Informat 9

Em Matemática B, a soma das partes é maior que o todo Arsélio Martins*

Diversificar a matemática que se ensina e que se aprende no ensino secundário é uma ideia antiga que já teve várias realizações curriculares. Pensa-se que a matemática é parte imprescindível da formação secundária de todos os cidadãos, mas que grupos de cidadãos com projecções de futuro diferentes precisam e podem ter acesso a diferentes formações. Nesta última revisão curricular, ficou decidido que há vários níveis de formação, desde o nível zero até ao nível necessário para o prosseguimento de estudos superiores em matemática e afins, este último correspondente ao programa de Matemática A. Há estudantes que podem vir a não frequentar qualquer disciplina de matemática, apesar de haver, para o conjunto dos estudantes, uma disciplina “Temas Actuais de Matemática” que podem frequentar independentemente dos cursos escolhidos. Para muitos cursos tecnológicos, desde os Serviços Jurídicos até à Electrónica, foi criada a Matemática B. De todas as soluções para o programa desta disciplina, venceu aquela que consiste em escolher uma base de assuntos matemáticos que interesse a todos os cursos tecnológicos envolvidos e no desenvolvimento de competências úteis e transferíveis para os contextos próprios dos diversos cursos. Não venceu a ideia de uma matemática para cada curso ou da decisão de cada escola e cada professor, por se considerar que as formações inicial e contínua não armaram os professores para articular a matemática com as necessidades das diversas aplicações e também por ser verdade que, sendo a principal fonte, os professores de matemática não são a única fonte de conhecimento matemático. O que é essencial para os estudantes dos cursos tecnológicos consiste na aprendizagem dos conceitos, métodos e técnicas matemáticos essenciais para resolver problemas e responder a perguntas sugeridas por situações problemáticas com significado e sentido para a vida. Os problemas devem mobilizar modelos matemáticos que vão desde representações geométricas até funções polinomiais, racionais e irracionais, com recurso a resoluções analítíca e geométrica de equações e inequações, etc. A modelação matemática assume na Matemática B um papel central. Os estudantes devem enfrentar situações mobilizando os modelos matemáticos mais adequados, sem que isso justifique o manejo dos objectos matemáticos ao nível a que estamos habituados. Por exemplo, as expressões

algébricas e as operações sobre expressões só se justificam para encontrar as soluções dos problemas concretos e não como assunto em si mesmo. Para a maior parte dos casos, as soluções interessantes podem e devem obter-se com recurso ao uso da tecnologia, que é a forma como os problemas são enfrentados na vida corrente. O programa de Matemática B é diferente de todos os outros. A única semelhança com a Matemática A reside no facto de ser um programa de assuntos matemáticos que podem ser ensinados e aprendidos após o ensino básico. Alguns conceitos são incontornáveis bases para toda a compreensão, para uma cultura científica mínima. Estes aparecem, na Matemática B, como imprescindíveis para enfrentar com sucesso situações-tipo, cuja abordagem possibilita, como processo exigente e complexo que é, transformar os estudantes em indivíduos competentes (com o que isso significa de conhecimentos, capacidades, atitudes) para uma grande diversidade de perguntas que lhes serão postas pelas disciplinas do seu curso e pela vida toda. Sabemos que vai haver leituras diversas do programa de Matemática B. Mas sabemos que, para todos os praticantes, este é um programa de situações para enfrentar e de problemas para resolver. Não é possível enfrentar uma grande variedade de situações e resolver uma grande variedade de problemas sem desenvolver capacidades de interpretação e comunicação e sem mobilizar os conceitos e métodos matemáticos adequados a cada uma das situações. Pode haver diferentes níveis de abordagem e de insistência em trabalho com os objectos matemáticos enquanto tal. Isso só vai depender de cada professor e da forma como olha para os problemas em geral ou para o entendimento que faz do que seja a matemática ou das características dos grupos de estudantes com que vai trabalhar. Mas o cumprimento de cada uma das partes do programa envolve |sempre competências para escolher a matemática adequada, para trabalhar analitica ou graficamente com os modelos matemáticos, usando ou não tecnologia, até encontrar uma solução que possa ser comunicada como aceitável ou boa. Esta forma de trabalho vai ter prolongamentos noutras disciplinas que utilizam matemática. Seguramente que a soma das partes vai ser sempre maior que o todo proposto ou esperado. * Co-autor do programa de Matemática B, professor na escola E. S. José Estêvão.

