ 2 ] a [ 1 ],

∫ cos x dx = sen x cos x − sen x cos x + ∫ cos x dx 2

2

y obtenemos una identidad (‽‽). Es evidente entonces que hemos deseguir otro camino. En concreto, podemos 2 2 2 2 aplicar la conocida igualdad trigonométrica cos x + sen x = 1 ⇒ sen x = 1 − cos x en [ 1 ], y así llegar a

∫ cos x dx = sen x cos x + ∫ (1 − cos x )dx = sen x cos x + ∫ dx − ∫ cos x dx = = sen x cos x + x − cos x dx ∫ 2

2

2

[3]

2



A partir de [ 3 ] es inmediato calcular el valor de la integral I =

∫

cos2 x dx =

sen x cos x + x +C 2

Existe, sin embargo, un método más elegante para calcular la integral, que consiste en manipular el integrando utilizando las igualdades trigonométricas apropiadas, y transformar la integral en inmediata. Veámoslo con algo más de detalle. Partiendo de 24

CJS v2008

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato  ⇒ 2 2 cos x − sen x = cos 2x   cos2 x + sen 2 x =

1

 2 1 + cos 2x cos x = 2  sen 2 x = 1 − cos 2x  2

podemos escribir la integral como

∫ cos x dx = ∫ 2

   x sen 2x 1 + cos 2x 1 +C dx =  dx + cos 2x dx  = + 4 2 2   2  ∫ f ′(x ) cos f (x )dx 

∫

∫

Si además tenemos en cuenta que sen 2x = 2 sen x cos x , podemos comprobar que la primitiva obtenida por los dos métodos es idéntica.

Ejercicio 13

∫

1 − x 2 dx

Para resolver esta integral necesitaremos hacer un cambio de variable, puesto que no es inmediata ni racional, y el método por partes no proporciona un camino viable. El cambio de variable viene condicionado por la forma del integrando. Si recordamos que sen 2 x + cos2 x = 1 , parece lógico pensar que hay dos posibles cambios de variable, x =sen t o bien x =cos t . Cualquiera de ellos, en principio, nos elimina el problema de la raíz cuadrada, y reduce la integral a una trigonométrica. En concreto, utilizando el cambio x =sen t  se obtiene x = sen t ⇒ dx = cos tdt

∫

1 − x 2 dx =

− sen t cos tdt = cos tdt ∫ 1 ∫ 2

2

cos t

integral que ya hemos resuelto en el ejercicio 12. Si optáramos por utilizar el otro cambio de variable, x = cos t ⇒ dx = − sen tdt

∫

∫

∫

− cos2t sen tdt = − sen 2 tdt 1 − x 2 dx = − 1 sen t

y llegamos a una integral formalmente análoga a la anterior y que se resuelve de la misma manera.

Ejercicio 14 Dadas las curvas y = (x − 1)3 e y = 5 − x 2 , calcular razonadamente: a) Su punto de corte

CJS v2008

25

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato b) El área encerrada por ellas y el eje OY

El punto de intersección de las curvas se obtiene resolviendo la ecuación (x − 1)3 = 5 − x 2 . Desarrollando y simplificando términos, se obtiene la ecuación x 3 − 2x 2 + 3x − 6 = 0 , ecuación de tercer grado que podemos resolver utilizando la regla de Ruffini, 1 2 1

-2

3

-6

2

0

6

0

3

0

x 3 − 2x 2 + 3x − 6 = (x − 2)(x 2 + 3)

por lo que se tiene x 1 = 2 ; x 2, 3 = ± 3 i El punto de corte es entonces x 1 = 2 ⇒ P(2, 1) Con el fin de calcular el área pedida haremos un croquis de las curvas: 5

y

El área que se nos pide calcular es la

y=5-x2

sombreada en verde. Es evidente entonces que

4

puede calcularse como 3

y=(x -1)3

S =

∫

2

0

2

(5 − x 2 ) − (x − 1)3  dx  

Sin embargo, y teniendo en cuenta P(2,1)

1

la simetría de la función cúbica alrededor x

-1

1

2

del punto x =1, resulta mucho más cómoda calcularla según

-1

S =

2

∫ 5 − x dx 2

0

El cálculo de esta primitiva es trivial, ya que se trata de una integral inmediata de tipo polinómico:

