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NOTA: 4,8 / 5,0

MODELOS MATEMÁTICOS PARA EXPERIMENTO DE RECIPIENTE CON AGUJERO EN SU BASE Felipe Chaparro (1), Manuel Maldonado (1), Javier Pérez (1) (1)

Estudiante de Pregrado, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia.

En este trabajo se da una revisión a lo solicitado en la guía y se observa la realización de todo lo indicado, así como el trabajo con programas que permitieron This work presents a study of the time it takes atambién cylindrical container to empty, according to la obtención dethis los gráficos. the diameter of a hole that is in the base of it. Seeks to relate variables: water height, hole

Abstract

diameter and time. Additionallly, seeks to find the mathematical model that represent this relations, using proportionality relations and analysis of graphics adjusted by the method of least squares. Based on this, it concluded that the time that takes the container to empty, is inversely proportional to the hole diameter and directly proportional to the water height.

Resumen Este trabajo presenta un estudio del tiempo que toma cierta cantidad de agua en desocupar un recipiente cilíndrico por un agujero en su base. Busca relacionar las variables altura del agua en el recipiente, diámetro del agujero y tiempo, además hallar el modelo matemático que las representa, mediante el uso de relaciones de proporcionalidad y el análisis de graficas ajustadas por mínimos cuadrados. A partir de esto se pudo concluir que el tiempo que tarda desocuparse el recipiente es inversamente proporcional al diámetro del agujero y directamente proporcional a la altura del líquido.

1.Introducción Desde los inicios de la civilización, el hombre ha tenido que enfrentarse a los fluidos y a sus movimientos aparentemente inexplicables, aleatorios, hasta el punto de ser atribuidos a la caprichosa voluntad dioses y divinidades. A pesar de ello, la humanidad no dio un paso al costado en el conocimiento, sino que se aventuró a revelar las leyes que regían el movimiento de los líquidos, una vez descubiertas las primeras nociones de este misterioso movimiento, el hombre no tardaría en hacer los primeros acueductos, sistemas de riego, regaderas y hasta empezar a entender como circula la sangre por los cuerpos. Era evidente que dicho conocimiento no se iba quedar sin formalizar, es por eso que en el siglo XVII el físico italiano Evangelista Torricelli desarrollo el teorema que lleva su nombre basándose en el estudio del flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un agujero en este. En pocas palabras el teorema afirma que: "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio."

Y matemáticamente relaciona las variables velocidad de salida del líquido (Vt), la aceleración de la gravedad (g), la altura del líquido contenido (h) y en algunos casos la velocidad inicial (Vo) así: 𝑣2

𝑣𝑡 = √2𝑔(ℎ + 2𝑔0 )

(1)

No obstante, en el siglo XVIII Daniel Bernoulli propuso un principio que explica el movimiento de un fluido en un flujo de corriente. Bernoulli afirma, con un flujo constante la suma de energías potencial y cinética es constante en todos los puntos del sistema, por lo que al cambiar el flujo variando el área transversal del tubo la energía cinética cambia y por lo tanto la velocidad. La ecuación continuación fue desarrollada por Euler, pero sintetiza el principio de Bernoulli relacionando las variables velocidad del fluido (V), densidad del fluido (p), presión a lo largo de la corriente (P) y la altura en dirección de la gravedad (z) así: 𝑣2𝜌 2

+ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

(2)

Por otra parte, debido a que el experimento es el pilar fundamental de la comprobación científica, el análisis de datos y resultados por los diferentes métodos como gráficas, tablas y demás; debe ser lo más claro y conciso posible, para la solución de las preguntas problema. Cuando hablamos de gráfica, podemos hablar de una muy cómoda y frecuente en el ámbito científico, la gráfica de dispersión. Al encontrarnos con esta, una técnica muy común para una mejor interpretación, según el caso presentado es la regresión (3), la cual estaríamos hablando de la mejor ecuación que describe el comportamiento de los datos. Uno de estos diversos tipos de regresión, es el Ajuste por mínimos cuadrados (3). Teniendo en cuenta esto en el análisis de datos de nuestro experimento, podemos entrar a tocar un tema muy interesante, la proporcionalidad (3), en nuestro caso, esto nos indica de qué manera se relacionan dos de nuestras variables, y que tipo de regresión sería la más adecuada para la descripción del comportamiento de nuestros datos. Teniendo en cuenta esto en el análisis de datos de nuestro experimento, podemos entrar a tocar un tema muy interesante, la proporcionalidad entre variables (3). Uno de los diferentes tipos de relaciones de proporcionalidad, es la proporcionalidad directa entre una variable, y otra elevada a un exponente, es decir, la proporcional existente en las funciones potenciales, la cual puede expresarse de la forma y = kx 𝑛 Donde n y k son constantes. Esta relación se estudia en diferentes casos dependiendo del valor de "n" así:

