Informat 5

Práticas Lectivas/Formação Contínua de Professores Maria Isabel Fevereiro e Maria do Carmo Belchior *

Desde a entrada em vigor do programa ajustado de Matemática em 97/98 que o apoio à formação de professores tem merecido uma especial atenção por parte do Departamento do Ensino Secundário (DES). É o caso da formação dos professores acompanhantes locais, como agentes dinamizadores e promotores do encontro de professores de escolas vizinhas com o objectivo de proceder a uma reflexão tão profunda quanto possível sobre o programa ajustado e de promover debates e trocas de experiências de práticas lectivas inovadoras. Por outro lado, o DES, em colaboração com Centros de Formação de Associações de Escolas, tem apoiado o lançamento de oficinas de formação.

Nas modalidades Círculo de Estudos e Projecto podem ser os próprios participantes nas acções de formação a proporem ao seu centro de formação uma acção que procure responder a uma preocupação profissional sentida pelo grupo. No Círculo de Estudos, o objectivo da acção será a busca de solução para esse problema e no Projecto será, para além disso, a intervenção sobre o problema procurando alterar a situação. Logo, enquanto o Círculo de Estudos é essencialmente um estudo conjunto, o Projecto é uma acção conjunta, sendo ambos centrados na escola e promovidos por um grupo de professores.

Face às propostas de desenvolvimento do currículo constantes nos programas ajustados, nomeadamente no que se refere à relação da Matemática com a realidade, à utilização de novas tecnologias ou de abordagens mais apoiadas numa variedade de representações matemáticas, considerou-se que as oficinas podiam constituir um importante espaço de formação e de reflexão. Em particular, proporcionando formações centradas nas práticas lectivas que, de acordo com as orientações dos programas, possam também estimular o desenvolvimento e a selecção de materiais e de tarefas a propor aos alunos.

Quanto às Oficinas de Formação e Estágios são essencialmente centrados na aplicação/experimentação e reflexão/melhoramento das práticas profissionais. Na Oficina de Formação pretende-se experimentar e melhorar os meios materiais de acção, tornando-se importante a presença de um grupo em que o número de participantes poderá oscilar entre 10 a 20 professores. O Estágio tem como característica dominante a intervenção supervisionada dos formandos no espaço profissional, seguida de reflexão e proposta de melhoramento discutida com o formador, não sendo aconselhável mais de 5 participantes.

O DES tem acompanhado de perto, através dos acompanhantes locais, a concretização do programa e a evolução das necessidades de formação dos professores que se têm manifestado sobretudo na área das práticas pedagógicas. Até agora, as modalidades de formação centradas nos conteúdos e destinadas essencialmente à aquisição de conhecimentos, ao estudo das problemáticas do sistema educativo e da função docente, têm sido as mais procuradas pelos professores (através essencialmente dos cursos de formação) quer seja pela diversidade de ofertas quer seja por hábito e desconhecimento de outros tipos de formação. Sendo estas modalidades muito úteis no desenvolvimento de conhecimentos, capacidades atitudes e competências dos professores não garantem por si sós, a concretização dessas aquisições pessoais e profissionais nas salas de aula. É importante que sejam divulgadas modalidades que se desenvolvem em contexto escolar (os Círculos de Estudos, as Oficinas de Formação os Projectos e os Estágios) centradas nas práticas e orientadas para a resolução de problemas das escolas e para a melhoria do processo de ensino-aprendizagem. Uma das características mais importantes das modalidades de formação que se realizam em contexto é a possibilidade de se analisarem as práticas na sequência do esforço de formação realizado. Isto significa que, a partir de problemas ou necessidades comuns, o grupo em formação vai procurar encontrar predominantemente planos de acção e procedimentos (nos Círculos de Estudo e Projectos), meios de acção e materiais (nas Oficinas) ou intervenções profissionais (nos estágios), que respondam aos problemas ou necessidades diagnosticados.

