Integracion De Fracciones Parciales

UNIVERSIDAD LOS ANGELES DE CHIMBOTE Sede Cañete

Integración de Funciones Racionales por Fracciones Parciales

Lic. MUNAYCO SOTO, José Carlos.

Conceptos Previos:

De acuerdo con la definición de una función racional, H es racional cunado H ( x) = P( x) , siendo P(x) y Q(x) polinomios. Q( x)

Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces a la fracción se le llama propia.

x x2 + 4

1 x 2 − 3x + 2

Es impropia cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.

x3 x 2 − 2x + 1

x2 + 2 x 2 + 5x + 6

Cuando se tiene una fracción impropia, podemos dividir el numerador entre denominador hasta obtener una función propia.

x 4 − 10 x 2 + 3x + 1 x2 − 4 De manera que si queremos integrar:

x2 − 6 +

3 x − 23 x2 4

x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 dx 2 ∫ x −4

2 El problema se reduce a integrar: ∫ x − 6 + ∫

3 x − 23 dx 2 x 4

En general, entonces , nos interesa la integración de expresiones de la forma P ( x) , donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). ∫ Q( x) dx Para hacer esto, suele ser necesario escribir P(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales. Los denominadores de tales fracciones se obtienen al factorizar Q(x) como producto de factores lineales y cuadráticos.

Integración por Fracciones Parciales. Consideramos varios casos por separado. Los resultados del algebra avanzada, que no demostramos aquí, nos proporcionan la forma de las fracciones parciales en cada caso: Caso1: Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir:

Q( x) = (a1 x +b1 )(a 2 x +b 2 )...(a n x +b n ) En este caso escribimos:

P( x) A1 A2 An ≡ + + ... + Q( x) a1 x +b1 a2 x +b 2 an x + b n

Ejemplo: Calcular:

dx ∫ x 2 −16

Solución:

En este ejemplo: Q(x) = x2 – 16 = (x – 4) ( x + 4)

1 A B = + x 2 − 16 x + 4 x − 4 En la que bastara determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.

1 A( x − 4) + B( x + 4) x( A + B) + (4 B − 4 A) = = 2 ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) x − 16

Como las expresiones tienen el mismo denominador entonces podemos decir:

0 x + 1 = x( A + B ) + (4 B − 4 A) Donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

A+ B = 0

4B − 4 A = 1 Resolviendo tenemos: A = 1/8 y B = -1/8 Una vez obtenidas nuestras constantes A y B, la sustituimos en la descomposición inicial:

1 1 1 A B 8 − 8 = + = x 2 − 16 x + 4 x − 4 x + 4 x − 4

Quedando finalmente la integración: dx 1/ 8 1/ 8 = dx − ∫ x 2 − 16 ∫ x + 4 ∫ x − 4 dx

1/ 8 1/ 8 1 1 dx − dx = ln/ x + 4 / − ln/ x − 4 / ∫ x+4 ∫ x−4 8 8 Utilizando las propiedades de los logaritmos:

dx 1 x+4 ∫ x 2 − 16 = 8 ln x − 4 + C