Informe-n_-03.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ÁREA ACADÉMICA DE CIENCIAS BÁSICAS

INFORME N° 03 PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

CURSO:

FÍSICA I (CB302 V)

ALUMNOS:

ALATA FERRIL GIANCARLO (20120006K) IZQUIERDO MUÑOZ LUCERO (20120293J) PAYAC LAZO KEVIN (20120039F)

PROFESOR:

GELACIO TAFUR ANZUALDO

FECHA DE REALIZACIÓN:

22 DE MAYO DEL 2013

1. OBJETIVOS Calcular el momento de inercia de un péndulo físico a partir de la medición de los periodos de oscilación a distintas distancias del centro de masa.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO Péndulo físico: Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión.

Momento de inercia: El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. Solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. Desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Está dada por la siguiente expresión: 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚

Periodo: El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está dado por la siguiente expresión: 𝐼 𝑇 = 2𝜋√ 𝑚𝑔𝐿 Donde “I” es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de rotación (punto de suspensión), “m” la masa del mismo, “g” la aceleración de la gravedad del lugar y “L” la distancia del centro de masa del péndulo al centro de rotación.

Teorema de Steiner: El teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular entre ejes. Está dado por la siguiente expresión: 𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝐿2

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Sujetar el soporte de madera con las dos mordazas simples.

Suspender la barra horizontalmente en la cuchilla para encontrar el centro de masa.

Suspender la barra verticalmente desde el primer agujero y hacerlo oscilar.

Medir las dimensiones y la masa de la barra.

Repetir el paso anterior para todos los agujeros, tres veces, anotando en cada uno el tiempo de 20 oscilaciones.

4. CÁLCULOS Y RESULTADOS 1. Llene la tabla 1 con las siguientes características: # de hueco

L (cm)

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

# de

Periodo

oscilaciones

Promedio (T)

1

50.8 ± 0.05 33.84 ± 0.005 33.67 ± 0.005 33.74 ± 0.005

20

1.6875 ± 0.005

2

45.8 ± 0.05 33.02 ± 0.005 33.08 ± 0.005 33.10 ± 0.005

20

1.6533 ± 0.005

3

40.8 ± 0.05 32.50 ± 0.005 32.48 ± 0.005 32.52 ± 0.005

20

1.6250 ± 0.005

4

35.8 ± 0.05 31.95 ± 0.005 31.98 ± 0.005 31.92 ± 0.005

20

1.5975 ± 0.005

5

30.8 ± 0.05 31.75 ± 0.005 31.80 ± 0.005 31.67 ± 0.005

20

1.5870 ± 0.005

6

25.8 ± 0.05 32.50 ± 0.005 32.64 ± 0.005 32.58 ± 0.005

20

1.6287 ± 0.005

7

20.8 ± 0.05 33.53 ± 0.005 33.56 ± 0.005 33.49 ± 0.005

20

1.6763 ± 0.005

8

15.8 ± 0.05 36.01 ± 0.005 35.98 ± 0.005 35.93 ± 0.005

20

1.7987 ± 0.005

9

10.8 ± 0.05 20.59 ± 0.005 20.45 ± 0.005 20.48 ± 0.005

10

2.0507 ± 0.005

10

5.8 ± 0.05 27.12 ± 0.005 27.01 ± 0.005 27.05 ± 0.005

10

2.7060 ± 0.005

-

-

11

-

-

-

-

12

5.8 ± 0.05 27.10 ± 0.005 27.03 ± 0.005 27.08 ± 0.005

10

2.7070 ± 0.005

13

10.8 ± 0.05 20.52 ± 0.005 20.42 ± 0.005 20.54 ± 0.005

10

2.0493 ± 0.005

14

15.8 ± 0.05 35.97 ± 0.005 35.95 ± 0.005 36.00 ± 0.005

20

1.7987 ± 0.005

15

20.8 ± 0.05 33.48 ± 0.005 33.50 ± 0.005 33.47 ± 0.005

20

1.6742 ± 0.005

16

25.8 ± 0.05 32.62 ± 0.005 32.60 ± 0.005 32.63 ± 0.005

20

1.6308 ± 0.005

17

30.8 ± 0.05 31.73 ± 0.005 31.79 ± 0.005 31.69 ± 0.005

20

1.5868 ± 0.005

18

35.8 ± 0.05 31.93 ± 0.005 31.93 ± 0.005 31.97 ± 0.005

20

1.5972 ± 0.005

19

40.8 ± 0.05 32.49 ± 0.005 32.54 ± 0.005 32.50 ± 0.005

20

1.6255 ± 0.005

20

45.8 ± 0.05 33.09 ± 0.005 33.11 ± 0.005 33.04 ± 0.005

20

1.6540 ± 0.005

2. a. Grafique T vs. L.

