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Arsélio

Martins

II T, \ \ II' , \ \ II' , \ \ I " ' \ , I i' \ , A Tri8~etria no programa do 11.2anoto~nou-se um casosério',que merece sera~al~adocuidadosamente. " , },1 \ , As fJ~i~asanteriores de ensinoda TrigonometJia podiamfazerpreter que o el}6~ia~odo programa nãoserialido e quecad~leitor,emvezde ler~~eguiria lln'abstfactoprogramaimpostopor algumatradi~o. E assimfoi. Uma'{ápida ,~...;geln ~osolhospelosmanuais escolares e podemo'~ verque,emvezdo actual , sfrogmnm de trigonometria do 11.2ano,algunsautore~ escreveram a trigond\Tle: ,tria q~efscreveriam dequalquermodo,qualquerquet~sseo programa. , , , II' , , , Paranulimler o programa comalgumaatenção,veráqu8OSmanuais tratama~ : : nívelldol11.2 anomuitosassuntos de trigonometria quene}çnãoestãoreferidos.\ , Algu4sc\utores esmeraram-se mesmoa mostrarassuashabil;dades deescritaem '1 "

~

exercíciosde cálculo dos valoresdasfunçõesde algunsângulos,estesnão devem servir paraoutrosexercíciosrotineirosde simplificaçãoou cálculo e estãolá para fornecervaloresde controle crítico (principalmenteno estudofuturo dasfunções trigonométricascomo funçõesreaisde variável real -no 12.Qano). O estudodas variaçõesdas funções não pretendemais do que confirmar para as generalizações o que já era conhecido e é imediato observar a partir do círculo trigonométrico. As relações a estabelecerentre funções circulares de ângulos pouco mais é do que verificar as relaçõesentre coordenadasdos pontos relacionadospor algumasimetria(centralou axial- relativamenteà origem dos eixos e aos eixos). Ainda se pretende abordar a resolução de algumas equações trigonométricas(bemdelimitadaspor tipos), mastambémelasmuito apoiadasrio círculo trigonométrico.

deze~asl(quando nãocentenas) de exercíciosrotineiros.AI~ns desses exercí- , cios,:pa~aalémde estaremfora do programa, sãomesmo~ito difíceissem 'Concluindo: na aberturado programado 11.Qano, o casosério da trigonometria \o círculo trigonométrico.Só pode abordar-semaisdo que isso,se houvertempo deixi:l'erJl de serrotineiros. \ II, pà{atal, se não se puserem risco a abordagemdos 3 grandestemas.Não é nada Procllrelflos o programa. , acooselhável gastaro tempo que não setem a fazer abordagensque não sãoproII' O pr()grama falada resolução de problemas queenvolvamtriângul()s. Pretende- post~. A Trigonometria(ou as representações que os professoresdela têm) não é -set4° ~ó (e é muito)mobilizarparaa acçãoos conceitosda trikonometria paras~resgotadade uma vez e muito menosno início do 11.Qano. Elavai aparebásic&(razõesde semelhança, razõestrigonométricas de ângulos~udos) já cer de 'rY>vocom o produto interno de vectores,pode aparecerem exemplosdos abor~ad~s no 3.2ciclo.A opçãopor situações problemáticas significatl\'as pretemas d~ sucessões(ll.Q ano), no estudo das funções trigonométricasdo 12.Q tendae.'tar asrevisões expositivas maçadoras e desmobilizadoras. Dois~u três ano e no tema dos númeroscomplexos. , probl~mfssimples,masbem escolhidos, trazemtodosos conceitosútE:isda O tratament\)desteassunto(ou da Geometriado 11.Qano) em algunsmanuais trigonorlietria básicaparauma"listade precisos" que serviráde baseàs n~vas levantaum s~io problemade gestãodo programapelos professores.Sea geneapro~ria..ões quevãoserfeitasno 11.2ano. , I f , ralidade dos ntanuaistrata de vários assuntosde trigonometriaque não estavam Que

