Informe Unidad Iii

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL UNEFA ASIGNATURA: PARALELO DE MATEMATICA 1

PROFESORA: IRIS SANCHEZ

INTEGRANTES: JENNIFER VALDIVIESO C. I: 19 711 926 YOLIANDER CANO C. I: 19 885 326 BELISARIO ISAMAR C. I: 19 961 273

INGENIERIA DE SISTEMAS SECCIÓN: CBD05

CARACAS, 25 DE JUNIO DE 2009

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

3.1 Regla de L`HOPITAL. Teorema de Rolle y de LaGrange. 3.2 Definir máximos y mínimos (absolutos y relativos). Criterio de la primera y segunda derivada para determinar valores máximos y mínimos relativos. 3.3 Trazados de curvas, aplicando los criterios de la primera y segunda derivada determinando, monotonía, concavidad y valores extremos de una función de una variable real. Problemas de optimización, tangencia, razón de cambio instantánea, velocidad y rapidez entre otros.

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Regla de l'Hôpital

En cálculo (matemática),

la regla

de

l'Hôpital es

utilizada

para

determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x)y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 -1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo . Teorema -Sea que f y g estén definidas en [a, b] -Sea f(a)=g(a)=0 y sea g(x) distinta de 0 para a<x
Demostración Puesto que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x
y sabemos que f y g son diferenciables en a por lo tanto

Ejemplo La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; ósea sean las funciones originales f(x)/g(x) al aplicar la regla se tendrá: f' (x)/g'(x).

Aplicación sencilla

Aplicación consecutiva Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

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Teorema de rolle

El teorema de Rolle dice lo siguiente: Si: 

es una función continua definida en un intervalo cerrado



es derivable sobre el intervalo abierto

 Entonces:

existe .

un

número

perteneciente

al

intervalo

tal

que

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c. Prueba  Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.  La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.  Si m = M, la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo (corresponde al primer ejemplo).  Sea c en (a, b) tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es no negativo cuando x < c (porque su numerador es siempre no negativo y su denominador es positivo no nulo), y es no positivo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c-) positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f '(c) = 0.

La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a, b). •

Teorema de LaGrange

El Teorema de LaGrange, teorema del valor medio o de los incrementos finitos dice que si es una función real de variable real, continúa en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b), entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto(a, b) que cumple que:

Demostración El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

Como queríamos demostrar.

Forma Integral del Teorema del Valor Medio

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Máximos y mínimos en una función

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.

Máximos y Mínimos absolutos. ✔ Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

✔ Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x=b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b= 0

Máximos y Mínimos Relativos. ✔ Máximos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x o) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx. en (a, f(a)) ✔ Mínimos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x o) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín. en (b, f (b). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

a = 3.08

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b = -3.08

Criterio de la primera y segunda derivada

- El criterio de la primera derivada es un criterio muy intuitivo en su aplicación, por ello es muy sencillo de entender. A diferencia del criterio de la segunda derivada requiere muy poca abstracción. La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos: 1.- Cuando la derivada es positiva la función crece. 2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece. 3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo. Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con ac en el intervalo. Entonces f tiene un máximo local en c. Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

-El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f. Teorema Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)). 2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c, f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

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Trazado de curvas

-Criterio de la primera derivada

La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva.

fig. 9.10. Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la fig. 9.10. se puede notar que: 1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, ó, en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo [a, b], y entre b y c la curva es descendente, en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. 2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal. 3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo tanto, la primera derivada es negativa. Estas ideas que se acaban de comentar, están justificadas por medio de las definiciones y teoremas dados a continuación. En primer lugar, se presentan dos teoremas: El Teorema de Rolle y su generalización conocido como el Teorema del Valor Medio (T.V.M.) que tienen gran importancia teórica y práctica. -Criterio de la segunda derivada

Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: Si

para todo x

I, entonces, f es cóncava hacia arriba en I.

Si

para todo x

I, entonces, f es cóncava hacia abajo en I.

Observación: En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que "hay inflexión" sin existir punto de inflexión. La gráfica de la fig. 9.16., indica esta posibilidad. Allí se muestra inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

fig. 9.16. Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. Enc4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ’’(x) = 0 o f ’’(x) no existe, son "candidatos" viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que f ’’(c) = 0 y sin embargo, el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la fig. 9.17.

fig. 9.17. Como f (x) = x4, f ’(x) = 4x3, f ’’ (x) =12 x2 Para c = 0, se tiene:

sin embargo el punto P (0, f (0)) = P (0, 0) no

corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores ax = 0,

y no cambia la concavidad de la curva.