Gráfica T vs. L Periodo Promedio (s)

3 2.5 2 1.5

1 y = 0.0012x2 - 0.0847x + 2.9657 R² = 0.8995

0.5 0 0

10

20

30

40

50

60

Longitud (cm)

𝑇 = 0.0012𝐿2 − 0.0847𝐿 + 2.9657 𝑑𝑇 = 0.0024𝐿 − 0.0847 = 0 𝑑𝐿 𝐿 = 35.29167 𝑐𝑚

2. b. A partir de la ecuación (14.1), con I dada por la ecuación (14.2), encuentre el valor de L para que el periodo tenga el mínimo valor. Datos medidos: 𝐿 = 110.2 𝑐𝑚 = 1.102 𝑚 𝐴 = 3.6 𝑐𝑚 = 0.036 𝑚 𝐻 = 0.6 𝑐𝑚 = 0.006 𝑚 𝑟 = 0.8 𝑐𝑚 = 0.008 𝑚 𝑑𝐿 = 𝑑𝐴 = 𝑑𝐻 = 𝑑𝑟 = ±0.05 𝑐𝑚 = ±0.0005 𝑚

𝑀 = 1.905 𝑘𝑔 𝑑𝑀 = ±0.0001 𝑘𝑔 𝑁 (ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠) = 21 Cálculo de la densidad de la barra (ρ): 𝑀 𝑀 = 𝑉 𝐿𝐴𝐻 − 21𝜋𝑟 2 𝐻 1.905 𝑘𝑔 𝜌= (1.102 𝑚)(0.036 𝑚)(0.006 𝑚) − 21𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚) 𝜌=

𝜌 = 8956.3524 𝑘𝑔. 𝑚−3 En el cálculo hecho en el laboratorio, por error nuestro no se consideró el volumen de los agujeros. Es por esto que en el cálculo ρ salió 8003.13 𝑘𝑔. 𝑚−3 . Cálculo del error de la densidad de la barra (dρ): 𝑀 𝐿𝐴𝐻 − 21𝜋𝑟 2 𝐻 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝜌 = 𝑑𝑀 + 𝑑𝐿 + 𝑑𝐴 + 𝑑𝐻 + 𝑑𝑟 𝜕𝑀 𝜕𝐿 𝜕𝐴 𝜕𝐻 𝜕𝑟 𝜌=

𝜕𝑝 1 𝑑𝑀 = 𝑑𝑀 𝜕𝑀 𝐿𝐴𝐻 − 21𝜋𝑟 2 𝐻 𝜕𝑝 1 (0.0001 𝑘𝑔) 𝑑𝑀 = (1.102 𝑚)(0.036 𝑚)(0.006 𝑚) − 21𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚) 𝜕𝑀 𝜕𝑝 𝑑𝑀 = 0.47015 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝜕𝑀 𝜕𝑝 −𝑀𝐴𝐻 𝑑𝐿 = 𝑑𝐿 𝜕𝐿 (𝐿𝐴𝐻 − 21𝜋𝑟 2 𝐻)2 𝜕𝑝 −(1.905 𝑘𝑔)(0.036 𝑚)(0.006 𝑚) 𝑑𝐿 = 2 (0.0005 𝑚) 𝜕𝐿 ((1.102 𝑚)(0.036 𝑚)(0.006 𝑚) − 21𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚)) 𝜕𝑝 𝑑𝐿 = −4.54769 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝜕𝐿

𝜕𝑝 −𝑀𝐿𝐻 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴 𝜕𝐴 (𝐿𝐴𝐻 − 21𝜋𝑟 2 𝐻)2 𝜕𝑝 −(1.905 𝑘𝑔)(1.102 𝑚)(0.006 𝑚) 𝑑𝐴 = 2 (0.0005 𝑚) 𝜕𝐴 ((1.102 𝑚)(0.036 𝑚)(0.006 𝑚) − 21𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚)) 𝜕𝑝 𝑑𝐴 = −139.20993 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝜕𝐴 𝜕𝑝 −𝑀 𝑑𝐻 = 𝑑𝐻 (𝐿𝐴 − 21𝜋𝑟 2 )𝐻 2 𝜕𝐻 𝜕𝑝 −(1.905 𝑘𝑔) 𝑑𝐻 = (0.0005 𝑚) 𝜕𝐻 ((1.102 𝑚)(0.036 𝑚) − 21𝜋(0.008 𝑚)2 )(0.006 𝑚)2 𝜕𝑝 𝑑𝐻 = −746.36269 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝜕𝐻 𝜕𝑝 42𝜋𝑀𝐻𝑟 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟 𝜕𝑟 (𝐿𝐴𝐻 − 21𝜋𝑟 2 𝐻)2 𝜕𝑝 42𝜋(1.905 𝑘𝑔)(0.006 𝑚)(0.008 𝑚) 𝑑𝑟 = 2 (0.0005 𝑚) 𝜕𝑟 ((1.102 𝑚)(0.036 𝑚)(0.006 𝑚) − 21𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚)) 𝜕𝑝 𝑑𝑟 = 133.34532 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝜕𝑟 𝑑𝜌 = (0.47015 − 4.54769 − 139.20993 − 746.36269 + 133.34532) 𝑘𝑔. 𝑚−3 = 756.30484 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝑑𝜌 = ±756.30484 𝑘𝑔. 𝑚−3 𝜌 = (8956.3524 ± 756.30484)𝑘𝑔. 𝑚−3 Cálculo del momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por C.G. (I B): Como se requiere hallar la distancia “x” a la cual el periodo es mínimo, el momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por C.G. (IB) será igual al Momento de inercia de la barra solida sin agujeros respecto al eje que pasa por C.G. (IBSA) menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra) respecto al eje que pasa por C.G. (ICA), todos a una distancia “x”, la cual se quiere hallar. Entonces la ecuación será: 𝐼𝐵 = 𝐼𝐵𝑆𝐴 − 𝐼𝐶𝐴

