Integracion Por Metodo De Susticion.docx

INTEGRACION POR METODO DE SUSTICION

POLANIA SERNA MARIA PAULA BASTIDAS ENRIQUEZ MARIA CAMILA CASTRO MAHECHA MARIA JOSE

ESCUELA NAVAL DE CADETES “ALMIRANTE PADILLA” CALCULO DIFERENCIAL CARTAGENA DE INDIAS, D.T. Y C 2018

Método de integración por sustitución El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

∫ 𝑓′(𝑢) · 𝑈′dx = 𝑓(𝑢) + 𝑐 ∫ 𝐹′(𝑢) · 𝑈′dx 1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: 𝑡=𝑈 dt = u′dx Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

∫ 𝐹′(𝑡) · 𝑈′

dt = ∫ 𝐹′(𝑡)dt 𝑈′

2. Si la integral resultante es más sencilla, integramos: ∫ 𝐹′(𝑡)dt = 𝑓(𝑡) + 𝑐 3. Se vuelve a la variable inicial: 𝐹(𝑡) + 𝑐 = 𝐹(𝑢) + 𝑐

Ejercicios 𝑥

∫

√1 − 𝑥 2

𝑑𝑥

1

Sea 𝑈 = 1 − 𝑥 2 . Entonces 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 , de forma que 𝑥𝑑𝑥 = − 2 𝑑𝑢 . -

Reescribimos la ecuación 1

1 𝑑𝑈 √𝑢 −2

∫

-

multiplicamos

1

1

√𝑈

𝑃𝑜𝑟 2

∫ -

·

1 √𝑢

−1

· ( 2 ) 𝑑𝑢 = ∫ −

𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 − 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙

−∫

-

1 2√𝑢

𝑑𝑢

1

𝑚𝑜𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 2 𝑎𝑙 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 1 1 −( ∫ 𝑑𝑢) 2 √𝑢

-

Simplificamos la expresión −1 ∫ 𝑢−1/2 𝑑𝑢 2

-

Simplificamos términos

1 √𝑢·2

𝑑𝑢

1

− 2 (2𝑢1⁄2 ) + 𝑐 2(−𝑢1⁄2 ) 2

-

+ 𝑐 cancelamos términos semejantes −𝑢1⁄2 + 𝑐

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢 𝑐𝑜𝑛 1 − 𝑥 2 −(1 − 𝑥 2 )1⁄2 + 𝑐 es igual que decir 4

∫ 0

−√(1 − 𝑥 2 ) + 𝑐

1 √2𝑥 + 1

𝑑𝑥

Sea 𝑈 = 2𝑥 + 1. Entonces 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 , de forma que 𝑑𝑥 = -

2

∫ 0

4

1 𝑑𝑢 √𝑢 2

=

1 𝑑𝑢 2 √𝑢

∫ 0

4

=

1 ∫ 2 0

1

𝑑𝑢 √𝑢

Se reescribe la raíz a 𝑢2 y la pasamos al numerador con el signo −1

contrario 𝑢 2

4

1 ∫ 2

1

𝑈 −2 𝑑𝑢

0

-

.

Reescribimos la ecuación 4

-

𝑑𝑢

Integramos y se cancelan los términos semejantes 1 (2𝑈 1⁄2 )]40 2 1

𝑈 2 ]40

-

Reemplazar los términos de u por 2x + √𝑈]40

-

Remplazamos los valores al integrar de la forma f(b)-f(a) √2(4) + 1 − √2(0) + 1 √9 − √1 3−1= 2 𝜋 2

(𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥

∫ −

-

𝜋 13

Integramos cada termino 𝜋/2

𝜋⁄2

∫

𝑥 𝑑𝑥 + ∫

−𝜋/13

-

−𝜋12

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑥 2 𝜋⁄2 ] 2 −𝜋/3

-

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

⁄2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥]𝜋−𝜋/3

Reemplazamos los términos en la integral 𝜋 2 2

( )

(

2

𝜋

1

𝜋 2

𝜋

+ 𝑠𝑒𝑛 2 ) - (2 (− 3 ) + 𝑆𝑒𝑛 (− 3 ))

