Inginerie Financiara Ii

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE

INGINERIE FINANCIARA – II Prof. univ. dr. Moisă Altăr - coordonator

© 2002 by Moisă Altar. All rights reserved. Short sections of text, not exceeding two paragraphs may be quoted without permission provided that full credit, including the © notice, is given to the source. © Copyright 2002, Moisă Altar. Toate drepturile asupra acestei lucrări aparţin autorului. Scurte fragmente de text, care nu depăşesc două paragrafe pot fi citate fără permisiunea autorului dar cu menţionarea sursei.

Bucureşti, mai 2003

1. Obligaţiuni zero-cupon - cazul stocastic Prof. univ. dr. Moisă Altăr In prezent, derivativele pe rata dobînzii joacă un rol extrem de important pe piaţa internaţională de capital. Pentru exemplificare menţionăm faptul că, conform statisticilor BIS, din totalul de 142 mii de miliarde dolari cît a reprezentat volumul tranzacţiilor cu derivative în luna decembrie 2002 pe piaţa OTC, peste 101 mii de miliarde dolari (circa 71%) au fost derivative pe rata dobînzii (pe obligaţiuni). Tinînd seama de importanţa problematicii, în continuare se prezintă cîteva elemente privind obligaţiunile zero-cupon. Aceasta va permite identificarea mecanismului de evaluare a acestor instrumente, precum şi o mai bună înţelegere a noţiunii de structură temporală a ratei dobînzii („term structure of interest rate”). Vom utiliza următoarele notaţii:

P(t , T ) - preţul la momentul t al unei obligaţiuni zero – cupon care are scadenţa la momentul T R(t , T ) -

rentabilitatea la scadenţă calculată în momentul t pentru o

obligaţiune zero-cupon cu scadenţă T („the yield to maturity”) f (t , T ) - rata forward instantanee în momentul t pentru o obligaţiune zero-

cupon cu scadenţa T . Avem următoarele formule de calcul pentru rentabilitatea la scadenţă şi rata forward instantanee: P(t , T ) = e − R (t ,T )(T −t )

(1)

de unde rezultă:

R(t , T ) = −

ln P(t , T ) T −t

(2)

Pentru rata forward avem că:

 T  P(t , T ) = exp− ∫ f (t , s )ds   t 

(3)

2

de unde: T

ln P(t , T ) = − ∫ f (t , s )ds

(4)

t

Notînd cu H primitiva lui f , putem scrie: ln P(t , T ) = − H (t , s )| = −(H (t , T ) − H (t , t )) T

(5)

t

Derivînd ambii termeni obţinem: ∂P(t , T ) ∂T = − f (t , T ) P(t , T )

(6)

sau: ∂P(t , T ) f (t , T ) = − ∂T P(t , T )

(7)

Din formulele (2) şi (7) rezultă că: R(t , T ) = −

ln P (t , T ) 1 f (t , s )ds = T −t T − t ∫t T

(8)

Formula (8) arată că rentabilitatea la scadenţă este, în fapt, media ratelor forward pe tot intervalul [t, T ] . In continuare vom presupune că preţul obligaţiunii depinde de rata instantanee a dobînzii, r (t ) , respectiv P = P(t , T , r )

(9)

In ceea ce priveşte rata instantanee a dobînzii, ea este un proces stocastic despre care vom presupune că este descris de următoarea ecuaţie de tip Ito: dr = a(t , r )dt + b(t , r )dz

(10)

3

Aplicînd lema lui Ito obţinem:  ∂P ∂P 1 ∂2P  ∂P + a(t , r ) + b 2 (t , r ) 2 dt + b(t , T ) dz dP =  ∂r 2 ∂r  ∂r  ∂t

(11)

sau:  ∂P 1 2 ∂2P  ∂P dP =  + b (t , r ) 2 dt + dr ∂r  ∂r  ∂t 2

(12)

Pentru uşurinţa scrierii vom introduce următoarea notaţie:

∇=

∂ 1 2 ∂2 + b (t , r ) 2 ∂t 2 ∂r

(13)

Cu această notaţie formula (12) se scrie: dP = ∇P dt +

∂P dr ∂r

(14)

Vom aminti că notaţia ∇P se citeşte: operatorul (funcţia) ∇ aplicat lui P . Notaţia este asemănătoare cu cea din cazul funcţiilor obişnuite

f ( x ) numai că nu a

mai fost pusă paranteza. Pentru deducerea ecuaţiei fundamentale de dinamică a preţului, vom forma un portofoliu de două obligaţiuni cu scadenţe diferite. Vom nota: P1 = P(t , T1 , r ) P2 = P(t , T2 , r )