Modelação Matemática Isabel Fevereiro, M. d

Porque é tão importante a aprendizagem contextualizada? O que exige esta perspectiva de aprendizagem? Os programas de Matemática [e outros textos oficiais dirigidos ao ensino básico e secundário] recomendam vivamente que a mudança no ensino das Ciências [Matemática incluída] se faça no sentido de que a aprendizagem dos conceitos, dos processos de raciocínio e o recurso à tecnologia sejam integradas na resolução de situações problemáticas. Reconhece-se, hoje, a necessidade de ligar o ensino da Ciência aos aspectos da vida quotidiana e sabe-se que as aprendizagens realizadas de forma descontextualizada dificilmente se tornarão significativas para os alunos e, portanto, serão facilmente esquecidas por estes. Esta concepção ainda está pouco presente quer nas práticas lectivas quer nos manuais pelo que deverá existir um investimento sério na mudança por parte dos professores e outros agentes educativos. Que razões poderão explicar a falta de hábito de reflexão dos nossos estudantes perante as questões que lhes são colocadas? Uma das áreas em que os estudantes apresentam maiores dificuldades é na resolução de problemas [basta pensar em resultados de avaliações aferidas nacionais ou internacionais]. É verdade que durante a sua aprendizagem os estudantes vão resolvendo, na aula ou em casa, exercícios ou fichas de trabalho. Mas dessas propostas qual a percentagem de exercícios rotineiros, de exercícios a que o estudante responde porque aplica uma fórmula sem que precise de desenvolver o seu conhecimento processual, de exercícios, muitas vezes desdobrados em alíneas, que fazem perder de vista a questão global? Qual a percentagem de problemas que os estudantes precisam de interpretar primeiro e depois são obrigados a escolher a ferramenta matemática adequada e a experimentar várias estratégias? Em quantos problemas os alunos começam por escolher abordagens inadequadas ou cometem erros e são depois obrigados a reflectir no seu caminho tendo finalmente de escolher outra abordagem? Na enorme diferença entre estas duas percentagens poderá estar uma parte da explicação à pergunta formulada.

Na Introdução do programa de Matemática B pode ler-se “Se é legítimo ensinar a manejar as ferramentas de cálculo, o essencial da aprendizagem da Matemática deve ser procurado ao nível das ideias para a resolução de problemas, para as aplicações da Matemática. O uso das ferramentas de cálculo deve ser ensinado e aprendido no contexto das ideias e da resolução de problemas interessantes, enfim em situações que exijam o seu manejo e em que seja vantajoso o seu conhecimento, privilegiando mesmo características típicas do ensino experimental” e ainda “O ensino de todos os temas tem de ser suportado em actividades propostas a cada aluno e a grupo de alunos que contemplem a modelação matemática, o trabalho experimental e o estudo de situações realistas adequadas a cada curso sobre as quais se coloquem questões significativas, resolução de problemas não rotineiros e conexões entre temas matemáticos..."

Uma Companhia de Gestão Imobiliária administra um complexo turístico com 2100 apartamentos. Para a próxima temporada estão alugados 1500 apartamentos tendo sido fixadas as rendas em 700¤ por mês. Foi pedido um estudo de mercado a uma empresa do ramo, que apresentou a seguinte proposta de estratégia de gestão: – por cada 25¤ que se diminuísse nas rendas fixadas haveria mais 60 apartamentos alugados. Faça um estudo desta proposta que o leve a apresentar à Direcção da Imobiliária, razões de a implementar ou não. A situação a modelar: Pensamos que o professor deve dar tempo aos seus alunos de interpretarem o problema e organizarem os dados da forma que acharem conveniente, e só em situações de impasse é que deve sugerir a construção de uma tabela como por exemplo a seguinte:

Propomos de seguida uma actividade de modelação matemática, a desenvolver no âmbito do programa da disciplina de Matemática B, focando o Tema Funções, em particular funções quadráticas, em articulação com os Temas Transversais (Fig. 1).

N.º de Decréscimos

Renda (¤ )

N.º de apartamentos Rendimento Mensal alugados (¤ )

0

700

1500

1

675

1560

…

…

…

1 050 000 …

9 10 …

Fig. 1

Fig. 2

Os alunos devem utilizar o Excel ou a calculadora gráfica, para obterem dados. Pode ser importante discutir com os alunos a vantagem de se explicitar o raciocínio à medida que se vai preenchendo a tabela (Fig.3 e fig.4). Neste caso a tabela seria preenchida da seguinte forma:

Dum modo geral a modelação matemática é entendida como um processo que tem a sua origem numa situação real e termina na construção de um modelo matemático dessa realidade. Identificar uma situação real, traduzir aspectos relevantes dessa situação levando à construção de um modelo conceptual, investigar o modelo, procurar novas informações acerca da situação real e avaliar a adequação e ajustamento dos resultados à situação real, são as etapas de um ciclo de modelação num contexto educacional, dando maior relevância ao tipo de situação a modelar, à necessidade de sucessivas simplificações e à articulação flexível das diferentes etapas.

