Informe_control_digital.docx

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-LATACUNGA ASIGNATURA:

Control Digital

NOMBRE:

Fernando Recalde

Mecatrónica

CARRERA: NIVEL:

Séptimo

NRC:

2328

“A” FECHA: 1. TEMA:

21/11/2018

SINTONIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE GANANCIA KP, KI y KD DE UN CONTROLADOR PID DISCRETO.

2. OBJETIVO GENERAL: 

Establecer los valores adecuados para un controlador PID mediante métodos de sintonización que permitan el óptimo funcionamiento del mismo al crear perturbaciones.

3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Desarrollar el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema que se desea controlar.



Analizar el controlador y la planta en tiempo discreto mediante el uso de la transformada Z con retenedores para su implementación digital.



Construir el sistema con el controlador teniendo en cuenta la utilización de la electrónica digital.



Sintonizar el controlador para un set-point indicado previamente, utilizando métodos ya establecidos.

4. MARCO TEÓRICO: Control digital Un control digital es una unidad digital pequeña que actúa como un sistema de control. Dependiendo del requerimiento del controlador, el control digital puede tomar la forma de un computador de escritorio o puede ser tan pequeño como un micro control. En los controles digitales la transformada de Laplace se reemplaza con la transformada Z donde una señal de tiempo discreta en la forma de una secuencia de números complejos o reales es convertida en una representación de dominio de frecuencia compleja. PID Es un control de tipo proporcional-integral-derivativo cuando la salida del controlador 𝑣(𝑡) es proporcional al error 𝑒(𝑡), sumado a una cantidad proporcional a la integral del error 𝑒(𝑡) mas una cantidad proporcional a la derivada del error 𝑒(𝑡). (Ogata) 𝑣(𝑡) = 𝑘𝑝 𝑒(𝑡) +

𝐾𝑝 𝑑𝑒(𝑡) ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝑇𝑖 𝑑𝑡

Los efectos que causa en la planta el control PID es: -

El amortiguamiento se incrementa

-

El máximo pico de sobreimpulso se reduce

-

El tiempo de elevación experimenta pequeños cambios

-

Se mejoran el margen de ganancia

CRITERIO DE ZIEGLER-NICHOLS (MÉTODO DE LA GANANCIA MÁXIMA) Primero se incrementa la ganancia del control proporcional Kp hasta que la salida del sistema se comporte como una oscilación sostenida, lo que equivale a un comportamiento marginalmente estable. La forma de onda libre oscilatoria es de interés tanto en la ganancia con la que el sistema presenta dicha oscilación, denominada ganancia máxima Ku, como con el periodo de la oscilación, denominado periodo máximo Pu. En el caso de que el sistema original contenga un controlador con acción integral y derivativa, se procede a cancelar ambas acciones haciendo Ti = ∞ y Td = 0. Una vez que se ha calculado Ti y Td, el controlador queda sintonizado. Si el sistema es incapaz de alcanzar el estado de libre oscilación con incrementos de ganancia, el método de Ziegler-Nichols no se puede aplicar. (Ricardo, 2010) Al sustituir s por jw, en la ecuación característica de la función de transferencia de lazo cerrado T(s), es posible determinar Ku y la frecuencia fu en la cual el LGR cruza con el eje jw; el periodo Pu se obtiene mediante 𝑃𝑢 = 2𝜋 𝜔

. Una vez que se han determinado la ganancia máxima Ku y el periodo máximo Pu, los valores de Kc, Ti y Td

pueden cuantifi carse al aplicar la referencia que se muestra en la tabla 1 para sintonizar los diferentes tipos de controladores. En este punto, cabe mencionar que con el método de Ziegler-Nichols de la ganancia máxima no es posible ajustar al control proporcional-derivativo. Tabla 1 Sintonizacion de controladores mediante el método de Ziegles-Nichols (método de la ganancia máxima)

Tipo de

Gc(s)