A justificação para a promoção de acções de formação que se organizam segundo estas modalidades deve prever os problemas ou necessidades de formação que levam às mudanças das práticas pedagógicas ou procedimentos na escola, identificados previamente pelos professores, a fim de que aí possam construir respostas práticas adequadas aos problemas diagnosticados. Pensamos que os professores acompanhantes locais podem ter nesta área um papel muito importante, quer ajudando a divulgar e promover as diversas modalidades de formação, quer dinamizando e colaborando no que lhes for solicitado para a realização das mesmas. Tem sido já prática corrente de alguns acompanhantes promover, nas escolas que acompanham ou mesmo a nível distrital, encontros onde o debate e a troca de experiências incide sobretudo na divulgação e utilização dos materiais tecnológicos de suporte às práticas lectivas (as calculadoras gráficas, os computadores e software adequado, os sensores CBL e CBR), nas actividades de modelação, nas actividades de investigação, na resolução de problemas e na avaliação formativa. É muito importante dar continuidade a este trabalho, aprofundá-lo, desenvolvê-lo e divulgá-lo, de forma a que se estenda ao maior número de escolas possível. Toda a informação referente à formação contínua encontra-se disponível na Internet no endereço http://www.ccpfc.uminho.pt. * Profesoras, responsáveis pela Matemática , no Departamento do Ensino Secundário.

Biblioteca Matemática Nesta secção iremos referenciando livros recentes em língua portuguesa de especial interesse para os professores de Matemática e que recomendamos façam parte das bibliotecasdas escolas secundárias.

Colégio de Gaia - Um problema simples com recurso a Calculadoras António Gonçalves e Paulo Costa *

Os professores do Colégio de Gaia incentivam os seus alunos para que pesquisem na Internet sites com interesse no sentido de aprofundarem assuntos tratados nas aulas. Um aluno do Curso Tecnológico de Electrónica, encontrou emuladores de calculadoras gráficas T.I. e como possuía a TI-83, calculadora adoptada pelo Colégio, deu disso conhecimento ao professor daquela disciplina, que por sua vez comunicou a “descoberta” ao Grupo de Matemática que achou o assunto interessante.

Investigações matemáticas na aula e no currículo Paulo Abrantes, João Pedro da Ponte et al. Grupo “Matemática para todos - investigações na sala de aula”, Lisboa, 1999 Ed. Associação de Professores de Matemática Este livro reúne um conjunto de artigos elaborados no âmbito do Projecto “Matemática para Todos” à volta da incorporação, nas aulas e nos currículos de matemática, de actividades de natureza investigativa realizada pelos alunos. Segundo os organizadores do volume, “as actividades de investigação podem ser inseridas, naturalmente, em qualquer parte do currículo, representando na verdade um tipo de trabalho que tem um carácter transversal na disciplina de Matemática”. O Programa Ajustado de Matemática (1997) recomenda que “o professor deve prever, desde o início do ano, momentos para o desenvolvimento de trabalhos individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de projecto e actividades investigativas” (pág. 14) Este livro fornece pois elementos de reflexão importantes para o Programa até porque, de acordo com os organizadores do livro “o trabalho realizado por este projecto confirma as potencialidades da actividade investigativa para a aprendizagem da Matemática e dá muitas pistas sobre o modo como ela se pode inserir nas actividades das escolas”.

imagens das calculadoras, evitando deste modo gastar tempo no estudo de programas gráficos demasiado complicados. Note-se que só é permitido usar as capacidades do emulador a quem possua a respectiva máquina de calcular. Para mais informações sugerimos uma visita aos sites: http://rusty.acz.org – Página do autor do emulador. http://www.ticalc,org – Excelente arquivo de programas e informações para calculadoras TI.

O nosso colega, professor Paulo Costa, “especialista” na net, empenhou-se no sentido de explorar as potencialidades do emulador. Conseguiu assim “transferir” os sistemas operativos das calculadoras com que trabalhamos, TI-83, TI-83+ e TI-92 para o computador. Este facto tem relevância, porque possibilita a abordagem de questões que envolvem o uso da máquina de uma forma diferente, diversificando estratégias: os alunos podem usar a calculadora limpa, sem perderem programas que tenham memorizados na sua, ou, de uma forma simples transferirem programas para o emulador. Torna-se assim possível ilustrar melhor explorações e conclusões, sobretudo num trabalho de grupo, dado que podem “capturar” e “colar” os ecrãs do emulador nos relatórios que elaborarem.