Usando el Teorema de Steiner, el momento de inercia de la barra solida sin agujeros, a una distancia “x” del C.G., respecto al eje que pasa por C.G. (IBSA) será igual al momento de inercia del C.G. de la barra, más (M+21m)x2. 𝐼𝐵𝑆𝐴 =

1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) + (𝑀 + 21𝑚)𝑥 2 12

El momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra), a una distancia “x” del C.G., respecto al eje que pasa por C.G. (ICA) será igual a la sumatoria del momento de inercia de cada cilindro, más mx2.

21

𝐼𝐶𝐴 = ∑ 𝐼𝐴𝑖 = 𝐼𝐴1 + 𝐼𝐴2 + 𝐼𝐴3 + ⋯ + 𝐼𝐴21 𝑖=1

Aplicando el Teorema de Steiner, y siendo “a” (a=5cm) la distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos, tenemos: 𝐼𝐴1 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(10𝑎)2 + 𝑚𝑥 2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 𝐼𝐴2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(9𝑎)2 + 𝑚𝑥 2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 81𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 … 𝐼𝐴10 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 𝐼𝐴11 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚𝑥 2 𝐼𝐴12 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 … 2

𝐼𝐴20 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(9𝑎) + 𝑚𝑥 2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 81𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 𝐼𝐴21 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(10𝑎)2 + 𝑚𝑥 2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 Entonces, el momento de inercia del conjunto de cilindros será: 𝐼𝐶𝐴 = (𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 ) + ⋯ + (𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚𝑥 2 ) + ⋯ + (𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 + 𝑚𝑥 2 ) 𝐼𝐶𝐴 = 21𝐼𝐶.𝐺. + 770𝑚𝑎2 + 21𝑚𝑥 2 Pero IC.G. es igual al momento de inercia de un cilindro respecto a su eje, entonces: 1 𝐼𝐶𝐴 = 21 𝑚𝑟 2 + 770𝑚𝑎2 + 21𝑚𝑥 2 2

Por lo tanto, el momento de inercia de la barra, a una distancia “x” del C.G. la cual se quiere hallar, y respecto al C.G. será: 𝐼𝐵 =

1 1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) + (𝑀 + 21𝑚)𝑥 2 − 21 𝑚𝑟 2 − 770𝑚𝑎2 − 21𝑚𝑥 2 12 2 1 1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) + 𝑀𝑥 2 − 21 𝑚𝑟 2 − 770𝑚𝑎2 𝐼𝐵 = 12 2

Cálculo de la masa de los cilindros (m):

𝑚 = 𝜌𝑉 𝑚 = 𝜌𝜋𝑟 2 𝐻 𝑚 = (8956.3524 𝑘𝑔. 𝑚−3 )𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚) = 10.80469 𝑔 Cálculo del error de la masa de los cilindros (dm): Si la medida de la masa de los cilindros se hubiese hecho con la balanza, su error ya estaría dado; pero como se hizo por cálculos indirectos, esta posee otro error. 𝑚 = 𝜌𝜋𝑟 2 𝐻 𝑑𝑚 =

𝜕𝑚 𝜕𝑚 𝜕𝑚 𝑑𝜌 + 𝑑𝑟 + 𝑑𝐻 𝜕𝑝 𝜕𝑟 𝜕𝐻

𝜕𝑚 𝑑𝜌 = (𝜋𝑟 2 𝐻)𝑑𝜌 = 𝜋(0.008 𝑚)2 (0.006 𝑚)(756.30484 𝑘𝑔. 𝑚−3 ) = 0.91238 𝑔 𝜕𝑝 𝜕𝑚 𝑑𝑟 = 𝜌2𝜋𝑟𝐻𝑑𝑟 = (8956.3524 𝑘𝑔. 𝑚−3 )2𝜋(0.008 𝑚)(0.006 𝑚)(0.0005 𝑚) = 1.35059 𝑔 𝜕𝑟 𝜕𝑚 𝑑𝐻 = 𝜌𝜋𝑟 2 𝑑𝐻 = (8956.3524 𝑘𝑔. 𝑚−3 )𝜋(0.008 𝑚)2 (0.0005 𝑚) = 0.90039 𝑔 𝜕𝐻 𝑑𝑚 = (0.91238 + 1.35059 + 0.90039) 𝑔 = 3.16336 𝑔 𝑑𝑚 = ±3.16336 𝑔 𝑚 = (10.80469 ± 3.16336) 𝑔