∫

2

0

x3 5 − x dx = 5x − 3

2

= 10 −

2

0

 8 22 = = 7.3 3 3

En definitiva, S =

26

 22 = 7.3 u.a. 3

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Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 15 −16 dx = ln 25 0 x − 2x − 15 Calculemos en primer lugar la primitiva. Se aprecia claramente que se trata de una función racional, de Calcular los valores reales z  que verifican

∫

z

2

raíces x 1 = −3 y x 2 = 5 , lo que indica que la factorización correspondiente es A B −16 = + x − 2x − 15 x + 3 x − 5 2

Los valores de las constantes A  y B  se hallan a partir de la ecuación x = 5 8B = −16 ⇒ B =−2 A(x − 5) + B(x + 3) = −16 ⇒   x = −3 −8A = −16 ⇒ A = 2 y entonces se tiene 2

x + 3 −16 dx = 2 ln(x + 3) − 2 ln(x − 5) = ln   +C 2 x − 2x − 15 x − 5

∫

Aplicando la regla de Barrow, podemos calcular la integral definida,

∫

z

0

2

2

z + 3  −5(z + 3)   3  −16 dx = ln   − ln   = ln   2 x − 2x − 15 z − 5  3(z − 5)   −5 

2

La ecuación propuesta se convierte entonces en 2

 −5(z + 3)  − 5 (z + 3) ln  = 5  = ln 25 ⇒ 3(z − 5)  3(z − 5)  −(z + 3) = 3(z − 5) ⇒ 4z = 12 y

y, finalmente,

4

z =3

3

2

La interpretación geométrica del

f (x)

1

problema puede verse en la figura:

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

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27

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 16 Calcular el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de la función y = f (x ) = x 2 + 4 alrededor del eje OY  y limitado por las rectas y =4 e y =8 Como sabemos, el volumen de revolución generado por la rotación de la gráfica de una función alrededor del eje OX  puede calcularse a partir de la expresión V =π

b

∫  f (x ) dx 2

a

Ahora bien, como en este caso la rotación tiene lugar alrededor del eje OY , deberemos calcular la forma que toma la función x = f (y ) . En concreto, y = x2 + 4 ⇒ x = ± y − 4 Tomando únicamente la función positiva, el volumen se calcula V =π

∫

8

4

2

 y − 4  dx = π  

8 y 2   (y − 4)dx = π − 4y  = π 0 − (−8) 2  4 4 

∫

8

es decir, V = 8π u.d.v.

200

150

z 100

50

0 −10

28

−10 −5

y

0

5

0 10

10

x

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Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 17 Calcular el área de una elipse de semieje mayor a  y semieje menor b , centrada en el origen, mediante cálculo integral La ecuación de una elipse centrada en el origen de semiejes a  y b  toma la forma y

representación gráfica es la de la figura.

x 2 y2 + = 1 , y su a 2 b2

Es evidente entonces que podremos calcular el área S1

de la elipse como el cuádruple del área S1, siendo dicha área S1 la que hay bajo la función y = b 1 −

x2 y entre a2

a

x

las rectas x =0 y x =4: S1 =

∫

a

b 1−

0

x2 dx a2

El problema se reduce por consiguiente a calcular esta integral. Por simple inspección comprobamos que no es inmediata ni racional. El método por partes tampoco proporciona ninguna solución aceptable. Hemos de pensar entonces en efectuar un cambio de variable. En concreto, si escribimos la integral como S1 = b

∫

a

0

2

x  1 −   dx a 

podemos constatar que se trata de la misma integral del ejercicio 13. En efecto,

S1 = b

∫

a

0

x   a = sen t ⇒ dx = a cos tdt  2   x    1 −   dx =   = ab a   x = 0 ⇒ t = 0   π  x = a ⇒ t =   2

Recordando el resultado el resultado final

∫ cos x dx = 2

S1 = ab

∫

π 2

0

∫

π 2

cos2 tdt

0

sen x cos x + x + C y aplicando la regla de Barrow obtenemos 2

sen t cos t + t cos tdt = ab 2 2

π 2 0

=

π ab 4

y por tanto S = 4S1 = πab u.d.s. CJS v2008

29

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 18 Dibujar el recinto limitado por y = −x 2 + 4x − 3 , su recta tangente en el punto P (0,–3) y la recta y = −x + 3 . Calcular su área La ecuación de la recta tangente a la función f (x) que pasa por el punto P (xP ,yP) se escribe como y − yP = f ′(x P ) ⋅ (x − x P ) En nuestro caso, se tiene x =0

P y = −x 2 + 4x − 3 ⇒ y ′ = −2x + 4  → f ′(x P ) = 4

por lo que la recta tangente pedida será y = 4x − 3 La representación gráfica de la parábola y las dos rectas queda por tanto

