Int 1

Neurčitý a určitý integrál funkce - příklady

1

Neurčitý a určitý integrál funkce 1. PříkladR Vypočtěte metodou 2 a) R x 2cos x dx; b) (x + 2x + 17)ex dx; R 2 c) R x arctg x dx; d) R lnx dx; 2 e) x dx; R sin lnx f) R x2x dx; g) dx; R sin2 x h) R xlnx dx; i) ex cos x dx; R ln2 x √ dx; j) R x k) arcsin x dx; R ln2 x l) dx; R x2 m) R x2 sin(2x) dx; n) R xe−x dx; 3 o) R x cos x dx; p) R arctg x dx; q) dx; √ R cos(lnx) x2 + 1 dx; r) 2. Příklad R a) R b) R c) R d) R e) R f) R g) R h) R i) R j) R k) R l) R m) R n) R o) R p) R q) R r) R s)

per partes: Výsledek: (x2 − 2) sin x + 2x cos x. Výsledek: (x2 + 17)ex ; 3 Výsledek: x3 arctg x − 16 x2 + 16 ln(x2 + 1). Výsledek: x(lnx − 1). Výsledek: 12 (x − sin x cos x). Výsledek: − x1 (lnx + 1). Výsledek: −xcotg x + ln| sin x|. 2 2 Výsledek: x 2lnx − x4 . x Výsledek: e2 (sin x + cos x). √ Výsledek: x(2ln2 x − 8lnx + 16). √ Výsledek: xarcsin x + 1 − x2 . Výsledek: − x1 (ln2 x + 2lnx + 2). 2 Výsledek: − x2 cos(2x) + x2 sin(2x) + 41 cos(2x). Výsledek: e−x (−x − 1). Výsledek: (x3 − 6x) sin x + (3x2 − 6) cos x. Výsledek: xarctg x − 12 ln(x2 + 1). Výsledek: x2 (cos(lnx) + sin(lnx)). √ √ Výsledek: 12 (x x2 + 1 + ln|x + x2 + 1|).

Vhodnou substitucí vypočtěte následující triviální integrály: Výsledek: 13 tg3 x, (substituce: tg x = t). Výsledek: ln|lnx|, (substituce: lnx = t). p Výsledek: 34 3 (arctg x)4 , (substituce: arctg x = t). √ √ √ arctg x dx; Výsledek: xarctg x − x + arctg x, (substituce: x = t2 ). √ √ 1 dx; Výsledek: 12 4x + 9, (substituce: 4x + 9 = t). 4x+9 1 dx; Výsledek: − 13 cotg(3x − 7), (substituce: 3x − 7 = t). sin2 (3x−7) 1 Výsledek: 17 ln|7x − 9|, (substituce: 7x − 9 = t). 7x−9 dx; dx Výsledek: 16 arctg 2x 9+4x2 ; 3 , (substituce: 2x = 3t). x x x e cos(e ) dx; Výsledek: sin(e ), (substituce: ex = t). p sin x √ dx; Výsledek: − 34 3 (1 + 2 cos x)2 , (substituce: 1 + 2 cos x = t). 3 1+2 cos x sin2 x cos4 x dx; 1 dx; xlnx √ 3 arctg x 1+x2√ dx;

1

ex x2x dx; 3 5+3x dx; 3 √x dx; 1−x8 1 1 sin x2 √ x dx; 2x x2 + 1 dx; x+(arctg x)−1 dx; 1+x2 dx dx; x·lnx·ln(lnx) 7

sin x cos x dx; x √2 dxx ; 1+4

1

Výsledek: −e x , (substituce: x1 = t). 1 Výsledek: ln3 ln|5 + 3x |, (substituce: 5 + 3x = t). Výsledek: 14 arcsinx4 , (substituce: x4 = t). Výsledek: cos x1 , (substituce: x1 = t). Výsledek: 23 (x2 + 1)3 , (substituce: x2 + 1 = t2 ). Výsledek: 12 ln(1 + x2 ) + ln|arctg x|, Výsledek: ln|ln(lnx)|, Výsledek: 81 sin8 x, (substituce: sin x = t). √ 1 Výsledek: ln2 ln(2x + 1 + 4x ), (substituce: 2x = t).

3. Příklad Vypočtěte rychle integrály z funkcí racionálně lomených: R 4 2 +x−2 a) R x +6x dx; Výsledek: x − 3ln|x| − 2x1 2 + 5ln|x − 2|. x4 −2x3 5 1 b) Výsledek: − 54 (2x−3) . 3 dx; ¯√ 2 ¯ R (2x−3) 27 dx 27 √ √ ln ¯ 2x − 5¯. c) ; Výsledek: 2x−5 2 R 8x−31 dx; Výsledek: 3ln|x − 2| + 5ln|x − 7|. d) R x2 −9x+14 x dx 1 e) ; Výsledek: 14 ln|x − 1| − 41 ln|x + 1| − 2(x+1) . 2 (x−1)(x+1)

doc. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc.

