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Series de Fourier Graficas de los armónicos 1- OBJETIVO Observar el comportamiento de los armónicos que podemos obtenerlos mediante las series de Fourier 2- FUNDAMENTO TEORICO Ondas cuadradas (señales cuadradas).-

SEÑAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES Por su importancia en la transmisión de información en comunicaciones y lo extenso de su aplicación se estudiará esta señal:

En el intervalo 0  t  2 la señal g(t) está dada por 0t  1 g (t )     t  2  1 Representaremos esta señal por la serie trigonométrica de Fourier. Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que an=0 y contiene términos seno.

bn 

T = 2 2 0  1 T

2 T



 0

sen n 0 t 

2 T

2



sen n 0 tdt

entonces 

2

    2  cos nt  2  cos nt  bn    2  n  2  n   0   = 

1 1 cos n 1   1 cos n  n n

4 ......................... para n impar  b n   n 0 ........................... para n par 

g(t) =

 n 1

bn sen n 0 t =

4



sen t 

4 4 sen3t  sen5t 3 5

La expresión g(t) indica que sumando una señal senoidal de frecuencia:  1 4 hertz y de f0 0  volts de amplitud 2 2  3 4 Hertz y una amplitud de más una señal senoidal de frecuencia f = volts + ... 2 3 se obtiene una señal de pulsos rectangulares.

Ondas triangulares (señales triangulares). – Encuentre el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra, en la figura en el intervalo o< t
Señal Diente de Sierra. T

T

1 1 A Fn   g (t )e  jno t dt   t e  jn o t dt T0 T0T

Utilizando la fórmula integral :

 xe Tenemos:

x

dx 

e x

2

 x  1

Fn  

o 

T Ae  jn o t 2 2 2   jn o t  1 T n o 0

2



i  1 A A  2 2 e  jn 2   j 2n  1  2 2 4n  4n   jn2 Tenemos también e = cos n 2  - jsen n2  = 1 2

jA A A jA  2 2  2 2  2 n 4 n  2n 4n  jA Fn  2n Cuando n = 0 el resultado anterior no tiene sentido por lo que calculando Fn de 2.8 cuando n=o. Fn 

T

T 1 1 TA A t 2  Fo =  f (t )dt   tdt  2   T0 T 0 T T 20

A T 2  A = 2   T 2  2

 Fo = ao

Agrupando ambos resultados:

 jA Fn   2An  2

Para n  0

Utilizando este resultado para expresar g(t) en serie exponencial de Fourier

Para n = 0

Tenemos : g(t) = -

jA jot jA j 2ot jA  j 3ot jA  j 2   t jA  j   t A e  e ....... + + e e e 2 2 2 4 6 4 j n

Descomponiendo a Fn en su magnitud y fase: Fn = |Fn| e  A    1 C A 2 n   Fn = e j tg  0 2n  0    tg 1 ( )  90 0   Fn 

A 2n

Fn  an 2  bn 2

 2

`

  2  n    2

Para n = 1, 2, 3, . . . . Para n = -1, -2, -3, . . . . .

Espectro de amplitud y espectro de fase para la señal diente de sierra. Mediante la serie trigonométrica de Fourier: T

1 A a   f (t )dt  T0 2 an 

2 T



T

0

A t cos not  T T

  2 A  cos n 0 t tsen n  0 t   2  2    T n    0 n 0   0

Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier.Se deja al lector el cálculo de bn A A A A A  sen0 t  sen4 0 t . . . . . . . sen2 0 t  sen30 t g(t) = 2  4 2 3 Cn= an 2  bn 2  bn

 A  2n    bn  1 1 n   tg 1   tg    tg ( )    2  an   0    3- DESARROLLO Señal Cuadrada Con el programa Matlab programamos una serie de pasos que nos permitirá graficar nuestros armónicos

Posteriormente realizamos otro programa para señal triangular

Y Finalmente lo hicimos por separado los armónicos 7,9,11,13

4- CONCLUSIONES Pudimos observar que los armonicos se aproxima a la señal original que teníamos de entrada, se necesita verificar la programación para obtener las graficas correspondientes