Informat 8

A Matemática na Revisão Curricular Maria Isabel Fevereiro e Maria do Carmo Belchior*

– Algumas considerações A um ano da implementação da revisão curricular no ensino secundário, torna-se urgente chamar a atenção para o lugar da Matemática no novo desenho curricular, de acordo com os princípios orientadores da Revisão Curricular, nomeadamente a Identidade do Ensino Secundário e a Organização Curricular Geral, que fundamentam as principais medidas da revisão curricular: 1. Organização curricular dos planos de estudo dos cursos Gerais e Tecnológicos, favorecendo a integração das dimensões teóricas e práticas nos Cursos Gerais e acentuando a dimensão profissionalizante nos Cursos Tecnológicos; 2. Permeabilidade entre os cursos Geral e Tecnológico, permitindo que os alunos tenham reais possibilidades para alterar os seus percursos durante ou após o ciclo de estudos secundários; 3. Carga horária, fixando em 30 horas semanais a carga horária máxima (28h e 30m nos 10.º/11.º anos e 22h e 30m no 12.º ano dos Cursos Gerais e 30h para os Cursos Tecnológicos); 4. Tempos lectivos de 90 minutos, permitindo o desenvolvimento do trabalho teórico-prático nas disciplinas e uma gestão de programas de acordo com metodologias diversificadas; 5. Área de Projecto/Projecto Tecnológico, de natureza interdisciplinar e transdisciplinar visando a realização de projectos concretos; 6. Valorização e reforço da dimensão experimental; 7. Natureza do 10.º ano, em que a orientação escolar e vocacional e as estratégias de recuperação e de acompanhamento dos jovens devem ter uma grande relevância com particular incidência nas primeiras semanas de aulas. – E a Matemática? Na nova organização curricular a disciplina de Matemática aparece com programas distintos, a Matemática A e a Matemática B, consoante se destina aos alunos dos Cursos Gerais (Ciências Naturais, Ciências e Tecnologias e Ciências Sócio-Económicas) que têm como horizonte imediato o prosseguimento de estudos ou aos alunos dos Cursos Tecnológicos (Construção Civil, Electrotecnia, Informática, Mecânica, Química e Controlo Ambiental, Ambiente e Conservação da Natureza, Desporto, Administração, Técnicas Comerciais e Serviços Jurídicos) que têm como horizonte imediato obter um emprego qualificado. Ambos os programas têm como características fundamentais: – a subdivisão dos Objectivos e Competências Gerais em Valores/Atitudes, Capacidades/Aptidões e Conhecimentos; – a existência de Temas Transversais com questões que devem ser abordadas à medida que for aumentando a compreensão dos assuntos que constituem os Temas a estudar em cada ano;

– as sugestões metodológicas que apontam claramente para a construção de conceitos a partir de situações concretas; a abordagem de conceitos sob diferentes pontos de vista e progressivos níveis de rigor e formalização; o estabelecimento de uma maior ligação da Matemática com a vida real, com a tecnologia e com as questões abordadas noutras disciplinas; – a diversificação das formas de recolha de dados para avaliação dos alunos, recorrendo para além dos testes a relatórios e outros trabalhos escritos nomeadamente pequenas composições, bem como a desempenhos orais, de modo a ir ao encontro dos objectivos curriculares nos domínios dos conhecimentos, capacidades, atitudes e valores. Estes dois programas, sendo distintos têm diferenças no que diz respeito aos conteúdos, formas de abordagem e grau de aprofundamento no tratamento dos temas e na formalização de conceitos. Dada a permeabilidade prevista entre os percursos dos Cursos Gerais e Tecnológicos é dada a possibilidade de um aluno no final do 11.º ano transitar de um Curso Tecnológico para um Curso Geral e frequentar no 12.º ano a disciplina de Matemática C, de tal forma que possa terminar o 12.º ano em pé de igualdade com os seus colegas e se possa candidatar a um curso superior. Um aluno que pretenda fazer a transição de um Curso Geral para um Tecnológico ou vice versa após ter completado o 12.º ano, poderá sempre fazê-lo recebendo a formação complementar necessária. A transição de um curso Tecnológico para um curso Geral também poderá ser feita logo no final do 10.º ano, tendo o aluno um reforço de três horas semanais na carga horária das disciplinas de natureza tecnológica. Os alunos do Curso Geral de Ciências Sociais e Humanas e do Curso Tecnológico de Ordenamento do Território terão de frequentar a disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (MACS) que se pretende que possa contribuir para uma abordagem tão completa quanto possível de situações reais, ao desenvolver a capacidade de formular e resolver matematicamente problemas e ao desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas. A disciplina de Temas Actuais da Matemática é uma outra oportunidade de abordar assuntos de Matemática dada a todos os alunos do 12.º ano dos cursos Gerais, independentemente do Curso que estão a frequentar e que faz parte do conjunto de disciplinas de opção de oferta de escola (o aluno tem de escolher duas disciplinas de opção podendo uma delas ser de oferta da escola) com programa definido a nível nacional (pode haver disciplinas de oferta de escola com programa proposto pela própria escola mas homologado superiormente). Dada a sua natureza e a possibilidade de ser escolhida por qualquer aluno, esta disciplina terá de ser tal que não exija nenhum pré-requisito específico de Matemática. * Professoras responsáveis pela Matemática no Dep. do Ensino Secundário. (Continua na pág. 7)

Qual a razão de semelhança entre as ga O Livro dos Números John H. Conway; Richard K. Guy – Gradiva – Universidade de Aveiro

Mari

No ano lectivo 2002/03, entrará em vigor a nova reforma curricular e, com ela, novos programas para a disciplina de Matemática. Entre os problemas que deverão ser propostos aos alunos (p.17), no intitulado módulo inicial, de ambos os programas A e B, destinados a esta disciplina no 10.º ano, figura o enunciado que se encontra no título.

