Informe 4 De Cristalografia.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA

“CALCULOS CRISTALOGRAFICOS”

PROFESOR: Lic. QUIÑONES MONTEVERDE, Carlos

NOMBRES Y CODIGOS:

Junio del 2014

Introducción  Carine se carga con herramientas interactivas que permiten geométrica mediciones de las estructuras cristalográficas en 3D. Al utilizar distancias y ángulos se calculan fácilmente sin usar trigonométrica habitual fórmulas.  Distancia entre 2 átomos  Esta función calcula la distancia entre dos átomos. Las coordenadas de los átomos dentro de la trama (a, b, c) son también obtenido (Esta distancia se da en Angstrom)  El ángulo entre las direcciones, ángulo entre planos, ángulo entre el plano y dirección.  Estas tres funciones calculan los ángulos entre dos direcciones, dos planos, o un plano y una dirección. Los planos y las instrucciones pueden ser seleccionado, ya sea introduciendo índices. Los ángulos se dan en grados.

Objetivos  

Familiarizarnos con el uso de los menús de la aplicación carine, para el caso de calcul Realizar cálculos para una celda unitaria e identificar sus funciones de las opciones de cálculos.

Marco Teórico Recordando: Celda Unitaria: es la subdivisión del retículo cristalino que retiene todas las características del mismo. Existen 14 tipos de celdas unitarias contenidas en siete estructuras cristalinas o redes de Bravais. Los puntos reticulares se sitúan en las esquinas de la celda y en algunos casos en los centros de las caras o en el centro de la misma celda. Una celda unitaria queda denotada completamente por los parámetros reticulares. Los parámetros reticulares definen el tamaño y la forma de una celda unitaria. Estos incluyen las dimensiones de los lados de la celda y el ángulo entre ellos. Celdas unitarias más complejas requieren un mayor número de parámetros reticulares para ser descritas. Puntos, direcciones y planos en una celda unitaria: Coordenadas de puntos: se emplean para localizar las posiciones de los átomos en la red o dentro de la celda unitaria. La distancia se mide en parámetros de red usando un sistema cartesiano. Direcciones en la celda: Algunas direcciones son de particular importancia. Los metales se deforman a lo largo de aquellas direcciones a través de las cuales los átomos están en contacto más estrecho. Estas direcciones se abrevian usando los índices de Miller escritos entre corchetes y en llaves cuando son una familia de direcciones. Planos en la celda unitaria: algunos planos de átomos son significativos. Los metales se deforman a lo largo de los planos de empaquetamiento más compacto. La determinación de los índices de Miller se identifica en los puntos en los cuales el plano interseca los ejes coordenados. Si el plano pasa a través del origen el origen debe moverse. Aplicando los recíprocos de las intersecciones y que sea mínimos enteros debidamente encerrados entre paréntesis donde los negativos estarán con una barra. En relación a los índices de Miller de los planos es importante:  Los planos y sus negativos son idénticos.  Los planos y sus múltiplos no son idénticos. Para demostrar lo anterior se recurre a la densidad plana: es el número de átomos por unidad de superficie cuyo centro está sobre el plano. De la misma forma, la fracción de empaquetamiento, es el área sobre el plano cubierta por átomos.

Detalle: Índices de Miller para celdas unitarias hexagonales: El sistema usa cuatro ejes en lugar de tres con un eje redundante. El procedimiento para localizar los índices de los planos requiere cuatro intersecciones. Distancia interplanar: la distancia entre dos planos de átomos, paralelos y adyacentes con los mismos índices de Millar se conoce como distancia interplanar. La distancia interplanar para materiales cúbicos está dada por: 𝑑ℎ𝑘𝑙 =

𝑎0 √ℎ2

+ 𝑘 2 + 𝑙2

En donde a0 es el parámetro de red y h, l, k, representan los índices de Millar de los planos adyacentes considerados. Volumen de la celda unidad Esta función calcula el volumen V de la célula (en 𝐴̇3 ): V = a. (b ^ c) Donde ^ designa el producto vectorial y el producto escalar. Densidad celular Unidad Esta función calcula la densidad celular: d=

