Informe Capacitor.docx

Práctica 3. Carga y descarga del capacitor. Solange Alejandra Sanguil Mogrovejo, GR1-S1, [email protected] Laboratorio de Electricidad y Magnetismo, Departamento de Formación Básica, Escuela Politécnica Nacional Ing. Silvio Yaselga, lunes 21 de enero de 2019 Resumen– Se analizan los procesos de carga y descarga de un capacitor en un circuito R-C, en el cual las magnitudes de voltaje, intensidad de corriente y carga almacenada varían en el tiempo. El comportamiento de estas variables puede predecirse matemáticamente mediante la Ley de Ohm y la Ley de Kirchhoff para las espiras. Por lo tanto, experimentalmente se comprueba que las relaciones establecidas por estas leyes se cumplan en el circuito. Además, se estudia la constante de tiempo del circuito relacionada a estos procesos.

INTRODUCCIÓN Un circuito de corriente continua R-C se compone por resistencias y capacitores conectados en serie, lo cual ocasiona que la corriente que circula por el circuito varíe en el tiempo. Idealmente, se procura que la fuerza electromotriz suministrada al circuito sea constante. CARGA DEL CAPACITOR La Fig. 1 muestra un circuito de este tipo. Cuando el switch está abierto, el capacitor se encuentra descargado. Al cerrar el switch o interruptor inicia un proceso de carga en el capacitor debido al flujo de corriente. Dicha corriente varía con el tiempo. 𝑑𝑞 (1) 𝑖= 𝑑𝑡 𝑑𝑞 Donde 𝑖 es la corriente en función del tiempo y es la 𝑑𝑡 variación de carga a través del tiempo. Cuando se cierra el interruptor (t=0), la diferencia de potencial a través del capacitor es igual a cero, estableciendo una relación entre el potencial y la carga del capacitor se cumple la expresión (2). (2) 𝑞 = 𝐶𝑉𝑐 Donde C es la capacitancia y 𝑉𝑐 (𝑡) es el voltaje en el capacitor. Cabe destacar que ambos valores varían en el tiempo. I.

Por lo tanto, la diferencia de potencial se concentra en el resistor, obedeciendo la Ley de Kirchhoff para las espiras, la cual establece que la suma algebraica a través de los distintos elementos que conforman un circuito es igual a cero [2]. La corriente inicial a través del resistor puede describirse con la Ley de Ohm (3). (3) 𝑉𝑅 = 𝑅 ∙ 𝑖 Donde 𝑉𝑅 es la diferencia de potencial a través del resistor y 𝑅 es la resistencia. Como ya se mencionó, la fuente de voltaje es constante y, por lo tanto, al aplicar la Ley de Kirchhoff para las espiras en el circuito, se llega al resultado (4). 𝑞 (4) 𝜀 − 𝑖𝑅 − = 0 𝐶 Es posible deducir la expresión que describe la carga en el capacitor en función del tiempo (5) a partir de (1) y (4) y tomando en cuenta las condiciones iniciales. −𝑡 (5) 𝑞 = 𝐶𝜀( 1 − 𝑒 𝑅𝐶 ) Donde 𝐶𝜀 es equivalente a la carga final en el capacitor 𝑄𝑓 . Al derivar la expresión (5) con respecto al tiempo, es posible relacionar la intensidad de corriente en el circuito en función del tiempo (6). 𝑖=

𝜀 −𝑡 𝑒 𝑅𝐶 𝑅

(6)

𝜀

Donde es el valor de la corriente inicial 𝐼0 en el circuito, de 𝑅 acuerdo a la Ley de Ohm. De (5) y (6) se infiere que la cantidad 𝑅𝐶 es una unidad de tiempo. De acuerdo a (6), cuando el tiempo es igual a dicha cantidad se cumple que la corriente en el circuito ha disminuido 1 veces su valor inicial, aproximadamente 37%. Al mismo 𝑒

1

tiempo, la carga ha alcanzado (1 − ) su valor final, 𝑒 aproximadamente 67%. El valor 𝑅𝐶 se conoce como constante de tiempo o tiempo de relajación (7). (7) 𝜏 = 𝑅𝐶

Figura 1. Circuito R-C en proceso de carga [1] .