(15)

Π = P1 − hP2

(16)

Portofoliul este:

unde h este raportul de hedging. Conform ecuaţiei (14) avem: ∂P   ∂P dΠ = (∇P1 − h ∇P2 )dt +  1 − h 2 dr ∂r   ∂r

(17)

4

Pentru a elimina factorul de risc, vom lua:

h=

∂P1 ∂r

∂P2 ∂r

(18)

Tinînd seama că portofoliul a devenit un portofoliu fără risc avem:

  ∂P dΠ =  ∇P1 −  1  ∂r 

 ∂P2   ∇P2 dt = r (P1 − hP2 )dt ∂r  

(19)

In egalitatea de mai sus, grupînd termenii ce se referă la P1 , respectiv P2 obţinem: ∇P1 − r P1 ∇P2 − r P2 = ∂P1 ∂P2 ∂r ∂r

(20)

Se observă că raportul

∇P − r P ∂P

(21)

∂r este constant în raport cu T , respectiv nu depinde de T . Vom nota: ∇P − r P = c(t , r ) ∂P

(22)

∂r Introducem substituţia: c(t , r ) + a(t , r ) b(t , r )

(23)

c(t , r ) = λ(t , r )b(t , r ) − a(t , r )

(24)

λ(t , r ) = respectiv:

Formula (22) devine: ∇P − r P = λ(t , r )b(t , r ) − a (t , r ) ∂P

(25)

∂r de unde: ∂2P ∂P 1 ∂P + [a (t , r ) − λ(t , r )b(t , r )] + b 2 (t , r ) 2 = rP ∂r ∂r 2 ∂t

(26)

5

Relaţia (25) reprezintă formula fundamentală privind dinamica preţului unei obligaţiuni zero-cupon. Ea este analoagă cu ecuaţia Merton-Black-Scholes, dar conţine în plus factorul λ , numit preţul de piaţă al riscului. In literatura de specialitate au fost propuse un număr important de modele de evaluare a obligaţiunilor. Ele diferă în special prin modul în care este definită ecuaţia de dinamică a ratei instantanee a dobînzii. In continuare prezentăm trai astfel de modele, pentru care se precizează modul în care evoluează r (t ) : a) Modelul Vasicek (1976) dr = a(b − r )dt + σdz

(26)

b) Modelul Cox Ingersol Ross (CIR) (1985)

dr = a(b − r )dt + σ r dz

(27)

c) Modelul Merton (1973)

dr = µdt + σdz

(28)

Pentru toate aceste modele, ecuaţia preţului obligaţiunii zero-cupon este de forma:

P(t , T ) = e A(τ )− B (τ ) r (t )

(29)

A(0 ) = 0,

(30)

unde τ = T − t Avem: B (0 ) = 0

Menţionăm că în cazul modelului lui Merton, care este cel mai simplu, avem:

B(τ) = τ A(τ) = −

(31)

1 (µ − σλ ) τ2 + 1 σ2 τ3 2 6

(32)

Deci ecuaţia preţului unei obligaţiuni zero-cupon în acest caz este: 1 1   P(t , T ) = exp− rτ − (µ − σλ ) τ 2 + σ 2 τ3  2 6  

(33)

6

2. Derivative pe mai multe active suport Prep. univ. drd. Ciprian Necula 1. Distribuţia normală bidimensională

′ ′ Vectorul aleator X = ( X 1 , X 2 ) cu medie E [X ] = m = (m1 , m2 ) şi matrice de

 σ2 ′ varianţă-covarianţă E (X − E[X ])(X − E[X ])  = Ω =  1    ρσ1σ 2

ρσ1σ 2   are o distribuţie σ 22 

normală bidimensională notată cu Φ 2 (m, Ω ) dacă are densitatea de repartiţie dată de: f 2 (t1 , t 2 ) =

1  1  ′ ′ exp− (t − m ) Ω −1 (t − m ) unde t = (t1 ,t2 ) 2π det Ω  2 

(1)

Se ştie că dacă X ~ Φ 2 (m, Ω ) atunci avem că: 1) X 1 ~ Φ (m1 , σ1 ), X 2 ~ Φ (m2 , σ 2 ) 2) a1 X 1 + a2 X 2 ~ Φ (a1m1 + a2 m2 , σ ), unde σ 2 = a12σ12 + a22σ 22 + 2ρa1a2σ1σ 2

