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Práctica 6. Momento de Inercia. Solange Alejandra Sanguil Mogrovejo, GR142A, [email protected] Laboratorio de Física General, Departamento de Formación Básica, Escuela Politécnica Nacional Ing. Edwin Bone, viernes 29 de junio de 2018 Resumen– Se determina la constante de torsión de un muelle, mediante el periodo oscilatorio del eje rotacional y, a partir de ello, se calcula experimentalmente el momento de inercia rotacional de sólidos con distintas formas geométricas regulares y masa distribuida de manera homogénea, los cuales rotan respecto a un mismo eje de giro; dicho valor es comparable con el valor teórico que se obtiene aplicando fórmulas tabuladas.

I.

INTRODUCCIÓN

La inercia rotacional se define como la resistencia que ofrece un cuerpo a cambiar su velocidad angular, es decir, a ser rotado. De esta forma, el momento de inercia rotacional es una magnitud escalar que representa la distribución de la masa de un cuerpo o sistema de partículas que se encuentra rotando. Es importante recalcar que el momento de inercia depende de la masa del cuerpo y de la forma en la esta se encuentre distribuida, así como de la posición del eje de giro [1]. Para un sistema de partículas que gira en torno a un eje se cumple la segunda ley de Newton. n (1) ∑ Fi = mi ∙ a i i=1

Donde F representa la fuerza neta de cada partícula en la dirección tangencial del, m es la masa de cada partícula y a es la aceleración tangencial. Si el sistema de partículas rota en un mismo eje, se puede multiplicar la sumatoria de la fuerza neta tangencial de cada partícula por la distancia que las separa del eje de rotación se obtiene el momento de torsión del sistema, es decir, la tendencia del sistema a cambiar su movimiento de rotación. n n (2) ∑ τi = ∑ Fi ∙ ri i=1

i=1

Donde τ es el momento de torsión de cada partícula y r es la distancia que separa a la partícula del eje de rotación. El momento de inercia del sistema de partículas se obtiene al reemplazar (1) en (2), tomando en cuenta los conceptos del movimiento circular. n n (3) ∑ mi ∙ ri ∙ a i = ∑ mi ∙ ri2 ∙ αi i=1

i=1

Donde α es la aceleración angular de cada partícula. Si las partículas pertenecen a un sólido rígido, se tiene la siguiente relación: n (4) I = ∑ mi ∙ ri2 i=1

Donde I representa el momento de inercia del sólido rígido.

Al reemplazar (4) en (2) se obtiene una relación entre el momento de torsión del sólido y su momento de inercia [2]. (5) ∑𝜏 = I∙ α Al tratarse de un sólido rígido la masa se puede descomponer en diferenciales 𝑑𝑚 y se cumple la siguiente relación: (6) dm = 𝛿 ∙ 𝑑𝑣 Donde 𝛿 es la densidad de masa del sólido y 𝑑𝑣 es el diferencial de volumen. Por lo tanto, el momento de inercia del sólido (4) puede expresarse mediante la siguiente expresión: (7) I = ∫(𝛿 ∙ 𝑟 2 )𝑑𝑣 Aplicando (7) se puede determinar teóricamente el momento de inercia de sólidos que tienen formas volumétricas regulares, como se muestra en la Tabla 1. Por otra parte, el momento de inercia de un sólido rígido puede determinarse de forma experimental mediante el período oscilatorio de un sistema físico sujeto a un muelle que tiene forma helicoidal. A su vez, dicho sistema se compone de una varilla, que representa el eje de torsión, a la cual se adosan cuerpos de prueba a sus extremos, los cuales tienen una misma masa. Idealmente el sistema oscila de forma armónica, por lo cual se cumple la siguiente relación: (8) 𝐼 T = 2π√ 𝐷 Donde T es el período de oscilación del sistema y 𝐷 representa la constante de torsión. A partir de (8) se puede determinar el valor de la inercia en función del período de rotación de un sólido y la constante de torsión. 𝑇 (9) I = D( ) 2𝜋 La constante de torsión puede determinarse al descomponer el momento de inercia, pues esta cantidad estará compuesta el momento de inercia de las masas de prueba y el de la varilla. (10) I = 2m𝑟 2 + 𝐼𝑣 Donde m es la masa de cada uno de los cuerpos de prueba e 𝐼𝑣 es el momento de inercia de la varilla. A su vez, se cumple: 𝑇𝑣 (11) 𝐼𝑣 = D( )2 2𝜋 Donde 𝑇𝑣 es el período de oscilación de la varilla. Al reemplazar (9) y (10) en (8) se obtiene la siguiente relación: (12) 8𝑚𝜋 2 2 𝑇2 = 𝑟 + 𝑇𝑣 2 𝐷