Segue-se um exemplo do que se pode fazer, quer se trate de Matemática ou de outra disciplina que a requeira. Como exemplo, neste caso, vamos ver a vantagem que se pode retirar do uso simultâneo da TI-83 e da TI-92 ou TI-89, ambas a trabalharem no ecrã do computador. Trata-se de resolver uma questão simples, aparentemente não contemplada no Programa Oficial: medir a distância de um ponto a uma recta. Escolhemos ao acaso o ponto A = (4, – 3), e a recta de equação f (x) = 7x + 1. Trata-se pois de definir uma distância (Euclidiana), entre os pontos: A = (4, – 3) e (x, 7x + 1), D (A, F) = d (x) d (x) = √(x – 4)2 + ((7x + 1) – (– 3))2

Para os Professores também é útil, uma vez que podem preparar fichas de trabalho ou testes escritos, ilustrados com

d (x) = √50x2 + 48x + 32

In f or Ma t 2

mples com recurso a Calculadoras e Paulo Costa *

Técnica de procedimento: TI-83 – Cálculo da distância aproximada.

TI-92 – Cálculo da distância exacta.

Começamos por visualizar o gráfico da função:

Começamos por calcular a derivada da função:

Determinamos o mínimo, que é a distância:

Determinamos o valor exacto do zero da derivada da função:

Estatística e Calculadoras Gráficas Grupo de trabalho T 3-Portugal APM, Lisboa, 1999 Esta publicação contém actividades sobre Estatística, redigidas tendo em vista uma possível utilização na sala de aula; contém ainda comentários sobre as actividades e propostas de resolução das mesmas. São utilizadas as calculadoras gráficas (aliás é difícil pensar que se possa fazer estatística elementar no ensino secundário sem usar calculadoras gráficas) e num caso é utilizado um sensor para recolha de dados.

O homem que só gostava de números Paul Hoffman Gradiva, Lisboa, 2000

Com o valor exacto do minimizante, calculamos o valor exacto do mínimo:

Pode assim determinar-se a distância de um ponto a outras funções calculando o mínimo absoluto de d (x). Havendo tempo poderiam mesmo experimentar-se outras métricas. A vantagem, neste caso, é obterem-se os valores aproximados

e os valores exactos trabalhando simultaneamente com as duas calculadoras e recorrendo à impressão dos gráficos e dos resultados com grande comodidade. * Delegado de Grupo e professor de Matemática do Colégio de Gaia

In for M at 3

Este livro contém a biografia de um dos matemáticos mais originais e brilhantes de todos os tempos e certamente um dos maiores matemáticos do século XX: o húngaro Paul Erdös. Este é um texto delicioso e imperdível pois Erdös era uma personalide excêntrica e muito humana de que o livro conta episódios saborosos sem fim. Fala de muitos problemas em que trabalhou (a maioria de teoria de números) e de muitos dos matemáticos com que se encontrou ao longo da vida, como Einstein, o malabarista Graham, o inglês Hardy e o especialista de teoria de conjuntos Stan Ulam. Erdös era um matemático que trazia sempre um bloco de notas para não se esquecer de nenhuma das ideias que tinha 24 horas por dia e era capaz de demonstrar um par de teoremas numa festa, mas não gostava de números imaginários e escorregou no célebre problema de probabilidades de Monty Hall (o problema das três portas). Um livro indispensável a qualquer professor se quiser considerar que tem cultura matemática e claramente recomendável aos alunos mais interessados pela Matemática.

Tema Central

Modellus: uma ferramenta computacional para criar e explorar modelos matemáticos Vítor Duarte Teodoro *

A importância do uso da tecnologia na educação em Matemática e em Ciências A mais recente versão dos “Principle and Standards for School Mathematics” (NTCM, Draft, 1998) estabelece seis princípios que devem orientar os currículos de Matemática. Um desses princípios afirma explicitamente que “os programas de Matemática devem usar tecnologia para auxiliar todos os estudantes a compreender a Matemática e prepará-los para utilizar a Matemática num mundo que cada vez mais depende da tecnologia.” Desde há alguns anos que a influência deste princípio se tem vindo a sentir nos currículos em Portugal, nomeadamente no caso da obrigatoriedade da utilização de calculadoras gráficas. Infelizmente, o mesmo não tem sucedido com o ensino das Ciências, em particular o da Física. Nesta disciplina, em Portugal, o uso da tecnologia ainda é visto com desconfiança por muitos professores e alguns responsáveis educativos apesar de ser hoje evidente a influência que tem o uso de equipamentos computacionais na criação de conhecimento científico. Essa é uma influência tão grande que a National Academy of Sciences dos EUA considera que “a computação científica se tornou de tal modo parte da prática da ciência e da engenharia que pode ser considerada um terceiro tipo de metodologia fundamental de investigação – em paralelo com os paradigmas clássicos de ciências teóricas e ciências experimentais”. A utilização da tecnologia não se destina, simplesmente, a “facilitar” os cálculos ou as medidas. A tecnologia permite transformar os processos de pensamento, os processos de construção do conhecimento. É difícil de exemplificar isso num texto curto e simples como este. Mas, quem já utilizou um programa de geometria dinâmica ou um programa de modelação com funções e equações diferenciais sabe bem o que isso pode significar. A ideia base é simples: a tecnologia permite reificar, isto é, concretizar, os “objectos abstractos”. Esses “objectos abstractos” (figuras e relações geométricas, equações, funções, vectores, etc.) adquirem o estatuto de “objectos directamente manipuláveis” – o que a simples manipulação em papel não permite. Esta ideia, que já vem pelo menos de Papert e do Logo (uma