(2)

Dacă m1 = m2 = 0 şi σ1 = σ 2 = 1 spunem că avem o distribuţie normală bidimensională standard cu coeficient de corelaţie ρ , iar pentru funcţia de repartiţie a x y

acestei distribuţii N 2 ( x, y; ρ ) :=

∫ ∫ f (t , t )dt dt 2

1

2

1

2

există formule de aproximare (vezi

−∞−∞

de exemplu Hull Apendix 11C).

2. Proces Wiener bidimensional z (t ) = ( z1 (t ), z2 (t )) este proces Wiener bidimensional (miscare browniană bidimensională) cu coeficient de corelaţie ρ dacă: 1) z1 (0 ) = z2 (0 ) = 0 2) Variaţia procesului între două momente de timp z (T ) − z (t ) este independentă de informaţiile acumulate pînă la monentul t 0  T − t ρ(T − t )    3) z (T ) − z (t ) ~ Φ 2   ,    0   ρ(T − t ) T − t  

Pentru un interval scurt de timp dt variaţia procesului are următoare distribuţie:   0   dt ρdt    dz (t )    (3) dz (t ) =  1  ~ Φ 2   ,  ( ) dz t ρ dt dt 0    2    Pentru a pune în evidenţă coeficientul de corelaţie ρ se foloseşte notaţia dz1 (t )dz 2 (t ) = ρdt .

7

3.Proces Ito bidimensional şi lema Ito bidimensională Fie x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t )) un proces Ito bidimensional: dx 1 (t ) = a 1 (t , x 1 (t ), x 2 (t ))dt + b1 (t , x 1 (t ), x 2 (t ))dz1 (t ) , unde dz1 (t )dz 2 (t ) = ρdt  dx 2 (t ) = a 2 (t , x 1 (t ), x 2 (t ))dt + b 2 (t , x 1 (t ), x 2 (t ))dz 2 (t )

şi fie o funcţie G : R+ × R 2 → R . Ne interesează variaţia lui bidimensională avem că:

G (t , x1 (t ), x2 (t )) . Conform lemei lui Ito

 ∂G ∂G ∂G 1 2 ∂ 2G 1 2 ∂ 2G ∂ 2G  dt + + a1 + a2 + b1 + + ρ dG =  b b b 2 1 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x12 2 ∂x22 ∂x1∂x2   ∂t (4) ∂G ∂G + b1 dz1 + b2 dz 2 ∂x1 ∂x2 4. Evoluţia cursului a două active dS1 = µ1S1dt + σ1S1dz1 , unde dz1dz 2 = ρdt  dS2 = µ 2S 2 dt + σ 2S2 dz 2

(5)

Exerciţiu Ştiindu-se parametrii modelului precum şi cursul celor două active la momentul actual S1 (t ), S 2 (t ) să se calculeze probabilitatea ca la momentul T să avem că S1 (T ) > S 2 (T ) . Rezolvare Aplicînd lema lui Ito bidimensională pentru funcţiile ln S1 respectiv ln S 2 obţinem că:

  σ12  d ln S1 =  µ1 − (T − t ) + σ1dz1 2     2 d ln S =  µ − σ 2 (T − t ) + σ dz 2 2 2  2 2     

(6)

De aici rezultă că :   σ12  ln S1 (T ) − ln S1 (t ) =  µ1 − (T − t ) + σ1 (z1 (T ) − z1 (t )) 2     2 ln S (T ) − ln S (t ) =  µ − σ 2 (T − t ) + σ ( z (T ) − z (t )) 2 2 2 2 2 2   2   

8

Deci     2 2    ( ) ( ) ( ) ( ) S t − µ − σ T − t T t T t σ − ρσ σ − ln 2  ln S1 (T )  1 1 1 1 1 2       ~ Φ 2   , 2 2   ρσ σ (T − t )   ( ) S T ln ( ) ( ) ( ) S t − µ − σ T − t T t σ − ln 2 2   2  3  1 2  142444422424444 m  

( (

) )

Folosind (2) avem că:

  2 2 2  − ln S1 (T ) − ln S 2 (T ) ~ Φ m1 − m2 , σ T t 424 3  unde σ = σ1 + σ 2 − 2ρσ1σ 2  123 1 144 42444 3 v X  µ  Dar

