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ANÁLISIS DE LA DRIFACCIÓN DE DIFERENTES PUPILAS UTILIZANDO LAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Recordando que la difracción hace referencia a la modificación de alguno de los parámetros de una onda cualquiera (amplitud o fase), y tomando en cuenta el principio de Huygens , en HETCH se llegó a la expresión del campo difractado por una abertura apertura lejanas a la abertura (difracción de fraunhofer).

Ecuacion1 (10.41)

Esta expresión posee tremenda similitud con la transformada de Fourier que se define como Ecuación 2 (transformada de Fourier bidimensional) A partir de ciertas consideraciones se obtiene que el campo difractado se puede expresar a partir de la transfromada de Fourier multiplicada por un factor, el cual corresponde a un filtro de fase, y ya que en óptica nos interesa la intensidad en la pantalla de visualización, este factor puede ser obviado a la hora de realizar los cálculos numéricos para la visualización del patrón de difracción. La expresión general entonces para la difracción de fraunhofer para una pupila será entonces: Ecuación u(r)PAGINA103 Ya que se va a obviar el factor extra, se concluye que la difracción de fraunhorfer en la pantalla de observación va ser simplemente la transformada de Fourier bidimensional.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA PUPILA RECTANGULAR Se tiene la pupila de la Ilustración 1 , al realizar la transformada de Fourier numérica de esta pupila se obtiene la ecuación.

Ilustración 1

Ecuación pupila rectangular sinc()*sinc(), al hallar la densidad espectral se observa el patrón de difracción de la figura

Densidad espectral de pupila rectangular de la figura1 Ahora se verifica la propieda de la invarianza a la rotación de la transformación de Fourier , y se observa que al calcular la transformada de la pupila de la figura 1 rotada un ángulo theta se obtiene lo observado en la figura acontinuación

TRANFORMADA DE PUPILA CIRCULAR Se tiene la pupila de la figura a continuación, donde en este caso es una pupila circular, en hetch se obtiene el resultado del campo difractado , (Ecuación 10.51)

La función J1 corresponde a una función de bessel de primera especie, esta función se puede observar en la figura D

Debido a la simetría angular , la función de la figura anterior, representará uno de los perfiles obtenidos en el espectro , esto se puede evidenciar mas claramente en la figura acontinuación

Hay que se necesita la intensidad, entonces se tiene que la densidad espectral será Ecuación 10.56 Por lo tanto el patrón de difracción obtenido será el de la figura

Notese que hay una región luminosa en forma de disco , este disco recibe el nombre de disco de airy en honor a joerge bidddel airy (1801-1892) y la característica de este disco es que el 84% de la irradiancia total se encuentra allí, y la suma de las irradiancias del disco de airy y el primer anillo luminoso suman el 91% de la irradiancia total referencia (con página) En este caso la propiedad de simetría no se evidencia ya que está implícita en la geometría circular.

TRANSFORMADA DE PUPILAS COMPUESTAS Se tiene la siguiente pupila con su respectiva densidad espectral.

En este caso no se tiene una expresión para simbolizar la imagen obtenida, pero se puede explotar la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier. Es decir, puedo descomponer la pupilas en la suma de dos pupilas diferentes , estas se pueden observar en la figura a continuación, con su respectiva densidad espectral

Teniendo en cuenta que los espacios en negro corresponden al valor máximo (1) y los espacios en blanco corresponden al valor mínimo (o), al realizar la transformada de Fourier de cada de una de estas y luego sumar sus espectros, se obtiene la transformada de Fourier de la pupila original.

Un método para corroborar esto( aparte del “ojímetro”), será simplemente la resta de las dos densidades espectrales obtenidas y el resultado debe ser cero, otra forma, es hallar la razón entre ambas y esta debe ser 1 naturalmente(H+M). El objetivo de explotar la propiedad de linealidad era poder hallar una expresión conocida para esta pupila compuesta , a partir de conocer la transformada de Fourier de pupilas conocidas, en este caso, cada una de la transformadas de Fourier corresponden a dos funciones de la forma ecuacion10.51, pero cada una con un radio de airy diferente el cual está relacionado con la longitud de onda de la onda incidente de la siguiente manera Ecuación 10.57 , (R Distancia a la pantalla, lambda, longitud de onda, a radio de la pupila) Esta ecuación surge a partir de hallar el primer cero de la función de bessel de primera especie J1(u)=0, cuando u =3.83

Otra de forma de hallar la expresión de la transformada de la pupila compuesta es explotando la propiedad de convolución en la frecuencia , por medio del producto de dos pupilas en el dominio del objeto, para esto , se tienen las mismas pupilas de la figura , pero ahora se niegan los valores de intensidad (negro tendrá valor de 0 y el blanco valor de uno) Al hacer la respectiva convolución se obtiene el mismo resultado, que el obtenido mediante la propiedad de linealidad, en este caso el resultado será la convolución de dos funciones de besell en el dominio de la frecuencia que ya es un poco más tedioso de realizar. Esto mismo se hace para pupilas rectangulares compuestas obteniendo los siguientes resultados

Se obtiene esto apartir de la suma de las siguientes pupilas FIGURA DE PUPILAS RECTANGULAREES PARA FORMAR LA COMPUESTA

Conclusiones Se púdo verificar el patrón de difracción para pupilas con diferentes geometrías, por medio de la transformada de Fourier y su implementación en un programa de cálculo numérico donde se realizó por medio de la FFT (fast Fourier transform). Se corroboraron las propiedades de linealidad , de convoluvcion y de invarianza a la rotación de la transformadad de Fourier. Se hallaron resultados de las transformadas de pupilas compuestas a partir de la transformada de pupilas conocidas(esto se evidenció en la sección de pupilas compuestas particularmente pupila en forma de anillo Se verífó analíticamente que la transformada de Fourier de una pupila circular posee el 91%de su irradiancia en el disco de airy y su primer anillo luminoso, donde el radio de airy depende de lllllll