Assim, para uma das aulas desdobradas de 10.º ano, levei • um conjunto de garrafas de água, vazias, de marcas e capacidades diferentes, em quantidade suficiente para que os grupos de trabalho ficassem equilibrados em número de garrafas, marcas e capacidades. Nenhuma das garrafas entregues tinha 1,5 litros de capacidade. • instrumentos de medida como, réguas, esquadros e cordéis. Entregues as garrafas aos grupos, foi enunciada a tarefa:

Na brochura destinada a apoiar a unidade de Geometria do programa de 10.º ano, que não obriga a nenhuma tarefa mas, felizmente, sugere muitas, pode-se ler, na página 101:

• Averiguar, entre as garrafas disponibilizadas, a existência de pares de garrafas semelhantes entre si. • Calcular a razão de semelhança entre os pares eventualmente existentes. • Prever as dimensões de uma garrafa com capacidade de 1,5litros semelhante a uma delas.

Pretende-se obter uma colecção de garrafas [...], semelhantes entre si, com capacidades de 0,25, 0,33, 0,5, 1 e 1,5 litros. Neste livro, dois matemáticos famosos exploram vários padrões de números que aparecem em aritmética, álgebra e geometria e descrevem a sua relevância tanto em matemática como fora dela. Introduzem ainda o estranho mundo dos números complexos, transcendentes e surreais. Este livro único relaciona factos, figuras e histórias como só um extraordinariamente talentoso par de matemáticos e escritores poderia fazê-lo.

A Experiência Matemática Plilip J. Davis e Reuben Herch – Gradiva – Ciência Aberta Este livro tem a intenção de registar a inesgotável diversidade que a experiência matemática apresenta. As grandes linhas da narrativa são: a essência da matemática, a sua história e filosofia e o processo de descoberta do conhecimento matemático. Não é um livro de Matemática, é um livro sobre Matemática. É uma visão fundamentada do desenvolvimento da Matemática.

A partir das medidas de uma garrafa de 0,33 litros, obtém as medidas de todas as garrafas desta colecção. Encaixado na rubrica “Problemas de proporcionalidade geométrica”, trata-se fundamentalmente de calcular a razão de semelhança (a razão entre as dimensões lineares, como lembra o comentário/proposta de resolução) a partir da razão entre os volumes, identificados com as capacidades das garrafas em causa – a de 0,33 litros como padrão e cada uma daquelas cujas dimensões pretendemos conhecer.

Posta a primeira questão, desenhou-se de imediato a tendência para responder a partir da função do objecto em causa, e a resposta não se fez esperar: “sim, pois todas servem para o mesmo fim”! Daí a necessidade de recordar o conceito de semelhança, já estabelecido para figuras planas. Este primeiro passo deu origem desde logo a uma primeira decisão: as garrafas de base “quadrada” jamais poderiam ser semelhantes a garrafas de base circular.

Mas agora esta questão já é menos facultativa do que qualquer uma das que a brochura apresenta: inserida no programa, apesar da liberdade que o próprio programa dá quanto à selecção dos problemas a propor aos alunos2 assume carácter de obrigatoriedade: ela pode não ser seleccionada mas então deverá ser substituída por outra que contemple os mesmo conhecimentos e capacidades3. Além disso, está integrada no “módulo inicial”...

Restringiu-se, assim, o campo de estudo às garrafas de base circular, pois as de base quadrada em presença tinham todas igual capacidade. Como decidir agora? Havia que proceder a medições. Para isso, os alunos foram convidados a recolher da mesa do professor o material necessário. Se não foi difícil identificar as medidas a tomar, não foi tão imediato como proceder para as obter; por fim, recorreram aos cordéis para medir o perímetro das bases e o esquadro para, juntamente com a régua, medir as alturas.

Do modo como está formulada pode fazer crer que a resposta esperada seja “sim senhor, elas são semelhantes”. Fiquei inquieta com esta questão: • conhecidas as capacidades, não fica conhecida a razão de semelhança? mas não é uma pergunta elementar de aplicação de conhecimentos, logo não é de esperar resposta imediata? • como é que uma questão como esta leva a uma actividade que permita consolidar e fazer uso de conhecimentos essenciais adquiridos no 3.º ciclo de modo a detectar difi culdades em questões básicas e a estabelecer uma boa articulação entre este ciclo e o ensino Secundário? • que conexões se podem procurar evidenciar com outros temas e que temas são esses?

Faltava agora dar a resposta às perguntas apresentadas, acompanhadas dos respectivos argumentos. Fizeram-se cálculos, elaboraram-se quadros. Verificou-se, então, que a razão entre os perímetros das bases não coincidia com a razão entre as alturas e nenhuma destas coincidia com a razão entre a capacidade das garrafas. Procuraram-se outras relações: múltiplos? Submúltiplos? Não parecia eficaz. Recordaram-se as consequências métricas da semelhança de figuras planas: que relação entre os perímetros de duas figuras semelhantes? E entre as áreas dessas figuras? Fizeram-se então conjecturas quanto aos volumes, que a seguir se validaram – primeiro com a montagem de pequenos cubos, depois com a aplicação do formulário.

A reflexão, pautada por estas interrogações e não só, levou-me a pensar como poderia montar uma actividade que permitisse contribuir para a consecução dos objectivos do dito “módulo inicial”.

Inf o r Ma t 2

rafas de água de 33cl, 50cl, 75cl e 1,5l?

