Informe Pendulo

APLICACIONES DEL M.A.S : EL PÉNDULO FÍSICO

September 11, 2008

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ABSTRACT

As we know the MAS are oscillatory movements that occur

when disturbs steady state of a body, in the absence of friction, is in shape and functions sinusoidal in this, there is a restorative force that opposes the motion. From MAS are deployed many applications, which are not dicult to explain, but for consideration should be given certain conditions, among these are for example, the mass-spring system, the movement described by a swing, the pendulum clock, etc.. But one of the most interesting applications that exist in the MAS, is the physical pendulum, which consists of a rigid body that can swing around a horizontal axis under the action of the force of gravity, but his study is important consider it under very strict conditions, so we can study it as mere physical pendulum. It is for this reason that this work will understand and be able to study this pendulum in a simple manner and experimental behavior of this phenomenon.

RESUMEN

Como ya sabemos el M.A.S son movimientos oscilatorios que

se producen cuando se perturba el estado de equilibrio de un cuerpo, en la ausencia de la fricción, se modelan en funciones sinusoidales y en este, existe una fuerza restauradora que se opone a dicho movimiento. Del M.A.S se despliegan muchas aplicaciones, que no son difíciles de explicar, pero que para su estudio se debe dar unas condiciones determinadas, entre estas encontramos por ejemplo, el sistema masa-resorte, el movimiento descrito por un columpio, el reloj de péndulo, etc.

Pero uno de las aplicaciones más interesantes que se dan en el

M.A.S, es el péndulo físico, el cual consiste en un cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la fuerza de la gravedad, pero para su estudio es importante considerarlo en condiciones muy estrictas, para

1 Carmen De Castro Daniela Montalvo

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así poder estudiarlo como el péndulo físico simple. Es por tal motivo, que este trabajo servirá para entender y poder estudiar a este péndulo de una manera sencilla y experimental el comportamiento de este fenómeno.

MARCO TEÓRICO

Para conocer las aplicaciones del MAS, es necesario

recordar la denición de este término, que es un movimiento vibratorio que ocurre debido a la aplicación de una fuerza recuperadora elástica proporcional al desplazamiento y que además ocurre en un medio libre de fricción. Entre las aplicaciones del MAS están el pendulo simple, el de torsión y el físico que es el que vamos a estudiar con más detalle a continuación: consta de un cuerpo rígido cualquiera montado de manera que pueda oscilar en un plano vertical alrededor de un eje que pase por él. En la gura se muestra un cuerpo de forma irregular de masa una distancia

dcm

m

que esta suspendido en el punto O y que està a

de su centro de masa.

Además tiene un momento de inercia

I

con respecto al eje que pasa por la 2 τ = −mgdθ = −kθ = I ddt2θ = Iα.

articulación y el momento restaurador que es:

d2 θ De tal manera que dt2

=

τ I

=

−kθ periodo de un péndulo I y por consiguiente elq q I I físico que oscila con una amplitud pequeña es T = 2π = 2π k mgd y para amplitudes mayores el péndulo físico sigue teniendo un movimiento periódico pero no armónico simple.

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ANALISIS DE DATOS

El objetivo del desarrollo de esta experien-

cia de laboratorio es analizar las oscilaciones armónicas de un péndulo físico, determinando los periodos de oscilación y los momentos de inercia.

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Registrar los datos experimentales en la siguiente tabla:

Calcule teóricamente el período de oscilación para un brazo de giro especíco y compárelo con el correspondiente valor experimental. ¾Cuál es la diferencia porcentual?

En el desarrollo de la experiencia de laboratorio, obtuvimos en el primer ensayo un valor experimental para el periodo de: 1.63s y el valor teórico seria calculado a través de la siguiente fórmula:2π

q

I mgd en la que si reemplazamos el valor de

la inercia de la varilla, la masa de la misma y el brazo de palanca, obtenemos: 0.80 s como el periodo teórico. Para lo cual se estaría hablando de un porcentaje de error aproximadamente de 32%. El valor obtenido como porcentaje de error se debe a que la mayoría de parámetros iniciales tomados durante la experiencia los consideramos ideales sin que estos lo fueran, por tanto no se puede despreciar el error mínimo que cada uno de ellos representa al momento de evaluar el error porcentual. Es importante tener en cuenta que los aspectos externos que intervienen en la experiencia, son la principal consecuencia de estos altos índices, dentro de ellos podemos mencionar: la resistencia que opone el aire al pivotear la varilla o simplemente el hecho de que el ángulo de inclinación de la varilla no fuese el mismo para todos los ensayos; son estos y muchos mas factores que afectan considerablemente a la hora de calcular la diferencia porcentual.

