Informe Accionamientos Sistemas Continuos.docx

Herramientas de modelado y simulación de sistemas continuos Simulación de sistemas dinámicos - Modelado y simulación de un vehículo eléctrico Diego Fernando Balcázar, Andres Muñoz Acosta y Julián Pineda Rueda 1 Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, Colombia [email protected] [email protected] [email protected] Resumen— En el siguiente informe se describe el desarrollo y los resultados del curso de modelado y simulación de sistemas continuos realizado por el profesor Luis Silva. Se presenta la metodología para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante métodos numéricos y la utilización de la representación energética macroscópica (EMR) para la simulación de un vehículo eléctrico. Palabras clave— Simulación, Modelado, EDOs, EMR, Vehículo eléctrico.

I. INTRODUCCIÓN La primera etapa del curso tenía como objetivo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante métodos numéricos, dado que la dinámica de los sistemas continuos suele representarse mediante ecuaciones complejas que resultan muy difíciles de resolver analíticamente. El desarrollo del curso aplicaba principalmente los métodos de Euler y el método Heun para la solución de los problemas en cuestión. La segunda parte del curso tenía como propósito realizar la simulación de un vehículo eléctrico. Para el desarrollo de esta tarea se requería la utilización de técnicas avanzadas para obtener un modelo matemático de todos los fenómenos físicos presentes en el vehículo; para esto se empleó un modelo que permitía acoplar todos los subsistemas presentes en el mismo y la puesta en marcha de una etapa de control EMR, mediante el uso de Simulink. Este modelo ayuda a interpretar, de manera adecuada, el intercambio de potencia en todos los subsistemas y a tener una idea de la distribución de energía que realiza el sistema. II.

OBJETIVOS    

III.

Predecir el comportamiento de un sistema continúo utilizando los métodos numéricos de Euler y Heun. Comprender el funcionamiento de la representación energética macroscópica para modelar un sistema continuo. Modelar un vehículo eléctrico utilizando el formalismo EMR Realizar el control de un vehículo eléctrico en los subsistemas que se requieren.

iniciales conocidos para un rango de valores. Partiendo de un valor inicial x0 y avanzando con un paso h, se pueden obtener los valores de la solución de la siguiente manera: 𝑌𝑘+1 = 𝑌𝑘 + ℎ𝑓(𝑥𝑘 , 𝑌𝑘 ) (1) Donde Y es solución de la ecuación diferencial y f es la ecuación diferencial en función de las variables independientes. Método de Heun Este método consiste en una mejora del método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, conociendo el valor inicial. En este caso, lo que se realiza es un promedio entre el valor obtenido por Euler y otro obtenido a partir de la aproximación del valor de la función en el punto siguiente, también por Euler. ℎ 𝑌𝑘+1 = 𝑌𝑘 + (𝑓(𝑥𝑘 , 𝑌𝑘 ) + 𝑓(𝑥𝑘+1 , 𝑌𝑘+1 ) (2) 2 Donde Y es solución de la ecuación diferencial, f es la ecuación diferencial en función de las variables independientes y la solución de Yk+1 es una aproximación de Euler. Representación Energética Macroscópica EMR La Representación Macroscópica Energética (EMR) se introdujo en el año 2000 para el desarrollo de investigaciones de equipos y máquinas electromecánicas complejas, especialmente en sistemas de transmisión múltiple. La EMR se basa en el principio de acción-reacción, que organiza el sistema como subsistemas interconectados de acuerdo con la causalidad integral, lo que conduce a la utilización de bloques de macrocontrol. A continuación, se enuncia el significado de cada uno de los pictogramas de acuerdo a la reglamentación de la EMR.



Fuentes

MARCO TEÓRICO

Método de Euler. El método de Euler consiste en encontrar iterativamente la solución de una ecuación diferencial de primer orden y valores

Ejemplos: Baterías, ultra capacitores.

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Acumulación

Ejemplos: Capacitancias, inductancias, ejes mecánicos. 