-

Esto sería igual 𝜋 2 (2)

𝜋 𝜋 + 1 − ( 2 + 𝑠𝑒𝑛 − ) 2 9 3

𝜋2 𝜋2 𝜋 +1− − 𝑆𝑒𝑛 (− ) 8 10 3 -

𝜋

Reemplazamos a 𝑆𝑒𝑛 (− 3 ) por

√3 2

𝜋2 𝜋 2 √3 𝜋2 𝜋 2 √3 +1−( − )= +1− + 8 18 2 8 18 2 -

Sacamos el mínimo común múltiplo del denominador e igualamos las fracciones para operar. 𝜋2 9 𝜋2 4 √3 · − · +1+ 8 9 18 4 2 9𝜋 2 4𝜋 2 √3 − +1+ 72 72 2

-

Sacamos el mínimo común denominador en donde igualamos las fracciones para poderlas operar 𝜋2 9 𝜋2 4 √3 · − · +1+ 8 9 18 4 2 9𝜋 2 4𝜋 2 √3 − +1+ 72 72 2

-

El resultado de la operación seria 5𝜋 2 √3 +1+ 72 2

2

∫

(𝑥 − 1)√2 − 𝑥 𝑑𝑥

1

Sea 𝑈 = 𝑥 − 1 y 𝑑𝑢 = √2 − 𝑥. -

Integramos por partes usando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 2

2 2 (𝑥 − 1) (− (2 − 𝑥)3/2 )]12 − ∫ − (2 − 𝑥)3⁄2 𝑑𝑥 3 3 1

-

Escribe (2 − 𝑥)3⁄2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 1. 2

(2 − 𝑥)3⁄2 2 (𝑥 − 1) (− ( · ))]12 − ∫ 1 3 1

-

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎: 2

2(2 − 𝑥)3⁄2 2 −(𝑥 − 1) ]1 − ∫ 3 1

-

−

2(2 − 𝑥)3/2 𝑑𝑥 3

Multiplicamos 2

2(2 − 𝑥)3⁄2 −(𝑥 − 1) +∫ 3 1

-

2 − (2 − 𝑥)3⁄2 𝑑𝑥 3

2(2 − 𝑥)3/2 𝑑𝑥 3

Sea 𝑢 = 2 − 𝑥. Entonces 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 de forma que −𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, entonces reemplazamos.

0

(2 − 𝑥)3/2 2 2 2 −(𝑥 − 1) ]1 + ∫ 3 3

− (𝑢)3/2 𝑑𝑢

1

− 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 0

2(2 − 𝑥)3⁄2 2 2 −(𝑥 − 1) ]1 − ∫ 3 3

(𝑢)3⁄2 𝑑𝑢

1

2

− 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 (𝑢)3⁄2 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑢 𝑒𝑠 5 𝑢3⁄2 2(2 − 𝑥)3/2 2 2 2 5/2 0 −(𝑥 − 1) ]1 − · 𝑢 ]1 3 3 5 −(𝑥 − 1)2(2 − 𝑥)3⁄2 2 ]1 3 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 1 3 · 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛. 3 5

𝑢2 0 2(2 − 𝑥)3⁄2 3 −2(2 5 ]1] −(𝑥 − 1) · 1 3 3 -

Simplificamos la expresión

3(−(𝑥 − 1) -

2(2 − 𝑥)3⁄2 2 2𝑢5⁄2 0 ]1 − 2( ] ] 3 5 1

Reemplazamos x

3 (−

2 · 03 2 · 05⁄2 2 · 15⁄2 + (1 − 1)) − 2 (( ) − ) 3 5 5 3

2 · 05⁄2 2 · 15/2 3(0 + 0) − 2 (( )− ) 5 5 3 -

Multiplicamos 5

2 · 12 0 − 2 (0 − ) 5 3 2 0 − 2 (0 − ) 5 3 2 2 4 0+1· 0+ 5 = 5 3 3 -

Esto seria igual a: 4 15