(3)

1. Si n= 1 y = kx

(4)

y = kx 𝑛

(5)

2. Para n>1

3. Para 0
𝑦 = k √𝑥 𝑎

donde

𝑎

n = 𝑏; a < b

(6)

4. Para n<0 k

y = 𝑥𝑛

(7)

En este trabajo, presentamos el análisis del tiempo que tarda un recipiente cilíndrico en desocuparse en función del diámetro de un agujero realizado en la base de este; tomando en cuenta diferentes cantidades de agua, las cuales son medidas como la altura que este fluido tiene dentro del recipiente. Presentamos que tipo de regresión es la más adecuada para el análisis completo y eficaz de los datos, para así, con cierto tipo de función encontrada, poder describir claramente la relación, tipo de proporción, que existe entre el diámetro del agujero y el tiempo empleado.

2. Desarrollo Experimental El experimento consintió en determinar el tiempo que un recipiente cilíndrico tarda en desocuparse con diferentes cantidades de agua, correspondientes a las alturas h (30,0 cm, 10,0 cm, 4,0 cm 1,0 cm). Agua la cual sale por agujeros realizados en la base del cilindro, los cuales cuentan con diámetros d (1,5 cm, 2,0cm, 3,0 cm y 5,0 cm). Tal como ilustra el Gráfico 1. Las incertidumbres del diámetro (±0,1 cm) y de la altura (±0,2cm) proceden de errores instrumentales. Cada medida fue repetida en varias ocasiones para las diferentes alturas "h", y los resultados fueron anotados en la tabla 1, donde se muestran los promedios de los tiempos (en segundos) necesarios para desocupar cada recipiente. Por la dificultad de medir tiempos cortos con un reloj, figuran menos cifras significativas en las medidas de estos que en las de tiempos largos. La incertidumbre en el tiempo (±0,3s), procede de diferentes factores sistemáticos y aleatorios

Tabla 1. Datos obtenidos del experimento

Gráfico 1. Montaje del experimento

3. Resultados y Análisis Al graficar los datos obtenidos en la práctica y realizar los análisis y ajustes respectivos se logra deducir con facilidad las relaciones entre el tiempo, diámetro y alturas. En el grafico 2 se aprecia la relación entre el tiempo y el diámetro de las diferentes alturas, al unir los datos con la curva continúa ajustada por el método de mínimos cuadrados se evidencia que el modelo matemático corresponde a una relación de proporcionalidad potencial (3) con exponente negativo, esto se debe a que el factor R2 de la función potencial era el más cercano a "1" en comparación con otros modelos matemáticos como la función exponencial. A partir de la definición del ajuste de mínimos cuadrados dicha curva obtenida representa la ecuación que relaciona las variables del experimento, por lo que según el programa que ajusto las curvas, las ecuaciones para cada una de las alturas son las que se expresan en la parte superior derecha del grafico 2, donde t1 corresponde a la altura 30,0 cm, t2 a la altura 10,0 cm, t3 a la altura 4,0 cm y t4 a la altura 1,0 cm.

80.0

t1 = 161,34d-1,97

Tiempo (s)

70.0

30,0

t2= 96,093d-1,999

60.0

10,0

50.0

4,0

40.0

1,0

30.0

Power (30,0)

t3 = 62,912d-2,06

t4 = 26,664d-1,798

Power (10,0)

20.0

Power (4,0)

10.0

Power (1,0)

0.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Diámetro (cm) Gráfico 2:relación entre el tiempo y el diámetro para diferentes alturas, con ajustes por mínimos cuadrados.

Tiempo (s)

Para deducir las relaciones entre la altura del líquido y el tiempo se realizó el grafico 3, del mismo modo que en el grafico 2, se pudo evidenciar que ambas relaciones se comportan como una función potencial (3), sin embargo las curvas del grafico 3 presentan un exponente racional entre cero y uno por lo que su comportamiento es muy diferente a las curvas del grafico 2, puesto que estas poseen un exponente negativo. A partir de esto y de las gráficas se demuestra que el diámetro es inversamente proporcional al tiempo, mientras que la altura es directamente proporcional al tiempo de acuerdo con la forma y = k𝑥 𝑛 . 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0

t5= 13,508h0,4989 t6 = 7,2749h0,5111 t7 = 3,6249h0,4708 t8= 1,3701h0,453

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

Altura (cm) 1,5

2,0

3,0

5,0

Power (1,5)

Power (2,0)

Power (3,0)

Power (5,0)

Gráfico 3:relación entre el tiempo y la altura para diferentes diametros, con ajustes por mínimos cuadrados.