Calculemos ahora los puntos de intersección A, B  y C : yA = −x A2 + 4x A − 3  2  ⇒ −x A + 4x A − 3 = 4x A − 3 yA = 4x A − 3  −x A2 = 0 ⇒ x A = 0 ⇒ A(0, −3)

30

CJS v2008

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato yB = −x B + 3   ⇒ −x B + 3 = 4x B − 3 yB = 4x B − 3   6 6 9 5x B = 6 ⇒ x B = ⇒ B( , ) = (1.2, 1.8) 5 5 5

yC = −xC2 + 4xC − 3  2  ⇒ −xC + 4xC − 3 = −xC + 3 yC = −xC + 3  x = 2 ⇒ C (2, 1) −xC2 + 5xC − 6 = 0 ⇒  C xC 2 = 3 ⇒ C 2 (3, 0) Una vez calculadas las intersecciones en inmediato calcular el área del recinto limitado por las tres gráficas, S =

∫

xB

(4x − 3) − (−x 2 + 4x − 3)dx +

xA

=

∫

6 5

x dx + 2

0

∫

2 6 5

CJS v2008

6 3 5

x x − 5x + 6 dx = 3 2

 6    5 8    +  − 10 + 12  −  = 3 3     40 + 30 − 54 16 = = u.d.s. 15 15 3

∫

0

xC

(−x + 3) − (−x 2 + 4x − 3)dx =

xB 2

 x3  x2 +  − 5 + 6x  = 2  3 6 5

 6 6       5  − 5  5  + 6 6  = 8 + 2 + 36 − 36 =  10 5 3 2 5 3   3

2

31

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

7. Ejercicios propuestos Ejercicio 1 Calcular las siguientes integrales:

1

∫

 1 3 x +  xdx x 

4

∫

sen 2 3x cos 3xdx

5

∫

7 + 2 tg x dx cos2 x

7

∫

tg(2x + 1)dx

8

∫

x +1

10

∫

3 dx x ln 2x

13

∫ (x

16 19

2

∫

∫

ln 2 x dx x

6

∫

1 + sen 2 x dx sen x cos x

dx

9

∫x

dx

12

∫ x sen x dx

15

∫x

sen x dx 3 + cos x

x 2

x + ex

3

x 2 + 1 dx

11

∫

14

∫ x ln(2x + 1)dx

∫

dx (x + 2)2 (x − 1)

17

∫

2x + 3 dx 2 x + 2x + 5

∫

dx x −1

20

∫ (x − 1) + 3  (x − 1) dx

22

∫

2x dx 1 + 4x

23

∫

2e − x dx 2 + e −x

25

∫

dx x (x + 1)2

26

∫

dx x (x + 1)2

∫

2x + 5 dx 2 x − 4x + 9

29

∫

1 dx 2 x − 4x + 9

30

∫

x3 dx (x 2 − 1)2

∫

x −2 dx 2 x − 4x + 5

32

∫

x 2 cos 4x dx

33

∫

x 5e − x dx

∫

ln x 2 dx x

35

∫

cos 2x dx sen 2 x

36

28 31 34

CJS v2008

2

+ 1)sen 2x dx

3

1+e

x

2

3x − 2 2

2

2

2

dx +x −2

∫

x2 + x + 6 dx x2 + 4

21

∫

2x 3 dx 1 + x8

24

∫

arcsen x

∫

e 2x

18

27

1 − x2

ex + 1

dx

dx

3

3

∫ x cos

x 2 3

x

dx

33

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 2 Calcular las siguientes integrales, utilizando los cambios de variable que se indican: ex dx 1 + ex

1

∫

3

∫

5

∫

7

∫ 3x + 2 x

9

∫

11

1 (1 − x )

2 3

dx

sen x dx sen + cos x 2

dx

1 3

1−x 1−x

1+ x

∫1−

x

dx

dx

ex = t

2

∫1+2

x = sen t

4

∫x

3

tg x = t

6

∫

x =t

8

∫

1 − x = t6

10

∫

t = x

12

∫

e

−x

1 x −1

2

2

e 2x 1 + ex x x −1

dx

e −x = t 2

dx

x =

dx

1 + ex = t 2

dx

x − 1 = t2

3x + 27x dx 1 + 9x 1 x − 3x

1 cos t

3x = t

dx

x = t6

Ejercicio 3 Calcular la función f (x) si sabemos que f (0)=0, f ’(0)=2 y f ’’(x)=3x