linguagem de programação que se procurou difundir na educação em Matemática mas que hoje é praticamente desconhecida pelos professores), parece ter tido finalmente sucesso, um sucesso que deve muito aos avanços do modo como se interage com o computador (rato, ambientes gráficos, manipulação directa, ícones, etc.).

Mais de vinte anos de investigação... 1.º exemplo: uma família de funções. Com o Modellus é possível criar vários “casos”, isto é, conjuntos de valores de parâmetros de uma função (ou condições iniciais de variáveis independentes, de variáveis que são iteradas ou ainda de variáveis que são integradas). Na janela de gráficos é possível observar pontos ou linhas (união de pontos), bem como tangentes em cada ponto. As tangentes podem ser “animadas”. O domínio e o passo da variável independente são definidos na janela de controlo.

2.º exemplo: utilizando uma fotografia para determinar o modelo de uma curva. A versão 2 do Modellus possui diversas ferramentas que permitem efectuar medidas em fotografias, vídeos, gráficos, etc. Neste exemplo, determinaram-se as coordenadas do vértice de uma parábola (movimento de uma bola, num ressalto) e utilizaram-se esses valores para obter a equação da parábola. Uma vez obtida esta equação, criou-se uma “bola” com coordenadas dadas pelo modelo e investigou-se a razoabilidade desse modelo, comparando as posições da “bola” com as da fotografia.

A criação de ferramentas computacionais de carácter exploratório, para utilização em educação, como é o caso do Modellus, dos programas de geometria dinâmica (Sketchpad, Cabri, Cinderella, Supposer, etc.) e de diverso outro software é o resultado de um vasto esforço internacional de investigação e desenvolvimento, começado no princípio dos anos 80. Os resultados deste esforço de investigação é hoje já praticamente um património adquirido a nível da definição de currículos, apesar de ainda não o ser na prática de ensino. De facto, a generalização deste tipo de ferramentas no ensino e na aprendizagem tem-se revelado muito mais complexa do que parecia inicialmente. Isto é devido, em parte, à enorme complexidade das organizações educativas e à dificuldade de mudança da cultura profissional dos professores. Como disse um famoso cientista, “education is much more complex than rocket science!”. Sem dúvida, parece mais fácil ir à Lua do que utilizar tecnologia na escola. Dos factores que favorecem a renovação das práticas escolares, dois são de importância fundamental: a existência de condições organizacionais nas escolas (laboratórios organizados e funcionais, documentação, apoio, etc.) e a formação e acompanhamento de professores. E, nestes factores, mais importante do que a qualidade da investigação e do software é a qualidade e quantidade da acção, da intervenção. Sem dúvida, muito há a fazer nestes aspectos.

A natureza da Ciência e a modelação 3.º exemplo: representação do movimento da Terra e de Marte, em relação ao Sol. À esquerda, o movimento visto “de fora” do sistema solar, tomando o Sol como origem do referencial. À direita, o movimento do Sol e de Marte vistos da Terra. As equações do movimento utilizam funções trigonométricas simples.

I nf o r Ma t 4

A Ciência é um processo de representação do Mundo, sempre sujeito a reformulação. A linguagem matemática desempenha em muitas ciências um papel fundamental nessa representação.