Conversión Monofísica

𝑑 2 𝑥1 (𝑡) = 𝑥2 (𝑡) (3) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥1 (𝑡) 1 = (𝐹 − 𝑏𝑥2 (𝑡) − 𝑘𝑥1 (𝑡)) ∗ ( ) (4) 𝑑𝑡 𝑚 Seguidamente, se encuentra la solución analítica de esta ecuación y se programa un script en Matlab que resuelva el sistema con el método de Euler y Heun en un intervalo de ti=0 y tf=20. Se grafica su posición y velocidad para h=0.01, h=0.1 y h=1 y se comparan los resultados obtenidos con la solución analítica. Solución analítica: 𝑡 √3 − 𝑡 √3 √3 𝑒 2 sin ( 𝑡) − 𝑒 −2 cos ( 𝑡) (5) 3 2 2 𝑡 √12 − √3 𝑥2 (𝑡) = 𝑒 2 sin ( 𝑡) (6) 3 2

𝑥1 (𝑡) = 1 −

Ejemplos: Convertidor DC/DC, transformador, reductor de velocidad.

Scripts en MATLAB: 

Conversión Multifísica

Ejemplo: Máquinas eléctricas. 

Para realizar el proceso de resolver EDOs, se utilizan 4 scripts, los cuales se dejan como Anexos (1,2,3 y 4). En estos scripts se encuentran las funciones de cada método numérico, la función que modela el sistema continuo masa-resorte y un script que ejecuta todas estas funciones y muestran las gráficas comparativas. Los resultados se muestran en las Figuras 2 y 3.

Acoplamiento Monofísico

Ejemplo: Bus DC. Los pictogramas se interconectan utilizando variables de intercambio de energía (flechas). El producto entre las variables de acción y reacción es igual a la potencia instantánea intercambiada entre dos elementos. IV.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Representación de un sistema dinámico Masa – Resorte Dado el sistema masa resorte que se muestra en la Figura 1, se encuentran las EDOs que permiten modelar el sistema tomando como variables de estado la posición y la velocidad de la masa. Para el sistema los parámetros son F=m=b=k=1 y condiciones iniciales cero.

Figura 2. Gráfica de posición y velocidad utilizando el método de Euler para h=0.01, h= 0.1 y h=1. La grafica analítica se encuentra superpuesta.

Como se puede observar, para el caso h=0.01 se obtiene un muy buen resultado, incluso no se percibe la diferencia entre las gráficas, dado que están completamente superpuestas. Para un paso h=0.1, se observa una ligera diferencia, sobre todo en los mínimos y máximos de las gráficas, pero de igual manera se puede concluir que el resultado es aproximado al comportamiento de la solución analítica. Para el último paso, h=1, es preciso concluir que no se obtiene un resultado acorde con el resultado real; el método genera como resultado unas oscilaciones periódicas sin relación con la solución analítica. Resultados obtenidos aplicando el método de Heun:

Figura 1. Sistema masa resorte.

𝑖(𝑡) = (1 − 𝑒 −𝑡 ) (8) Se realiza el proceso utilizado anteriormente (caso de estudio masa-resorte) para predecir el comportamiento de la corriente utilizando los métodos de Euler y Heun. Es necesario generar un script que sirva como función para que el Anexo 4 lo ejecute de la misma manera que el anterior caso. Este nuevo archivo se deja como Anexo 5.

Resultados

obtenidos

con

el

método

de

Euler:

Figura 3. Gráfica de posición y velocidad utilizando el método de Heun para h=0.01, h= 0.1 y h=1. La grafica analítica se encuentra superpuesta.

Similar al método aplicado anteriormente, se observa una gran semejanza entre el resultado analítico y el método numérico programado en Matlab para los dos primeros pasos o parámetros: h=0.01 y h=0.1. Después de emplear un paso de valor h=1, en la gráfica final (azul) se detalla el desfase con respecto a la gráfica de la solución analítica (amarilla), lo que modifica la precisión de los valores de la respuesta (valores mínimos y máximos) de la solución programada. Sin embargo, cabe destacar que las dos gráficas tienen la misma tendencia de comportamiento después de que ha transcurrido un tiempo de t=10[s]. Modelo Opcional – Carga RL serie. Luego de comprender los métodos numéricos anteriormente enunciados, se desarrolla un ejercicio similar para reforzar los conocimientos adquiridos. Es necesario identificar la EDO que permite modelar el sistema de un circuito RL serie, donde la variable de estado es la corriente en la bobina y los parámetros son R=L=Vi=1, como se muestra la Figura 4.

Figura 5. Predicción del comportamiento de la corriente en el inductor utilizando el método de Euler para h=0.01, h=0.1 y h=1.