Kp

𝐾𝑝

0.5 𝐾𝑢

Ti

Td

𝑃𝑢 1.2 𝑃𝑢 2

𝑃𝑢 8

controlador P PI PID

𝐾𝑝 (1 + 1

1 ) 𝑇𝑖𝑠

𝐾𝑝 (1 + 𝑇𝑖𝑠 + 𝑇𝑑𝑠)

0.45 𝐾𝑢 0.6 𝐾𝑢

Motor con encoder Los encoders son componentes que se añaden a un motor de corriente continua para convertir el movimiento mecánico en pulsos digitales que puedan ser interpretados por el sistema de electrónica de control integrado. El principal objetivo de los distintos tipos de encoders es el de transformar información de un formato a otro, con el propósito de estandarización, adecuación de la velocidad o control de la seguridad. Los motores DC tienen un complejo control de posición y de la velocidad, su comportamiento es no lineal y depende mucho de la carga que soportan; por este motivo necesitan de la aplicación de un encoder (que puede estar integrado o no) que permita conocer y asegurar la correcta posición del eje. Poniendo énfasis en su composición, un encoder se compone de un disco conectado a un eje giratorio. El disco puede estar fabricado de vidrio o plástico, y se codifica combinando zonas transparentes y opacas que bloquean el paso de la luz. A continuación, y entrando ya en su funcionamiento, podemos decir que, con la rotación del eje, la fuente emisora infrarroja emite una luz que es interpretada por el sensor óptico (o foto-transistor) que a su vez genera los pulsos digitales, según la luz atraviesa el disco o es bloqueada por las zonas opacas.

Figura 1 Motor con encoder Fuente: Aliexpress

5. MATERIALES UTILIZADOS:

Material

Motor con encoder (DC 12V 140 RPM i45)

Arduino UNO

Gráfico

Cables de Arduino

Protoboard

PUENTE H L298N

IMAN DE NEODIMIO

6. PROCEDIMIENTO:

1. Elegir el tipo de planta que se utilizará en la implementación del controlador Se procede a realizar el control de la velocidad de un motor DC en el cual la perturbación es colocada sobre la medición de campo magnético mediante un imán de neodimio. 2. Se procede a modelar de forma matemática el sistema elegido 3. Realizar el diagrama de bloque correspondiente a la función de transferencia teniendo en cuenta el lazo cerrado, la entrada de perturbación y el controlador.

Donde: El sensor permite una retroalimentación unitaria, debido a que las mediciones realizadas por el sensor no son modificadas. 4. En base al diagrama de bloques en continuo desarrollar el controlador en tiempo discreto para su posterior implementación. 5. Elaborar en un diagrama de bloques del sistema de control digital y relacionar con los componentes necesarios para la implementación del mismo.

El diagrama de bloques del sistema con un control digital es una generalización para controladores de este tipo, sin embargo al momento de realizar la implementación se debe tener en cuenta que para controlar variables del mundo real el mismo funciona de manera analógica, para lo cual se deberá agregar una etapa de conversión analógica a digital (ADC) para el procesamiento digital en el controlador y una etapa de digital a analógica (DAC) para que la señal sea capaza de realizar el control sobre la planta. De esta manera el diagrama queda de la siguiente manera:

Para el sensor se utilizara un encoder que permita detectar las RPM del motor en tiempo real.

La conversión de ADC, el set-point, la determinación del error, así como el controlador PID(Z) pueden ser incorporados gracias a la ayuda de una tarjeta Arduino la cual posee una librería propia de PID en la cual ya únicamente se establecerá el set-point, las ganancias Kp, Ki y Kd además del tiempo de muestreo. La señal de control se puede obtener desde el propio controlador gracias al PWM la cual se dirige a una etapa de potencia (DAC) y posteriormente a la planta que en este caso es un motor.