Cálculo de la longitud (x): El periodo de un péndulo físico se calcula: 𝐼𝐵 𝑇 = 2𝜋√ 𝑀𝑔𝑥 1 1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) + 𝑀𝑥 2 − 21 𝑚𝑟 2 − 770𝑚𝑎2 √ 12 2 𝑇 = 2𝜋 𝑀𝑔𝑥 0.21576 + 1.905𝑥 2 𝑇 = 2𝜋 √ 18.68805𝑥

Para que el periodo sea mínimo, aplicamos criterios de derivadas parciales: 0.21576 𝜕𝑇 0.72672(1.905 − 𝑥 2 ) = =0 𝜕𝑥 √1.905𝑥 + 0.21576 𝑥 𝑥 = 0.336544 𝑚 = 33.6544 𝑐𝑚

2. c. Compare el valor de L obtenido en b. con el que obtiene de la gráfica en a. El periodo mínimo en la gráfica fue de 35.29167cm, el cual se obtuvo aplicando criterios de derivadas exactas a la función Periodo; pero el periodo mínimo obtenido analíticamente fue de 33.6544cm, el cual se obtuvo aplicando criterios de derivadas parciales y momentos de inercia, así que este valor es más cercano a lo real. Con esto podría hallarse el porcentaje de error cometido en las mediciones de los periodos: % 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|35.29167 − 33.6544| 𝑥100% = 4.86495% 33.6544

2. d. ¿Cuál es el periodo para esta distancia? El periodo, el cual es mínimo, para la distancia x=33.6544 calculada analíticamente viene dada por la fórmula: 0.21576 + 1.905𝑥 2 𝑇 = 2𝜋 √ 18.68805𝑥 𝑇 = 2𝜋√

0.21576 + 1.905(0.336544)2 18.68805(0.336544) 𝑇 = 1.64581

2. e. De su gráfico, ¿Puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos. En el gráfico, la ecuación de T (con T en segundos y L en centímetros) está dado por: 𝑇 = 0.0012𝐿2 − 0.0847𝐿 + 2.9657 Para hallar el mínimo, aplicamos criterios de derivadas exactas: 𝑑𝑇 = 0.0024𝐿 − 0.0847 = 0 𝑑𝐿 𝐿 = 35.29167 𝑐𝑚 Entonces, a esta longitud se da el mínimo periodo, quiere decir que a la derecha e izquierda de este valor encontraremos dos longitudes con el mismo periodo. Por ejemplo: 𝐿 = 20 𝑐𝑚 𝑇 = 0.0012(20)2 − 0.0847(20) + 2.9657 𝑇 = 1.7517 𝑠 Ahora, reemplazando este periodo: 1.7517 = 0.0012𝐿2 − 0.0847𝐿 + 2.9657 𝐿 = 50.583 𝑐𝑚 Quiere decir que las longitudes L=20cm y L=50.583 cm tienen el mismo periodo T=1.7517s. Se puede calcular más longitudes con el mismo periodo, con la condición de que estén a la derecha e izquierda del valor mínimo.

3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (14.1), el valor de I y llene la tabla 2 con las siguientes características: Cálculo del error del (Periodo)2 (dT2):

𝑑𝑇 2 =

𝜕(𝑇 2 ) 𝑑𝑇 𝜕𝑇

𝑑𝑇 2 = 2𝑇𝑑𝑇 Con esta ecuación, se procederá a hallar el error de los (Periodo)2 para cada agujero.

Cálculo del error del momento de inercia (dI): 𝑀𝑔𝐿 2 𝑇 4𝜋 2 𝜕𝐼 𝜕𝐼 𝜕𝐼 𝑑𝐼 = 𝑑𝑀 + 𝑑𝐿 + 𝑑𝑇 𝜕𝑀 𝜕𝐿 𝜕𝑇 𝑔𝐿 𝑀𝑔 𝑀𝑔𝐿 𝑑𝐼 = 2 𝑇 2 𝑑𝑀 + 2 𝑇 2 𝑑𝐿 + 𝑇𝑑𝑇 4𝜋 4𝜋 2𝜋 2 𝐼=

Con esta ecuación, se procederá a hallar el error de los momentos de inercia para cada agujero. Cálculo del error de la (Longitud)2 (dL2):

𝑑𝐿2 =

𝜕(𝐿2 ) 𝑑𝐿 𝜕𝐿

𝑑𝐿2 = 2𝐿𝑑𝐿 Con esta ecuación, se procederá a hallar el error de las (Longitud) 2 para cada agujero. # de

Eje de

hueco oscilación L (cm)

(Periodo)2

Momento

T2 (s2)

de inercia I (kg.m2)

L2 (cm2)