En este caso de estudio se tiene una sola función de respuesta que representa la corriente del circuito. Es posible observar en la Figura 5, que nuevamente se obtiene buenos resultados cuando se emplean pasos pequeños de valor h=0.01 y h=0.1. Se adquiere una aproximación muy acertada, con respecto a la gráfica obtenida por método analítico. Resultados

obtenidos

con

el

método

de

Heun:

Figura 4. Circuito RL serie

La ecuación diferencial que domina el sistema es: 𝑑𝑖(𝑡) 𝑉𝑖 = ( ) (1 − 𝑖(𝑡)) (7) 𝑑𝑡 𝐿 Y su solución analítica está dada por:

Figura 6. Predicción del comportamiento de la corriente en el inductor utilizando el método de Heun para h=0.01, h=0.1 y h=1.

Con el método de Heun se verifica que al emplear el paso de valor h=1, aparece una mejora en la exactitud de la gráfica, en comparación con el método anterior. Con base y analizando los resultados obtenidos, se demuestra que es más conveniente utilizar el método de Heun para hallar resultados más exactos y precisos. Modelado y simulación de un vehículo eléctrico. Representación EMR de un Vehículo Eléctrico Observando la Figura 7. que representa un circuito electromecánico del vehículo eléctrico se detalla que el sistema está divido en 6 parte

𝑑𝑖𝑓 (14) 𝑑𝑡 Debido a que el motor DC está sujeto a variaciones de corriente por la variación del par aplicado tendrá un efecto transitorio a pesar de ser valores DC. La energía se acumula en forma de tensiones y corriente teniendo como variables de salida del estator y campo respectivamente a 𝑒𝑎 , 𝑖𝑎 y 𝑒𝑓 , 𝑖𝑓 . Debido a que las variables del motor DC convergen al par y velocidad generados en el eje del carro se utiliza un convertidor de potencia multifísico donde se transforma la energía eléctrica a energía mecánica y se acoplen todas las variables del sistema; las variables de salida son 𝜏𝑒𝑚 y 𝛺𝑒𝑚 ; sus ecuaciones que son las siguientes: 𝑒 𝜏𝑒𝑚 = 𝑘𝑖𝑓 𝑖𝑎 (15) 𝛺𝑒𝑚 = 𝑎 (16) 𝑢𝑐ℎ𝑓 − 𝑒𝑓 = 𝑟𝑓 𝑖𝑓 + 𝐿𝑓

𝑘𝑖𝑓

Donde 𝑘 es la constante del motor. Nuevamente se transforma la energía mecánica rotacional a energía mecánica cinética a través de un elemento de conversión; las variables convertidas son 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛 y 𝑣𝑒𝑣 . Sus respectivas ecuaciones son: 𝑘 𝑅 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛 = 𝑟𝑒𝑑 𝜏𝑒𝑚 (17) 𝑣𝑒𝑣 = 𝑤ℎ 𝛺𝑒𝑚 (18) 𝑅𝑤ℎ

Figura 7. Circuito electromecánico del vehículo eléctrico. Para poder diseñar el sistema de manera óptima es necesario identificar el tipo de proceso y las variables que se ven implicadas en el mismo. De esta forma tenemos principalmente una batería que representa la fuente del sistema que se representa por medio de un óvalo verde; la variable de este elemento es la tensión llamada 𝑢𝑏𝑎𝑡 . Luego tenemos un acople eléctrico (monofísico) donde se alimenta un motor de corriente continua con excitación independiente; el acople se encargar de suministrar tensión y corriente al estator y campo del motor DC. El elemento que representa este proceso se llama acoplador monofísico las variables que representan este proceso se llaman 𝑢𝑏𝑎𝑡 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛), 𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑦 𝑖𝑐ℎ𝑓 (𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠). donde las corrientes son de armadura y campo respectivamente. El siguiente elemento se encarga de modular los valores de tensión y corriente que llegan al estator y el campo del motor DC; el elemento utilizado es el Chopper y las ecuaciones que rigen este sistema son las siguientes:

𝑢𝑐ℎ𝑎 = 𝑚𝑐ℎ𝑎 𝑢𝑏𝑎𝑡 (9) 𝑖𝑐ℎ𝑎 = 𝑚𝑐ℎ𝑎 𝑖𝑎 (10) 𝑢𝑐ℎ𝑓 = 𝑚𝑐ℎ𝑓 𝑢𝑏𝑎𝑡 (11) 𝑖𝑐ℎ𝑓 = 𝑚𝑐ℎ𝑓 𝑖𝑓 (12)

𝑘𝑟𝑒𝑑

La parte final consiste en un elemento acumulador de energía y una fuente de energía externa que representa una fuerza que se opone al movimiento. Esta fuerza se llama 𝐹𝑟𝑒𝑠 y sus ecuaciones son: 1 2 𝐹𝑎𝑖𝑟 = 𝜌𝑎𝑖𝑟 𝑆𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡 𝐶𝑥 𝑣𝑒𝑣 (19) 𝐹𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 = 𝑀𝑔𝑠𝑖𝑛(𝛼) (20) 2 𝐹𝑟𝑒𝑠 ≈ 𝐹𝑎𝑖𝑟 + 𝐹𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 (21) El esquema resultante se ve en la Figura 8.