4𝜋 3𝑣

∑𝑖=1,𝑁 𝑟𝑖3

Donde V es el volumen celular y 𝑟𝑖 el radio de la i-ésima átomo de la celda unidad que cuenta N de átomos. Difracción entre átomos en una celda: La difracción es un fenómeno característico de las ondas pasa a través de una red periódica en la que la distancia de repetición de los motivos es similar la longitud de la onda. La observación de difracción cuando haces de electrones, neutrones o rayos X pasan a través de sólidos cristalinos sirve como evidencia tanto de la naturaleza de la onda de estos haces, como de los cristales estos sólidos. La figura representa la descripción geométrica de la dirección del máximo de difracción debido a la interferencia constructiva entre los átomos de los planos de espaciado d(hkl).

En la figura se da una descripción del modelo de Bragg cuando se trata de secuencias de planos del mismo espaciado, pero formados a su vez por átomos de distinto tipo, separados por Δd. Esta separación geométrica origina diferencias de fase dentro de un mismo haz difractado que provocan interferencias y que dan lugar a variaciones de intensidad (según la dirección), lo que permite obtener información de la estructura de los átomos que forman el cristal.

Materiales: Computadora personal Program CaRIne Crystalloghraphy 3.0

Procedimiento: 1.- Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando el comando Open cell del menú File, abrir el archivo de la celda utilizada. 2.- Seleccionar Distance between atoms, hacer click con el botón izquierdo del mouse en un átomo y luego repetir la acción para otro átomo. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las coordenadas de los átomos seleccionados y el valor de la distancia en Anstromgs. Para salir hacer click en OK. 3.- Seleccionar angle between 2 directions, escribir las direcciones deseadas en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las direcciones seleccionadas y el ángulo entre ellas. 4.- Seleccionar angle between 2 planes, escribir los índices de los planos deseados en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando los planos seleccionados y el ángulo entre ellos. 5.- Seleccionar angle between plane and direction, escribir los índices del plano y la dirección deseados en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando los planos seleccionados y el ángulo entre ellos. 6.- Seleccionar Unit cell volume para obtener el volumen de la celda unitaria. 7.- Seleccionar Unit cell density para obtener la densidad de la celda unitaria. 8.- Seleccionar Plane spacing list, elegir una radiación determinada y hacer click en Create List. Definir el rango y hacer click en OK. Creada la lista, hacer click en Compute. anotar los valores de dhkl, (hkl),

Cuestionario

1. Para la celda del ClNa, haciendo uso del programa CaRIne Crystallography 3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos: a)La distancia entre los átomos de Na que ocupan las posiciones (1/2,0,0) y (1,1,1/2).

b) El ángulo entre las direcciones [102] y [212] de la celda.

c) El ángulo entre los planos (110) y (210) de la celda.

d) El ángulo entre el plano (210) y la dirección [212].

e) El volumen de la celda unitaria.

f) La densidad de la celda unitaria.

2. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre los dos átomos de Na que ocupan las posiciones (1/2,0,0) y (1,1,1/2) de la celda del ClNa y comparar el resultado con la hallada en la pregunta 1.

La distancia de la arista 2𝑟 = 5.63𝐴0

5.63 2

𝑟=

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo ACB hallamos “M”: 2

𝑀2 = 𝑟 2 + 𝑟√5 𝑀 = 𝑟√6

Reemplazando “r” en “M” obtenemos la distancia entre los átomos: 5.63 𝑚= = 6.89𝐴0 √6 2 Comparando con lo hallado en la pregunta 1 nos saldría una respuesta similar.

3. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre las direcciones [102] y [212] de la celda del ClNa y comparar su valor con el hallado en la pregunta 1.