X −µ ~ Φ(0,1) , deci: v

P(S1 (T ) > S 2 (T )) = P (ln S1 (T ) > ln S 2 (T )) = P( X > 0 ) µ  µ  X −µ = P > −  = 1− N −  v v  v  

(7)

5. Opţiuni curcubeu Opţiunile curcubeu sunt produse financiare al căror payoff la scadenţă (T) depinde de S1 (T ) şi S 2 (T ) . Deci pot fi considerate derivative care au două active suport. Prima la momentul t < T al unui astfel de derivativ va depinde t , S1 (t ), S 2 (t ) . Vom nota această primă cu D (t , S1 , S 2 ) . 5.1 Ecuaţia de evaluare a unei opţiuni curcubeu Vom considera un portofoliu format dintr-o poziţie -1 pe derivativ, h1 pe primul activ suport şi h2 pe cel de al doilea activ suport: Π = − D + h1S1 + h2 S 2

(8)

Variaţia valorii acestui portofoliu este (folosind (4) şi (5)): dΠ = − dD + h1dS1 + h2 dS 2

 ∂D ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D ∂2D  = −  + µ1S1 + µ2 S2 + σ1 S1 + σ2 S2 + ρσ1σ 2 S1S 2 ∂S1 ∂S 2 2 ∂S12 2 ∂S 22 ∂S1∂S 2  ∂t + σ1S1

 ∂D ∂D dz1 + σ 2 S 2 dz2  + h1 (µ1S1dt + σ1S1dz1 ) + h2 (µ 2 S 2 dt + σ 2 S 2 dz2 ) ∂S1 ∂S 2 

9

 dt + 

  ∂D ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D ∂2D = h1µ1S1 + h21µ 2 S 2 −  + µ1S1 + µ2 S2 + σ1 S1 + σ + ρσ σ S S S 2 2 1 2 1 2 ∂S1 ∂S 2 2 ∂S12 2 ∂S 22 ∂S1∂S 2  ∂t    ∂D  ∂D  dz1 + σ 2 S 2  h2 − dz2 + σ1S1  h1 − ∂S1  ∂S 2   

(9)

Pentru ca Π să fie portofoliu fără risc trebuie ca ∂D ∂D h1 = şi h2 = ∂S1 ∂S 2

(10)

Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul fără risc Π să aibă rentabilitatea egală cu rata dobînzii fără risc: dΠ = rΠdt

(11)

Folosind (9),(10) şi (11) avem că:  ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D ∂ 2D   ∂D ∂D   = r  − D + −  + σ1 S1 + σ + ρσ σ S S S S1 + S2  2 2 1 2 1 2 2 2 ∂S1∂S 2   ∂S1 2 ∂S 2 ∂S1 ∂S 2   ∂t 2

De aici rezultă ecuaţia de evaluare pentru o opţiune curcubeu:

∂D ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D ∂2D + rS1 + rS 2 σ1 S1 + σ S + ρσ σ S S = rD 2 2 1 2 1 2 ∂t ∂S1 ∂S 2 2 ∂S12 2 ∂S 22 ∂S1∂S 2

(12)

Ecuaţia (12) este verificată de prima oricărei opţiuni curcubeu. Pentru a afla prima pentru o opţiune anume trebuie pusă şi o condiţie la scadenţă (T) şi anume:

D(T , S1 , S 2 ) = Payoffoptiune

(13)

5.2 Tipuri opţiuni curcubeu 1) Opţiunea de a schimba cele două active (Spread options)

Payoff Spread = max(S1 (T ) − S 2 (T ),0 )

(14)

Prima acestei opţiuni la momentul t < T va fi: Spread (t , S1 , S 2 ) = S1 N (d1 ) − S 2 N (d 2 )

(15)

unde:

d1 =

σ2 (T − t ) 2 σ T −t

ln (S1 S 2 ) +

d 2 = d1 − σ T − t

σ 2 = σ12 + σ 22 − 2ρσ1σ 2

10

  dt + 

Demonstraţie1 Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii spread astfel:

(

)

(

)

(

max S − S , 0 = S 2 max S S − 1, 0 = S H T , S S 1 2 1 2 1 2 2

)

( )

(

unde H T , x := max x − 1, 0

)

Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (12) de forma:

(

)

(

D t, S , S = S H t, S S 1 2 1 2 2

)