1

50.8 ± 0.05

2.8477 ± 0.02848

0.6848 ± 0.07153

2580.64 ± 5.08

2

45.8 ± 0.05

2.7335 ± 0.02734

0.5926 ± 0.06536

2097.64 ± 4.58

3

40.8 ± 0.05

2.6406 ± 0.02641

0.5100 ± 0.06566

1664.64 ± 4.08

4

35.8 ± 0.05

2.5520 ± 0.02552

0.4325 ± 0.07114

1281.64 ± 3.58

5

30.8 ± 0.05

2.5186 ± 0.02519

0.3672 ± 0.06194

948.64 ± 3.08

6

25.8 ± 0.05

2.6526 ± 0.02653

0.3240 ± 0.06481

665.64 ± 2.58

7

20.8 ± 0.05

2.8101 ± 0.02810

0.2767 ± 0.06823

432.64 ± 2.08

8

15.8 ± 0.05

3.2352 ± 0.03235

0.2420 ± 0.07795

249.64 ± 1.58

9

10.8 ± 0.05

4.2052 ± 0.04205

0.2150 ± 0.10062

116.64 ± 1.08

10

5.8 ± 0.05

7.3224 ± 0.07322

0.2010 ± 0.17406

33.64 ± 0.58

11

-

-

-

-

12

5.8 ± 0.05

7.3278 ± 0.07328

0.2012 ± 0.17419

33.64 ± 0.58

13

10.8 ± 0.05

4.1998 ± 0.04200

0.2147 ± 0.10042

116.64 ± 1.08

14

15.8 ± 0.05

3.2352 ± 0.03235

0.2420 ± 0.07795

249.64 ± 1.58

15

20.8 ± 0.05

2.8028 ± 0.02803

0.2760 ± 0.06798

432.64 ± 2.08

16

25.8 ± 0.05

2.6596 ± 0.02660

0.3248 ± 0.06497

665.64 ± 2.58

17

30.8 ± 0.05

2.5180 ± 0.02518

0.3671 ± 0.06194

948.64 ± 3.08

18

35.8 ± 0.05

2.5509 ± 0.02551

0.4323 ± 0.06309

1281.64 ± 3.58

19

40.8 ± 0.05

2.6423 ± 0.02642

0.5103 ± 0.0657

1664.64 ± 4.08

20

45.8 ± 0.05

2.7357 ± 0.02736

0.5931 ± 0.0683

2097.64 ± 4.58

4. Haga el gráfico I vs L2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.

Gráfica I vs. L2 Momento de inercia (kg.m2)

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

y = 1.8958x + 0.1936 R² = 0.9996

0.1 0 0

0.05

0.1

0.15 (Longitud)2

0.2

0.25

0.3

(m2)

𝐼 = 1.8958𝐿2 + 0.1936

5. Del gráfico anterior, y por comparación con la ecuación (14.2), determine I G y M. La ecuación de ajuste de la gráfica describe al momento de inercia en función de la longitud al cuadrado (x: Distancia del C.G. al agujero), por equivalencia con el Teorema de Steiner tenemos: 𝑦 = 1.8958𝑥 + 0.1936 ≡ 𝑀𝐿2 + 𝐼𝐶.𝐺. Entonces: 𝑀 ≡ 1.8958 𝑘𝑔 𝑦 𝐼𝐶.𝐺. ≡ 0.1936 𝑘𝑔. 𝑚2

6. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para una barra de longitud L y ancho b. ¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa? Cálculo del momento de inercia de la barra analíticamente (IC.G.A.):

𝐼𝐶.𝐺.𝐴. = 𝐼𝐶.𝐺.𝐴. =

1 𝑀(𝐿2 + 𝐴2 ) 12

1 (1.905 𝑘𝑔)((1.102 𝑚)2 + (0.036 𝑚)2 ) 12 𝐼𝐶.𝐺.𝐴. = 0.19299 𝑘𝑔. 𝑚2

Cálculo del error del momento de inercia de la barra analíticamente (dIC.G.A.): 1 𝑀(𝐿2 + 𝐴2 ) 12 𝜕𝐼𝐶.𝐺.𝐴. 𝜕𝐼𝐶.𝐺.𝐴. 𝜕𝐼𝐶.𝐺.𝐴. = 𝑑𝑀 + 𝑑𝐿 + 𝑑𝐴 𝜕𝑀 𝜕𝐿 𝜕𝐴 𝐼𝐶.𝐺.𝐴. =

𝑑𝐼𝐶.𝐺.𝐴.