Tema Central

para criar e explorar modelos matemáticos eodoro *

A representação do Mundo é, muitas vezes, confundida com “explicação”. Na realidade, o discurso científico tem mais a ver com “representações” do que com “explicações”. Por exemplo, a lei da gravitação universal, de Newton, é uma forma de representar através de um modelo matemático a interacção entre os planetas. Nada nos diz acerca do que é a gravitação. O poder da linguagem matemática resulta, pois, não da sua capacidade de explicação, mas sim da sua capacidade de representação e de “mimetização” da Natureza. Isto é, utilizando equações, é possível reproduzir no papel (no caso de Newton, que não tinha computador mas tinha assistentes e paciência para realizar inúmeros cálculos repetitivos...) ou no computador o que se passa no céu! A palavra “modelação” pode ser praticamente considerada como “um processo de representação”. Um modelo é uma representação. Um modelo matemático, que é uma forma específica de representação, é uma representação que utiliza objectos matemáticos, como são as funções, as figuras geométricas, etc. Os modelos matemáticos têm enorme importância porque são representações sintéticas, que se referem apenas ao essencial e que, muito importante, podem ser utilizados para prever. No século XX, o ensino da Matemática afastou-se do ensino das aplicações da Matemática. Esse afastamento tem mais a ver com razões burocráticas e de organização escolar e universitária do que com a natureza do conhecimento e das práticas e saberes profissionais. A utilização de tecnologia e a ênfase na modelação contribui para combater esse afastamento. E não parece haver dúvidas que faz muito mais sentido aprender conceitos matemáticos em contextos onde eles são utilizados do que simplesmente aprender formalismos sem qualquer contexto. É por isso que as actividades de modelação têm cada vez maior importância no currículo (por exemplo, os “Principle and Standards” referem 44 vezes o termo modeling).

A estrutura do Modellus e alguns exemplos O Modellus inclui uma janela “Modelo” onde se podem escrever funções, iterações e equações diferenciais ordinárias. Além de poder integrar numeri-

4.º exemplo: uma animação da construção de uma recta utilizando a respectiva equação vectorial. O vector v é o vector director. O vector director, bem como o ponto A, pode ser alterado enquanto decorre a animação. Este ficheiro está protegido por uma password, não podendo o utilizado modificá-lo. A janela “Modelo” está “escondida”, de modo a se poder ver apenas a animação.

5.º exemplo: colocou-se uma imagem de um gráfico no “fundo” da janela de “Animação”. O gráfico foi obtido com um equipamento laboratorial (sensores e interface) e refere-se à velocidade de um carrinho ao longo de cerca de 4 s. Durante os primeiros 0,5 s, a velocidade foi nula e depois o carrinho acelerou. Utilizando as ferramentas de medida (no topo da janela de “Animação”), determinaram-se as escalas do gráfico, mediu-se o declive da curva, etc. Uma vez feitas as medições, construiu-se um modelo e comparou-se o gráfico correspondente ao modelo com os dados experimentais. Os gráficos podem ser sobrepostos, o que não sucede nesta imagem. Pode ainda construir-se animações com base no modelo.

Para saber mais Página web do Modellus (inclui exemplos, ficheiros para instalação, textos, manuais, etc.): http://phoenix.sce.fct.unl.pt/modellus Página que anuncia as actividades de formação de professores sobre modelação e temas relacionados; http://phoenix.sce.fct.unl.pt/abacus Correio electrónico para dúvidas, marcação de workshops, contributos e sugestões; [email protected] Na página web do Modellus (e na APM) é possível obter um livro com actividades para alunos do ensino secundário escrito por António Bernardes e Rita Bastos, bem como os respectivos “Guia do professor” e “Soluções”. In for M at 5

