Integracion

INTEGRACIÓN NUMÉRICA Índice: ‰ Introducción ‰ Fórmulas de cuadratura. ‰ Fórmulas de Newton-Cotes. ‰ Fórmulas compuestas.

Introducción b

I = ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) b

a

1 dx 0 1 + x5 b f ( x)dx ≈ f ( x)dx = I

Ejemplo : ∫ I =∫

b

a

1

∫

a

E = I − I = ∫ ⎡⎣ f ( x) − f ( x) ⎤⎦ dx ⇒ a b

b E = ∫ f ( x) − f ( x) dx ≤ b − a f ( x) − f ( x) a

f ( x) − f ( x) ⎧ f ( x) ⎨ ⎩

∞

∞

= max f ( x) − f ( x) a ≤ x ≤b

- Polinomio de Taylor - Polinomio de Interpolación

1

Introducción 2

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

2

¿Cómo mejorar la exactitud?

2

1.5

1

0.5

π/4 0.5

π/2 1

1.5

3π/4 2

2

Fórmulas de cuadratura ‰ Dados N ptos. de una curva, y=f(x), (x0,y0),…,(xN,yN), siendo, a≤x1 ≤….. ≤ xN ≤ b, se denomina fórmula de cuadratura a una expr. donde xk son los nodos y wk los pesos. E[f] es el errror de truncamiento. ‰ La mayoría están basadas en la interpolación polinomial. ‰ Fórmulas de Newton-Cotes con nodos equidistante. ‰ Fórmulas de Gauss-Legendre. n

Q[ f ] = ∑ wk f ( xk ) = w1 f ( x1 ) + w2 f ( x2 ) + " + wn f ( xn ) k =1

∫

b

a

f (x)dx = Q[ f ] + E[ f ]

Fórmulas de Newton-Cotes ‰ Dados N ptos. de una curva, y=f(x), (x0,y0),…,(xN,yN), consisten en integrar el polinomio de interpolación, de grado n-1. ‰ Pueden ser:

– Abiertas: los nodos no incluyen a y b. – Cerradas: los nodos sí incluyen a y b. ‰ Fórmulas de Newton-Cotes más utilizadas:

Abierta n=1, Punto medio

∫

⎛ a+b⎞ f (x)dx ≈ (b − a ) f ⎜ ⎟ = h f1 ⎝ 2 ⎠

b

a

∫

b

a

f (x)dx = h f1 +

f ''(c) 3 ⋅h 24

a

b

3

Cerrada n=2, Trapecio

∫

b

a

f (x )dx ≈

∫

b

a

b−a h ( f (a) + f (b) ) = ( f1 + f 2 ) 2 2

f (x)dx =

h h3 ( f1 + f 2 ) − f ′′(c) 2 12

a

b

Cerrada n=3, 1ª Regla de Simpson

∫

b

f (x)dx ≈

a

∫

b

a

⎞ b−a⎛ ⎛ a+b⎞ ⎜ f (a) + 4 f ⎜ ⎟ + f (b) ⎟ = 6 ⎝ 2 ⎝ ⎠ ⎠ h = ( f1 + 4 f 2 + f3 ) 3

f (x)dx =

h h5 ( f1 + 4 f 2 + f3 ) − f 4) (c) 3 90

2

1.5

1

A2

A1

A3

0.5

π/4 0.5

π/2 1

1.5

3π/4 2

π /4 π /4 [ f (0) + f (π / 4)] ; A2 = [ f (π / 4) + f (π / 2)] ; A3 = [ f (π / 2) + f (3π / 4)] 2 2 2 π /4 A= [ f (0) + 2 f (π / 4) + 2 f (π / 2) + f (3π / 4)] 2 A1 =

π /4

4

Fórmulas compuestas ‰ Regla del trapecio compuesta y término de error. T ( f , h) =

h ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 + " + 2 f M − 2 + 2 f M −1 + f M ) 2 ET ( f , h) =

− ( b − a ) f ′′(c) h 2 12

= O(h 2 )

‰ Regla de Simpson compuesta y término de error S ( f , h) =

h ( f 0 + 4 f1 + 2 f 2 + 4 f3 + " + 2 f 2 M −2 + 4 f 2 M −1 + f 2 M ) 3

ES ( f , h ) =

− ( b − a ) f 4) (c ) h 4 = O (h 4 ) con c ∈ ( a, b) 180

5