ÚM FSI VUT v Brně, 27. 11. 2005

Neurčitý a určitý integrál funkce - příklady

f) g) h) i) j) k)

R R R R R R

11x2 −2x−33 dx; x2 −3 4x2 +4x−11 (2x−1)(2x+3)(2x−5) 4−4x 4x2 −4x+1 dx; 6x+6 2x2 +3x dx; 3x4 +x3 −5x+2 x5 −x4 −2x3 dx; 2+2x+x2 −x3 dx; 2−x2

dx;

2

√ √ − ln|x¯ + 3| + 11x. Výsledek: −ln|x ¯ − 3| 3 ¯ (2x−5)3 ¯ Výsledek: 18 ln ¯ (2x−1) ¯. 2x+3 1 Výsledek: −ln|2x − 1| + 2x−1 . 3 2 Výsledek: ln|2x + 3x |. 2 3 2 Výsledek: ln|x(x − 2)3 (x + ¯ √1) | ¯− x + x2 . √ 2 ¯ 2+x ¯ Výsledek: x2 − x + 2ln ¯ √2−x ¯.

4. Příklad zintegrujte: R Pečlivě a) sin5 x dx; Výsledek: R 5 x b) R cos dx; Výsledek: 4 sin x dx ; Výsledek: c) x−7 cos x−7 R 4 sin sin3 x d) dx; Výsledek: 2 R 1+cosdxx e) ; Výsledek: R sindxx cos(2x) f) ; Výsledek: 4x R sinsin 2x dx; Výsledek: g) 1+sin4 x

− cos x + 32 cos3 x − 51 cos5 x, (subs.: cos x = t). − 3 sin1 3 x + sin2 x + sin x, (substituce: sin x = t). 1 x x 4 ln|4tg 2 − 7|, (substituce: tg 2 = t). cos x − 2arctg(cos x), ¯ (substituce: ¯ cos x = t). ¯ 1+√√2 cos x ¯ 1 1−cos x 1 √ 2 ln| 1+cos x | + 2 ln ¯ −1+ 2 cos x ¯, (substituce: cos x = t). − tg1x − 3tg13 x , (substituce tg x = t). arctg(sin2 x), (substituce: sin x = t).

5. Příklad √ Zintegrujte následující iracionální funkce: R 3 3 x √ a) Výsledek: 43 (x 4 − ln|x 4 + 1|), (substituce: x = t4 ). 4 3 dx; x √ ¯√ ¯ R 1+ √ 3 1+x √ dx; b) Výsledek: 2( 3x − x2 + 2 x − 2ln ¯ x + 1¯), (substituce: x = t2 ). 1+ x ¯√ ¯ R ¯ √2x+1−1 ¯ √dx c) ; Výsledek: ln ¯ ¯, (substituce: 2x + 1 = t2 ). 2x+1 2x+1+1 p p p R x2 √ 3 3 (1 − x)10 + 67 3 (1 − x)7 − 43 3 (1 − x)4 , (substituce: 1 − x = t3 ). d) x 3 1√− x dx; Výsledek: − 10 R 2+ x √ √ √ √ √ 12 24 √ √ √ − √ dx; Výsledek: 4 4 x − 6 6 x + 12 12 x + 24ln| 12 x| − 12 − 36ln| 12 x + 1|, e) 6 x( 4 x+ 6 x) x x (substituce: x = t12 ). R 1− √ √ 3 6 x √ dx; Výsledek: 2 x − 65 x 5 , (substituce: x = t6 ). f) x R √ √ √ √ dx√ ; Výsledek: 2 x − 4 4 x + 4ln | 4 x + 1|, (substituce: x = t4 ). g) x R 4 x+ x dx , (substituce: x = sin t). h) Výsledek: √1−x 3 ; 2 (1−x2 ) 2 √ √ R x2 −4 i) x2 − 4 + 2arcsin x2 , (substituce: x = sin2 t ). dx; Výsledek: x 6. Příklad R 1 Vypočtěte následující určité a) xarctg x dx; Výsledek: R0π2 (1−sin2 x) cos x b) dx; Výsledek: π 2 R 62 x dxsin x c) Výsledek: 3 ; 1 2 R 9 (xdx+1) 2 √ ; Výsledek: d) R14 1+ dxx √ ; e) Výsledek: x √ R15 (1+x) x−4 √ ; Výsledek: f) R4π4 1+ x−4 2 g) sin x cos x dx; Výsledek: R08 dx √ ; Výsledek: h) 1+x R35 (2+x) √x−1 dx; i) Výsledek: R2π2 4x−2 sin3 x j) dx; Výsledek: 2 x+1 R0ln3cos ex dx k) Výsledek: e2x −1 ; π Rln2 3 2 2 l) sin x cos x dx; Výsledek: 0

doc. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc.

integrály: π 1 4 − 2 , (per partes). 1 2 , (substituce: sin x = t). − √15 +

√1 , 2

(substituce: x2 + 1 = t2 ).

4 − 2ln2, (substituce:x = t2 ). 2arctg 2 − π2 , (substituce: x = t2 ). −1 + 2ln2, (substituce: x − 4 = t2 ). √ 1 2), (substituce: cos x = t). 12 (4 − 2arctg 3 − 2arctg 2, (substituce: 1 + x = t2 ). √ 3 2 2 ,

(substituce: 4x − 2 = t2 ).

−1 + π2 , (substituce: cos x = t). ¡ 1 ¢ 1 1 x 2 ln 2 − ln 3 , (substituce: e = t). 1 1 3 − 5 , (substituce: cos x = t).

ÚM FSI VUT v Brně, 27. 11. 2005