1 História Concisa das Matemáticas Dirk J. Struik – Gradiva – Ciência Aberta

Costa*

Voltando às medidas tiradas, foi comparada a raiz cúbica da razão entre as capacidades com a razão entre os comprimentos. Bom, restava voltar às perguntas iniciais. Curiosamente, um grupo de alunos concluiu que as garrafas eram semelhantes e um outro grupo concluiu que as mesmas garrafas não eram semelhantes. Mas independentemente da conclusão, todos tiveram oportunidade de calcular, como trabalho “de casa”, as dimensões da garrafa com um litro e meio de capacidade, na condição de ser semelhante a cada uma das que se encontravam na mesa. Finalmente, foi realçado que o interesse da actividade estava no processo e não na conclusão: de facto, se se tivessem dado ao cuidado de trocar as rolhas, verificariam que elas eram permutáveis, o que anularia liminarmente qualquer dúvida quanto à resposta a dar à primeira pergunta. Igualmente, abreviaríamos bastante o trabalho se nos detivéssemos sobre os rótulos. Esta actividade revestiu-se de alguma importância a diversos níveis. A nível dos conteúdos, permitiu não só recordar um conceito como ainda estendê-lo a outra dimensão, questionar o papel dos valores aproximados e dos valores exactos, discutir a influência do grau de aproximação adoptado na conclusão final de uma tarefa, introduzir as operações com radicais – a propósito da necessidade de usar valores exactos – e ainda usar unidades de volume e de capacidade, fazendo dentro delas referência a submúltiplos da unidade fundamental bem como à conversão de umas nas outras. A nível das atitudes, também teve o seu papel: o que se espera do aluno, quando se pretende que ele responda a questões como esta? Que perspectivas de sucesso lhe restam? Ou perguntando de outro modo: como e o que é que se avalia em actividades deste tipo? Uma actividade destas, quando desenvolvida não presencialmente deve ser acompanhada de um comentário esclarecedor, justificando as opções tomadas? Parece, então, tratar-se de uma actividade relevante face os objectivos do programa. Falta ainda avaliar a experiência levada a cabo. Esta actividade foi desenvolvida em duas turmas, uma com 17 e outra com 26 alunos, que, obviamente, divide em dois turnos uma vez por semana. Não é elevado o número de alunos com classificação negativa no 9.º ano em qualquer das turmas (descontando os alunos que estão a repetir o 10.º ano, essa percentagem é de 4,5 e 13,3, respectivamente). Não teve igual sucesso nos três ambientes em que decorreu. As reacções na segunda turma não foram diferentes das que seria de esperar: os grupos, embora com diferentes graus de empenho, agarraram de imediato a tarefa. As fases da resolução do problema foram revelando hesitação na abordagem do mesmo, necessidade de clarificação do conceito de semelhança e difi-

culdades na obtenção das medidas necessárias. Na primeira turma, porém, a postura não foi a mesma. Mostravam-se surpreendidos com as tarefas com que se deparavam; pareciam interrogar-se a todo o momento: mas isto é uma aula de Matemática? Davam a ideia que estavam pouco habituados a manipular materiais e menos ainda a aulas experimentais; para eles, a actividade de uma aula de Matemática parecia restringir-se à cópia do exercício acabado de resolver no quadro: nem trabalho com autonomia nem actividades investigativas os interessavam. O estudo lá se fez, mas sempre comandado pelo professor; cada fase não só realçou falta de domínio dos conteúdos programáticos do ensino básico, como ainda revelou dificuldade em os transferir para uma outra situação.

“Amatemática é uma grande aventura nas ideias; a sua história reflecte alguns dos mais nobres pensamentos de inúmeras gerações”. Este livro descreve as principais tendências do desenvolvimento das matemáticas, através das épocas e do ambiente social e cultural em que ocorreram.

Esta observação levanta uma dúvida: a imagem criada a partir desta turma será um caso particular ou o ensino básico não permite outra formação ao aluno? Ou seja: qual é, afinal, o perfil do aluno que concluiu o 3º ciclo do ensino básico? E se não se trata de um caso particular, mais uma dúvida surge: será uma boa actividade para o aluno principiar um novo ano lectivo, eventualmente numa outra escola e com um novo professor? E para o professor? Aqui fica a questão: que responda quem souber. Contudo, é bom lembrar que, implementada a Revisão Curricular, o enquadramento é outro: a duração de um tempo lectivo favorece as actividades experimentais, o que só por si permite que os alunos vão adquirindo ao longo do ano uma postura diferente da que foi encontrada na tal turma. Por outro lado, o número de escolas com os laboratórios de matemática vai aumentando, o que permite que seja cada vez maior o número de alunos que vêem a disciplina de matemática em ambiente laboratorial. Finalmente, este problema não tem que ser um dos primeiros a ser resolvido: nunca é demais repetir, que cabe ao professor, conhecedor da realidade em que está integrado, tomar as opções que mais se coadunam aos alunos a quem elas se destinam, determinar o momento e as condições em que deve propor o desenvolvimento de cada uma das actividades. Há que as escolher com cuidado: sugestões não faltam, quer no programa quer nas brochuras. * Escola Secundária de Augusto Gomes/Matosinhos. Janeiro, 2001. As referências ao programa baseiam-se na versão quase final, importada em 27 de Janeiro de 2001, em documento da responsabilidade da Equipa Técnica do Reajustamento no endereço http://www.terravista.pt/Agua Alto/5783. 2 Alguns destes problemas poderão ser substituídos, com vantagem, por actividades ou problemas ligados ao mundo real, propostos e planificados por um grupo de professores do conselho de turma de modo a integrar na sua resolução conheci mentos de várias disciplinas. (v.p.17) 3 Esta lista pode ser parcial ou totalmente substituída por outra que, em termos gerais, contemple os mesmos conhecimentos e capacidades; esses outros proble mas deverão, de preferência, ser retirados de documentos oficiais relativos ao Ensino Básico, como os programas oficias do 3.º ciclo ou o texto “AMatemática na Educação Básica” (v.p.17). 1

I n fo r M at 3

Cinco Equações que Mudaram o Mundo Michael Guillen – Gradiva "Amatemática é talvez a linguagem global mais bem sucedida de sempre. Embora não nos tenha permitido construir uma torre de Babel, tornou possíveis feitos anteriormente tidos como irrealizáveis: a electricidade, os aviões, a bomba nuclear, a chegada à Lua e a compreensão da natureza da vida e da morte. O tema deste livro é a descoberta das cinco equações que conduziram, em última análise, a estas realizações extraordinárias.”