𝜕𝐼𝐶.𝐺.𝐴. 1 2 1 (𝐿 + 𝐴2 )𝑑𝑀 = ((1.102 𝑚)2 + (0.036 𝑚)2 )(0.0001 𝑘𝑔) = 1.01308𝑥10−5 𝑘𝑔. 𝑚2 𝑑𝑀 = 𝜕𝑀 12 12 𝜕𝐼𝐶.𝐺.𝐴. 1 1 𝑑𝐿 = 𝑀𝐿𝑑𝐿 = (1.905 𝑘𝑔)(1.102 𝑚)(0.0005 𝑚) = 1.74943𝑥10−4 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝐿 6 6 𝜕𝐼𝐶.𝐺.𝐴. 1 1 𝑑𝐴 = 𝑀𝐴𝑑𝐴 = (1.905 𝑘𝑔)(0.036 𝑚)(0.0005 𝑚) = 5.715𝑥10−5 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝐴 6 6 𝑑𝐼𝐶.𝐺.𝐴. = (1.01208𝑥10−5 + 1.74943𝑥10−4 + 5.715𝑥10−5 ) 𝑘𝑔. 𝑚2 = 0.000242 𝑘𝑔. 𝑚2 𝑑𝐼𝐶.𝐺.𝐴. = ±0.000242 𝑘𝑔. 𝑚2 𝐼𝐶.𝐺.𝐴. = (0.19299 ± 0.000242) 𝑘𝑔. 𝑚2 Cálculo del momento de inercia de la barra analíticamente, considerando agujeros (IB): Como ya vimos en el cálculo del periodo mínimo, el momento de inercia de la barra (I B) será igual al Momento de inercia de la barra solida sin agujeros (I BSA) menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra) (I CA), pero todas respecto al eje que pasa por C.G.

Entonces la ecuación será: 𝐼𝐵 = 𝐼𝐵𝑆𝐴 − 𝐼𝐶𝐴

𝐼𝐵𝑆𝐴 =

1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) 12

El momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra) (ICA) será igual a la sumatoria del momento de inercia de cada cilindro, todos respecto al eje que pasa por C.G.

21

𝐼𝐶𝐴 = ∑ 𝐼𝐴𝑖 = 𝐼𝐴1 + 𝐼𝐴2 + 𝐼𝐴3 + ⋯ + 𝐼𝐴21 𝑖=1

Siendo “a” (a=5cm) la distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos, tenemos: 𝐼𝐴1 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(10𝑎)2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 𝐼𝐴2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(9𝑎)2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 81𝑚𝑎2 … 𝐼𝐴10 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚𝑎2 𝐼𝐴11 = 𝐼𝐶.𝐺. 𝐼𝐴12 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚𝑎2 … 𝐼𝐴20 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(9𝑎)2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 81𝑚𝑎2 𝐼𝐴21 = 𝐼𝐶.𝐺. + 𝑚(10𝑎)2 = 𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 Entonces, el momento de inercia del conjunto de cilindros será: 𝐼𝐶𝐴 = (𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 ) + ⋯ + (𝐼𝐶.𝐺. ) + ⋯ + (𝐼𝐶.𝐺. + 100𝑚𝑎2 ) 𝐼𝐶𝐴 = 21𝐼𝐶.𝐺. + 770𝑚𝑎2 Pero IC.G. es igual al momento de inercia de un cilindro respecto a su eje, entonces: 1 𝐼𝐶𝐴 = 21 𝑚𝑟 2 + 770𝑚𝑎2 2

Por lo tanto, el momento de inercia de la barra respecto al C.G. será: 𝐼𝐵 = 𝐼𝐵 =

1 1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) − 21 𝑚𝑟 2 − 770𝑚𝑎2 12 2

1 10.80469 ((1.905 𝑘𝑔) + 21 𝑘𝑔) ((1.102 𝑚)2 + (0.036 𝑚)2 ) 12 1000

1 10.80469 10.80469 −21 ( 𝑘𝑔)(0.008 𝑚)2 − 770( 𝑘𝑔)(0.005 𝑚)2 2 1000 1000 𝐼𝐵 = 0.19517 𝑘𝑔. 𝑚2 Cálculo del error del momento de inercia de la barra analíticamente, considerando agujeros (IB): 1 1 (𝑀 + 21𝑚)(𝐿2 + 𝐴2 ) − 21 𝑚𝑟 2 − 770𝑚𝑎2 12 2 𝜕𝐼𝐵 𝜕𝐼𝐵 𝜕𝐼𝐵 𝜕𝐼𝐵 𝜕𝐼𝐵 𝜕𝐼𝐵 𝑑𝐼𝐵 = 𝑑𝑀 + 𝑑𝑚 + 𝑑𝐿 + 𝑑𝐴 + 𝑑𝑟 + 𝑑𝑎 𝜕𝑀 𝜕𝑚 𝜕𝐿 𝜕𝐴 𝜕𝑟 𝜕𝑎 𝐼𝐵 =

(1.102 𝑚)2 (0.036 𝑚)2 𝜕𝐼𝐵 𝐿2 𝐴2 𝑑𝑀 = ( + ) 𝑑𝑀 = ( + ) (0.0001 𝑘𝑔) = 1.01308𝑥10−5 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝑀 12 12 12 12