N.º de Decréscimos

Renda (¤ )

N.º de apartamentos alugados

Rendimento Mensal (¤ )

0

700

1500

700 × 1500 (700 – 1500) × (1500 + 60 × 1)

1

700 – 25 × 1

1500 + 60 × 1

…

…

…

…

9

700 – 25 × 9

1500 + 60 × 9

(700 – 25 × 9) × (1500 + 60 × 9)

700 – 25 × 10

1500 + 60 × 10 (700 – 25 × 10) × (1500 + 60 × 10)

10 …

Fig. 3

In f or Ma t 2

a – Gestão Imobiliária Carmo Belchior*

E seria mais fácil concluir N.º de Decréscimos

Renda (¤ )

N.º de apartamentos alugados

Rendimento Mensal (¤ )

(L1)

L2= 700 – 25 × L1

L3= 1500 + 60 × L1

L4 = L3 × L2

6. É importante os alunos elaborarem com rigor um parecer por escrito, simulando uma apresentação á Direcção da Imobiliária, com as razões que justifiquem a aderência ou não da proposta apresentada, propondo e discutindo outras medidas que pareçam mais vantajosas para a Imobiliária.

Fig. 4

Podemos pensar em extensões desta actividade no contexto do programa da disciplina de Matemática A onde “o estudante deverá ser solicitado frequentemente a justificar processos de resolução, a encadear raciocínios, a confirmar conjecturas, ... dando ênfase especial à resolução de problemas usando métodos numéricos e gráficos, ...”1

É importante passar à construção de um gráfico de pontos (Fig. 5), quer seja através do Excel ou da calculadora gráfica, correspondente ao Rendimento Mensal Total em função do número de decréscimos.

Assim, com base nos resultados obtidos, faz sentido que os alunos cheguem à expressão: f (x) = (700 – 25 x) (1500 + 60 x) que traduz o Rendimento Mensal Total em função do Número de Decréscimos, analisem-na e expliquem como a expressão é obtida, confrontando com as expressões f(x) = – 1500x2 + 4500x + 1050000 e f(x) = – 1500 (x – 28) (x + 25)

Fig. 5

discutindo as informações imediatas que as expressões fornecem.

Questões a explorar por análise do gráfico 1. Explicar porque será ou não apropriado unir os pontos do gráfico obtido

É oportuno também determinar a renda que dará à Imobiliária o Rendimento Mensal Total máximo e o número de apartamentos que estarão alugados neste caso, discutir a resposta dada e apresentar e comparar outras propostas de estratégia indo ao encontro do expresso nos objectivos e competências gerais salientando o desenvolvimento de capacidades que levem o aluno a utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real, desenvolvendo o raciocínio e o pensamento científico, descobrindo relações entre conceitos de Matemática, formulando generalizações a partir de experiências, validando conjecturas.

2. Que família de funções tem gráficos deste tipo? 3. Utilizando o modo estatístico da calculadora gráfica definir o Rendimento Mensal Total dos apartamentos como função dos Decréscimos efectuados. 4. Em que condições é que o rendimento Total Mensal poderá ser nulo? 5. Em que condições é que o rendimento Total Mensal é máximo?

1

Programa de Matemática A, Sugestões Metodológicas – Raciocínio dedutivo.

In fo r M at 3

Que razões poderão explicar a resistência de certos alunos à mudança de concepções? Deseja-se que os estudantes desempenhem um papel activo na sua aprendizagem. Mas o desempenho desse papel, tendo muitas vantagens para o aluno, acarreta-lhe, simultaneamente, algum trabalho [por isso, para alguns estudantes, também alguma incomodidade] e muita responsabilidade [por isso, para alguns estudantes, também algum saudosismo]. Se o estudante tem hábitos de na sala de aula ser mero espectador [muitas vezes espectador ausente] e se habituou a receber as receitas prontas a serem aplicadas, é natural que reaja a desempenhar um papel que embora o possa entusiasmar lhe exige também esforço, papel que não lhe permite estar de fora e que o obriga a reflectir criticamente, depois, em casa, para adquirir e aprofundar as aprendizagens realizadas na aula.

I. O estudo PISA Em Dezembro de 2001, foram publicados os resultados do estudo internacional PISA (Programme for International Student Assessment) sobre os conhecimentos e as competências dos alunos de 15 anos de 32 países industrializados, entre os quais Portugal. Apesar de os resultados deste estudo estarem disponíveis na nternet no endereço http://www.gave.pt e de a comunicação social ter feito algumas considerações a esse respeito pensamos que poderá ser útil uma pequena reflexão sobre a Literacia Matemática, algumas conclusões do estudo que não são tão evidentes numa primeira leitura e a Formação Matemática e os Programas de Matemática no âmbito da revisão curricular. O PISAé um estudo de literacia que teve o seu primeiro ciclo de funcionamento em 1998/2000, com a participação de 265.000 alunos de 15 anos de idade dos vários países participantes e será repetido de três em três anos. Contrariamente a estudos internacionais anteriores em que o objectivo era o de avaliar os conhecimentos dos alunos relativamente aos conteúdos curriculares, no PISA o objectivo é avaliar a capacidade dos alunos (numa idade em que em princípio terminaram a esco laridade obrigatória em todos os países da OCDE) utilizarem os conhecimentos e competências adquiridos necessários em situações reais actuais do dia a dia, e da sua vida futura como adultos. As áreas avaliadas foram as da leitura, da matemática e das ciências, embora neste primeiro ciclo tenha predominado o número de itens de leitura, sendo o próximo ciclo mais dedicado à matemática. Se bem que a aquisição de conhecimentos específicos durante o período de aprendizagem académico seja muito importante, a aplicação desse conhecimento na vida adulta depende de maneira decisiva da aquisição de conhecimentos e competências de âmbito mais amplo. Assim, em leitura as principais competências são as capacidades para interpretar e reflectir sobre o conteúdo e características de textos; em matemática, é mais importante a capacidade de aplicar correctamente as competências matemáticas no dia a dia, do que saber responder a perguntas típicas dos livros de texto; em ciências, o conhecimento específico de nomes de plantas e animais, por exemplo, é menos útil que compreender temas e conceitos gerais como o consumo de energia, a biodiversidade e a saúde. No estudo PISA a literacia matemática foi definida pelos 32 países participantes como sendo a capacida de individual de identificar e compreender o papel da matemática no mundo, de tomar decisões e ajuizar matematicamente de uma forma bem fundamentada e de interiorizar a Matemática como um elemento fun damental na sua vida, de forma a dar resposta a neces sidades actuais e futuras de uma forma construtiva e responsável.