~~retende I 'í

de novo

no

início

do

11.2 anol

, ,

Nãoh1a~do quegeneralizar asnoçõesdeânguloe arcoe generalizar asnoções" de s~o; co-senoe tangente. Generalizar dando"potênciaanalítica"e issonão , signiAcal maisdo quechegarà noçãode radianoe ao "círculotrigonométrico" \ para~o~cluirpor generalizações simplese potentes. O estudodo e no círculo trigo~o~étrico é o quedefundamental e novoaparece nesteiníciodo 11.2ano. Pratir:an}ente nãohá relações novasa estabelecer, antesa verificação de queas relaçlJes'conhecidas semantêmao generalizar osconceitos.Seestãopropostos II 1 I

, previstospara eita introdução à trigonometria secundária,alguns há que, para além disso, prop~m centenasde exercíciosque não poderãosignificar para os alunos outra coi~ senão a desmobilização geral. O mínimo de consciência de um ~uno que queira trabalhar seriamente com o seu manual poderálevá-Iôa desistir-para cercade 36 horashá quem proponhamais , Jç 300 exercícios. O vrofessor terá de escolher criteriosamenteo que ler e re~lver, quanto mais M~ seja para dar esperançaaos estudantese para tornar pos~vel a vida dos estud
\

\ ..lo=

Vladimiro Machado (Escola Secundária de Valongo)

Biblioteca Matemática Nestesecçãoiremosreferenciando livros recentes em línguaportuguesa de especial interesse paraos professores de Matemática e que recomendamos façampartedasbibliotecasde todas asescolassecundárias.

Cursode Geometria PauloVenturaAraújo Trajectos Ciência,Volume5, I.i ed., 1998 Ed.Gradiva Éumexcelentelivro paracomplementar a formaçãoem Geometriade qualquer professor de Matemática do EnsinoSecundário (e do EnsinoBásico). Escritonumalinguagemmuitoclara e sugestiva, o autor,ao longo de 26 capítulos,vai desdeos primeiros axiomasda geometria euclidianaaté aossurpreendentes meandros da geometria nãoeuclidiana(emparticulara geometria hiperbólica). A abordagem é a da chamada geometriamétrica(emqueos números reais,paramedirdistâncias, sãointroduzidos muitocedo)queé muito maissimplesparaum principiante. O livro temaindavárioscapítulossobre transformações geométricas. Sãode salientara definiçãogeométrica rigorosa dasfunçõestrigonométricas, a discussão da noçãode área, a demonstração da fórmulade Herão e umaintroduçãointeressante à noção de centrode massacomplementada com a recomendação de leiturado livro A Físicano dia-a-dia (Ed.RelógiodeÁgua,1995) de Rómulode Carvalho.

humanopode semprefazer melhor e é nestesentidoque acho

os relatórios e trabalhos foram diferentesde professorpara professor,com excepção de um trabalho de resolução de

que, apesardesta ser uma forma de avaliação muito eficaz,

problemas.

pode ser ainda melhorada."

Passoa descrevero modo como implementei cada um dos

(Rita-aluna do 10.2ano).

instrumentosde avaliaçãoreferidos:

"Pensoque as coisasestãoem constantemudançae que o ser

Os objectivos geraispara a disciplina de Matemática,referidos no programaoficial, criam um quadro que nos remete

Fichasde avaliaçãoformativa

para uma diversificação das nossas práticas pedagógicas. De facto, quando se indicam como objectivbs o desenvolvi-

Em cada período lectivo realizaram-seduas fichas de ava-

mento da colaboração em trabalho de grupo partilhando saberese responsabilidades,ou a formulação de generalizações a partir de experiências,entre outros, dificilmente se

liação com a duração de duas aulas consecutivas. As fichas foram elaboradascontendo dois tipos de questões: umas de naturezarotineira, e outras apresentandosituações de natureza problemática. Cada uma das questões foi

consegueadmitir que tais objectivos possamser cumpridos apenascom aulasexpositivas.De igual modo, a ênfasecolocada no desenvolvimentoda capacidadede comunicaçãoe

avaliada qualitativamente,dando-se maior importância ao processoe à suaexplicitaçãodo que ao produto final. Assim, para cada uma, produziu-se um comentário quanto à

do espírito crítico aponta para a necessidadede modificação das nossaspráticaspedagógicas.Assim, a inclusãode formas

apresentação do raciocínio e significado do conteúdo matemático. Também se procedeu à apreciação global da

diferenciadasde trabalho, como por exemplo o trabalho de grupo e a implementaçãoe desenvolvimentode discussões, quer em grupo, quer com toda a turma, deverãoser incluídas

resoluçãoda ficha sob a forma de um comentário, naturalmentequalitativo.