Ejercicio 4 Encontrar la primitiva de la función f (x ) =

1 1 − 4x

2

que se anula en x =

π 4

Ejercicio 5 Hallar el área limitada por la curva y = x 3 − 3x 2 + 1 y la recta tangente a la misma en el punto en que alcanza su máximo relativo. Dibujar el recinto

Ejercicio 6 Considerar la figura plana encerrada entre las curvas y = 3 x 2 e y = x 2 , cuando 0≤x ≤1. Hallar el volumen que genera cuando da una vuelta completa alrededor del eje OX 34

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Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 7 Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

∫

1

1 + x dx

−1

π 2

∫

cos x dx 1 + sen 2 x

0

∫

1

x 2 + 2x dx 2

−1 π 2

∫

π − 4

∫ ∫

2

1

dx

4 3

x x −1

e

sen(ln x ) dx x

1

∫

sec (x + π)dx 2

π 2

1 dx π 1 + cos x −

∫ ∫

1

∫

2

∫

x

1 − x 2 dx

−3

0

0

2x + 5 dx 2 x −x −2 x2 dx 1+x

(t 2 + 1)4 dt

3

CJS v2008

5 8 11 14 17 20

2

1

t2 − 4 dt 2 −3 3t − 1

∫

2

x

23 26 29 32 35

∫

1

2x dx 2 −1 1 + x 3

∫

1

∫

3

1 dx 3 + x2

π

6

2

sen x cos x dx

0

∫

3 4 1 4

∫

π

∫

2

∫

2

∫

e

∫

e

∫

1

∫

1

∫

4

1 x (1 − x )

dx

x 2 sen x dx

0

0

0

1

1 e

0

1 dx 3 x +1

12 15 18

2x + 3 dx 2x + 1

21

ln x

24

x

dx

ln x dx

ex − 1 dx ex + 1 1 + e2x dx

0

−1

9

x 2 + x − 2 dx

27 30 33 36

∫

0

∫

e

x 2 (x 3 + 2)2 dx

−1

1

∫ ∫

π 2 π 4

ln 3 x dx x

ctg x dx

1

1 dx −2 x + x + 1 2

1

∫ arcsen x dx 0

π

∫ (sen x + sen x )cos x dx 3

2

0

∫

1

∫

π

∫

3

1 − x 2 dx

0

sen 3 x cos2 x dx

0

1

∫

π 2

1+x dx x

x 2 cos 4x dx

0

∫

x

∫

sen x

0

x2

cos t dt 2 sen t + 3

1 + t dt

35

Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Ejercicio 8 Encontrar el valor de k, k >0, tal que el volumen del cuerpo de revolución generado por la curva y = kx 2 , con 0≤x ≤1, al girar en torno al eje OX  sea igual a 1

Ejercicio 9 Encontrar la recta vertical x =k, tal que divide en dos partes iguales el área del recinto limitado por las curvas y = x 2 , x = 2 e y = 0

Ejercicio 10 Calcular el valor de a  para que el área delimitada por la curva y = a sen sea igual a 4

x y las rectas y = 0 y x = π , 2

Ejercicio 11 Se sabe que la gráfica de una función pasa por el punto A (1,1) y que f ’(1)=2. Se conoce también que su derivada segunda es la función g (x)=2. Calcular razonadamente la función f (x)

Ejercicio 12 ¿Existe alguna función y =f (x) tal que f ′′(x ) =

1

y que f (0)=2 y f (3)=3? ¿Y que f (2)=2 y f (3)=3? x −1 Justificar la respuesta. En el caso de que exista y =f (x) en alguna de estas situaciones, calcularla

36

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Cálculo integral en 

Matemáticas – 2º Bachillerato

Contenido 1. Primitiva de una función

3

2. Primitivas inmediatas

5

3. Integración de funciones racionales

7

1.1. Propiedades

3.1. Raíces reales 3.2. Raíces complejas 3.3. Integración de funciones racionales en sen x y cos x 3.3.1. Método general 3.3.2. Casos particulares 3.3.2.1. 3.3.2.2.

La función racional es par en seno y coseno La función racional es impar en seno o coseno

3.4. Integración de funciones racionales sólo en sen x o cos x

4. Integración por partes

13

5. Integral definida

15

6. Ejercicios resueltos

19

7. Ejercicios propuestos

33

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Propiedades Regla de Barrow Cálculo del área comprendida entre dos curvas Cálculo del volumen de revolución generado por una curva

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