O Estudo PISA – Alg O PISA, a Formação Matemática cimento, espaço e forma, raciocínio quantitativo, incerteza e relações de dependência. Os conteúdos secundários, abrangem os temas curriculares tradicionais – números, álgebra, geometria... – e são obviamente o suporte dos primeiros. 2. Os processos matemáticos definidos como competências gerais da matemática abrangendo a lingua gem matemática, a modelação e a resolução de pro blemas e que são os seguintes: o pensamento mate mático, (ser capaz de responder a questões matemáticas típicas – existe? se ... quantos? como? –, distinguir definições, teoremas, conjecturas, hipóteses, exemplos, condições, compreender a extensão e limitações dos conceitos matemáticos); a argumen tação matemática; a modelação matemática; a resolução de problemas; a representação; a destre za simbólica, formal e técnica; a comunicação e a destreza de utilização de ferramentas. Dado que na maioria das situações matemáticas reais há que fazer uso simultâneo de várias das competências anteriormente descritas, ao pretender avaliá-las foi necessário criar três classes de competências, formando um contínuo conceptual, desde cálculos simples até à matematização de problemas do quotidiano, sendo óbvio que a mesma competência pode aparecer em mais do que uma classe: Classe 1 – reprodução, definições e cálculos – abrangendo computações simples e definições do tipo mais familiar e tradicional; Classe 2 – Conexões e resolução de problemas – abrangendo o estabelecimento de conexões que permitam a resolução de problemas simples; Classe 3 – Pensamento matemático, generalizado e “insight” – compreendendo o pensamento matemático e a generalização. É evidente que há aqui uma hierarquia quanto ao grau de dificuldade: questões que requerem competências da classe três têm um grau de dificuldade maior do que as da classe dois e estas são mais difíceis do que as da classe um. 3. Os contextos de utilização da matemática: desde contextos mais pessoais até outros mais abrangentes relacionados com assuntos científicos e públicos.

A literacia matemática neste estudo foi avaliada em três dimensões:

II. Alguns resultados do desempenho dos alunos portugueses no PISA

1. Os conteúdos matemáticos, definidos em termos de conceitos muito abrangentes valorizando essencialmente o pensamento matemático, foram divididos em conteúdos principais e conteúdos secundários. Os conteúdos principais, chamados Grandes Ideias, contemplam ideias como: o acaso, mudança e cres-

Como se pode ver na figura 1 os resultados médios dos alunos portugueses nos testes de desempenho relativos à literacia matemática são claramente inferiores aos obtidos em média pelos países participantes, podendo dizer-se que se situam praticamente ao mesmo nível de países como a Itália, a Letónia, a Polónia a Grécia e o Inf or Ma t 4

Luxemburgo, dado que as diferenças existentes entre estes países não são estatisticamente significativas.

Fig 1

Há um aspecto que interessa ver com mais atenção: a diversidade de resultados por regiões no nosso país, e consoante o ano de escolaridade frequentado pelos nossos alunos de 15 anos. Como se pode ver na figura 2, o desempenho médio obtido pelos alunos portugueses nas várias regiões do país é muito diverso, sendo os resultados da região de Lisboa e Vale do Tejo claramente superiores aos das outras regiões, estando mesmo o valor médio já muito próximo da média europeia, o que confirma a ideia de que existe uma forte relação entre níveis de desenvolvimento do país ou de uma região e a educação e que em Portugal os níveis de desenvolvimento variam muito de região para região.