camente, o Modellus possui um “motor” de derivação simbólica que lhe permite calcular e representar graficamente a derivada de qualquer função. A sintaxe da escrita na janela “Modelo” é praticamente igual à sintaxe da escrita em papel. A variável independente é inicialmente designada por t mas pode ser designada por qualquer outra letra (utilizando o botão “Opções...” na janela “Controlo”). Como não é possível a um computador utilizar todos os números reais num certo intervalo, o passo da variável independente (definível também no botão “Opções...”) desempenha um papel importante. No Modellus podem ver-se múltiplas representações de relações matemáticas. Por exemplo, podem ver-se equações, tabelas, gráficos e animações. A possibilidade de ver ou construir animações é a característica mais original do Modellus. Uma animação é, muitas vezes, uma forma de testar a “lógica” de um modelo. Se a animação “funciona”, então é provável que o modelo esteja correcto! Uma animação construída com base num modelo é, assim, uma forma de concretizar esse modelo. A versão 2 do Modellus permite também a utilização de fotografias, vídeos, gráficos, etc., como registos de informação para construção de modelos (ver exemplos 2 e 5). Uma vez colocadas essas imagens como “fundo” numa janela de “Animação”, pode utilizar-se “ferramentas de medida” de coordenadas, distâncias, áreas, declives e ângulos. As medidas assim efectuadas podem ser utilizadas para construir modelos, modelos esses que podem depois ser comparados com as imagens ou podem ser utilizados para construir animações. O Modellus pode também ser utilizado como “linguagem de autor” para construir situações de aprendizagem onde o aluno só tem acesso a certos aspectos do modelo ou das animações. O exemplo 4 mostra uma animação que representa a construção de uma recta utilizando a equação vectorial e a equação reduzida. No ficheiro, protegido com uma “password”, apenas está visível a “Animação”, não podendo esta ser alterada pelo aluno.

* Vítor Duarte Teodoro ([email protected]), Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

Perguntas mais Frequentes

Conexões Matemáticas

Pergunta 1: Quais os limites notáveis? Se são “notáveis” devem-se notar, logo não precisam de ser separados dos outros. São aqueles que são muito utilizados e que é necessário ter sempre à mão. Esta não é uma resposta "fácil" e “directa” (que seria fazer uma lista "oficial") mas o que é importante é as pessoas interiorizarem que os limites notáveis são mesmo notáveis e utilíssimos e que não estão lá por acaso. Pergunta 2: Não se poderiam listar quais os limites notáveis que o programa considera? Poder, poderiam, mas é mesmo necessário? A nossa ideia foi tentar tirar tudo o que não pareceria realmente necessário do texto do programa. Contudo o anexo tem uma lista e o formulário do exame tem outra. Não há necessidade de mais nenhum limite. Não são esses os notáveis? Pergunta 3: Quanto às indeterminações vão-se considerar casos como 1 ∞, ∞0? E porque não? O programa não tem casos, não refere casos, logo não há casos. Os alunos devem saber indeterminações para não pensarem que os teoremas operatórios são milagrosos e radicais. Isto significa que as indeterminações devem estar intimamente ligadas aos teoremas que forem dados. Cada professor, conforme o tempo disponível, poderá alargar ou aprofundar como entender (desde que não ultrapasse o grau de dificuldade indicado no programa, e mesmo este limite pode obviamente ser ultrapassado com turmas muito boas). Pergunta 4: 1 Casos como lim 1+ inf. grande abordam-se?

(

)

inf. grande

Excede claramente o grau de dificuldade expresso no programa. e o caso

(

)

e 3x – 1 lim ? x→0 x Os alunos já usaram várias vezes transformações de funções. Neste caso não há novidade (ou não deveria haver se o estudo das funções passou por f(kx), f(x+k), etc.)

António Bernardes

De que é que estamos a falar quando usamos o termo conexões matemáticas?

Embora o Programa de Matemática do Ensino Secundário não seja muito explícito no que se refere a tarefas que envolvam conexões matemáticas, estas são implicitamente valorizadas em temas transversais como a resolução de problemas, as aplicações e modelação matemática, ou quando, por exemplo, no tema II do 10.º ano (Funções e Gráficos) se lê:

Podemos usá-lo com um sentido puramente matemático ou dar-lhe um significado mais amplo que englobe as relações dentro da matemática e entre a matemática, outras disciplinas e situações do dia-a dia. Qualquer que seja o significado que lhe seja atribuído, o desenvolvimento de tarefas que envolvam conexões matemáticas têm uma importância fundamental no ensino/aprendizagem da matemática. Segundo Coxford (1995) “os alunos devem ser confrontados com propostas que valorizem as conexões matemáticas já que constituem oportunidades de poderem: • • • • • •

“Este tema tem um ênfase muito grande na ligação entre as fórmulas e as representações geométricas. Esta ligação é muito importante para todos os que utilizarem a matemática.” Que tipo de tarefas podem valorizar as conexões matemáticas? Vejamos um exemplo: De que maneira varia o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio à medida que o tempo passa?

ligar conceitos e processos; utilizar a matemática noutras áreas curriculares; utilizar a matemática em actividades do dia-a-dia; ver a matemática como um todo; usar e valorizar as conexões entre tópicos matemáticos; Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito”.