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Ensayo

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2

3

4

5

6 0.78

Longitud (m)

0.98

0.94

0.90

0.86

0.82

Brazo de giro (m) 2 Inercia(Kg ? m )

0.48

0.44

0.40

0.36

0.32

0.28

0.0123

0.011

0.01

0.009

0.008

0.007

Periodo (seg)

0.8

0.8

0.8

0.8

0.8

0.8

¾Cómo cambia el período de oscilación cuando aumentamos el brazo de giro  d ? (Utilice los datos experimentales para su respuesta)

Teóricamente, al variar gradualmente la longitud del brazo de giro, el periodo no debiera variar sustancialmente, ya que éste no depende de una sola variable en especíco, sino que antes bien depende de la raíz cuadrada de la inercia dividida

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por el producto de la masa con la longitud del brazo de giro y la gravedad. Sin embargo, experimentalmente podemos notar que el periodo sufre cierta variación debida a las fuerzas disipativas que actúan sobre el sistema.

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¾El período del péndulo se incrementa si aumentamos la masa? (Justique su respuesta teórica y experimentalmente)

Si se aumenta la masa, el periodo no se incrementa, debido a que no solo depende de la masa sino de la raíz del cociente, y allí tenemos que la inercia de la varilla depende directamente de la masa, y si la masa aumenta por ende la inercia aumentará y al establecer este aumento proporcional ambos se anularán y nalmente el periodo no sufrirá cambio alguno.

•

¾Cómo se comportaría el péndulo físico para ángulos grandes? (Justique su respuesta)

Es importante mencionar que para la realización de experiencias con el péndulo físico, es mucho más fácil utilizar amplitudes pequeñas que permitan analizar claramente el comportamiento de las oscilaciones, sin entrar a procedimientos un poco tediosos directamente relacionados a los ángulos manejados en las formulas, ya que dichos ángulos tendrían que ser expresados como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento: q ´ p ´ lφ (t) φ(t) l √ ldθ t= m = 2g 2 0 0 E−U(φ)

dθ cosθ−cosφ0

q

l 4g

´ φ(t)

dθ sen2 φ0 −sen2 θ Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y

√

=

0

√

donde además:

φ0 .

E = −mglcosφ0 , es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud U(φ) = −mglcosφes

la energía potencial. sen(θ/2) Realizando en variable senξ = sen(φ0 /2) ,la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como: q ´ p Φ dξ ⇒ φ(t) = 2arcsen(sn gl t ? sen φ20 ) t = gl 0 p φ0 2 2 1−sen 2 sen ξ Donde: s(t), es la función elíptica de Jacobi tipo seno.

senΦ = •

φ(t) 2 φ sen 20

sen

¾Cómo hallarías el momento de inercia de un cuerpo irregular?

Para hallar el momento de inercia de un cuerpo irregular es necesario considerar que la masa del cuerpo girará alrededor de un eje con cierta aceleración angular (a), en donde existirá un elemento con una variación de masa (dm) con una componente tangente a la trayectoria circular descrita por (ra), donde la fuerza resultante que actuará será igual a: dF =

radm, el momento de inercia de dicha r2 adm

fuerza respecto al eje de rotación será: dM =

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¾Qué sugerencias puede hacer de este experimento?

Como sugerencia proponemos que se consideren datos más exactos, y establecer algún mecanismo que permita medir con exactitud el ángulo tomado para cada ensayo, con la nalidad de minimizar de esta manera el porcentaje de error.

References [1] Beer, Ferdinand P. y Johnston, E. Russell "Mecánica Vectorial para Ingenieros (Tomos I y II), Ediciones Revolucionarias, 1988 [2] Agulló Batlle, Joaquín "Mecánica de la partícula y del sólido rígido", Publicaciones OK Punt, 1996 [3] Sears, Zemansky, Young, Freedman. Fisica Universitaria Volumen 1. 11 edicion. Pearson Addison Wesley

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