Integal Kalkulus

Integral Anti Turunan (Integral Tak Tentu) Kebalikan dari pendiferinsialan (penurunan) disebut sebagai anti pendiferensialan(anti turunan) yang mempunyai banyak pasangan oprasi balikan,contohnya penambahan dan pengurangan,perkaian dan pembagian,pemangkatan dan penarikan akar,serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Definisi Kita sebut f sebagi anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni jika F’(x)=f(x) untuk semua x dalam I.(jika x suatu titik ujung dari I.F’(x)hanya perlu turunan satu sisi).

Integral Tak Tentu adalah Linear Intgral tak tentu adalah sebagai ganti anti turunan.anti penurunan adalahmemgintgralkan dalam lambing – lambing f.f(x)dx.f disebut tanda integral dan f(x) disebut integral.dalam pasal 3,3 bahwa Dxadalah suatau operator linear.ini berarti dua hal  Dx[kf(x)] = kDx f(x)  Dx [f(x) + g(x)] = Dx f(x) – Dxg(x) Dari dua sifat ini,maka sifat katiga akan muncul  Dx [f(x) - g(x)] = Dx f(x) – Dxg(x) Jika anti turunan benar maka benar juga untuk integral tak tentu(anti turuanan)

Teorema (Aturan pangkat yang diperumumkan).Andaikan g suatu fungsi yang dapat didifarensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan – 1 ,maka [ g ( x)]r + 1 + C ∫ [g(x)]r g’(x)dx= r+ 1 Contoh soal Cari a, ∫ (x6+4x)20 (3x2+2)dx dan b, ∫sin20 x cos x dx Jawab a).Andaikan g(x) = x6 + 4x maka g’(x) = 3x2 + 2 ∫(x6+4x)20 (3x2+2)dx = ∫ [g(x)]20 g’(x)cx

[ g ( x )]21 +C 21 ( x 6 + 4 x) = +C 21 =

b),Andaikan g(x) = sin x,maka g’(x) = cos x ∫sin 20 x cos x dx = ∫ [g(x)]20 g’(x) dx [ g ( x)]21 = +C 21 sin 21 x = +C 21 Maka penyelesaianya menjadi u r+ 1 +C r+ 1 r≠ -1

∫u2 dx =

Pengantar untuk Persamaan Difarensial Dalam pasal sebelumnya dalah mengingtegralkan (anti turunan).suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F.Ditulis ∫ f(x)dx = F (x) +C Asalkan F’ (x) = f(x) dalam bahasa difarensial (pasal3,10), F’ (x) = f(x) setara dengan dF’ (x) = f(x)dx sehingga dapat rumus ∫F’ (x) = f(x) + C\ Contoh soal Selesaikan difarensial x = 4x3 dy = y4 dx

Kemudian cari penyelesaian bila mana x = 0 nilai y=7 Jawab y4dx = (x + 4x3)dx ∫y4 dx = ∫(x = 4x3)dx y4 x2 4 +C1 = ∫ +x + C2 4 2 4x 2 4 y = + 4x4 +(4C2 – 4C1) 2 y4=2x2 + 4x4 + C y = 2 2x 2 + 4x 4 + C Dimana y = 7,x = 0 7= 4 C 2401= C Jadi y = 4 2 x 2 + 4 x 4 + 2401 Maka

dy 1 = (2x2 + 4x3 + 2401) (4x + 12x2) dx 4 x = 4x 2 = (2 x 2 + 4 x 3 + 2401) 2 x + 4x3 x + 4x 3 = y4 (2 x 2 + 4 x 3 + 2401) 2