É uma situação de fácil compreensão cuja resolução, na perspectiva atrás apresentada, pode envolver um vasto conjunto de conteúdos e técnicas matemáticas. A discussão da situação pode começar por conduzir a uma abordagem gráfica. Como se trata de um fenómeno periódico em que o ângulo varia entre 0 e π rad e como no período das 0 às 12 horas (momentos em que os ponteiros estão sobrepostos) se regista 11 vezes o ângulo de π rad, então o período da função é 12 11 hora (aprox. 1 hora 5 min e 27,3 seg) e é possível esboçar o seguinte gráfico:

A imagem de rede é usada pelo NCTM (1991) para salientar a importância das conexões matemáticas: “Um ensino que incida em redes de ideias matemáticas, em vez de incidir apenas nos nós isolados dessas redes, servirá para que os alunos compreendam e sejam capazes de apreciar, quer a beleza, quer o poder da matemática. Desenvolver a matemática como um todo integrado servirá também para aumentar a capacidade de retenção e de transferência das ideias matemáticas.” (p.178)

π

E indicam dois tipos genéricos de conexões: “(1) conexões de modelação entre situações problemáticas que surgem no mundo real ou noutras disciplinas e a(s) sua(s) representação(ões) matemáticas; e (2) conexões entre duas representações matemáticas equivalentes e entre os correspondentes processos em cada uma.” Esquematicamente:

e o caso

(

)

x 2 lim e – e ? x–2

x →2

Isto não é f'(2) quando f(x)=ex? É simplesmente a definição de derivada!

In f or Ma t 6

Pergunta 5:

Matemáticas

Que se entende por : “... limites infinitos não existem...” - programa oficial p.33? Não são número reais, logo não existem. Com excepção do tema 3 do 12.º ano, em todo o lado a existência significa ser um número real e + ∞ e – ∞ não são números reais. Assim como, fora do tema 3, √ – 1 não existe.

rnardes

Pergunta 6:

Os ramos do gráfico são lineares visto que os dois ponteiros se movem a velocidades constantes e portanto a diferença entre eles também varia dessa forma. Aliás este aspecto pode servir para a abordagem analítica da situação.

Podemos então pensar na generalização do modelo matemático para um período de 12 horas:

Como a velocidade angular do ponteiro dos minutos, 2π/h, e a do ponteiro das horas (π/6)/h, o ângulo θ dos dois ponteiros em função do tempo t é dada por:

θ

θ π

6 Esta expressão é válida para t entre 0 e , altura em θ = π e 11 os dois ponteiros estão alinhados mas apontando para sentidos opostos. Após esse momento o ângulo é dado por θ = 2π – 11 πt até t = 12 , altura em que θ = 0 e os dois pontei6 11 ros voltam a estar sobrepostos. Assim para o intervalo [0 ; 12 ]: 11

θ

{

π

≤t≤ π

π

∈ π

∈

com k = 0, 2, 4, …, 20.

π

π

{

π

≤

Esta função pode ser implementada na calculadora gráfica ou numa folha de cálculo. É também possível construir, utilizando o programa Modellus, uma simulação da situação, usando modelos matemáticos que envolvem conhecimentos de trigonometria e de geometria analítica, nomeadamente o produto interno e o ângulo de dois vectores. Referências APM (1999). Relatório final do projecto Matemática e Aplicações na Matemática Escolar. Lisboa: APM. House, P. A. & Coxford, A. F. (Ed.) (1996). Connecting Mathematics across the Curriculum. Reston: NCTM. Ministério da Educação (1997). Programa de Matemátia do Ensino Secundário. Lisboa:Ministério da Educação, DES. NCTM. (1991). Normas para o curriculo e a avaliação em Matemática escolar. Lisboa: APM e IIE.

