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Carro sobre riel uniformemente acelerado Felipe Chaparro (1), Manuel Maldonado (1), Javier Pérez (1) (1) Estudiante de Pregrado, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia.

Resumen Este trabajo presenta el estudio del movimiento que realiza un carrito sobre un plano inclinado muy poca fricción, a partir de la medición directa de distancias y tiempos, donde el tiempo se define en una unidad diferente al segundo, y de la medición indirecta de la aceleración y las velocidades. Además, se busca relacionar dichas variables con el fin de describir cualitativamente y cuantitativamente el movimiento. Gracias a esto se determinó que el movimiento del carrito corresponde a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Abstract This work presents the study of a motion realized by a small car on an inclined plane without friction. The study is defined from direct measures of distance and time, and indirect measures of velocity and acceleration. Here the time was defined in another time unit from the second. Moreover, it seeks to relate those variables, in the order to have a quantitative and quantitative description of the motion. Based on this, the result was that the motion realized by the car, corresponds to a rectilinear motion with a uniform acceleration.

1.Introducción El movimiento ha sido uno de los problemas que ha cambiado la historia de la humanidad. Al estar estrechamente ligado al concepto de cambio, el movimiento ha sido objeto desde la antigüedad de gran discusión y estudio, especialmente alrededor de sus causas y de su descripción. Tan importante es que tan solo la descripción correcta del movimiento se tomó alrededor de veinte siglos y fracturo la historia en dos. En la antigüedad, Aristóteles planteo una cinemática guiada un poco por su sentido común, es el caso de la caída libre de los objetos; según él un objeto pesado caía más rápido que uno liviano. No fue hasta el siglo XVII, cuando Galileo con sus experimentos de planos inclinados y caídas libres ("plano vertical"), desmintió aquel planteamiento: ambos caen al mismo tiempo, allí se definió el concepto de movimiento uniformemente acelerado, un movimiento donde un objeto sufre una aceleración constante durante toda la trayectoria. Además de esto, Galileo logro descubrir las relaciones que había entre las variables del movimiento y deducir algunas de las ecuaciones que hoy se tienen para un movimiento uniformemente acelerado, a partir de la geometría de la época. Mas adelante, ya con el cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz se llegó de manera relativamente sencilla, a las siguientes ecuaciones:

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 1

𝑥𝑓 = 𝑥0 + +𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 𝑣𝑓 2 = 𝑣0 2 + 2𝑎 ∗ ∆𝑥

(1) (2) (3)

Al estar deducidas desde el cálculo integral y diferencial, las variables de posición, velocidad, y aceleración se encuentran relacionadas por la derivación con respecto al tiempo, es decir, la primera derivada de la función posición contra tiempo da como resultado la velocidad en función del tiempo y con la segunda derivada obtenemos la función de aceleración contra el tiempo del movimiento. Este trabajo presenta el análisis del movimiento que realiza un carrito sobre un riel inclinado con poca fricción tomando como objeto de estudio las mediciones directas de la posición y el tiempo mediante un marcador de timbre el cual permite conocer velocidades instantáneas de ciertos intervalos de tiempo. Teniendo en cuenta las ecuaciones (1)(2)(3), la derivación en problemas cinemáticos y las mediciones directas realizadas se pretende deducir variables como velocidad y aceleración, con el fin de describir y catalogar el movimiento en cuestión, tanto cualitativamente como cuantitativamente de la mejor forma posible.

2.Desarrollo Experimental El experimento realizado consistió en el análisis cinemático de un movimiento unidimensional. Para ello, se colocó sobre la parte superior de un riel inclinado, un carro diseñado especialmente para minimizar la fricción. En un extremo del carro se le pegó un pedazo de cinta de aproximadamente 1.20 m de largo, la cual pasaba bajo un marcador de timbre, este marca 60 puntos cada segundo es decir tenía una frecuencia de 60 Hrz. El sistema se muestra en la imagen 1.

Imagen 1: carro sobre riel

En el momento en el que se suelta el carro, la cinta bajo el marcador de timbre son el medio para registrar el movimiento del carro. Las unidades de tiempo se definieron por medio de

los puntos que marcaba el timbre sobre la cinta, se tomó como una unidad de tiempo (ut) al intervalo correspondiente a 5 puntos. La incertidumbre de este (±0.2 ut), procede del error nominal del instrumento. Posteriormente, para determinar la distancia recorrida por el carro, en relación al tiempo, se midieron con una regla, las distancias entre cada intervalo de cinco puntos marcados en la cinta, su incertidumbre (±0.1cm) al igual que la del tiempo, es producto del error nominal del instrumento. Los resultados se anotaron en la tabla 1. (t±0.2 ) ut 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(x± 0.1)cm (t±0.2 ) ut (x± 0.1)cm 0.4 14 28.3 0.9 15 32.1 1.8 16 36.2 2.9 17 40.7 4.7 18 45.3 5.9 19 50.3 7.8 20 55.4 9.9 21 60.7 12.3 22 66.6 15.1 23 72.5 17.9 24 78.6 21.1 25 85.3 24.6 26 91.7 Tabla 1