1

Tabla 1 Momento de inercia de sólidos rígidos que rotan respecto a un eje que pasa por su centro. Objeto Momento de inercia (𝐈) 1 2 Cilindro macizo mr 2 Cilindro hueco mr 2 1 2 Disco sólido mr 2 2 2 Esfera maciza mr 5

Si varía la distancia a la cual se encuentran los cuerpos de prueba respecto al eje rotacional, el período también varía. Al realizar una representación en el plano cartesiano de la distancia a la cual se encuentran los cuerpos respecto al eje de rotación y su respectivo período de oscilación se obtiene una gráfica lineal, cuya pendiente permite obtener la constante de torsión: 8𝜋𝑚 (13) 𝑚𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 = 𝐷 Donde 𝑚𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 representa la pendiente de la gráfica descrita en el párrafo anterior y 𝑚 es la masa puntual de cada cuerpo de prueba [3]. II.

METODOLOGÍA DE LA EXPERIMENTACIÓN

Los objetivos de la práctica son analizar el momento de inercia de un cuerpo, determinar la constante del eje de torsión de un muelle helicoidal y determinar los momentos de inercia de algunos sólidos rígidos según su período de rotación sobre un eje de rotación. Los materiales empleados para llevar a cabo la práctica son: Eje de torsión: varilla pequeña metálica de acoplamiento que se coloca de forma vertical y en la que se encuentra el muelle helicoidal. Trípode pequeño en forma de V: soporte entre el para el eje de torsión. Varilla delgada: barra metálica de aproximadamente sesenta entímetros de largo. Dos Masas puntuales: cuerpos metálicos que cuentan con un tornillo para poder ser ajustados a la varilla. Escala con índice d referencia: cinta métrica graduada. Esfera maciza, cilindro macizo alto, disco y cilindro hueco. Cronómetro y balanza electrónica. Las Figuras 1 y 2 ilustran el montaje del equipo empleado en la realización de la práctica. Como primera parte del procedimiento experimental se toma los datos necesarios para calcular la constante de torsión del eje, para ello se debe montar el equipo necesario (Fig. 1). La varilla delgada se coloca de forma transversal al eje de torsión y a ella se adosan las masas puntuales, de tal forma que inicialmente ambas masas queden separadas del eje de torsión una distancia de 30 centímetros. Una vez ajustada la varilla, se la gira 180° hacia la derecha, con respecto a la posición inicial y se la suelta. Se debe cronometrar el tiempo que la varilla tarda en completar cinco oscilaciones.

Se repite el mismo procedimiento disminuyendo de forma de forma sucesiva la distancia a la que se encuentran las masas puntuales del eje torsión, de tal forma que dichas distancias sean de 25, 20, 15, 10 y 5 centimetros. Además, usandp la balanza se debe determinar la masa de los cuerpos de prueba. La segunda parte del procedimiento experimental consiste en la toma de datos necesarios para determinar el momento de inercia de de cuerpos simétricos. Se debe montar el equipo requerido (Fig. 2). Posteriormente, se adosa cada uno de los sólidos al eje de torsión, determinar una posición inicial respecto al eje y cronometrar el tiempo en que el cuerpo completa cinco oscilaciones. Dicho procemidiento en igual para la esfera, el disco, el cinlindro macizo y el cilindro hueco. Es necesario determinar el radio de cada sólido y con la ayuda de la balanza se determina su masa. III.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La Tabla 2 muestra los datos obtenidos a partir de la oscilación de la varilla a la cual se adosan las masas puntuales, a partir de los cuales se obtendrá la constante de torsión. TABLA 2 Tabla de datos. 𝒓 [𝐜𝐦] 30 25 20 15 10 5 Sin masas