6. ACTIVIDADES POR DESARROLLAR: 1. Investigar e identificar las características técnicas del motor utilizado en la práctica: Parámetro Valor 𝑉𝑎 12 𝑅𝑚 8.3 𝐿𝑚 0.00151 𝐽𝑚 0.0307 𝐵𝑚 1.4 ∗ 10−5 𝐾𝑚 0.067 𝐾𝑏 0.086 2. Realizar el módelo matemático de la planta

Unidades 𝑉 Ω 𝐻

Modelo matemático Motor DC El motor de corriente directa de imanes permanentes es ampliamente utilizado debido a su desempeño, pues es fácil controlar su velocidad y su posición, este dispositivo tiene características mecánicas y eléctricas que requieren del uso de ecuaciones diferenciales para poder ser modelado. Se inicia con el modelo de circuito eléctrico-mecánico mostrado en la Figura 1.

Figura 2: Circuito eléctrico-mecánico

Si se aplica el análisis de mallas a la parte eléctrica del diagrama de la Figura 1 se cumple la ecuación Ec.1. 𝑢𝑚 (𝑡) = 𝑅𝑚 𝑖(𝑡) + 𝐿𝑚

𝑑𝑖(𝑡) + 𝑒𝑏 𝑑𝑡

Donde 𝑢𝑚 (𝑡) representa la tensión de entrada al motor, i(t) la corriente eléctrica del motor, 𝑒𝑏 (𝑡) la fuerza contra electromotriz, 𝑅𝑚 la resistencia terminal y 𝐿𝑚 la inductancia del rotor. La ecuación mecánica del motor se obtiene al realizar el análisis rotacional de la parte mecánica del sistema representado en la figura 2.

Figura 2: Sistema mecánico rotacional

𝜏𝑚 (𝑡) = 𝐽𝑚 𝜃̈𝑚 (𝑡) + 𝜏𝑙 (𝑡) + 𝜏𝑓 (𝑡) Donde 𝜏𝑚 (𝑡) representa el par motor, 𝜃̈𝑚 (𝑡) la aceleración angular del motor, 𝐽𝑚 la inercia del rotor, 𝜏𝑙 (𝑡) el par de la carga visto desde el eje del motor y 𝜏𝑓 (𝑡)el par de fricción. La ecuación mecánica también se puede representar de la forma, considerando que el par de fricción es proporcional a la velocidad angular del eje del motor. 𝜏𝑚 (𝑡) = 𝐽𝑚 𝜃̈𝑚 (𝑡) + 𝐵𝑚 𝜃̇𝑚 (𝑡) + 𝜏𝑐 (𝑡) Donde 𝜃̇𝑚 (𝑡) es la velocidad angular del motor, 𝐵𝑚 𝜃̇𝑚 (𝑡) el par de fricción viscosa con 𝐵𝑚 la constante de fricción viscosa, y 𝜏𝑐 (𝑡) el par que incorpora la carga y la fricción, a excepción del par de fricción viscosa. Considerando al modelo de la carga de un único grado de libertad, podemos obtener la ecuación mecánica de la forma 𝜏𝑚 (𝑡) = 𝐽𝑒𝑓𝑓 𝜃̈𝑚 (𝑡) + 𝐵𝑚 𝜃̇𝑚 (𝑡) + 𝜏𝑐 ′(𝑡) Donde 𝜏𝑐 ′(𝑡) representa el par que incorpora la carga y la fricción, a excepción del par de fricción viscosa, y de la inercia de la carga, y 𝐽𝑒𝑓𝑓 es el momento de inercia eficaz, cuya expresión es la siguiente: 𝑟 2 𝐽𝐿 𝜂 Siendo 𝑟 ∈ [0, 1] el factor de reducción de la reductora y 𝜂 el rendimiento mecánico de la reductora. En lo que sigue consideraremos un motor DC que satisface las siguientes relaciones de acoplo electromecánico: 𝐽𝑒𝑓𝑓 = 𝐽𝑚 +