DESCARGA DEL CAPACITOR Suponiendo que el capacitor está totalmente cargado y que no fluye ninguna carga a través de este, se deja de suministrar una fuente de voltaje al circuito y se abre el interruptor. Al cerrar el interruptor inicia un proceso de descarga del capacitor como se muestra en la Fig. 2. Se toma como tiempo inicial (t=0) el momento en que inicia dicho proceso.

1

similar al de la Fig. 2. Inmediatamente, se cierra dicho interruptor y se procede a medir las diferencias de potencial con los multímetros a través del capacitor y resistencia, cada diez segundos durante un tiempo estimado de cuatro minutos. III.

.

Al aplicar la ley de Kirchhoff para las espirar en el circuito se llega a la expresión (8). 𝑑𝑞 𝑞 (8) 𝑖= =− 𝑑𝑡 𝑅𝐶 El signo negativo en (8) se explica debido al sentido en el que fluye la corriente. Si se integra (8) con respecto al tiempo tomando en cuenta las condiciones iniciales, se hallar una relación de la carga en el capacitor para el proceso de descarga (9). (9) 𝑞 = 𝑄𝑜 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 Donde 𝑄𝑜 es la carga en el capacitor cuando t=0. La corriente instantánea (10) viene dada por la derivada con respecto al tiempo de (10), tomando en cuenta las condiciones iniciales [1]. 𝑄0 −𝑡/𝑅𝐶 (10) 𝑖=− 𝑒 = 𝐼𝑜 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 𝑅𝐶 II.

METODOLOGÍA DE LA EXPERIMENTACIÓN

La práctica experimental consta de dos partes. El aparato empleado para realizar las mediciones es un multímetro modelo DT 5808. La primera parte está ligada al proceso de carga del capacitor. Antes de configurar el circuito, se comprueba que la fuente de voltaje se encuentre desconectada. Se implementa el circuito ilustrado en la Fig. 1, tomando en cuenta la polaridad del capacitor y que inicialmente la fuente de voltaje está apagada. Con la ayuda de un multímetro se determina el valor de la capacitancia y la resistencia de los elementos del circuito. Posteriormente, se conecta los multímetros a las terminalres de dichos elementos, configuradfos a fin de medir la diferencia de potencial. Con la fuente de voltaje encendida, se cierra el interruptor del circuito y se toma los datos de la diferencia de potencial en el capacitor y resistencia cada 15 segundos durante un tiempo aproximado de cuatro minutos. Una vez que el capacitor se encuentra ca4rgado, se lleva a cabo el proceso de descarga. Para ello, se desconecta la fuente de voltaje del circuito y se abre el interruptor, implementando así un circuito

El circuito RC es un caso particular de un circuito DC, es decir, un circuito corriente continua. En este tipo de circuitos, el condensador o capacitor cumple la función de almacenar energía. En el circuito RC estudiado, la energía potencial almacenada en el capacitor es igual trabajo realizado por el agente externo en el proceso de carga, en este caso, la fuente electromotriz. Esta relación se puede comprobar de forma teórica, a partir de (2) y (5) es posible hallar una ecuación del voltaje en el capacitor en función del tiempo. −𝑡 (11) 𝑉𝑐 = 𝜀( 1 − 𝑒 𝑅𝐶 ) La relación (11) se verificó de forma experimental. Los resultados se pueden apreciar en la Fig. 3. En dicha gráfica, se evidencia que el voltaje en el capacitor durante a aumentar durante el proceso de carga y tiende asintóticamente al valor de la fuerza electromotriz, fem. Por otra parte, en las terminales de la resistencia sucede lo contrario, como se visualiza en la Fig. 4. En esta gráfica, el voltaje inicialmente tiende al valor nominal de la fem y conforme transcurre el tiempo disminuye hasta aproximarse a cero. Se cumple que la fuente de voltaje es constante, por consiguiente, al comparar las dos gráficas antes mencionadas se puede comprobar que, para un determinado instante de tiempo, la suma del voltaje a través de ambos elementos, capacitor y resistor, es igual al valor nominal de la fem, cumpliendo así con (4). Una de las incógnitas que puede surgir al observar ambas gráficas es el tiempo en el cual el capacitor tarda en cargarse por completo. (2) 𝑄𝑓 = 𝐶𝜀 𝑄𝑓 = 2 200 [𝜇𝐹] ∙ 11.53 [𝑉] = 25.366 [𝑘𝐶] 15

Voltaje [V]

Figura 2. Circuito R-C en proceso de descarga [1]

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

10 Experimental 5

Teórico Media móvil (Experimental)

0 0

50

100

150

200

250

Tiempo [s] Figura 3. Voltaje en función del tiempo para un capacitor en proceso de carga.