Por cálculos geométricos Por Pitágoras en el triángulo OAF hallamos “p”: 𝑝2 = 𝑟 2 + (𝑟/2)2 𝑟√5 𝑝= 2 En el triángulo ODC hallamos “n”: 𝑛2 = 𝑟 2 + (𝑟/2)2 √5 𝑛=𝑟 2 En el triángulo OBC hallamos “m”: 2

√5 𝑚 = 𝑟 + (𝑟 ) 2 3 𝑚= 𝑟 2 2

2

En el triángulo OAB lo resolvemos por el teorema de cosenos

2

2

𝑟√5 3 2 𝑟√5 3 √2 (𝑟 ) = ( ) + ( 𝑟 ) − 2( )( 𝑟 ) cos Ө 2 2 2 2 2 2√5 cos Ө = 5 Ө = 26.56 Comparando con lo hallado con el carine nos da una respuesta similar.

4. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre los planos (110) y (210) de la celda del ClNa y comparar su valor con el hallado en la pregunta 1.

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo OAB: 𝑟 𝑚 2 = 𝑟 2 + ( )2 2 𝑟 𝑚 = √5 2 En el triángulo aplicamos la ley de cosenos para hallar el Angulo Ө 2

𝑟 2 𝑟√5 𝑟√5 2 ( ) = (𝑟√2) + ( ) − 2(𝑟√2) ( ) cos Ө 2 2 2 √10 cos Ө = 3 3 cos Ө = √10

Ө = 18.43 Comparando con la pregunta 1 nos sale la misma respuesta que obtuvimos en el carine.

5. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre el plano (210) y la dirección [212] de la celda del ClNa y comparar su valor con el hallado en la pregunta 1. El ángulo entre el plano (210) y la dirección [212] (2𝑖̂, 1𝑗̂, 0𝑘̂)(2𝑖̂, 1𝑗̂, 2𝑘̂ ) |(2𝑖̂, 1𝑗̂, 0𝑘̂)||(2𝑖̂, 1𝑗̂, 2𝑘̂)| 5 cos(𝜃) = 3√5 𝜃 = 41.81° Comparando con lo obtenido en el carine la respuesta es similar. cos(𝜃) =

6. Mediante la ecuación 4.1, determinar el volumen de la celda unitaria del ClNa y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 1. Ecuación del volumen de una celda unitaria: 𝐕 = 𝐚̅ × 𝐛̅ × 𝐜̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐕𝐭𝐞𝐨𝐫𝐢𝐜𝐨 = 𝟓. 𝟔𝟑𝐀° × ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟓. 𝟔𝟑𝐀° × ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟓. 𝟔𝟑𝐀° = 𝟏𝟕𝟖. 𝟒𝟓𝟒(𝐀° )𝟑 𝐕𝐞𝐱𝐩𝐞𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐥 = 𝟏𝟕𝟖. 𝟒𝟓(𝐀° )𝟑 Se obtiene un respuesta similar al de carine. 7. Determinar la densidad de la celda unitaria usando la ecuación 4.2 y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 1.

Determinaremos la densidad de la celda, mediante la siguiente ecuación: 4𝜋 3 𝜌 = 3𝑉 ∑𝑁 , donde V = 178.45 𝑖=1 𝑟𝑖 En donde sabemos que nuestra celda cuenta con 4 átomos de cloro y 4 de sodio. 4𝜋 𝜌= (4(2.23)3 + 4(0.97)3 ) 3(178.45) 𝜌 = 1.1269 8. Obtener la lista del espaciado entre planos de la forma (hkl) de la celda del ClNa; donde -1≤h,k,l≤1 y calcular los valores correspondientes de dhkl,(hkl),𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 + 𝒍𝟐 , Teta, Fs2, P e I%, para las longitudes de onda de las radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. Compare los resultados y explique.

Con el Fe

Con Co

Con CU

Con mo

9. Para la celda del CsCl, haciendo uso del programa informático CaRIne Crystallography 3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos: a) La distancia entre el átomo de Cl que ocupa la posición (1,0,0) y el átomo de Cs que ocupa la posición (1/2,1/2,1/2).

b) El ángulo entre las direcciones [111] y [011] de la celda.

c) El ángulo entre los planos (011) y (101) de la celda.

d) El ángulo entre el plano (110) y la dirección [111].

e) El volumen de la celda unitaria.

f) La densidad de la celda unitaria.

10. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre el átomo de Cl que ocupa la posición (1,0,0) y el átomo de Cs que ocupa la posición (1/2,1/2,1/2) y comparar el resultado con la hallada en la pregunta 9.