Făcînd schimbarea de variabilă x = S S , vom căuta să obţinem o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale 1 2

( )

pentru H t , x (care să semene cu ecuaţia Black-Scholes a cărei soluţie o ştim) . Avem că:

∂D

∂H ∂D ∂H ∂D =S = =H− ; ; 2 ∂t ∂S ∂t ∂x ∂S 1 2

2 S ∂H ∂ 2D S ∂ 2 H ∂ 2D S ∂ 2H 1 ∂ 2H ∂ 2D 1 1 1 = = =− ; ; ; S ∂x ∂S2 S ∂x 2 ∂S2 3 ∂x 2 2 ∂x 2 ∂S ∂S S S 2 2 1 2 1 2 2 2

Inlocuind in ecuaţia (12) derivatele parţiale de mai sus şi folosind schimbarea de variabilă obţinem următoarea ecuaţie

( )

diferenţială cu derivate parţiale pentru H t , x : ∂H ∂t

( )

(

+

)

2 2 2 ∂ H = 0 σ x 2 ∂x 2

1

cu condiţia pe frontireră H T , x := max x − 1, 0 .

Se observă aceasta este ecuaţia Black-Scholes pentru call in care r = 0, K = 1 . Deci

(

)

(

Dar Spread t , S , S = S H t , S S 1 2 1 2 2

)

( )

() ( )

H t , x := xN d − N d 1 2

şi se obţine (15)

2) Opţiunea de a „livra” activul mai scump

Payoff Optmax = max(S1 (T ), S 2 (T ))

= S 2 (T ) + max(S1 (T ) − S 2 (T ),0 ) = S 2 (T ) + Payoff Spread

(16)

Folosind un argument de arbitraj avem că prima acestei opţiuni la momentul t < T va fi: Optmax (t , S1 , S 2 ) = S 2 (t ) + Spread (t , S1 , S 2 ) (17) 3) Opţiunea de a „livra” activul mai ieftin

Payoff Optmin = min(S1 (T ), S 2 (T )) = S1 (T ) + min(S 2 (T ) − S1 (T ),0)

= S1 (T ) − max(S1 (T ) − S 2 (T ),0) = S1 (T ) − Payoff Spread

(18)

Folosind un argument de arbitraj avem că prima acestei opţiuni la momentul t < T va fi: Optmin(t , S1 , S 2 ) = S1 (t ) − Spread (t , S1 , S 2 ) (19)

1

Textul scris cu litere mici nu este obligatoriu pentru examen

11

4) Opţiunea de a „livra” activul mai scump sau o sumă de bani Payoff Optmaxcash = max(S1 (T ), S 2 (T ), K ) Prima acestei opţiuni este dată de:

) [( ) (

(

(20)

)] [ ( ) (

Optmaxcash t , S , S = S N δ − N − d , δ ; ρ + S N δ − N − d , δ ; ρ 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 + Ke

(

−r T −t

)N

(

2 − d1 + σ1 T − t , − d 2 + σ 2 T − t ; ρ

)]

+

)

unde

(

)

ln S1 K + d = 1

2

(T − t )

(

)

δ = 1

σ

2

2

σ

,

d

=

2

(T − t )

ρ

2

)

(

δ

=

ρσ − σ 1 2 σ

,

2

=

σ

2

2 2 2

(T − t )

σ T −t

)

ln S 2 S1 + ,

σ T −t ρσ − σ 2 1

(

σ

ln S 2 K + ,

σ T −t ln S1 S 2 +

ρ = 1

2 σ 1

σ

2

2

(T − t )

σ T −t 2 2 = σ1 + σ 2 − 2ρσ1σ 2

5) Opţiuni call şi put pe maximul a două active

Payoff cmax = max(max(S1 (T ), S 2 (T )) − K ,0 )

Payoff pmax = max(K − max(S1 (T ), S 2 (T )),0 )

(21)

Exerciţiu Să se arate că există următoarele relaţii de paritate: 1) cmax (t , S1 , S 2 ) = Optmaxcash(t , S1 , S 2 ) − Ke − r (T −t )

2) cmax (t , S1 , S 2 ) + Ke − r (T −t ) = pmax (t , S1 , S 2 ) + Optmax(t , S1 , S 2 )

(22)

6) Opţiuni call şi put pe maximul a două active

Payoff cmin = max(min(S1 (T ), S 2 (T )) − K ,0 )