PROGRAMA AJUSTADO DE MATEMÁTICA

1. Qual era a área de infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1.º dia? 5t 2. Mostre que se pode escrever A (t) = 6 + 2 . t +1

Introdução Neste trabalho escolhi um problema de aplicação tirado do manual do 12.º ano, Infinito 12 , volume 2, página 129, da Editora Areal, para fazer uma generalização envolvendo outros conteúdos, propondo a resolução de questões com recurso à tecnologia ou sem ela, de modo a comparar e complementar diferentes modos de abordagem, explorando o tratamento gráfico e analítico, relacionando vários aspectos do estudo das funções.

Comentário: Através dos conhecimentos sobre polinómios, os alunos podem verificar as vantagens, do ponto de vista computacional, em transformar expressões como a dada, e ainda que esta simplificação permite estudar e concluir intuitivamente o comportamento no infinito de uma função racional, sem necessidade de recorrer ao gráfico.

Trata-se duma proposta de actividade que pedagogicamente pode ser aproveitada para usar na sala de aula, com o grau de desenvolvimento e extensão que se pretender, a nível do 11.º/12.º anos, ao longo de mais do que uma aula, em trabalho de grupo ou de pares.

A decomposição também pode ser obtida por:

Penso que também poderá ser um documento para trabalhar em termos de formação em reunião de Acompanhamento Local, ou em sessão de trabalho do 1.º grupo na escola, preparando actividades para a sala de aula, discutindo as diversidades metodológicas na sua aplicação e o grau de aprofundamento dos conteúdos de acordo com o programa, assim como algumas conexões, embora superficiais, com a geometria e trigonometria. O suporte tecnológico previsto e comentado é virado exclusivamente para as calculadoras. No entanto, é pertinente a adaptação e exploração com uso do computador, através, por exemplo, do programa Modellus. Os conteúdos do programa abrangidos são: – Estudo de funções racionais, envolvendo polinómios do 1.º/2.º graus, sob aspectos analíticos, numéricos e gráficos. – Inequações fraccionárias. – Limites e indeterminações. – Assímptotas. Continuidade. Limites nos ramos infinitos. – Teorema de Bolzano – Cauchy. – Noção de taxa média de variação, taxa de variação/derivada. Interpretação geométrica. – Função derivada e regras de derivação. – Primeira derivada e sentido de variação. Extremos relativos. – Segunda derivada e concavidades. – Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico. Actividade “A área A de pele, afectada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros dez dias após o início de um tratamento, é dada pela função 6t +5t + 6 2

A (t) =

t 2 +1

, com t em dias e A em cm.

O tratamento iniciou-se às 0 horas do dia 10 de Fevereiro de 2000.”

Recordar que D/d = q + r/d, revendo o algoritmo da divisão.

A (t) =

6(t 2 +1) +5t t 2 +1

=6+

5t t +1 2

, dividindo ambos

os membros por t2 + 1 (t 2 + 1 ≠ 0, ∀ t ∈ |R). 3. Compare a rapidez do aumento da infecção no 1.º dia com a rapidez na sua diminuição durante o 2.º dia. Que pode concluir? E o que se passou no 3.º dia? Apresente os cálculos que justificam as suas respostas. Este ponto invoca a relação da rapidez de variação com a t.m.v. de uma função num intervalo. A observação da monotonia da função nos intervalos indicados, com apoio no esboço gráfico obtido com a calculadora, ajuda a retirar as conclusões : – O sinal positivo da 1.ª taxa e o crescimento da função em [0; 1], permite traduzir que a infecção aumenta no 1.º dia. – O sinal negativo da 2.ª taxa e o decrescimento da função em [1; 2], leva-nos a concluir que a infecção estava já a diminuir no 2.º dia, com a rapidez inferior à do aumento no 1.º dia, pois |– 0,5 | < 2,5. Aproveitar para, mais uma vez, esclarecer que o sinal da t.m.v. [a; b] não garante o crescimento/decrescimento de uma função nesse intervalo [a; b]. E o que se passa com o recíproco ? Por exemplo t.m.v. [0; 3] = (6 – 7,5)/3 = – 0,5 < 0 e a função não é monótona em [0 ; 3] ! 4. Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção ? Determine-a analiticamente e interprete geome tricamente. O aluno deve identificar a taxa de variação instantânea (em t = 0 , neste caso) com a noção de derivada da função A (t) para t = 0 . Este valor pode ser obtido por definição: A’ (0) = lim t→0 ou

A(t ) − A(0) t

A’ (0) = hlim →0

“A Área de P João Antó

Associar, geometricamente, ao declive da recta tangente ao gráfico no ponto de abcissa considerado (t=0). Os alunos podem traçar esta recta tangente no esboço gráfico e mesmo recorrer ao modo de desenho da calculadora (Sketch) e confirmar com “Derivative” o valor obtido analiticamente, assim como em “Table”. Deslocando o cursor ao longo da curva analisa-se a variação das derivadas e o posicionamento das rectas tangentes. Conhecendo o declive e o ponto de tangência à curva, (0; 6), é razoável solicitar que os alunos escrevam uma equação desta recta: y – 6 = 5x ⇔ y = 5x + 6 Outra exploração seria ainda determinar a inclinação da recta tangente, recorrendo à tecla “tang” da calculadora, e relacionar a inclinação com o sinal do declive. 5. Entre que período de tempo (dias, horas e minu tos) teve o doente uma área de infecção superior a 7 cm 2? Resolva graficamente com apoio na calculadora e confirme os resultados analiticamente. Sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve no mínimo 3 casas decimais. Pretende-se que o aluno, recorrendo à calculadora, esboce o gráfico da função num rectângulo de visualização adequado, e determine com os procedimentos disponíveis, os pontos de intersecção do gráfico com a recta horizontal A (t) = 7 , como consta na figura no fim do trabalho. A conversão nas unidades solicitadas e a data de referência (0 horas do dia 10 de Fevereiro), leva-nos a responder que a área de infecção foi superior a 7 cm no período compreendido entre as 5 horas e 01 minuto do dia 10 de Fevereiro e as 18 horas e 59 minutos do dia 14 de Fevereiro. 0,209×24 h ~ 5,016 h e 0,016×60 min. ~ 0,96 ~ 1 min 4,791×24 h ~ 18,984 h e 0,984 × 60 min ~ 59 min. Analiticamente a resolução da inequação : A (t) > 7⇔6 +