𝜕𝐼𝐵 7 7 21 2 𝑑𝑚 = ( 𝐿2 + 𝐴2 − 𝑟 − 770𝑎2 ) 𝑑𝑚 𝜕𝑚 4 4 2 𝜕𝐼𝐵 7 7 21 (0.008 𝑚)2 − 770(0.005 𝑚)2 )(0.00316336 𝑘𝑔) 𝑑𝑚 = ( (1.102 𝑚)2 + (0.036 𝑚)2 − 𝜕𝑚 4 4 2 𝜕𝐼𝐵 𝑑𝑚 = 6.66695𝑥10−3 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝑚 𝜕𝐼𝐵 𝑀𝐿 7𝑚𝐿 𝑑𝐿 = ( + ) 𝑑𝐿 𝜕𝐿 6 2 (1,905 𝑘𝑔)(1.102 𝑚) 7(0.01080469 𝑘𝑔)(1.102 𝑚) 𝜕𝐼𝐵 𝑑𝐿 = ( + )(0.0005 𝑚) = 1.95779𝑥10−4 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝐿 6 2 𝜕𝐼𝐵 𝑀𝐴 7𝑚𝐴 𝑑𝐴 = ( + ) 𝑑𝐿 𝜕𝐴 6 2 (1,905 𝑘𝑔)(0.036 𝑚) 7(0.01080469 𝑘𝑔)(0.036 𝑚) 𝜕𝐼𝐵 𝑑𝐴 = ( + )(0.0005 𝑚) = 6.39568𝑥10−6 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝐴 6 2 𝜕𝐼𝐵 𝑑𝑟 = −21𝑚𝑟𝑑𝑟 = −21(0.01080469 𝑘𝑔)(0.008 𝑚)(0.0005 𝑚) = −9.07594𝑥10−7 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝑟 𝜕𝐼𝐵 𝑑𝑎 = −1540𝑚𝑎𝑑𝑎 = −1540(0.01080469 𝑘𝑔)(0.005 𝑚)(0.0005 𝑚) = −4.15981𝑥10−5 𝑘𝑔. 𝑚2 𝜕𝑎

𝑑𝐼𝐵 = (1.01308𝑥10−5 + 6.66695𝑥10−3 + 1.95779𝑥10−4 + 6.39568𝑥10−6 −9.07594𝑥10−7 − 4.15981𝑥10−5 ) 𝑘𝑔. 𝑚2 = 0.00683675 𝑘𝑔. 𝑚2 𝑑𝐼𝐵 = ±0.00683675 𝑘𝑔. 𝑚2 𝐼𝐵 = (0.19517 ± 0.00683675) 𝑘𝑔. 𝑚2 Cálculo del error experimental cometido (% Error (I)): Se tendrán tres valores de momentos de inercia, con sus respectivos errores, de los cuales el más cercano a la realidad será el momento de inercia calculado considerando los agujeros. Momento de inercia Error del momento de inercia Del gráfico (IC.G.) Calculado analíticamente sin agujeros (IC.G.A.) Calculado analíticamente con agujeros (IB)

0.1936 kg.m2

-

0.19299 kg.m2

± 0.000242 kg.m2

0.21576 kg.m2

± 0.006837 kg.m2

Si consideramos el valor correcto al momento de inercia considerado sin agujeros, se tiene el siguiente error experimental: % 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (𝐼𝐶.𝐺. ) =

|0.1936 − 0.19299| 𝑥100% = 0.31608% 0.19299

Ahora, si consideramos el valor correcto al momento de inercia considerado con agujeros, se tiene los siguientes errores experimentales: |0.1936 − 0.21576| 𝑥100% = 10.27067% 0.21576 |0.19299 − 0.21576| % 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (𝐼𝐶.𝐺.𝐴. ) = 𝑥100% = 10.55339% 0.21576 % 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (𝐼𝐶.𝐺. ) =

Comparación entre las masas y cálculo del error (% Error (m)): La línea de tendencia de la gráfica I vs. L2, nos indica que el valor de la masa es equivalente a 1.8959 kg, lo cual es incorrecto ya que esta es 1.905 kg, por lo tanto el error cometido es:

% 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (𝑚) =

|1.8959 − 1.905| 𝑥100% = 0.47769% 1.905

7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente. Considerando el agujero asignado como el número 5, tenemos al periodo: 𝑇 = 1.587 𝑠 Como se requiere la longitud del péndulo simple, usamos la fórmula del péndulo simple para la longitud: 𝐿= 𝐿=

𝑔 2 𝑇 4𝜋 2

(9.81 𝑚. 𝑠 −2 ) (1.587 𝑠)2 4𝜋 2 𝐿 = 0.62584 𝑚

8. Demuestre en forma analítica las relaciones (14.1) y (14.2) Demostración del periodo de un péndulo físico: En la figura se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico.