2

15

Experimental

Experimental

Teórico

10

Media móvil (Experimental)

5

Voltaje [V]

Voltaje [V]

15

10

0 0

50

100

150

200

0

Tiempo [s]

𝑞 = 2 200 [𝜇𝐹] ∙ 11.53 [𝑉] ( 1 − 𝑒

−10∗𝑅𝐶 𝑅𝐶

)=

𝑞 = 25.365 [𝑘𝐶] Entonces, cuando el tiempo transcurrido es 594 segundos, alrededor de 10 minutos, el capacitor se encontrará cargado casi por completo. El otro proceso estudiado fue el de descarga del capacitor, en el cual se desconecta la fuente de voltaje al circuito y, como el capacitor se encuentra cargado, empieza a liberar su energía almacenada. Sin embargo, al estar conectado a una resistencia, dicha descarga no es instantánea, sino que obedece el principio de conservación de energía. Según se establece en (2) y (9), puede deducirse el valor de la diferencia de potencial en las terminales del elemento capacitivo durante la descarga. −𝑡 (2) 𝑉𝑐 = 𝜀 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 Este comportamiento se encuentra descrito mediante la Fig. 5. Conforme lo establece la ley de Kirchhoff para las espiras para el circuito (4), la diferencia de potencial medida en las terminales del elemento resistivo será igual al valor negativo del voltaje en el capacitor para el mismo instante de tiempo, como se puede ver en la Fig. 6. Al comprar las dos gráficas citadas es evidente que ambas tienden a un valor asintótico de cero, pues la energía se va disipando conforme el tiempo tiende a infinito y el capacitor se descarga. Para este caso, la constante de tiempo del circuito será igual tanto en el proceso de carga como de descarga, sin embargo, el tiempo de descarga no necesariamente es igual al de carga.

50

100

150

200

Tiempo [s] Figura 5. Voltaje en función del tiempo para un capacitor en proceso de descarga.

0

0

Voltaje [V]

Según establece (7), dicho tiempo puede determinarse en función de la constante de tiempo del circuito. (7) 𝜏 = 𝑅𝐶 𝜏 = 27 000 [Ω] ∙ 2 200 [𝜇𝐹] = 59.4 [s] Ester resultado implica que cuando el tiempo es igual a 59.4 segundos, el capacitor se encuentra cargado un 63%. De acuerdo a (5), puede decirse que cuando el tiempo es aproximadamente 10 veces el valor de la constante de relajación, la carga en el capacitor ha alcanzado prácticamente su valor final [1]. −𝑡 (5) 𝑞 = 𝐶𝜀( 1 − 𝑒 𝑅𝐶 )

Media móvil (Experimental)

5

0

250

Figura 4. Voltaje en función del tiempo para un resistor en un circuito R-C en proceso de carga.

Teórico

50

100

150

200

-5 Experimental

Teórico

-10

Media móvil (Experimental)

-15

Tiempo [s] Figura 6. Voltaje en función del tiempo para un resistor en un circuito R-C en proceso de descarga.

Analizando ambos procesos, carga y descarga del capacitor, se puede hacer una relación entre el comportamiento del capacitor y otros elementos del circuito. En el proceso de carga, inicialmente el capacitor se comporta como un cable común, puesto que por este circula una corriente inicial y su diferencia de potencial es cero. Si ha pasado mucho tiempo, el capacitor se asemeja a un cable abierto, puesto que la corriente que circula por este es prácticamente nula y la diferencia de potencial en sus terminales se aproxima al valor de la fuente electromotriz. Cuando inicia el proceso de descarga el capacitor se comporta como una fuente de voltaje temporal, la corriente que circula por este elemento tiene signo negativo y disminuye con el tiempo, mientras que el valor del voltaje es equivalente al de la fem que se suministró en el proceso de carga. Cuando el tiempo tiende a infinito en el proceso de descarga el capacitor se asemeja a un cortocircuito, pues tanto el voltaje como la intensidad de corriente son prácticamente cero [4] .

3

30

0

20

Experimental 10 Media Móvil (Experimental) 0 50

100

150

200

Tiempo [s] Figura 8. Carga en función del tiempo para un capacitor en proceso de carga.