A(0 +h) − A(0) h

A nível do 11.º ano deve ser trabalhada como o valor para que tende a t.m.v. em [0,0 + h] quando a amplitude do intervalo tende para zero. Inf or Ma t 4

t2 + 1 > 0, ∀ t).

5t t2+ 1

> 7 ⇔ – t + 5 t –1 > 0 (com

A determinação dos zeros da função quadrática pode ser obtida através da fórmula resolvente da equação do 2.º grau e/ou pode ser efectuada com recurso ao menu de “equações” da calculadora.

le Infectada” uito Minga

É possível rever a variação do sinal de uma função quadrática ou com apoio gráfico, chegar ao conjunto solução ]0,209 ; 4,791[ . Também podemos propor a análise desta questão através de um estudo numérico na tabela da calculadora. 6. Determine, recorrendo à sua calculadora, qual foi a área máxima atingida pela infecção e quando ocorreu ? Explique como procedeu. A partir do gráfico, usando a função “trace” ou “calc”, ou recorrendo a uma tabela, os alunos podem indicar as coordenadas do ponto pedido, frisando que nas suas vizinhanças a função passa de crescente a decrescente. 7. Mostre que o alastramento (a taxa de variação) da área infectada é dada, em qualquer instante t ∈ [0, 10], por: f(t)=

5(1 −t 2 ) (t 2 +1) 2

Pretende-se que o aluno identifique f (t) como sendo a função derivada de A (t) e que a obtenha aplicando as regras de derivação. 8. Recorrendo exclusivamente a processos analíti cos, estude a variação da extensão a |R da função que nos dá a área de pele afectada. É a oportunidade de relacionar a variação quanto à monotonia e os extremos relativos com o sinal da primeira derivada. O aluno deve justificar que o estudo do sinal se reduz ao da função quadrática 1 – t 2 que se anula em t = ±1, e concluir que o valor máximo de 8,5 cm é atingido ao fim do 1.º dia e que o valor mínimo de 3,5 se obtém para t = – 1. t ∈ |R A’ (t) A (t)

–∞

–1 –

0

0

10. Afunção A (t) será um bom modelo matemático para caracterizar a evolução da infecção para um período superior a 10 dias? Justifique. É de aconselhar uma análise gráfica bem como numérica na tabela da calculadora, para identificar a existência de uma assímptota horizontal ao gráfico. Aproveitar para rever as considerações analíticas sobre as assímptotas e o estudo do comportamento no infinito, a partir da decomposição proposta no ponto 2, assim como a indeterminação. lim A (t) = 6 + lim

t→+∞

t→+∞

= 6.

O mesmo quando t → – ∞. 11. Mostre, sem recorrer à calculadora e sem resolver qualquer equação por qualquer processo, que há pelo menos um instante no período compreendido entre os dias 10 e 13 de Fevereiro, em que a área da infecção é de exactamente 7,456 cm 2. Pretende-se a aplicação do teorema de Bolzano-Cauchy e o estudo da continuidade de uma função racional num dado intervalo do seu domínio, [0 ; 3], após a conversão para este caso. A (t) 8,5 A (t)=7

7 6 3,5

Decrescente 3,5 Crescente 8,5 Decrescente min. máx.

–1

Pode também ser indicado o contradomínio da função [3,5 ; 8,5] .

t +1

A (t) – 6 → 0.

–

Na calculadora, no rectângulo [– 5 ; 5] × [– 2 ; 10], podem ser comparados em simultâneo os gráficos da função A (t) e da sua derivada A’ (t), e confirmar a correspondência entre os extremos da função e os zeros da derivada, intervalos de monotonia e o sinal da derivada.

5t 2

Referir que para valores de t muito grandes, a distância entre os pontos da curva e da recta y = 6 vai diminuindo sucessivamente tornando-se tão próxima de zero quanto se queira, ou seja, o gráfico tende a confundir-se com a recta horizontal y = 6 .

+∞

1 +

9. Usando a calculadora e editando o gráfico da segunda derivada, determine as coordenadas dos pontos de inflexão, caso existam, da curva repre sentativa da área de infecção. Interprete geometricamente. Não é de exigir um procedimento analítico, bastante pesado, já que o recurso ás funções da calculadora (d2/dx2), quer graficamente ou em tabela, permite obter os valores aproximados dos zeros da segunda derivada e observar a variação do seu sinal para estabelecer o sentido das concavidades do gráfico da extensão de A (t) a |R .