Fig. 2

A melhoria desta situação passa claramente pela melhoria dos níveis de desenvolvimento, acompanhada de algumas medidas educacionais mais específicas como seja a melhoria das condições nas escolas, a estabilidade do corpo docente, a formação dos professores, os apoios educativos especiais, etc. Note-se que no que diz respeito ao ensino da Matemática no secundário o DES, desde 1997, tem disponibilizado um forte apoio aos professores através da criação de uma rede de professores acompanhantes locais, que tem promovido encontros e debates sobre os programas de Matemática entre professores de escolas vizinhas, e a

Alguns resultados a e o Programa de Matemática partir de Janeiro de 2001 com a criação de uma pági na de apoio aos professores de Matemática com informações de interesse na educação facilitando o acesso a uma informação útil e actualizada. Lembramos também o papel fundamental das associações de professoes de Matemática, nomeadamente o trabalho desenvolvido pela APM na formação de professores de todo o país. Há uma outra leitura que é fundamental fazer, como se pode ver na figura 3, quando comparamos os resultados médios dos alunos portugueses de 15 anos por ano de escolaridade com a média europeia: a média dos resultados dos nossos alunos no 10.º ano é ligeiramente superior à média europeia e quanto mais baixo é o ano de escolaridade que frequentam pior o resultado, o que facilmente se compreende. Como sabemos o número de alunos de 15 anos que se encontra a frequentar níveis de escolaridade anteriores ao secundário, entre o 5.º e o 9.º ano, é muito superior ao dos outros países europeus, e este é um dos problemas mais difíceis que temos para resolver.

Fig. 3

Seria importante conhecer como os outros países resolveram este problema. Os alunos não reprovam? Então o que fazem quando os alunos não acompanham a aprendizagem? Passam “sem saber·”? Diversificam currículos? Têm maiores apoios? Nalguns países a taxa de retenção chega a ser próxima dos 0%. É apesar de tudo reconfortante saber que os nossos alunos de 15 anos do 10.º ano estão ao nível dos outros no que diz respeito à literacia matemática.

III. De que forma contribuem para a formação matemática os programas de Matemática portugueses? Os programas portugueses, quer o Programa Ajustado de Matemática quer os novos programas no âmbito da

revisão curricular, Matemática A, Matemática B e Matemática Aplicada às Ciências Sociais, têm a intenção clara de fornecer aos alunos uma formação mate mática de qualidade, que responda às suas necessidades actuais e futuras e que aproxima no que é essencial da ideia de literacia matemática tal como foi definida no estudo PISA. Vejamos com atenção algumas das propostas dos programas ao nível das finalidades, dos objectivos gerais e dos conhecimentos: Nas finalidades, entre outras, pretende-se “contribuir para o desenvolvimento da existência de uma cons ciência crítica e interventiva em áreas como o am biente, a saúde e a economia entre outras, formando para uma cidadania activa e participativa”). Nos objectivos gerais, pretende-se entre outros que “o professor contemple de uma forma equilibrada os valo res e atitudes; as capacidades e os conhecimentos arti culando o desenvolvimento dos temas com as su gestões metodológicas, de forma a centrar o ensino aprendizagem no aluno e no saber fazer, reforçando o ensino experimental, a resolução de problemas e as conexões“). Note-se ainda que pela primeira vez para além dos grandes temas matemáticos tradicionais (Geometria, Funções e Calculo Diferencial e Probabilidades e Estatística) é expressamente indicado que deve haver articulação entre estes temas e os temas transversais (resolução de problemas e actividades investigativas, história da matemática, lógica e raciocínio matemático, aplicações e modelação matemática, tecnologia e matemática). Relativamente aos conhecimentos vejamos o quadro em baixo: No Programa de Matemática A, dirigido para alunos que querem prosseguir estudos, os conteúdos estão definidos em torno dos temas tradicionais curriculares (Número, Geometria, Análise infinitesimal, Estatística e Matemática A

probabilidades) articulados com os temas transversais como já foi referido. Os conceitos neste programa começam por ser trabalhados de uma forma intuitiva, em situações contextualizadas sempre que possível e são formalizados posteriormente. Já na Matemática B, dirigida aos alunos que têm como horizonte imediato o ingresso na vida activa, os conteúdos indicados desenvolvem-se em torno de duas grandes áreas, a modelação matemática e as probabilidades, em articulação com os temas transversais, enfatizando as aplicações da matemática e o saber fazer e saber utilizar a matemática. No Programa de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, os conteúdos desenvolvem-se em torno de quatro grandes áreas: Métodos de Apoio à Decisão, Estatística e Probabilidades, Modelos Matemáticos e História da Matemática. Tal como na Matemática B interessa sobretudo proporcionar aos alunos experiências diversificadas e interessantes em que a intervenção da matemática seja importante, de forma a contribuir para uma formação matemática que lhes seja útil e que permita responder às necessidades de cada um ao longo da vida. Por tudo o que anteriormente foi dito, é importante retirar algumas conclusões: 1. Os 32 países participantes do estudo PISAao definirem a literacia matemática do modo como o fizeram, deram um novo sentido ao que se entende hoje por formação matemática, onde é visível uma maior preocupação no desenvolvimento de competências gerais em torno de grandes ideias, em detrimento dos conteúdos curriculares tradicionais por si sós. 2. Os resultados dos alunos portugueses no PISA não são os desejáveis, mas é preciso fazer uma leitura cuidada, detectar os problemas e propor medidas que ajudem a ultrapassar o que está mal – como seja a diversidade de resultados por regiões como consequência dos diferentes níveis de desenvolvimento sócio económico e o n.º de alunos que fica pelo caminho ao longo da escolaridade – e a melhorar o que já está ao nível dos outros. 3. A definição de literacia matemática, dá-nos indicação de que estamos no caminho certo no que respeita à formação matemática subjacente nos nossos programas de Matemática, quer no programa ajustado quer nos novos programas no âmbito da revisão curricular.

