Informe # 4

Caída Libre Nelly Varela, David González, Michael Macca, Jean Carlos Mina Facultad de Ingeniería, Ingeniería Industrial Institución Universitaria Antonio José Camacho, Cali-Colombia Resumen—Se determinó el valor de la aceleración de la gravedad mediante la realización del experimento de caída libre de una bola. Con un porcentaje de error de % el resultado obtenido fue de. I. INTRODUCCIÓN estudiara el movimiento de caída libre de una bola, SEa través de medidas de tiempo en que tarda en caer a diferentes alturas, y así se determinará experimentalmente la aceleración de la gravedad que experimenta este objeto. El montaje experimental consiste en una bola que se deja caer desde una altura "𝑦" sujetada por un imán que la suelta al presionar un botón (ver ilustración 1). Gracias al SmarTimer (ilustración 2), se obtiene el tiempo que tarda en caer la bola desde la caja de caída hasta el sensor ubicado en la base del montaje. La altura de caída de la bola se midió mediante una cinta métrica de precisión 0,1 cm y el SmarTimer tiene una precisión de 0,001 segundos.

Ilustración 2. SmarTimer que muestra el tiempo que tarda en caer la bola

Un objeto al caer libremente está bajo la influencia única de la aceleración de la gravedad representada por la letra 𝑔, y se define como la variación de velocidad, conforme transcurre el tiempo, que experimentan los cuerpos en su caída. En este movimiento el desplazamiento es en una sola dirección correspondiente al eje vertical y la velocidad inicial del objeto es cero. En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre no varía con la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. La aceleración de gravedad es la misma para todos los objetos y es independiente de las masas de éstos. El valor teórico aceptado es 𝑔 = 9,81 𝑚⁄ 2 . 𝑠 La ecuación que describe la posición de un objeto en caída libre es: 1 2

𝑦 = 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑔𝑡 2

Ilustración 1. Montaje experimental

(1)

Donde 𝑦 es la posición final, 𝑣𝑜 la velocidad inicial, 𝑡 el tiempo que tarda en realizar el movimiento y 𝑔 la aceleración de la gravedad. Dicho anteriormente, si el objeto se deja caer, su velocidad inicial es cero, por lo tanto la ecuación 1 queda así: 1 𝑦 = 2 𝑔𝑡 2 (2)

Si la ecuación 2 se divide por 𝑡, se tiene:

III. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

1 2 𝑦 2 𝑔𝑡 = 𝑡 𝑡

A continuación se muestran los datos obtenidos para cada altura de caída de la bola:

1

𝑧 = 2 𝑔𝑡

(3)

Donde (3) es una ecuación lineal y 𝑧 es función del tiempo. Si se compara con la ecuación de una recta: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Donde m es la pendiente de la recta y b el intercepto con el eje vertical, se puede decir que: 1 𝑚= 𝑔 2 Así, la gravedad es dos veces la pendiente de la recta: 𝑔 = 2𝑚

Tiempo prom (s) 0,202 0,248 0,287 0,320 0,350 0,379 0,405

Distancia (m) 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800

z vs tiempo 2.50 2.00 1.50 1.00

La incertidumbre del valor obtenido experimentalmente de la gravedad es: ∆𝑔 = 2𝑚

II. PROCEDIMIENTO Inicialmente se ubicó la caja de caída con el imán sosteniendo la bola a una altura de 20 𝑐𝑚. Se verificó que el SmarTimer estuviera en 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔 y se oprimió el botón que deja caer la bola libremente. Cuando la bola toca el sensor en la base se tiene el tiempo arrojado por el SmarTimer. Para la misma altura se realizaron 4 medidas, verificando que todos los valores estuvieran en un rango aproximado y posteriormente se obtuvo el promedio de estos. Luego se aumentó la altura de caída de la bola cada 10 cm y se realizó el mismo procedimiento hasta llegar a una altura final de 80 cm. Se realizó la respectiva conversión de 𝑐𝑚 a 𝑚. Los datos obtenidos se muestran en la tabla 1. Luego, se graficó 𝑧 en función del tiempo promedio (ilustración 3) y se realizó el respectivo ajuste lineal para obtener la ecuación correspondiente.

z=y/t (m/s) 0,99 1,21 1,39 1,56 1,71 1,85 1,97

Tabla 1. Resultados obtenidos para las diferentes alturas

z (m/s)

𝑦 Sea 𝑧 = ⁄𝑡 tenemos entonces:

y = 4.8639x + 0.0037 R² = 0.9998

0.50 0.00 0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

tiempo (s) Ilustración 3. Grafica de y/t en función del tiempo

Cuando se gráfica 𝑧 en función del tiempo, se tiene una línea recta y al realizar el ajuste lineal en esta gráfica, se obtuvo la siguiente ecuación: 𝑧 = 4,8639 𝑡 + 0,0037 Con un coeficiente de determinación 𝑅² = 0,9998 Como se dijo anteriormente, la gravedad corresponde a 2 veces la pendiente de la recta de la gráfica 𝑧 𝑣𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜. Asi: 𝑔 = 2𝑚 𝑔 = 2 ∗ 4,8639 𝑔 = 9,73 Por lo tanto el valor de la gravedad obtenido experimentalmente es 𝑔 = 9,73 𝑚⁄ 2 . 𝑠

Luego, se realizó el análisis de datos en Excel y se obtuvo los valores de la incertidumbre del intercepto y la pendiente de la gráfica.

Intercepción Variable X 1

Coeficientes 0,003654553 4,863876063

Error típico 0,008663557 0,027052042

Tabla 2. Incertidumbres obtenidas por el análisis de datos

Ahora, la incertidumbre del valor de la gravedad es: Δ𝑔 = Δ𝑔 =

Δ𝑚 .𝑔 𝑚

Δ𝑚 . 2𝑚 𝑚

Δ𝑔 = ∆𝑚. 2 Δ𝑔 = 2(0,027) Δ𝑔 = 0,05 El porcentaje de error del valor obtenido es: %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙| 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 ∗ 100

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|9,81 − 9,73| ∗ 100 9,81

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0,82%

IV. CONCLUSIONES  Se determinó el valor de la aceleración de la gravedad experimentalmente.  El resultado obtenido fue de 9,73 𝑚⁄ 2 ± 0,05. 𝑠  Se dejó caer libremente una bola solida a diferentes alturas, midiendo el tiempo que tardaba en llegar a la superficie.  El resultado obtenido tiene un porcentaje de error de 0,82% con respecto al valor teórico aceptado.