0

0,204

1

4,791

t

12. Numa breve composição, que não exceda as dez linhas aproximadamente, comente a evolução da infecção no que respeita à área de pele infectada, no período de tempo considerado. O aluno deve escrever um texto que trate de forma objectiva os conteúdos matemáticos mais relevantes abordados ao longo da actividade e que melhor se enquadrem no contexto real deste modelo. I n fo r M at 5

É também uma oportunidade para os professores discutirem a elaboração de uma grelha de avaliação, que à semelhança do que aconteceu nas provas de exame/modelo, poderá assentar numa tabela de dupla entrada com níveis de desempenho relacionados com os conteúdos e a forma do texto. Nos conteúdos parece-me importante referir : – o alastramento da infecção e a rapidez no 1.º dia até atingir o valor máximo. – a diminuição da infecção e a respectiva rapidez. – o período aproximado em que a acção do tratamento estabilizou. – a confrontação da validade do modelo para além de um determinado período de tempo decorrido. Quanto à forma da redacção devem ser ponderadas a sua clareza, estrutura e os erros de sintaxe, de pontuação e de ortografia. Notas: A propósito das questões sobre as derivadas, pode-se propor uma pequena pesquisa histórica sobre o Cálculo Diferencial, referindo essencialmente os seus dois percursores : – Isaac Newton (1642-1727), com a necessidade de resolver problemas de Mecânica, designadamente determinação de velocidades (derivar) ou determinação dos deslocamentos a partir das velocidades ( integrar ou primitivar). – Gottfried Leibniz (1646-1716), nas questões de formalização da linguagem e das notações. É importante a referência a José Anastácio da Cunha (1744-1787), que foi o primeiro matemático a apresentar uma definição moderna de derivada – “Chama-se derivada da função G (x), em cada ponto x, a grandeza G’(x) que faz com que a diferença entre o quociente

G( x + h) − G( x) h

e G’(x) seja um infini-

tésimo ou seja zero, quando h for um infinitésimo.” Para além de consultas a Enciclopédias e à publicação Galeria de Matemáticos, devem ser consultadas as obras: – “História Concisa das Matemáticas”, Dirk Struik, Edit. Gradiva, Lisboa, 1999. – “O essencial sobre a História das Matemáticas em Portugal”, Tiago de Oliveira, Edit. INCM, Lisboa, 1989. Na Internet podem ser consultados os seguintes sites, a propósito da História das Matemáticas e das biografias de alguns matemáticos que se notabilizaram na História do Cálculo Diferencial: – http://www.history.mcs.st-and.ac.uk/~history/mathematicians/Newton.html – http://www.history.mcs.st-and.ac.uk/~history/mathematicians/Leibniz.html – http://www.history.mcs.st-and.ac.uk/~history/mathematicians/Cunha.htlm e http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/hmp/X0003_HMP2.html

Sobre as derivadas pode consultar : – http://www.archives.math.utk.edu/visual.calculus/2

O Departamento do Ensino Secundário acaba de editar um CD-ROM e respectiva brochura contendo indicações de utilização no âmbito do projecto CRIAR. Este projecto, de autoria de Augusto Guimarães, tem por objectivo principal apoiar os alunos na aquisição de conceitos estruturantes essenciais necessários para o desenvolvimento das aprendizagens de Matemática do Secundário. O software que constitui o projecto CRIAR é baseado na tecnologia Internet e foi especialmente concebido para ser utilizado no Centro de Recursos da escola permitindo que cada aluno possa trabalhar individualmente, sob orientação de um professor responsável.

PERGUNTASFREQUENTES Há conceitos matemáticos em que a História da Matemática possa evidenciar, aos estudantes, como eles foram usados , descobertos , explorados e desenvolvidos e, só depois, finalmente, definidos? No caso das derivadas há vários exemplos, que agora reconhecemos como derivadas, em que estas primeiro foram usadas, bem como as suas propriedades, para resolver problemas e aplicações da Matemática. A evolução dos números complexos também seguiu o padrão atrás referido. Girolamo Cardano começou relutantemente a usar números complexos quando viu que valores negativos apareciam debaixo do sinal de radical. Na sua obra “Ars Magna” (1545), expõe a resolução das equações do 3.º grau de acordo com a fórmula, dita de Ferro-Tartaglia-Cardano, que Tartaglia lhe deu em verso, e que Cardano tentou demonstrar (de acordo com os padrões da época, e sem definições precisas) e aplicou a outros casos. Nesta obra aparece um problema que leva a uma equação do 2.º grau: Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto 40. A sua resolução levou Cardano a considerar expressões 5 + √ – 15 e 5 – √ – 15. Embora dissesse que o problema não tinha solução e que o resultado era “tão subtil quanto inútil”. Também um problema como “Sendo v o volume de um cubo de aresta x e v´ o volume de um parelelepípedo rectângulo de área da base 3 e altura igual à aresta do cubo pretendia-se determinar x de modo que v = v´+1” implicava que para o resolver se tornava necessário utilizar a fórmula de Ferro-Tartaglia-Cardano já referida e a sua resolução dependia de encontrar o valor de √ – 0,75. Mas “esta raiz não existe!”, o que significava que o problema era impossível. Só que o problema não era impossível! Se por exemplo x=1,5, o volume v seria 3,375, inferior a v´ + 1, que neste caso seria 5,5. Mas se x = 3 obteríamos v = 27 e v´ + 1 = 10, logo deveria existir um valor de x em que v e v´ + 1 se igualassem

No final de cada módulo há sempre um teste diagnóstico com o qual o aluno pode testar os seus conhecimentos sobre o assunto acabado de estudar.

A nossa experiência com o CRIAR

No entanto, é importante um acompanhamento do professor, alguém que diga “trabalho o módulo tal…”, ou que pergunte “que dificuldades tiveste no módulo…?”. E principalmente alguém que na aula ou nos trabalhos escritos, ao detectar lacunas ou esquecimentos, dê a indicação para ir ao CRIAR e estudar um determinado módulo.

Graça e Acácio 1

Este já é o segundo ano que trabalhamos com o programa CRIAR.

Há muito que um grupo de professores da Escola Secundária Emídio Navarro (ESEN) vinha a sentir de ano para ano a urgência de a Escola possibilitar/oferecer aos alunos um espaço e instrumentos de ajuda ao trabalho individual ou em grupo na área da Matemática.

É gratificante observar um aluno que tem enormes dificuldades em resolver equações do 1.º e 2.º graus, trabalhar com o respectivo módulo e passadas uma hora e tal não só consegue ultrapassar as suas dúvidas com um pouco ou nenhum apoio do professor, mas também e principalmente melhora a sua auto estima e acredita que se quiser, consegue!