30

Carga [mC]

25 Teórico

20 15

Experimental

10

Expon. (Experimental)

5 0 0

50

100

150

200

Tiempo [s] Figura 7. Carga en función del tiempo para un capacitor en proceso de descarga.

La forma en la que varía la carga del capacitor conforme transcurre el tiempo en los procesos de carga y descarga se pueden apreciar en las gráficas descritas por la Fig. 7 y Fig. 8, respectivamente. En la primera gráfica, se visualiza una curva creciente que describe el aumento de la carga en el capacitor en el proceso de carga, de forma teórica, dicha variación cumple con (5). En contraste, la curva decreciente que se observa en la Fig.8 corresponde a la carga del capacitor al proceso de descarga, cuyo comportamiento obedece a (9). A fin de graficar el comportamiento real de dicha magnitud se empleó la relación dada por (2), es decir, se determinó una carga instantánea en función del voltaje. 50

Corriente [µA]

40 Teórico

30

Experimental

20 Expon. (Experimental) 10 0 0

50

100

150

100

200

Tiempo [s] Figura 7. Intensidad de corriente en función del tiempo para un capacitor en proceso de carga.

150

200

Teórico

-20

Teórica

0

50

Intensidad [µC]

Carga [mC]

0

Experimental

Media móvil (Experimental)

-40

-60

Tiempo [s] Figura 8. Intensidad de corriente en función del tiempo para un capacitor en proceso de descarga.

Por otra parte, las Fig. 9 y Fig. 10 describen la variación de la corriente en el capacitor en el tiempo cuando el capacitor se carga y descarga, respectivamente. Como se ve en la primera gráfica, al inicio del proceso de carga, dicho valor es máximo y gradualmente disminuye de manera exponencial hasta ser casi nulo cuando el capacitor ya está cargado, tal y como lo establece (6). En cambio, como se aprecia en la Fig. 10 cuando inicia el proceso de descarga la corriente en el capacitor tiene un valor negativo, debido a que fluye en un sentido opuesto al que se ilustra en el proceso de carga; esta variación se explicar matemática con la función dada por (8). Los valores instantáneos de corriente vienen dados por (3). En ambos procesos, el valor de la intensidad de corriente que fluye por el capacitor tiende asintóticamente a cero. Por último, es importante destacar que para todos los gráficos de dispersión presentados se estableció un error porcentual en las mediciones igual al 5%. Dicho error puede ser el resultado de cierta imprecisión entre cada medición y el tiempo respectivo. Sin embargo, las curvas experimentales también presentan un comportamiento exponencial, según lo establece las funciones correspondientes. IV. CONCLUSIONES Los valores de carga, intensidad de corriente y diferencia de voltaje en un capacitor que se encuentra en proceso de carga o descarga dependen de la resistencia del circuito y la capacitancia de dicho elemento. Durante el proceso de carga el capacitor tiene un valor de corriente inicial, el cual disminuye conforme pasa el tiempo y, por el contrario, dicho elemento aumenta exponencialmente su carga conforme pasa el tiempo. Durante el proceso de descarga el capacitor tiene una intensidad de corriente negativa que disminuye asintóticamente a cero, al igual que su carga. Mientras el capacitor se encuentra en proceso de carga, el valor de la diferencia de potencial disminuye las terminales del resistor y aumenta en las del capacitor. Para cualquier instante, la suma algebraica de ambas cantidades es igual al valor nominal de la fuente de voltaje.

4

Cuando el capacitor se encuentra descargándose, la diferencia de potencial tanto en el capacitor como en el resistor tienden a cero, puesto que no existe una fuente de voltaje conectada al circuito. La constante de relajación es una medida de tiempo característica de los circuitos R-C que describe cuánto tarda el capacitor en cargarse o descargarse, según sea el caso. Los estados estables permiten establecer cómo se comporta un capacitor en un circuito R-C durante los procesos de carga y descarga cuando el tiempo es cero o tiende a infinito.

Referencias

[1]

[2] [3]

F. Sears, M. Zemansky, H. Young y R. Freedman, Física Universitaria con Física Moderna, Doceava ed., vol. II, Pearson Education, 1999. R. Resnick, D. Halliday y S. Kenneth, Física, Cuarta ed., vol. I, John Wiley & Sons, 1992. A. Rojas, «Circuitos de Primer Orden,» Chimbote, 2015.

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