El punto de suspensión es O, su centro de masa es C.G., y la distancia entre ambos se representa por d. En la posición indicada, formando un ángulo θ con la vertical, el peso produce respecto a O un momento que se opone al aumento del ángulo. Se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensión O es: 𝜏 = 𝑑. 𝑚. 𝑔 𝜏 = −𝑚. 𝑔. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 … (1) El signo negativo indica que se trata de un momento recuperador, es decir, actuando en sentido opuesto a las variaciones angulares. Este momento puede relacionarse por medio de la ecuación fundamental de la dinámica de rotación con la aceleración angular “α” del péndulo y su momento de inercia “I” respecto al punto de suspensión. En forma escalar la relación es: 𝜏 = 𝐼. 𝛼 … (2) Sumando las ecuaciones (1) y (2): −𝑚. 𝑔. 𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐼. 𝛼 = 0 La aceleración angular α es la derivada segunda del ángulo θ respecto al tiempo. En el caso (frecuente) de oscilaciones de pequeña amplitud, en las que se verifica que 𝑠𝑒𝑛𝛼 ≈ 𝛼, la ecuación puede reescribirse como una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde a un movimiento armónico simple: 𝑑 2 𝜃 𝑚𝑔𝑑 + .𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 𝐼 La frecuencia angular de este M.A.S. es: 𝑚𝑔𝑑 𝑤=√ 𝐼

Por lo tanto, su periodo de oscilación será: 𝑇 = 2𝜋√

𝐼 𝑚𝑔𝑑

Demostración del Teorema de Steiner:

Tomemos un elemento de masa “dm” situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y'): 𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑥𝐶.𝑀. 𝑦 = 𝑦 ′ + 𝑦𝐶.𝑀. Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas: 𝐼𝑧 = ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 ) . 𝑑𝑚 = ∫[(𝑥 ′ + 𝑥𝐶.𝑀. )2 + (𝑦 ′ + 𝑦𝐶.𝑀. )2 ]. 𝑑𝑚 𝐼𝑧 = ∫[𝑥′2 + 𝑥𝐶.𝑀. 2 + 2. 𝑥 ′ . 𝑥𝐶.𝑀. + 𝑦′2 + 𝑦𝐶.𝑀. 2 + 2. 𝑦 ′ . 𝑦𝐶.𝑀. ]. 𝑑𝑚 𝐼𝑧 = ∫[𝑥′2 + 𝑦′2 ]. 𝑑𝑚 + 2𝑥𝐶.𝑀. ∫ 𝑥 ′ . 𝑑𝑚 + 2𝑦𝐶.𝑀. ∫ 𝑦 ′ . 𝑑𝑚 + (𝑥𝐶.𝑀. 2 + 𝑦𝐶.𝑀. 2 ) ∫ 𝑑𝑚

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas: ∫ 𝑥 ′ . 𝑑𝑚 = ∫ 𝑦 ′ . 𝑑𝑚 = 0 Entonces: 𝐼𝑧 = ∫[𝑥′2 + 𝑦′2 ]. 𝑑𝑚 + (𝑥𝐶.𝑀. 2 + 𝑦𝐶.𝑀. 2 ) ∫ 𝑑𝑚

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes, por lo tanto: 𝐼𝑧 = 𝐼𝐶.𝑀. + 𝑚𝑟 2

5. CONCLUSIONES, OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES Observaciones: 

Las mediciones realizadas en este laboratorio fueron hechas con el mayor cuidado posible, pues se intentó reducir la mayor cantidad de variaciones como:



Tener distintos ángulos iniciales de oscilación, para evitar ello se usó un transportador, de modo que se puede tener un mayor control sobre los ángulos iniciales antes de iniciar la oscilación.



Considerar a la barra como un sólido de densidad uniforme y considerar su forma y sus agujeros, esto permitió calcular, analíticamente, valores más cercanos a la realidad.



El error cometido por la precisión de quien usa el cronómetro, el cual nos da una incertidumbre grande, es por esto que se calcula un promedio entre los periodos.



Existen otras variables, difícilmente controladas, como: la fricción entre el eje de rotación y la barra, la resistencia del aire, el movimiento de la cuchilla metálica, la temperatura, y los aparatos deficientes.



La gravedad que se consideró en el experimento fue de 9.81 m.s-2.

Conclusiones: 

Este experimento nos muestra el comportamiento del péndulo físico cada vez que varía la distancia del C.G al eje de giro. En el gráfico T vs. L se observa que cuando la distancia del C.G. al agujero disminuye, el periodo disminuye uniformemente. En una longitud dada, el periodo empieza a aumentar a una razón muy grande. En la gráfica de I vs L 2 se observa que conforme la longitud del agujero al C.G. aumenta, el momento de inercia aumenta.



La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teoría del péndulo físico es de gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometría exacta del objeto. Pero esta facilidad no indica que el cálculo sea correcto, ya que hay una diferencia notable en los momentos de inercia cuando se consideran los agujeros.



Un péndulo físico puede ser equivalente a un péndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimental



En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15°, para que sea un M.A.S. (Movimiento Armónico Simple), si pasa este ángulo se da un M.A.A. (Movimiento Armónico Amortiguado).

Recomendaciones: 

Para tener una mejor precisión en la medida de los periodos de oscilación es preferible usar un sensor, ya que la mayor imprecisión en este experimento la comete quien mide los tiempos con el cronómetro.

6. BIBLIOGRAFÍA Leyva Naveros, Humberto. Física I. 1° Edición. (2009). Leyva Naveros, Humberto. Física II. 1° Edición. (2009). Alonso, Finn. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995). Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992). Tipler. Física. Editorial Reverté (1994). Catala, J. Física General 7º Edición.