𝐭𝟏 [𝐬] 21.18 17.62 14.16 11.23 8.71 7.23 6.38

𝐭𝟐 [𝐬] 20.92 17.74 14.24 12.3 8.71 7.51 6.42

𝐭𝟑 [𝐬] 20.16 17.64 14.79 11.46 8.58 7.31 5.53

𝐭𝟒 [𝐬] 20.7 17.28 14.2 10.53 8.55 7.7 6.75

𝐭𝟓 [𝐬] 20.29 17.35 13.92 11.32 8.56 7.36 6.26

𝒕̅ [𝐬] 20.65 17.526 14.262 11.36 8.62 7.42 6.26

T [𝐬] 4.13 3.51 2.85 2.27 1.72 1.48 1.25

Masa m= 0.228 kg EJEMPLO DE CÁLCULO DEL PERÍODO Se procederá a calcular el período cuando las masas se encuentran a treinta centímetros del eje de rotación. A partir de los cinco tiempos obtenidos experimentalmente se calcula un tiempo promedio. 21.18 + 20.92 + 20.16 + 20.7 + 20.29 𝑡̅ = = 20.65 [𝑠] 5 Una vez obtenido el tiempo promedio se lo divide para el número de oscilaciones dadas por la varilla, en este caso, cinco. 20.65 𝑇= = 4.13 [𝑠] 5 CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE TORSIÓN Para determinar la constante de ecuación se debe realizar una gráfica en el plano cartesiano de la distancia a la que se encuentran las masas del eje de rotación al cuadrado en función del período correspondiente a dicha distancia al cuadrado (Fig. 3). A partir de la pendiente de dicha gráfica y tomando en cuenta la masa de cada cuerpo de prueba se obtiene la constante de torsión (13). 8𝜋𝑚 𝑚𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 = 𝐷 8𝜋(0.228) D= = 0.0989 57.928

2

Distancia² [cm² ]

1000

Cilindro hueco

500

10 Período² [s² ]

20

En la Tabla 3 se muestran los datos a partir de los cuales se obtendrá el momento de inercia de cuerpos de simetría de rotación. El período de cada uno de los cuerpos que constan en dicha tabla se obtiene de manera análoga a cómo se hizo en el caso anterior. EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL PERÍODO DE UN CUERPO DE SIMETRÍA DE ROTACIÓN Se calculará el período de rotación de la esfera maciza. Para ello, se determina el tiempo más probable de todas las mediciones realizadas con el cronómetro. 4.19 + 4.6 + 4.44 + 4.32 + 4.37 𝑡̅ = = 4.37 [𝑠] 5 Para obtener el período se divida el tiempo promedio para el número de oscilaciones tomadas en cuenta para al medir dicho tiempo, en este caso, cinco. 4.37 𝑇= = 0.87 [𝑠] 5 En la Tabla 4 constan los momentos de inercia obtenidos de cada cuerpo obtenidos experimentalmente empleando la ecuación (9) y de forma teórica con las ecuaciones planteadas en la Tabla 1. EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA EXPERIMENTAL Y TEÓRICO Se calculará el momento de inercia teórico y experimental de la esfera maciza, empleando los datos de la Tabla 3. El momento de inercia experimental se obtienen a partir de (9). 𝑇 0.87 2 𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = D( )2 = 0.0989 ( ) = 0.0019 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ] 2𝜋 2𝜋 Para calcular el valor teórico del momento de inercia de la esfera se emplea la ecuación especificada en la Tabla 1. 2 2 𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = mr 2 = ∙ 0.487 ∙ 0.072 = 0.00095 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ] 5 5 Los valores de la Tabla 4 puede representarse mediante un gráfico de barras de comparación (Fig. 4). Interpretando dicha gráfica, se puede inferir que entre ambos valores obtenidos para cada uno de los cuerpos existe una variación o margen de error, el cual puede deberse a errores cometidos en la parte experimental y a condiciones del ambiente como, por ejemplo, la fricción del aire. Cuerpo Esfera maciza Disco Cilindro macizo