De há uns anos a esta parte todos nos queixamos e lamentamos a “má preparação” dos alunos, em particular no 10.º ano.

Esta situação aconteceu com alguns alunos dos 10.º e 11.º anos, tanto deste ano como do ano anterior.

Por outro lado também defendemos que o sucesso e o aproveitamento depende essencialmente da vontade de cada um dos alunos.

Outras situações também vulgares acontecem quando, no início do 10.º ano e 11.º alguns alunos esqueceram relações em triângulos, casos notáveis, etc.

Foi o sentir de uma quase impotência para alterar o estado de insucesso na Matemática que o colega Guimarães, em boa hora, deitou mão à obra e nasceu, há 2 ou 3 anos, o CRIAR. É uma ferramenta extremamente útil para o trabalho com os alunos numa sala de estudo 2.

Podem ser situações que não faz sentido o professor do 10.º ou 11.º ano abordar e trabalhar na aula! São pré-requisitos! Ora, encaminhando estes alunos para o trabalho com o programa, tendo o cuidado de lhes indicar os módulos que hão-de explorar, seguramente desenvolverão a sua auto-confiança, resolverão os seus problemas, além de que nós professores sentir-nos-emos, também, mais “aliviados”.

Como dissemos atrás, tem que ser o aluno a querer ultrapassar as suas lacunas ou desenvolver/explorar mais este ou aquele assunto.

Acresce que, no CRIAR, dispomos de outros módulos como “cálculo mental” que podem ajudar a desenvolver outras capacidades.

No entanto a Escola deve-lhe fornecer material tecnológico e humano para que possa desenvolver as suas capacidades.

Com “jogos” aparentemente inocentes e simples apura-se o cálculo mental, desenvolvem-se noçõe e relações de quantidade, etc.

O CRIAR pretende desempenhar exactamente estas funções. Está dividido em módulos/temas.

Penso que são bons exercícios também para o professor. Ao jogar, às vezes sentimos que até nem somos tão bons como pensávamos – uma derivada complicada ou um integral não nos assustam, mas um simples joguinho de fracções obriganos a parar e a pensar…

Cada um deles é tratado desde as noções mais elementares até situações mais complexas, apelando sempre à experimentação e visualização, com animações e interactividade, com desafios para ir mais longe e fazer “descobertas”! E qual o papel do professor aqui?

E como é que motivamos os alunos para um trabalho deste tipo?

O trabalho com o CRIAR, em princípio dispensa o professor – a abordagem dos temas é simples, o grau de complesidade vai aumentando devagar, sempre com propostas de questões onde a ajuda não é dar a solução ou a resolução, mas sim indicar um possível caminho, dar pistas…

Aqui faz sentido contar uma “história verdadeira”: No ano anterior, para informarmos os alunos tanto da existência da sala de estudo como do software CRIAR, convidámos

In f or Ma t 6

o colega Guimarães para mostrar e apresentar o programa aos Directores de Turma, a fim de que estes ficassem sensibilizados e fizessem a divulgação tanto aos alunos como aos Encarregados de Educação. Em relação aos colegas de Matemática, também durante uma ou duas tardes e com o autor, explorámos o CRIAR.

Vale a pena pegar no CD, que deve ter chegado há pouco à Escola, ou ir à página do professor de Matemática do DES e fazer o download do programa (enquanto aguardamos que chegue) e depois, cada um, sozinho, explorá-lo! Vai, com certeza, concluir que, além de um óptimo apoio ao aluno, também lá encontra muita coisa que pode utilizar nas aulas.

Não obstante esta dinamização, tivemos relativamente poucos “clientes”, principalmente o 10.º ano! É de referir que nenhum dos elementos do referido projecto leccionava, naquele ano, o 10.º ano.

Portanto, mesmo que não esteja ainda minimamente convencido, seja curioso! dispense alguma tempos para o conhecer. Depois disso tenha a certeza que não vai resistir, e logo em Setembro vai falar nele aos seus alunos.

Como no ano anterior não resultou, este ano 2000/2001 resolvemos, na primeira semana de aulas, propor aos colegas de Matemática com turmas do 10.º ano que uma das suas aulas fosse “dada” pelo Guimarães, na sala de estudo, para que os alunos ficassem a conhecer o CRIAR, e sentissem a mais valia que poderiam ter, trabalhando com ele. Deste modo metade das turmas do 10.º ano sentiram, viram e perceberam o que tinham ao seu dispor… Paralelamente tivemos encontros com os Directores de Turma dos 10.º e 11.º anos e fizemos um convite aos Pais para conhecerem e se inteirarem acerca do que a Escola oferecia, pois pensamos que aqueles podem e devem ter bastante influência no sentido de também orientar os seus filhos no trabalho e no estudo. Este ano, principalmente até metade do 2.º período, houve uma procura e um trabalho com o CRIAR já quase satisfatório. De dois anos de trabalho com o CRIAR que testemunhos podemos deixar?

(Continuação da pág. 1)

Para além das disciplinas atrás mencionadas, a Matemática poderá ainda ter um papel fundamental no percurso dos alunos do Ensino Secundário através do contributo que poderá dar na disciplina da Área de Projecto dos Cursos Gerais e do Projecto Tecnológico dos Cursos Tecnológicos, dado que os projectos que aí serão desenvolvidos pelos alunos devem estar relacionados com o seu plano de estudos para que possam estudar, resolver problemas e compreenderem fenómenos do mundo que os rodeia.