Payoff pmin = max(K − min (S1 (T ), S 2 (T )),0 )

(24)

Exerciţiu Să se arate că există următoarele relaţii de paritate: 1) c max (t , S1 , S2 ) + c min (t , S1 , S2 ) = c BlackScholes (t , S1 , K ) + c BlackScholes (t , S2 , K )

2) cmin (t , S1 , S 2 ) + Ke − r (T −t ) = pmin (t , S1 , S 2 ) + Optmin(t , S1 , S 2 )

(25)

12

5. Quanto

Quanto-urile sunt derivative tranzacţionate într-o ţara (de exemplu SUA) pe un activ suport tranzacţionat într-o altă ţară (de exemplu indicele Nikkei din Japonia). Fiind tranzacţionat în SUA payoff-ul unui quanto este exprimat în USD. Vom nota cu: S - cursul indicelui Nikkei exprimat în JPY Q - cursul valutar USD/JPY (1 JPY = Q USD) r - rata dobînzii în SUA rf - rata dobînzii în Japonia Prima la momentul t < T al unui astfel de derivativ va depinde t , S(t ), Q(t ) . Vom nota această primă cu D(t , S, Q ) . Variaţia în timp a celor doi factori de influenţă este: dS = µ SSdt + σ SSdz S , unde dz S dz Q = ρdt  ( ) = µ − + σ dQ r Qdt Qdz Q f Q Q 

(26)

5.1 Ecuaţia de evaluare a unui quanto Vom considera un portofoliu format dintr-o poziţie -1 pe derivativ, h Q yeni şi h S unităţi din indicele Nikkei. Valoarea portofoliului (exprimată în USD) este:

Π = −D + h Q Q + h SSQ

(27)

Variaţia valorii acestui portofoliu este (folosind (4) şi (26)): dΠ = −dD + h Q dQ + h S d(SQ ) + h Q rf Qdt 1 424 3

dobinda la yeni exprimata in USD

 ∂D ∂ 2 D  ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D ∂D + ρσ σ + σ + σ SS Q SQ dt + + (µ Q − rf )Q + µ SS = −  Q S Q ∂S∂Q  ∂Q 2 ∂S2 2 ∂Q 2 ∂S  ∂t + σ SS

 ∂D ∂D dz Q  + h Q ((µ Q − rf )Qdt + σ Q Qdz Q ) + h Q rf Qdt dz S + σ Q Q ∂Q ∂S 

+ h S [(µ S + µ Q − rf + ρσS σ Q )SQdt + σSSQdz S + σ QSQdz Q ] = [h Q µ Q Q + h S (µ S + µ Q − rf + ρσ S σ Q )SQ −

 ∂D ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D ∂ 2 D  − + µ SS + (µ Q − rf )Q + σ SS Q + σ SQ + ρσ σ  dt Q S Q  ∂t ∂S ∂Q 2 ∂S∂Q  ∂S 2 2 ∂Q 2 

13

 ∂D  ∂D   + σSS h S Q − dz Q dz S + σ Q Q h Q + h SS − ∂Q  ∂S   

(28)

Pentru ca Π să fie portofoliu fără risc trebuie ca 1 ∂D ∂D S ∂D hS = − şi h Q = Q ∂S ∂Q Q ∂S

(29)

Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul fără risc Π să aibă rentabilitatea egală cu rata dobînzii fără risc: dΠ = rΠ dt

(30)

Folosind (28),(29) şi (30) avem că:  ∂D ∂ 2 D  ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D + ρσS σ Q SQ = + σQQ − + (rf − ρσS σ Q )S − rf Q + σ SS 2 2  ∂t ∂S∂Q  ∂S ∂Q 2 2 ∂Q ∂S   ∂D  = r − D + Q  ∂Q  

De aici rezultă ecuaţia de evaluare pentru un quanto: ∂2D ∂D ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D 1 2 2 ∂ 2 D + ρσ σ SQ = rD (31) + σ Q + (rf − ρσ S σ Q )S + (r − rf )Q + σ SS Q S Q ∂S∂Q ∂t ∂S ∂Q 2 ∂Q 2 ∂S 2 2

Ecuaţia (31) este verificată de prima oricărui quanto. Pentru a afla prima pentru o opţiune anume trebuie pusă şi o condiţie la scadenţă (T): D(T, S, Q ) = Payoff optiune

(32)