M [𝐤𝐠] 0.487

R [𝐦] 0.07

TABLA 3 Tabla de datos. 𝐭𝟏 𝐭𝟐 𝐭𝟑 [𝐬] [𝐬] [𝐬] 4.19 4.6 4.44

0.083 0.369

0.11 0.05

3.85 2.21

4.25 2.09

4.15 2.68

0.05

TABLA 4 Tabla de resultados. Cuerpo

y = 57.928x - 83.503

0 0

0.351

Esfera maciza Disco Cilindro macizo Cilindro hueco

2.75

2.9

2.81

I (experimento) [𝐤𝐠 ∙ 𝒎𝟐 ] 0.0019 0.00046 0.00049 0.00088

IV.

2.88

2.73

2.81

0.56

I (ecuación) [𝐤𝐠 ∙ 𝒎𝟐 ] 0.00095 0.0005 0.00046 0.00079

PREGUNTAS

1) Defina qué es el momento de inercia y qué representa físicamente el momento de inercia. El momento de inercia de un sistema de partículas respecto a un eje de rotación se expresa de forma matemática como una magnitud escalar igual a la sumatoria de los productos de las masas de las partículas que conforman el del cuerpo por la distancia mínima que separa a cada partícula del eje rotacional (4). Físicamente, el momento de inercia representa la propiedad que tiene un cuerpo que puede rotar a oponerse al cambio en su velocidad angular [1]. 2) Plantee el momento de inercia para una partícula, un sistema de partículas y un sólido rígido (adjunte un Anexo). Para una sola partícula el momento de inercia viene dado por la siguiente expresión: I = m ∙ 𝑟2 Donde I representa el momento de inercia, m es la masa de la partícula y 𝑟 es la distancia a la que dicha partícula se encuentra del eje de rotación. Para un sistema conformado por dos o más partículas que giran alrededor de un mismo eje el momento de inercia se calcula a partir de la siguiente relación: 𝐼𝑜 = 𝑚1 ∙ 𝑟12 + 𝑚2 ∙ 𝑟22 + ⋯ + 𝑚𝑛 ∙ 𝑟𝑛2 𝑛

𝐼𝑜 = ∑ 𝑚𝑖 ∙ 𝑟𝑖2 𝑖=1

El subíndice 𝑜 indica que todas las partículas se encuentran girando alrededor de un mismo eje 𝑂. Para un sólido rígido se considera que la masa se encuentra distribuida de forma continua, se puede emplear la siguiente integral para calcular el momento de inercia: 𝑟

I = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 0

𝐭𝟒 [𝐬] 4.32

𝐭𝟓 [𝐬] 4.37

𝒕̅ [𝐬] 4.37

T [𝐬] 0.87

4.31 2.11

4.17 2.15

4.17 2.24

0.83 0.44

Donde 𝑑𝑚 es un elemento de masa del sólido. A su vez, se puede relacionar la densidad del sólido con su masa (6) para obtener una integral que permita calcular el momento de inercia del sólido a partir de su volumen, tomando en cuenta que dicho cuerpo es homogéneo.