Matemática B

MACS

Conhecimentos Conhecimentos

Conhecimentos

– Ampliar o conceito de número;

– Iniciação à modelação Matemática

– Ampliar conhecimentos de Geometria

– Distribuição de probabilidades

– Modelos matemáticos

– Modelos discretos

– Estatística e Probabilidade

– Modelos contínuos

– História da Matemática

no Plano e no Espaço; – Iniciar o estudo da Análise Infinitesimal; – Ampliar conhecimentos de Estatística e Probabilidades.

In fo r M at 5

– Métodos de apoio à decisão

Uma Proposta de Trabalho Isabel Fevereiro, Carmo Belchior, José Manuel Matos*

2.2. Compreendam o significado da oferta de PPR/E nesta aplicação. 2.3. Compreendam que o rendimento não é totalmente previsível indicando o que é e o que não é previsível. 2.4. Sabendo que existem vários cenários possíveis, indiquem o melhor e o pior? 2.5. Apresentem através de uma tabela um modelo simples que permita sustentar a tomada de decisões.

Matemática – Aciência dos padrões Keith Devlin – Porto Editora – Biblioteca Científica

Este livro aborda a linguagem matemática em permanente evolução, explorando as diversas formas como a matemática nos ajuda a compreender as percepções que temos da realidade, tanto dos mundos exteriores físico, biológico e social, como do reino interior das ideias e dos pensamentos.

3. Neste modelo é certo que o investidor ganha sempre? (atenção à inflação) 4. Os alunos devem comentar o texto do anúncio 5. Como trabalho extra aula, os alunos devem recolher informação relativa a outros investimentos quer seja em jornais quer seja via internet. 6. Na 2.ª aula os alunos poderão confrontar o modelo com outras propostas de investimento

Os programas actuais propõem, nas suas finalidades, desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real, bem como contribuir para a formação de uma cidadania activa e participativa. Somos hoje confrontados com a necessidade de interpretar propostas publicitárias, por vezes muito complexas. Propomos nesta actividade um estudo aprofundado de um exemplo fictício de uma proposta de investimento que poderá aparecer num anúncio.

Avaliação 1 - Avaliação do trabalho realizado na 1.ª aula, com base numa grelha de observação individual, e na recolha do trabalho apresentado pelo grupo relativo às questões postas e construção do modelo.

Sumário: Pretende-se que os alunos reflictam sobre o conteúdo de um anúncio e tirem conclusões conducentes à tomada de decisões.

2 - Apresentação de um relatório relativo ao confronto dos diferentes modelos.

Tempo de realização: Ferramentas Computacionais na Modelação Matemática J. F. Matos, S. Carreira, M. Santos, I. Amorim – DE-FCUL

Notas

Propomos que a actividade se realize em dois tempos lectivos.

1. É conveniente o professor organizar a informação que irá disponibilizar ao aluno contendo a terminologia financeira que irão necessitar. Entre outros endereços poderá encontrar informação útil em http://www.crediglobal.pt 2. Convém explicar que a variabilidade depende da bolsa. 3. Os alunos devem perceber que dos ¤ 10 000, ¤ 5 000 terão rendimento de 5% ao ano durante 2 anos, e que os outros ¤ 5 000 têm previsto um rendimento variável ao ano durante três anos. É a discussão dessa variabilidade que é importante explorar. 4. Convém que no trabalho extra aula os alunos obtenham informação relativa aos certificados de aforro, pelo que entre outros endereços se pode dar o deste também 5. Pretende-se que o Modelo matemático pedido seja muito simples. Por exemplo: Actividades de extensão:

Objectivos: 1. Saber interpretar o conteúdo do anúncio; 2. Descrever matematicamente a situação; 3. Desenvolver um modelo que descreva a situação; 4. Analisar as vantagens de diversas opções de investimento; Recursos: Informação com terminologia utilizada no anúncio, jornais, internet, calculadora gráfica e/ ou computador. Actividades/ Procedimentos:

Um documento elaborado na concretização do Projecto Modelação no Ensino da Matemática com o objectivo de proporcionar materiais de trabalho e exploração para os professores no âmbito das aplicações da Matemática focando a construção e exploração de modelos e o papel desempenhado pelas ferramentas computacionais quando se pretende modelar uma situação real.

1. Trabalhando em pequenos grupos os alunos poderão começar por ler, reflectir, interpretar e organizar a informação contida no anúncio. 2. A partir de um investimento de ¤ 10 000 pretende-se que os alunos: 2.1. Compreendam o significado de “rendimento de 5% líqui do ao ano” e de “rendimento de 10% líquido ao ano”?