5.2 Tipuri de quanto 1) Opţiuni quanto cu pretul de exerciţiu (K) fixat în JPY Payoff-ul în SUA va fi: PayoffQuantocall = max(S(T )Q(T ) − KQ(T ),0) = Q(T ) max(S(T ) − K,0) Payoff Quantoput = max(KQ(T ) − S(T )Q(T ),0 ) = Q(T ) max(K − S(T ),0 )

(33)

Prima opţiunii call la momentul t < T va fi:

(

)

Quantocall(t , S, Q ) = Q SN(d1 ) − Ke − rf (T − t ) N(d 2 )

(34)

unde: 2  σ  ln(S K ) +  rf + S (T − t ) 2   d1 = σS T − t

d 2 = d1 − σ S T − t

14

Deci în cazul în care preţul de exerciţiu este fixat în JPY (şi deci este variabil în USD) prima call pe piaţa americană va fi egală cu prima call de pe piaţa japoneză (rata dobînzii din Japonia este rf ) transformată în USD. Demonstraţie Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii call astfel:

(

)

( )

Q max S − K , 0 = QH T , S

( )

(

unde H T , S := max S − K , 0

)

Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (31) de forma:

(

)

( )

D t , S, Q = QH t , S

( )

Vom căuta să obţinem o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale pentru H t , S . Avem că: ∂D ∂t

=Q

∂H ∂D ∂H ∂D ∂ 2D ∂ 2 H ∂ 2D ∂ 2D ∂H =Q = H; =Q ; ; ; = 0; = ∂t ∂S ∂S ∂Q S Q 2 2 2 ∂ ∂ ∂S ∂S ∂S ∂Q

Inlocuind in ecuaţia (31) derivatele parţiale de mai sus obţinem următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale

( )

pentru H t , S : ∂H 1 2 2 ∂ 2H +r S + σ S =r H f ∂S 2 S f ∂t ∂x 2

∂H

( )

(

)

cu condiţia pe frontireră H T , S := max S − K , 0 . Dar această ecuaţie este chiar ecuaţia Black-Scholes pentru un call pe indicele Nikkei evaluat pe piată japoneză (rata dobînzii din Japonia fiind rf )

Exerciţiu Să se deducă o relaţie de paritate între opţiunile quanto de tip cll şi de tip put cu preţul de exerciţiu fixat în JPY. 2) Opţiuni quanto cu pretul de exerciţiu (K) fixat în USD Payoff-ul în SUA va fi: PayoffQuantocall = max(S(T )Q(T ) − K,0 ) PayoffQuantoput = max(K − S(T )Q(T ),0 )

(35)

Prima opţiunii call la momentul t < T va fi: Quantocall(t , S, Q ) = SQN(d1 ) − Ke − r (T − t ) N(d 2 )

(36)

unde:  σ2  ln (SQ K ) +  r + (T − t ) 2   d1 = σ T−t

d 2 = d1 − σ T − t

σ 2 = σ S2 + σ Q2 + 2ρσ S σ Q

15

Demonstraţie Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii call astfel:

(

)

(

max SQ − K , 0 = H T , SQ

)

( )

(

unde H T , x := max x − K , 0

)

Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (31) de forma:

(

)

(

D t , S, Q = H t , SQ

)

Facem schimbarea de variabilă x = SQ . Vom căuta să obţinem o ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale pentru. Avem că:

∂D ∂t

=

2 2 2 2 ∂H ∂D ∂H ∂D ∂H ∂ 2D ∂ 2H ∂H 2 ∂ H ∂ D 2 ∂ H ∂ D =Q =S =Q =S = SQ ; ; ; ; ; + ∂t ∂S ∂x ∂Q ∂x ∂S2 ∂x ∂x 2 ∂Q 2 ∂x 2 ∂S∂Q ∂x 2

Inlocuind in ecuaţia (31) derivatele parţiale de mai sus şi folosind schimbarea de variabilă obţinem următoarea ecuaţie

( )

diferenţială cu derivate parţiale pentru H t , x :

∂H ∂t

( )

+rx

(

)

( )

()

∂H ∂x

+

2 2 2 ∂ H σ x = rH 2 ∂x 2

1

cu condiţia pe frontireră H T , x := max x − K , 0 . Deci

H t , x = xN d − Ke 1

(

−r T−t

)N (d

2

)

Exerciţiu Să se deducă o relaţie de paritate între opţiunile quanto de tip call şi de tip put cu preţul de exerciţiu fixat în USD.

16