3

𝑟

I = 𝛿 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑣 0

Donde 𝛿 es la densidad del sólido y 𝑑𝑣 es un elemento de volumen del sólido. 3) Explique qué sucede con la velocidad angular del sistema cuando las masas se separan del eje de rotación hacia los extremos, en esta práctica. La energía rotacional del cuerpo rígido depende tanto del momento de inercia cómo de la velocidad angular del cuerpo, mediante la siguiente relación: 𝑛 (14) 1 𝐸𝑐𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝜔2 ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 2

movimiento angular, el cual se expresa mediante la siguiente relación: (16) L= I∙ω Donde L es la cantidad de movimiento angular. De (15) se deduce que entre el momento de inercia del patinador y su velocidad angular existirá una relación inversamente proporcional. Por lo tanto, el patinador disminuye su inercia rotacional al acercar sus extremidades al cuerpo, pues su masa se encuentra más cerca al eje rotacional y, como consencuencia, la velocidad angular aumenta y el patinador permanece girando en el aire. V.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

𝑖=1

Donde 𝜔 es la velocidad angular del sistema y es igual para todas las partícula que los conforman y ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 es el momento de inercia de dicho sistema. Para el caso estudiado, la energía rotacional se mantiene constante independientemente de la distancia a la cual se encuentran las masas, pues se trata de un movimiento ideal y la fuerza que se aplica a cada distancia para que el sistema gire es la misma. A partir de (13) se deduce que la relación entre la distancia a la cual se encuentran las masas del eje de rotación y la velocidad angular tienen es inversamente proporcional, es decir, cuando las masas se encuentran en los extremos la velocidad angular es menor y mientras más cerca están del dicha velocidad aumenta [3]. 4) Investigue y explique el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner o de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia respecto a cualquier eje mediante el momento de inercia del cuerpo sobre un eje paralelo que pase por su centro de gravedad. El teorema se puede enunciar de la siguiente forma: “El momento de inercia con respecto a un eje es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pase por su centro de gravedad sumado al producto de la masa por la distancia que existe entre ambos ejes al cuadrado”. Según el enunciado anterior, ambos ejes deben ser paralelos. La expresión mátematica que sirve para expresar el teorema es la siguiente: 𝐶𝑀 (15) 𝐼𝑒𝑗𝑒 = 𝐼𝑒𝑗𝑒 + mℎ2 Donde Ieje es el momento de inercia respecto a un eje que no CM pasa por el centro de gravedad, Ieje es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad del cuerpo, m es la masa del cuerpo y h es la distancia perpendicular entre ambos ejes.

En un sistema de partículas, el momento de inercia depende tanto de la masa cómo de la distancia a la cual se encuentren las partícula del eje de giro. En el caso del sistema conformado por la varilla y las masas puntuales se cumple el principio de la conservación de la cantidad de movimiento angular y, por tanto, mientras más cerca están las masas del eje de giro más aumenta su velocidad angular. La constante de torsión se determina en función del período de oscilación del sistema compuesto por la varilla y las masas. El momento de inercia de los sólidos rígidos puede determinarse exoerimentalmente, empleando su período de oscilación y la constante de torsión. Si se conoce datos como el volumen, masa y radio de cierto sólido rígido como, por ejemplo, una esfera, se puede determinar su momento de inercia, el cual correspondería a un valor teórico. Verificar que el equipo se encuentre correctamente montado antes de empezar con la parte experimental de la práctica. Procura que antes de medir el período de oscilación de los cuerpos esudiados estos hayan recibido el mismo impulso, es decir, que hayan girado hacia la derecha 180° antes de ser soltados, puesto que esto influye en su velocidad angular. Emplear el mayor número de cifras decimales en los cálculos a fin de reducir el margen de error en los cálculos de la constante de torsión y los momentos de inercia de los cuerpos. REFERENCIAS [1]

V. Autores, Física para Prepolitécnico, Cuarta ed., Quito: PrepoFis Publicaciones, 2011.

[2]

A. Valcarce, «Momento de Inercia y Aceleración Angular,» Departamento de Física, Santiago de Chile, 2014.

[3]

Laboratorio de Física General, «Guía de prácticas de laboratorio de física experimental,» Quito, 2018.

5) Explique como un patinador de hielo puede mantenerse girando por un tiempo determinado en el aire. Cuando un patinador gira en el aire, debido a que la fuerza de rozamiento entre los patines y el hielo es despreciable, se cumple el principio de conservación de la cantidad de

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