1. Estudar diversos tipos de planos de reforma, junto de bancos e seguradoras 2. Estudar diversas modalidades de créditos à habitação

Rendimento da parte fixa

Rendimento da parte variável Máx

Min

Subida gradual

Alterações bruscas

Descida

1º ano

5% -¤ 250

10%- -¤ 500

0%- -¤ 0

2%

3%

10%

2º ano

5% -¤ 250

10%- -¤ 500

0%- -¤ 0

5%

7%

5%

3º ano

_

10%- -¤ 500

0%- -¤ 0

10%

1%

2%

* Professor Doutor na FCTUNL.

In f o r M a t 6

Formação dos professores de Matemática para os novos Programas no âmbito da Revisão Curricular Carmo Belchior e Isabel Fevereiro1

Na sequência do que tem vindo a ser feito relativamente à formação de professores desde 1997 aquando da implemenação do Programa Ajustado de Matemática, o Departamento do Ensino Secundário (DES), atendendo à entrada em vigor dos novos programas em 2002/2003 estabeleceu um Plano de Formação e Acompanhamento dos professores para este ano lectivo, centrado em três modalidades complementares:

nham adquirido um conhecimento global do programa no que diz respeito às finalidades, objectivos e competências gerais, temas e conteúdos e sua articulação com os temas transversais, sugestões metodológicas e avaliação. Relativamente ao Programa de Matemática Aplicada às Ciências Sociais pretende-se essencialmente que no final da acção os formandos tenham adquirido um conhecimento global do programa e tenham tido oportunidade de reflectir sobre os temas propostos no programa, nomeadamente Métodos de Apoio à Decisão (teoria das eleições e teoria da partilha), Estatística, Modelos Matemáticos (envolvendo funções lineares, exponenciais, logarítmicas e logísticas); Modelos Financeiros; Grafos e Modelos de Probabilidades.

– reuniões de reflexão e debate sobre os Programas, promovidas pelos professores acompanhantes locais e usualmente chamadas sessões de acompanhamento, onde são discutidas metodologias, propostas de trabalho, avaliação, modelação etc., sendo em muitos casos dedicadas a um tema mais específico a pedido das escolas;

É importante que os professores tomem consciência da formação matemática, que se pretende que o aluno adquira no final do Ensino Secundário, e tenha oportunidade de reflectir e trabalhar em propostas de trabalho adequadas ao programa.

– acções de formação promovidas pelos professores acompanhantes locais em articulação com os Centros de Formação; – reuniões de trabalho na escola por iniciativa dos professores de matemática da própria escola de uma forma regular em horário previsto e criado para o efeito segundo indicações do DES.

Os professores têm que estar conscientes que a Matemática B e a Matemática Aplicada às Ciências Sociais dirigida aos alunos dos Cursos Tecnológicos e do Curso Geral de Ciências Sociais e Humanas, têm que ter uma componente muito prática ligada a casos reais, apoiada na resolução de problemas com significado para os alunos, onde a abordagem dos conceitos matemáticos é essencialmente intuitiva, eles são aplicados mas não aprofundados. A base da aprendizagem é a experimentação e a resolução de problemas através de situações diversificadas, utilizando materiais apropriados com grande recurso à tecnologia (calculadoras gráficas e computadores).

Durante o 1.º período deste ano lectivo os professores acompanhantes realizaram sessões de divulgação da Revisão Curricular, onde reflectiram sobre os novos programas de Matemática no âmbito da Revisão Curricular promoveram trocas de experiências, apresentaram e discutiram planificações muito em especial no que diz respeito ao Módulo Inicial. Divulgaram também as Acções de Formação, quase todas na modalidade de Círculos de Estudo, a realizar a partir de Janeiro de 2002, motivando os professores para a sua frequência.

O DES ao lançar uma página na Internet de Apoio ao Professor de Matemática http://www.mat-no-sec.org está consciente do papel da formação e informação em todo o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Pretende assim que esta página se torne num espaço de partilha, divulgação e de sugestões de trabalho, contribuindo eficazmente para o bom desempenho dos professores, que numa altura de mudança é fundamental que se mantenham permanentemente actualizados, investindo na sua auto formação desempenhando um papel importante na educação Matemática.

Está prevista a realização de aproximadamente 160 Acções de Formação espalhadas por todo o país, abrangendo cerca de 2000 professores, de forma a dar oportunidade a que pelo menos um professor de cada escola possa receber formação adequada relativamente aos novos programas, no âmbito da Revisão Curricular, nomeadamente no Programa de Matemática B e no Programa de Matemática Aplicada às Ciências Sociais. Relativamente ao Programa de Matemática B pretende-se essencialmente que no final da acção os formandos te-

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Professoras responsáveis pela matemática no DES.