Figura 8. EMR del vehículo. El lazo de control consiste en proporcionar los valores correctos de 𝑚𝑐ℎ𝑎 y 𝑚𝑐ℎ𝑓 para el óptimo funcionamiento del sistema; en esta etapa es necesario utilizar equipos de medida para tener los valores eficaces y compararlos con sus propias referencias y lograr estabilizar los cambios en la salida del sistema que es la velocidad. Se sigue el mismo esquema adicionando unas ramas de control en los sistemas para poder proporcionar las referencias 𝑚𝑐ℎ𝑎 y 𝑚𝑐ℎ𝑓 necesarias. El sistema resultante se ve en la Figura 9.

Se precisa que las variables 𝑚𝑐ℎ𝑎 y 𝑚𝑐ℎ𝑓 son parámetros de entrada dados por un sistema de control externo que se hablará al final del modelamiento del sistema. Ahora la energía se acumula en forma de campo magnético deuy44 bido a los inductores que conforman el estator y campo; las ecuaciones que modelan la dinámica del estator y campo del motor DC son las siguientes: 𝑑𝑖𝑎 𝑢𝑐ℎ𝑎 − 𝑒𝑎 = 𝑟𝑎 𝑖𝑎 + 𝐿𝑎 (13) 𝑑𝑡

Figura 9. EMR del vehículo con su lazo de control.

Los resultados de la simulación en la velocidad de salida respecto a un perfil de velocidad de referencia dada en el código suministrado Parametro_VE.m se ven en la Figura 10.

Se observa que tiene una pequeña etapa inestable antes de mantener un valor constante. En la Figura 13. se observa la corriente de armadura, esta tiene unos tramos inusuales debido a que toma valores negativos; con cursores en Simulink se observó que la corriente es cero cuando se estabiliza a un valor constante y toma valores negativos cuando la velocidad comienza a descender lo que representa un freno dinámico donde se recupera energía ya que al seguirse moviendo el vehículo y el campo todavía generando un flujo constante hace que le motor comience a funcionar como generador y haya un cambio en el flujo de potencia.

𝑚

Figura 10. Perfil de velocidad [ ] 𝑣𝑠 𝑡 de simulación y 𝑠 referencia superpuestas. En esta gráfica se observa que el circuito de control se optimo ya que presenta variaciones de velocidad del orden del 0.2% en las partes donde hay un cambio de velocidad, además, cuando se estabiliza la velocidad por un periodo de tiempo la velocidad de simulación es exactamente igual a la de referencia. La Figura 11. muestra la señal 𝑚𝑐ℎ𝑎 de referencia que entra al sistema para modificar la corriente de armadura y obtener la velocidad deseada,

Figura 11. 𝑚𝑐ℎ𝑎 de referencia que modifica la corriente de armadura. Se observan unos pequeños picos transitorios cuando la velocidad empieza a ser constante; esto es una respuesta natural del sistema a los cambios de velocidad. En la Figura 12. se encuentra el 𝑚𝑐ℎ𝑓 del campo

Figura 12. se encuentra el 𝑚𝑐ℎ𝑓 del campo.

Figura 13. Corriente de armadura [𝐴]𝑣𝑠 𝑡 Para observar el flujo de potencia se utilizó un bloque multiplicador de Simulink para observar la potencia instantánea de la batería que está en la Figura 14.

Figura 14. Potencia instantánea de la batería. En esta figura se puede observar que en los tramos donde la potencia es negativa (Cargado de batería) coinciden con los tramos de corriente negativa y desaceleración del vehículo. V.

CONCLUSIONES  

Las EDO de primer orden pueden ser resueltas con métodos numéricos con respuesta de gran exactitud. El EMR representa un sistema regenerativo que disminuye el consumo de potencia de acuerdo al perfil de velocidad dado como referencia.