Um dos módulos que aparece no CRIAR refere-se aos problemas do “módulo inicial” do Reajustamento e a uma proposta de animação e resolução. É de salientar que, para trabalhar com os alunos, não precisa de uma sala. Basta um cantinho com 2 ou 3 computadores. Todas as propostas de trabalho e exercícios do CRIAR podem ser alterados e adaptados facilmente por cada um dos professores. Seja curioso e Bom trabalho. http://www.mat-no-sec.org (Página de Apoio ao Professor de Matemática – DES) http://criar.no-sapo.pt (Página de apoio ao CRIAR – da responsabilidade do autor) pedro.delgado@netvisão.pt (endereço da Graça) [email protected] (endereço do autor do programa) 1 Elementos do Projecto Marte 2002 e professores acompanhantes do distrito de Viseu. 2 A ESEN, tem uma sala criada no âmbito do Projecto MARTE 2002, que envolve professores de Matemática e Física

O Departamento do Ensino Secundário tem previsto um conjunto de medidas de apoio aos professores de Matemática, no âmbito da revisão curricular, que passam pela informação e divulgação atempada dos programas e materiais de apoio à implementação dos mesmos (grande parte desta informação estará na “Página de Apoio ao Professor de Matemática” em http://www.mat-no-sec.org ) e pela disponibilização de formação adequada quer seja através do acompanhamento local quer seja através de acções de formação implementadas em estreita colaboração com os Centros de Formação.

A Matemática na Revisão Curricular Nome Mat. A

Curso Cursos Gerais

Formação Específica

Duração Trienal

Mat. B

Cursos Tecnológicos

Específica

Trienal

Mat. Aplicada às Ciências Sociais

Curso G. de Ciências Sociais e Humanas Curso T. de Ordenamento do Território Cursos Gerais

Específica

Bienal

CientíficoTecnológica Específica Opção (nível nacional) Específica

Trienal

Temas Actuais da Matemática Matemática C

Transição do Curso Geral para o Curso Tecnológico

In fo r M at 7

Anual (12.ºano) Anual (12.º ano)

Carga Horária 4.5h/semana 3 temp. de 90m 3/semana 2 temp. de 90m 4.5h/semana 3 temp. de 90m 3/semana 2 temp. de 90m 4.5h/semana 4.5h/semana 3 temp. de 90m 7.5h/semana 5 temp. de 90m

e esse valor teria que ser a solução da equação x 3 = 3x + 1, logo esta terá que ter solução! Que concluir? Repare-se que a necessidade de ir mais longe surge na resolução da equação do 3.º grau ( e não do 2.º grau) quando se descobriu que afinal existia uma solução. Este facto salienta como o progresso da Matemática se não realiza sempre em obediência a um plano lógico de desenvolvimento interno mas muitas vezes pelas pressões exteriores que a obrigam a procurar, às apalpadelas, o seu caminho. Uma geração mais tarde, Raphael Bombelli descobriu os números complexos analisando o caso irredutível das equações cúbicas quando as suas três raízes eram todas reais não nulas e apareciam valores negativos debaixo do radical ao utilizar a fórmula de Ferro-Tartaglia-Cardano. Durante os 3 séculos seguintes muitos matemáticos exploraram e desenvolveram vários aspectos dos complexos. Por exemplo, em conjunção com trabalhos em Geometria Analítica, Cálculo e Álgebra, matemáticos como René Descartes; Isaac Newton, G.W. Leibniz, Leonard Euler; Jean Alembert, Carl F. Gauss e Bernhard Riemann todos empregaram números complexos para descrever as suas equações, formulação de funções logarítmicas e exponenciais e utilizaram-nos como ferramentas analíticas para a resolução de problemas reais. Gasper Wessel, Jean Argand e Carl F. Gauss contribuíram de forma crucial para o desenvolvimento aceitação e compreensão dos números complexos quando os representaram geometricamente no plano real como o fazemos hoje. Finalmente, William Rowan Hamilton estabeleceu a teoria dos números complexos quando os definiu em termos de pares ordenados de números reais de forma análoga à de qualquer livro dos nossos dias. Esta definição e as regras para o cálculo podem ser encontradas em artigos de 1837 “The Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary essay on Algebra as Science of Pure Time”.

FICHA TÉCNICA Editor: Departamento do Ensino Secundário [DES] Director: Anabela Neves Coordenação: Maria do Carmo Belchior e Isabel Fevereiro Design Gráfico: DELTAGRAPHOS;Design e Publicidade, Lda. Fotolito, impressão e acabamento: Medigráfica, Lda. Periodicidade: Trimestral Tiragem: 4000 exemplares ISSN: 0874-0844 Depósito Legal: 143 753/99 Lisboa 1998 Distribuição gratuita Toda a correspondência deve ser enviada para InforMAT Avenida 24 de Julho, 138,50.º 1391 Lisboa Tax: 21 393 81 08 [email protected] [email protected]

As opiniões expressas nos textos apresentados nesta publicação são da responsabilidade dos autores e não reflectem necessariamente a opinião do Departamento do Ensino Secundário ou do Ministério da Educação

O Departamento do Ensino Secundário (DES) criou um espaço na internet, destinado aos professores de Matemática do secundário, com informações úteis à prática pedagógica, contribuindo para a sua auto-formação e actualização. Para aceder a este espaço, basta abrir a página do DES no endereço, http://www.des.min-edu.pt e clicar em seguida no “apoio ao professor de Matemática” ou ir directamente ao endereço http://www.mat-no-sec.org Poderá então encontrar:

O programa de Matemática do Ensino Secundário actualmente em vigor.

– Apresentação de actividades a desenvolver na sala de aula e de actividades interactivas prontas a serem utilizadas – O programa de modelação modellus. – O projecto CRIAR.

– As 10 Brochuras de apoio à concretização das orientações curriculares: • Funções do 10.º, 11.º e 12.º ano; Geometria do 10.º e 11.º ano; • Trigonometria e Números Complexos; Estatística; • Probabilidades e Combinatória; Didáctica e Projectos.

– Alguns endereços de páginas da Internet nacionais e internacionais com informações úteis sobre a Matemática e a Educação Matemática E finalmente

Destaques com notícias e informações sempre úteis

O boletim Informat n.os 4, 5, 6 e 7 contendo informações, e artigos de divulgação e debate do ensino da Matemática. I nf o r Ma t 8