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O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias Jorge Buescu – Gradiva – Ciência Aberta

O que representa aquele misterioso algarismo suplementar que se segue ao nosso número de bilhete de identidade? E qual a relação com a teoria matemática dos códigos? Por que é que a privacidade da transmissão de dados, por telefone, fax, Internet ou mesmo da simples comunicação do código do cartão Multibanco quando fazemos um levantamento numa máquina, depende crucialmente das propriedades dos números primos? São algumas das crónicas apresentadas neste livro com o objectivo de apresentar a ciência como uma curiosidade organizada, respondendo a problemas concretos que se relacionam com as fronteiras da cultura científica actual, mostrando como esta pode ser simultaneamente fascinante e divertida.

Jorge Nuno Silva*

FICHA TÉCNICA Editor: Departamento do Ensino Secundário [DES] Director: Anabela Neves Coordenação: Maria do Carmo Belchior e Isabel Fevereiro Design Gráfico: DELTAGRAPHOS, Design e Publicidade, Lda. Fotolito e Impressão: Litografia Amorim Periodicidade: Trimestral Tiragem: 4 000 exemplares ISSN: 0874-0844 Depósito Legal: 143 753/99 Lisboa 1998 Distribuição gratuita Toda a correspondência deve ser enviada para InforMAT Av. 24 de Julho, 138, 5.º 1391 Lisboa Fax: 393 81 08 [email protected] [email protected]

Cinderella é um programa destinado a fazer geometria no computador. Por opção dos seus autores, Cinderella é muito fácil de usar, sendo os movimentos do rato a forma de interagir com o programa, não há necessidade de usar o teclado. Esta característica torna fácil aos novos utentes aderir ao uso deste programa, incluindo os estudantes mais novos.

Para além da geometria euclidiana, Cinderella dispõe da capacidade de efectuar e visualizar construções em geometria esférica e hiperbólica, com a mesma facilidade e capacidades de exportação. Estes três modos podem ser utilizados simultaneamente, sendo as acções em qualquer deles actualizadas imediatamente nos outros.

Totalmente baseado em Java, o Cinderella, disponível em CD, instala-se em qualquer plataforma, como Windows, Solaris, Linux, etc. Outra consequência do uso desta linguagem é que as animações e construções (interactivas) se exportam para a WWW com um simples clique do rato. Em particular, a elaboração de exercícios interactivos para a Internet é particularmente simples. A faculdade de, automaticamente, reconhecer a correcção das respectivas resoluções, é uma característica do Cinderella, que não partilha com os outros programas de geometria dinâmica.

As figuras criadas com este programa podem ser projectadas, inseridas noutros documentos, ou mesmo gravadas em formato PS, destinado a impressão de grande qualidade. A edição portuguesa do Cinderella foi produzida pelo Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais da Universidade de Lisboa, com o apoio do Departamento do Ensino Secundário do Ministério da Educação, que o disponibilizou a todas as escolas secundárias do país. Pode também ser obtido junto da APM e da SPM. A página do Cinderella constitui um fórum interactivo, sendo um instrumento de comunicação e troca de ideias e experiências entre os seus utilizadores (http://cinderella.lmc.fc.ul.pt/).

Alicerçado em teoria matemática em parte especialmente desenvolvida para o efeito, Cinderella garante a correcção de todos os lugares geométricos criados, em todas as construções.

O Tesouro Enterrado 1 Um velho pergaminho, que descrevia o local onde o pirata Barba Azul enterrara um tesouro, dava as seguintes instruções:

As opiniões expressas nos textos apresentados nesta publicação são da responsabilidade dos autores e não reflectem necessariamente a opinião do Departamento do Ensino Secundário ou do Ministério da Educação.

• Cave no ponto que fica a meio caminho entre os dois marcos e encontrará o tesouro. Um jovem aventureiro, que encontrou o pergaminho com estas instruções, fretou um avião e viajou para a ilha. Não teve dificuldade em encontrar as duas árvores mas, para seu grande desgosto, a forca tinha desaparecido e o tempo tinha apagado todos os vestígios que pudesse indicar o local onde estava.

• na ilha só há duas árvores, A e B, e uma forca, F; • Comece na forca, conte os passos necessários para ir, em linha recta até à árvore A, rode 90o para a direia e avance o mesmo número de passos; • Coloque um marco no sítio onde parou; • Volte para a forca e vá em linha recta contando os seus passos até à árvore B. Quando chegar à árvore rode 90 o para a esquerda e avance o mesmo número de passos, colocando outro marco no chão, no ponto em que acabar;

Será possível, mesmo sem a forca encontrar o local onde está enterrado o tesouro?

A figura 1 mostra a resolução feita com o programa de geometria dinâmica, Cinderella, sendo fácil observar que variando o ponto representativo da forca, o ponto referente ao tesouro é invariante, dependendo apenas da localização das árvores. e porquê? A demonstração geométrica torna-se mais fácil se trabalharmos com coordenadas de pontos e vectores e como se utilizou rotações vai-nos facilitar ainda mais se traduzirmos tudo em termos de numeros complexos:

1 Brochura de Trigonometria e Números Complexos, M. E. - Departamento do Ensino Secundário pág. 65. * Prof. Doutor F.C.U.L.

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