Con el fin de comprobar cada una de las ecuaciones obtenidas por el ajuste de mínimos cuadrados que realizo el programa se ejecutó una transformación de variables de la forma T = log 𝑡, D = log 𝑑 y H = log ℎ a los datos de los gráficos 2 y 3 donde podemos hallar el

exponente de la función potencial (3) como la pendiente de una función lineal, expuestos en los gráficos 4 y 5.

Gráfico 4:relación entre T vs D con ajustes por mínimos cuadrados. 2

T1= -1,9704D + 2,2077

1.8

T2 = -1,9993D + 1,982

1.6

T3= -2,0671D + 1,7987

1.4

T4= -1,7976D + 1,4259

T

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

D 30,0

10,0

4,0

1,0

Linear (30,0)

Linear (10,0)

Linear (4,0)

Linear (1,0)

Con las ecuaciones T1, T2, T3, T4 se encuentra que existe una relación t ∝ d(−2,0±0,2) , y se comprueba la validez de las ecuaciones que arrojo el programa ajustador.

Gráfico 5:relación entre T vs H con ajustes por mínimos cuadrados 2

T5= 0,4989H + 1,1306

1.8

T6 = 0,5111H + 0,8618

1.6

T7 = 0,4708H + 0,559

1.4

T8 = 0,4531H+ 0,1367

T

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

H 1,5

2

3

5

Linear (1,5)

Linear (2)

Linear (3)

Linear (5)

Al obtener las ecuaciones T5, T6, T7, T8 se encuentra que existe una relación t ∝ h(0,50±0,01) , además la pendiente de estas coincide con el exponente de las ecuaciones halladas con el programa ajustador. También al analizar el signo de las pendientes obtenidas en los gráficos 4 y 5 y contrastarlos con el signo de los exponentes de las curvas de los gráficos 2 y 3, se reafirman las relaciones de proporcionalidad deducidas de las primeras graficas.

5.Conclusiones Este trabajo confirma el principio de Bernoulli puesto que a partir de los análisis realizados se concluye que el tiempo que tarda en desocuparse el recipiente es inversamente proporcional a el diámetro del agujero ( t ∝ d(−2,0±0,2) ) y directamente proporcional a la altura a la que es llenado (t ∝ h(0,50±0,01) ) conforme a la teoría, debido a que la velocidad que aparece en la ecuación de Bernoulli se relaciona con la variación de tiempo en el que recorre el fluido en una misma distancia, al ser este mayor o menor la velocidad en que se desocupa varia por lo que la energía cinética en el sistema cambia, comprobando así el principio de Bernoulli. El modelo matemático obtenido a partir de los análisis realizados corresponde a una relación de proporcionalidad de la forma y = k𝑥 𝑛 , es decir una función exponencial, donde la forma del exponente "n" será la que determine tanto el comportamiento de las variables como las relaciones de proporcionalidad entre ellas (directa, inversa). Además, se demuestra que con

dicho modelo matemático se puede predecir (extrapolar e interpolar) el comportamiento de las variables.

Agradecimientos Se agradece a la Universidad Nacional de Colombia por brindarnos la opurtunidad de conseguir una formacion cabal e integra tanto escolar como personalmente. También se agradece a Ángel Miguel Ardila, autor del libro guía para el desarrollo de este trabajo. Y por último a las familias de cada uno de los integrantes del equipo de trabajo.

Referencias [1] A.M Árdila. Física experimental. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de ciencias.(2007). [2] T.A. Relaciones de proporcionalidad. Unidad II. Universidad de El Salvador. (2003) [3] D.Z Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. Universidad de Valencia. (2008) [4] Wikipedia. (2017). Teoremade Torricelli. https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Torricelli [5] Hernanleon. (2002) Principio de Bernoulli https://hernanleon1002.wordpress.com/fisica-de-fluidos-y-de-termodinamica/segundocorte/marcoteorico/principio-bernoulli/

Apéndices A De acuerdo con la guía estipulada para el laboratorio, se pide extrapolar e interpolar los puntos 4,0 cm y 7,0 cm de las curvas ajustadas que se encuentran en el Gráfico 2. A continuación los resultados:

t1(4) = 10,51196412 ± 0,3 s t1(7) = 3,490590592 ± 0,3 s t2(4) = 6,014144098 ± 0,3 s t2(7) = 1.964901437 ± 0,3 s

t3(4) = 3,618695448 ± 0,3 s t3(7) = 1,142598511± 0,3 s t4(4) = 2,205065205 ± 0,3 s t4(7) = 0,8061930033 ± 0,3 s