E como confrontar esta frase com o que vem escrito na brochura de Funções, por exemplo, na página 27 lim f(x)= + ∞ e x→–∞ lim f(x) = – ∞ ? x→+∞

Não tem problema nenhum. A escrita de uma notação determinada não significa que ela passe a ser um número. Citando Elon Lages Lima em Curso de Análise “pág. 102” “Deve-se observar com toda a ênfase que não são número reais. As sequências (xn) para as quais lim xn = +∞ ou lim x n = – ∞ não são convergentes. Estas notações servem apenas para dar informação sobre o comportamento das sequências para valores grandes de n” e na pág. 164 pode-se ler “Deve-se observar enfaticamente que + ∞ e – ∞ não são números reais de modo que as afirmações xlim f(x) = + ∞ exlim f(x) = – ∞, →a →a não exprimem limites no sentido estrito do termo.” Ou seja, “infinito” é uma notação e não um número. Dizer que “o limite é infinito” não significa dizer que existe limite, mas tão só que se produz um comportamento interessante (até por causa de despistar as indeterminações) as sucessões não são convergentes. Estas notações servem apenas para dar informação sobre o comportamento das sequências para valores grandes de n, não exprimem limites no sentido estrito do termo. Ou seja, “infinito” é uma notação e não um número. Pergunta 7: Suponhamos que no exame, numa questão de escolha múltipla, se pergunta qual é o 2 limite no ponto zero da função 1x , e uma das hipóteses de resposta é “não existe” e outra “+ ∞”. Qual é a resposta certa ? Essa pergunta não faz sentido, pois ambas as respostas estão certas.

()

Se é “não existe”, temos que dizer aos alunos que os manuais estão errados ? Não estão errados a não ser que comecem a fazer “contas” com infinitos ou a dizer que “existe” limite e é igual a + ∞ (e mesmo assim não é erro é escrita incorrecta, confusa e perigosa).

I n fo r M at 7

Temos que dizer aos que vão submeter-se ao exame 135 que a resposta seria diferente? Quem vai fazer os exames está consciente das diferentes interpretações dos manuais, neste e noutros pontos e por isso as perguntas não poderão ser formuladas de modo que essa ambiguidade se coloque.

Assim parece que os degraus permanecem sempre do mesmo tamanho. Para construir uma escada mágica Tem que se construir os degraus a partir do topo. Tem que se ter cuidado com alguns cálculos Porque se começar muito alto pode acontecer nunca chegar ao chão.

FICHA TÉCNICA

Os construtores já cometeram este erro – por exemplo no Arizona – começaram a construir tão alto quanto puderam 177 700 000 000 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Editor: Departamento do Ensino Secundário [DES]

A Álgebra das Escadas Mágicas

Director: Domingos Fernandes

Nem toda a escada Mágica reduz os degraus a 1/2, nalgumas a redução é de 1/3, outras de 3/4, outras de 0,9 … Chamaremos ao factor de redução R.

Coordenação: Maria do Carmo Belchior e Isabel Fevereiro Design Gráfico: DELTAGRAPHOS, Design e Publicidade, Lda. Fotolito: ABC Gráfica, Lda. Impressão: Medigráfica, Lda. Periodicidade: Trimestral Tiragem: 4 000 exemplares ISSN: 0874-0844 Depósito Legal: 143 753/99 Lisboa 1998 Distribuição gratuita Toda a correspondência deve ser enviada para InforMAT Av. 24 de Julho, 138, 5.º 1391 Lisboa Fax: 393 81 08

As opiniões expressas nos textos apresentados nesta publicação são da responsabilidade dos autores e não reflectem necessariamente a opinião do Departamento do Ensino Secundário ou do Ministério da Educação.

Escadas Mágicas Carmo Belchior e Isabel Fevereiro

Imagine uma escada que sobe, sobe e sobe…

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…para sempre? …há sempre um degrau seguinte. Claro está que descendo, a maioria das escadas param no rés do chão. Mas… as escadas mágicas são diferentes: – Os degraus não têm todos o mesmo tamanho. – Pode acontecer que ao descer cada degrau desça apenas metade do valor do anterior.

Os degraus da escada mágica “formam” uma Progressão Geométrica: a; aR; aR 2; … (R < 1)

Poderá pensar que pode descer dois, quatro, ou oito degraus… de cada vez.

Assim desce-se e (avança-se) uma distância a+aR+aR2 + …

Mas isto nunca acontecerá, faz parte da magia que: de cada vez que você descer um degrau encolherá para metade do seu tamanho. (Claro que terá que ser assim, pois de outra forma os seus pés ficariam tão grandes que não caberiam nos degraus).

Quantos mais degraus se descer, mais perto esta distância está de S. Algebricamente tem-se S = a 1–R Em que sentido se pode escrever S=a+aR+aR2+…?

Inf or Ma t 8