Informe Laboratorio 1

LABORATORIO 1 INTRODUCCIÓN A MAPLE PARA CALCULO INTEGRAL: METODOS DE INTEGRACION

Jeison Eduardo Flórez Cuervo 20081233012 Álvaro Felipe García Méndez 20081233048

Universidad de San Buenaventura, Bogotá [email protected], [email protected]

Abstract: Familiar with the operation of Maple in integral calculus. Reforming the basics about the different methods of integration. Verify the solutions of some integral Keywords: Integral, Integration methods, Calculus, definite.

1.

INTRODUCCIÓN

La enseñanza de las matemáticas, en la actualidad, requiere del uso de herramientas que permitan al alumno visualizar, relacionar y comprender mejor los conceptos abstractos. Entre la variedad de herramientas disponibles se encuentran las nuevas tecnologías como programas de cómputo, el uso del Internet, mejores procesadores, calculadoras científicas, graficadoras, etc. En el laboratorio de cálculo su objetivo es complementar la enseñanza tradicional de las matemáticas en el aula. El programa utilizado para la elaboración de prácticas es MAPLE. El formato de las prácticas permite al alumno comprender y reafirmar los conceptos vistos en la clase teórica, puesto que los temas que se desarrollan en las prácticas están en correspondencia directa con los vistos en clase; además, se pretende desarrollar habilidades en el uso de herramientas computacionales con aplicaciones enfocadas al campo de la ingeniería. El objetivo de este trabajo es exponer las experiencias y observaciones realizadas en la evaluación de los conceptos recibidos en clase y

aprender a usar un instrumento que nos beneficiara en el aprendizaje en relación al cálculo integral. 1.1. Métodos de integración Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

, lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:1

Lo más complicado suele ser la elección de u y dv en .

Sean u y v funciones definidas en un mismo dominio I, es decir:

la integración de , para comenzar podemos tener en cuenta la siguiente clasificación de funciones: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trascendente, Exponencial.

derivables en todo punto del dominio. Sabemos que:

Cada función de la clasificación LIATE tiene su derivada en una posterior, así que hemos de tomar "u" lo más a la izquierda posible en dicha clasificación y el resto será dv.

despejando, obtenemos:

Ejemplo:

Integrando esta expresión:

x es algebraica y ex es exponencial, por tanto, hemos de tomar u = x;dv = e^xdx diferenciando la primera e integrando la segunda, tendremos: du = dx,v = e^x, y la integral es:

Integración por partes. Es un método que surge de la fórmula de la derivada de un producto.

que es la fórmula de integración por partes. Esta fórmula se utiliza sobre todo para integrar funciones trascendentes, cuya derivada es algebraica, integrandos que sean productos de funciones polinómicas por trascendentes, y en general, integrandos que se puedan expresar como producto de una función por la derivada de otra. Así tenemos por ejemplo:

Fracciones Parciales. Una función racional algebraica es aquella cuya expresión corresponde al cociente de dos polinomios; esto es, de la forma P(x) / Q(x), donde P(x) es un polinomio de variable real, y de grado m, y Q(x) un polinomio de variable real de grado n. Las funciones racionales algebraicas (en lo sucesivo las abreviaremos como FRA) se pueden clasificar en: Propias: Si m < n Impropias: Si m > n, o a lo sumo m = n Así, pues, una FRA impropia puede ser transformada en una FRA propia equivalente, bajo la siguiente regla: P(x) / Q(x) = C(x) + R(x) / Q(x)

Con la fórmula anterior podemos obtener:

donde C(x) es el cociente que resulta de la división, y R(x) el residuo de la misma. La fracción R(x) / Q(x) es propia, pues se conoce que una división de polinomios culmina cuando el resto parcial alcanza un grado menor al del divisor. Lo que se traduce en que se necesita conocer cómo integrar FRA propias.

Sustitución trigonométrica. A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma: Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución: Expresión en el integrando

Una vez demostrado esto el usuario puede elegir a su gusto en la forma de escribir presentando varias alternativas. Continuando con el segundo ejercicio del problema guiado, tenemos:

Sustitución trigonométrica Problema Interactivo. Se completa el enunciado de la siguiente forma:

2. SOLUCION PROBLEMA GUIADO, PROBLEMA INTERACTIVO Y EJERCICIOS

Ejercicios. Para practicar se evaluaron las isguentes integrales

1. Problema Guiado. En el problema guiado nos plantean dos formas diferentes de integrar en Mapple.

2. 1. Y

3. 2. Se observa que escribiendo de cualquiera de las dos formas el resultado tiene que ser el mismo. Queda a disposición del usuario el método que más le convenga o se le facilite. Se puede notar que en este ejemplo se puede escribir o no el signo de multiplicación, como se demuestra en la ilustración siguiente.

4.

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La calidad de los diagramas y figuras debe tal que X. CONCLUSIONES 1. El software utilizado se presenta con mucha utilidad para la comprobación de problemas de integrales Para indicar el significado de la contribución, sus limitaciones, ventajas y posibles aplicaciones. 2. El manejo de Maple es una gran herramienta en la solución de integrales, tanto definidas como indefinidas. 3. El único inconveniente de esta gran herramienta es que nos saca solo anti derivadas de la integral, la constante C no sale 4. Es una herramienta que bien manejada puede ser una gran ayuda para nuestra vida profesional. REFERENCIAS http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos. pdf http://www.icme11.org/node/1354 Calculo conceptos y contextos, Ed Thomsom, pp. 130. Academic Press, New York. Ogata, K. (1987). Discrete-Time Control Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. Tadmore, G. (1989). Uncertain feedback loops and robustness. Automatica, 27, 1039-1042.