𝑒𝑏 = 𝐾𝑏 𝜃̇𝑚 (𝑡) 𝜏𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑚 𝑖(𝑡) Donde kb y km son constantes del motor, constante de la fuerza contra electromotriz y constante de par respectivamente. Cuando se expresan en unidades del mismo sistema de unidades 𝑘𝑏 = 𝑘𝑚 . Con estas ecuaciones y relaciones pueden obtenerse diversas funciones de transferencia del motor sin carga. Para ello consideraremos las ecuaciones que solo incorporen la fricción viscosa. 𝑑𝑖(𝑡) + 𝐾𝑏 𝜃̇𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 𝐾𝑚 𝑖(𝑡) = 𝐽𝑚 𝜃̈𝑚 (𝑡) + 𝐵𝑚 𝜃̇𝑚 (𝑡)

𝑢𝑚 (𝑡) = 𝑅𝑚 𝑖(𝑡) + 𝐿𝑚

Las más importantes son las que relacionan la velocidad angular 𝜃̇𝑚 (𝑡), la posición angular 𝜃𝑚 (𝑡) y la corriente eléctrica 𝑖(𝑡) con la tensión de entrada 𝑢𝑚 (𝑡). Las escribiremos como 𝐺𝜃̇𝑚 (𝑠), 𝐺𝜃𝑚 (𝑠) y 𝐺𝐼 (𝑠) respectivamente.

Puesto que 𝜃̇𝑚 (𝑡) =

𝑑𝜃𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡

se cumple, bajo condiciones iniciales nulas, que 𝐺𝜃̇𝑚 (𝑠) = 𝑠𝐺𝜃𝑚 (𝑠)

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones del motor bajo condiciones iniciales nulas, y eliminando la variable de la corriente eléctrica 𝐼(𝑠) se obtiene la función de transferencia del motor: 𝐺𝜃̇𝑚 (𝑠) =

𝐾𝑚 (𝐽𝑚 𝑠 + 𝐵𝑚 )(𝐿𝑚 𝑠 + 𝑅𝑚 ) + 𝐾𝑏 𝐾𝑚

Para la obtención de los parámetros del motor real que se está empleando para el control PID, es necesario conocer la placa de datos del motor mostrada en el paso 1 y materiales para realizar pruebas en las cuales se obtendrán los valores de las constantes requeridas de manera experimental. El motor que se va a emplear para la práctica tiene las siguientes características: Parámetro 𝑉𝑎 𝑅𝑚 𝐿𝑚 𝐽𝑚 𝐵𝑚 𝐾𝑚 𝐾𝑏

Valor 12 8.3 0.00151 0.0307 1.4 ∗ 10−5 0.067 0.086

Unidades 𝑉 Ω 𝐻

Reemplazando los valores en la función de transferencia obtenida, se tiene la siguiente ecuación. 𝟎. 𝟎𝟔𝟕 𝑮𝜽̇𝒎 (𝒔) = −𝟔 𝟐 𝟒. 𝟔𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎 𝑺 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟒𝟖𝑺 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟖𝟕𝟖 Para digitalizar aplicamos tranformada z y retendor ZOH 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )𝑍 {

S(4.636 ∗ =

S(4.636 ∗ 10 S + 0.02548S + 0.005878)

10−6 S 2 −6 2

4.636 ∗ 10 S + 0.02548S + 0.005878

+

5.284𝑥10−5 𝑆 + 0.29 −6 2

4.636 ∗ 10 S + 0.02548S + 0.005878

𝑧 {−

𝐶 𝑆 +

5.284𝑥10−5 𝑆 + 0.29 −6 2

}

0.067 = + 0.02548S + 0.005878)

𝐴𝑆 + 𝐵

=−

=

0.067 −6 2

4.636 ∗ 10 S + 0.02548S + 0.005878

11.3984 𝑆

+

11.3984 }= 𝑆

11.3984𝑧 1 5.284𝑥10−5 (𝑧 2 − 𝑧𝑒 −274.8058 cos(274.7827) + 1.58(𝑧𝑒 −274.8058 𝑠𝑒𝑛(274.7827) − [ ] −6 𝑧−1 4.636𝑥10 𝑧 2 − 2𝑧𝑒 −274.8058 cos(274.782) + 𝑒 −549.61

𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 ) ∗ 11.3984𝑧 1 5.284𝑥10−5 (𝑧 2 − 𝑧𝑒 −274.8058 cos(274.7827) + 1.58(𝑧𝑒 −274.8058 𝑠𝑒𝑛(274.7827) { − [ ]} 𝑧−1 4.636𝑥10−6 𝑧 2 − 2𝑧𝑒 −274.8058 cos(274.782) + 𝑒 −549.61

𝐺(𝑧) =

3.

0.2595𝑧 + 0.0004676 𝑧 2 − 0.9772𝑧 − 1.085 ∗ 10^(−16)

Diseñar e implementar un circuito de etapa de potencia para el control del motor mediante la salida PWM de Arduino.

4. Teniendo en cuenta los requerimientos necesarios de la planta (set-point, tiempo de asentamiento, pico de sobre-impulso) determinar los valores de ganancia que deben ser ingresados en Arduino para el óptimo funcionamiento (Se recomienda utilizar el método de Ganancia Critica con la ayuda de simuladores). 5. Medición de la perturbación Para poder analizar un control de forma medible y real, se le implantó un imán de neodimio el cual genera una perturbación en el motor, ya que influye en el comportamiento de la relación entre motor y estator del motor, experimentalmente se tomaron valores del campo magnético producido por el imán medidos con una aplicación del celular, los valores medidos en base a la distancia perpendicular en un punto específico fueron los siguientes.

D [cm]

EMF [µT] 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30

La gráfica de esta variación fue la siguiente:

3300 2500 1750 760 450 330 165 130 75 52 40 32 29

EMF VS DISTANCIA

3500 3000

EMF

2500

2000 1500 1000 500 0 0

5

10

15

D

20

25

30

35

En base a estos valores experimentalmente se observó que las rpm del motor bajaron a medida que el imán se encontraba en una distancia más cercana. Haciendo una relación no lineal entre rpm y distancia en la que se encontraba el imán.

7. ANÁLISIS DE RESULTADOS:

Diseño Controlador PID. Limitaciones de la planta Se debe tener en cuenta las limitaciones que experimenta la planta a momento de realizar el control, siendo estas de 40 rpm lo más bajo que puede girar el motor debido a que si se colocara un valor menor a este en su set point, el motor no tiene la fuerza suficiente para vencer la inercia y comenzar su operación, así mismo puede tener solo un máximo de 80 rpm ya que debido a que el control se realiza en el ancho de pulso para poder lograr el voltaje de entrada, un valor superior a este no podría ser accesible debido a que alcanza su máximo pulso y no generaría más voltaje de entrada.

PARTE TEÓRICA Set point: Constantes del controlador según el método de sintonización utilizado, mediante la observación de la gráfica en el software simulink a partir de la función de transferencia encontrada analíticamente Cálculos:

Controlador PID

PARTE SIMULACIÓN

Kp

Ti

Td

Constantes encontradas experimentalmente en el software simulink, en base a la función de transferencia analizada.

Controlador

Kp

Ti

Td

PID

PARTE TIEMPO REAL Constantes encontradas en base a la toma de datos en tiempo real y variación del controlador PID ya implementada en la planta

Controlador

Kp

Ti

PID

Gráficas A continuación se presenta las gráficas en los tres casos analizados

Td

8. CONCLUSIONES:

9. RECOMENDACIONES

10. ANEXOS

Figura 4. Implementación de la planta Fuente: Daniela Bastidas

11. BIBLIOGRAFÍA

Ogata, K. (s.f.). Sistemas de Control en Tiempo Discreto (Segunda Edición ed.). Prentice Hall. Ricardo, H. G. (2010). Introducción a los sitemas de control : Conceptos, aplicaciones y simulación en Matlab (Primera Edición ed.). Mexico: Pearson education.