3.Resultados Y Discusiones Cómo se mencionó en el párrafo anterior, las marcas realizadas por el timbre en la cinta fueron la clave para inferir la distancia que recorrió el carro con respecto al tiempo. Al analizar dichas marcas, se descubren características muy interesantes, por ejemplo, el patrón de espaciamiento entre los puntos, en las primeras marcas, es decir, al principio del movimiento, los puntos están mucho más juntos entre ellos que al final del movimiento, donde dicha distancia es más considerable. Estas distancias corresponden a la velocidad instantánea del carro en determinados intervalos, ya que entre más distancia recorría el carro en cierta cantidad de tiempo, más cantidad de cinta pasaba por debajo del timbre en ese mismo tiempo ocasionando así el espaciamiento. De este análisis, se evidencia que la velocidad varia, siendo mayor en la parte final del movimiento, por lo que según la definición el movimiento es acelerado. Basándonos en los resultados recogidos en la tabla 1, se elabora el grafico 1, el cual estudia la relación entre posición (cm) vs tiempo (ut) en la cual se realizó un ajuste polinómico. Al comparar la ecuación x = 0.1265𝑡 2 + 0.2429t − 0.0264 con la ecuación de movimiento 1 rectilíneo uniformemente acelerado 𝑥𝑓 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 se tiene que en el experimento 1 𝑥0 = −0.0264cm , 𝑣0 = 0.2429 𝑐𝑚⁄𝑢𝑡 y 2 𝑎 = 0.1265 𝑐𝑚⁄𝑢𝑡 2 , sin embargo, en el

experimento, el carro parte del reposo y en una posición inicial cero, es decir con 𝑥0 = 0cm y 𝑉0 = 0 𝑐𝑚⁄𝑢𝑡. Es evidente que los resultados obtenidos experimentalmente no coinciden con las ecuaciones teóricas, esto se debe a que el experimento no se pudo aislar de posibles errores sistemáticos, como la ausencia total de fricción en el riel y la ausencia de la resistencia del aire, o relacionados con la medición como medir exactamente el punto donde el carro empezó su movimiento. No obstante, estos valores resultan muy pequeños como para impedir un análisis correcto del experimento. Ahora, estudiando la gráfica, es fácil notar que el movimiento no es constante, por lo que, confirmando ideas anteriores, se comprueba que el carro recorre más distancia a medida que el tiempo es mayor.

Grafico 1 100 90 80

x = 0.1265t2 + 0.2429t - 0.0264 R² = 1

x (cm)

70 60 50 40 30 20 10 0 0

5

10

15

20

25

30

t (ut)

El grafico 1.1 se presenta distancia (cm) vs tiempo (ut) con mediciones directas y tendencia potencial, realizada con el fin de definir una ecuación con incertidumbres tal como se exige. Sin embargo, de esta grafica no se puede extraer ni contrastar con las ecuaciones teóricas que hemos tratado anteriormente. Por otro lado, se incluye para mostrar otros modos posibles de la descripción del movimiento, no obstante, por el factor de correlación (𝑅 2 ), se demuestra que la mejor curva posible esta definida de forma polinómica.

Gráfico 1.1 distancia (cm)

100

x = (0.29±0.02)t (1.8±0.2) cm R² = 0.9963

80

60 40 20 0 0

5

10

15

Tiempo (ut)

20

25

30

Con el objetivo de analizar minuciosamente todas las variables del movimiento, se realizó el Grafico 2 donde se encuentra las velocidades instantáneas de unidad de tiempo en función del tiempo, cabe aclarar que las velocidades instantáneas se hallaron mediante la ecuación (1) donde la aceleración se definió en términos de posición, tiempo y velocidad inicial partir de la ecuación (2) dando como resultado la expresión ∆𝑣 =

2∆𝑥 ∆𝑡

la cual evidentemente

contiene variables conocidas experimentalmente, además al derivar la ecuación obtenida del grafico 1 concuerda con el ajuste de mínimos cuadrados aplicado a los datos del grafico 2. Allí se puede observar una recta con pendiente mayor que cero lo que comprueba que la velocidad aumenta a medida que pasa el tiempo a la misma tasa. Ahora bien, sabiendo esto, se puede afirmar que la pendiente de dicha recta representa la aceleración del movimiento, la cual es positiva y constante en todos los intervalos de tiempo.

Gráfico 2 8

v =( 0.25±0.01)x + (0.47±0.01) R² = 0.9996

7

Distancia (cm)

6 5 4 3 2 1 0

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo (ut)

Por último, en el grafico 3 aparece la aceleración vs tiempo, con la aceleración calculada indirectamente mediante la ecuación (1) con los datos de velocidad del gráfico 2 y los valores de tiempo medidos en el laboratorio, donde se aprecia que los datos tienden a formar una recta constante de pendiente cero, lo que confirma de nuevo que no hay cambio en la aceleración, sin embargo es evidente que los valores de la aceleración en los primeros instantes de tiempo no obedecen a la función constante, esto se puede explicar por los errores sistemáticos (Fricción, resistencia del aire) mencionados anteriormente y posibles errores al acotar de manera precisa el recorrido del carrito.

aceleración (cm/ut2)

Gráfica 4

0

a = -0,0025t + 0,25 R² = 0,671

5

10

15

20

25

30

Tiempo (ut)

Por el grafico 3 se deduce que el único valor cuantitativo independiente del tiempo es la aceleración por lo que, a partir de todos los análisis se puede deducir que la aceleración del carrito durante todo su recorrido es de (0,25 ± 0,01) 𝑐𝑚⁄𝑢𝑡 2 .

4.Conclusiones A partir de los ajustes realizados por mínimos cuadrados en los grafico 1, 2 y 3 se encuentra que existe correspondencia con las ecuaciones teóricas (evidentemente no coinciden perfectamente con la teoría a causa los errores sistemáticos en el laboratorio), de acuerdo con esto se llega a la conclusión que el carro sobre el riel tiende a seguir un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con una aceleración de (0,25 ± 0,01) 𝑐𝑚⁄𝑢𝑡 2 .

Referencias Ardila, á. m. (2007) Física experimental. Bogotá: universidad nacional de Colombia. Hung D. Young R. (2013) Física universitaria. (treceava ed.) Pearson Stephen Hawking. (2010) a hombros de Gigantes las grandes obras de física y astronomía. critica.