En este problema pide hallar la distancia entre a y b observando el triangulo ABC 𝑟 𝑟√2 2 𝑛 2 = ( )2 + ( ) 2 2 𝑟√3 𝑛= 2 Peor sabemos que la arista mide 𝑟 = 4.11𝐴0 Reemplazando: 𝑁 = 4.11

√3 = 3.55𝐴0 2

Comparando con lo obtenido en el carine nos brindara la misma respuesta. 11. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre las direcciones [111] y [011] de la celda de CsCl y comparar su valor con el hallado en la pregunta 9.

Por cálculos geométricos Por Pitágoras en el triángulo ODB hallamos “n”: 𝑛2 = 𝑟 2 + (𝑟√2) 𝑛 = 𝑟√3

2

En el triángulo OAB lo resolvemos por el teorema de cosenos 2

2

(𝑟)2 = (𝑟√2) + (𝑟√3) − 2(𝑟√2)(𝑟√3) cos Ө 4 cos Ө = 2√6 Ө = 35.26 En este caso lo obtenido tanto por carine y como por cálculos geométrico nos sale igual. 13. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre el plano (110) y la dirección [111] de la celda de CsCl y comparar su valor con el hallado en la pregunta 9. El ángulo entre el plano (1̅, 1̅, 0) y la dirección [1,1, 1̅] cos(𝜃) =

(−1𝑖̂, −1𝑗̂, 0𝑘̂)(1𝑖̂, 1𝑗̂, −1𝑘̂ ) |(−1𝑖̂, −1𝑗̂, 0𝑘̂)||(1𝑖̂, 1𝑗̂, −1𝑘̂)| 2

√6 3 √2√3 𝜃 = 35,26° ≈ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 144.74° cos(𝜃) =

=

14. Mediante la ecuación 4.1, determinar el volumen de la celda unitaria del CsCl y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 9. Determinaremos el volumen de la celda mediante la ecuación: 𝑉 = 𝑎̅𝑏̅𝑥𝑐̅ Donde las medidas de:

a = 4.11 b = 4.11 c = 4.11  V = (4.11) (4.11) x 4.11 = 69.43

El volumen obtenido es igual al del carine. 15. Determinar la densidad de la celda unitaria del CsCl usando la ecuación 4.2 y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 9. Determinaremos la densidad de la celda, mediante la siguiente ecuación: 4𝜋 3 𝜌 = 3𝑉 ∑𝑁 , donde V = 69.43 𝑖=1 𝑟𝑖 En donde sabemos que nuestra celda cuenta con 1 átomos de cloro y 1 de cesio. 4𝜋 𝜌= ((3.35)3 + (0.97)3 ) 3(69.43) 𝜌 = 0.73 En lo cálculos hallado por la fórmula 4.2 no son parecidos a lo obtenido en el cariñe lo cual pudo ocurrir al contar los átomos. 16. Obtener la lista del espaciado entre planos de la forma (hkl) de la celda del CsNa; donde -1≤h,k,l≤1 y calcular los valores correspondientes de

dhkl,(hkl),𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 + 𝒍𝟐 , Teta, Fs2, P e I%, para las longitudes de onda de las radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. Compare los resultados y explique.

Resultados El CARINE CRYSTALLOGRAPHY 3.0 nos facilita la forma en poder hallar distancia y ángulos. Nos muestra un resultado exacto deseamos lo que deseamos hallar tanto como distancias y angulos los después podremos comprara con los cálculos geométricos.

Conclusiones Observamos que con el CARINE CRYSTALLOGRAPHY 3.0 podremos hallar las distancias entre átomos como también el Angulo que se puede formar entre planos tanto directamente o como también manualmente eligiendo cada átomo. Por medio de los cálculos geométricos también podemos hallar las distancias como también los ángulos, y nos daremos cuenta que los resultados serán similaresCARINE CRYSTALLOGRAPHY 3.0.

BIBLIOGRAFIA http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/marquezronald/wpcontent/uploads/2009/08/2_Organizaci%C3%B3n-at%C3%B3mica.pdf http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_05.html