nas nossaspráticas pedagógicas,porque trazem mais valias para um melhor cumprimentodo currículo da disciplina. Assumindoque a avaliaçãoé parte integrantedo processode aprendizagem,ela deverá ser compatível com as práticas pedagógicasimplementadas.A avaliaçãoterá assimde acon-

Relatóriosescritos

tecer ao longo de toda a aprendizagem,tornando-segeradora de situações que a favoreçam. Deste modo, a avaliação

Em cada um dos períodos lectivos propôs-seaos alunos a elaboraçãode dois relatóriossobreactividadesrealizadasnas

desempenhaum papel relevanteno sentido de desenvolver, no aluno, uma atitude positiva e de auto-confiança em

aulas de Laboratório (vulgo aulas de desdobramento),nas quais os alunos trabalharamem grupos. Para a elaboração

relação à aprendizagem da Matemática. As situações de

desses relatórios foi dado um prazo de duas semanas.

avaliação devem ser geradorasde oportunidades para os

A título de exemplo indicam-sedois dos relatóriospropostos

alunos aprenderem e melhorarem o seu trabalho, e

aos alunos.

fornecerem informação ao professor sobre a evolução e preferênciasdos alunos,ajudando-oa melhor preparareexe-

R~latório sobre as secçõesproduzidas por um plano num

cutar o seutrabalho.

cubo e num tetraedro.Os alunos trabalharam,na aula de Laboratório,com material manipulável (cubosde acrílico e

Tendoem conta os pressupostosanteriores,todos os profes-

líquido colorido), sobre as secçãesnum cubo. No relatório,

soresde décimo ano da escola desenvolveraminstrumentos de avaliaçãodiversificados,compatíveiscom o programade

para além da descriçãodaactividade matemáticaproduzida na aula, deviam igualmente indicar quais os polígonosque poderiam obter através das secções produzidos num

Matemática, tais como: fichas de avaliação formativa, relatóriosescritose elaboraçãoe apresentaçãode trabalhos.

tetraedro.

No trabalho de equipa desenvolvido, sempre se respeitou tanto a experiência de cada um, como as características específicasde cada turma. Por isso,os temasescolhidospara I nf~r

Relatório sobre uma actividade produzida no Laboratório com o Cabri-Géometre.A aula começou pela introduçãodo ~a1:

2

programa(que os alunos desconheciam),sendo-lhesdepois

optimização dos instrumentosde avaliaçãousados,em espe-

distribuída uma tarefa (baseadanas propostasda brochura sobre Geometria) em que se propunha a identificação do

cial, no registo da observação do desempenho oral dos alunos em trabalho de grupo e em trabalho individual.

quadriláteroque se obtém unindo os pontosmédiosde lados

No entanto, o trabalho colectivo de todos os professoresde

consecutivosde um quadrilátero qualquer. No decorrer da

décimo ano, com reuniõessemanaisde três horas,permitiu a

actividade,tendo em consideraçãoo desenvolvimentodo tra-

criação de um modelo de avaliação "uniforme", por certo

balho de cada um dos grupos,foram-se propondo algumas extensõesda questão inicial. No relatório, para além de

maisjusto, readaptávelao longo do tempo. O agrado dos alunos pelo processo de avaliação usado

referirem a descrição da actividade matemática da aula, deveria constar a demonstraçãoda questão proposta, das

manifestou-se, quer nas críticas escritas que fizeram à 'conferência' sobre resolução de problemas, quer nas

extensõesapresentadas, e um anexo com a classificaçãodos

respostasque deram a um inquérito sobre avaliação no final

quadriláteros.

do ano. Por exemplo, a respeitoda 'conferência':

Os relatóriosforam individuais e a sua avaliaçãotraduziu-se qualitativamente numa forma descritiva global, incidindo

"É uma abertura diferente, que provavelmentenos tornará pessoasmuito mais aptase capazesde resolveros problemas

sobre a qualidadequer da apresentação,quer da relevância

Pequenasnotas à volta do ~rograma (ou FAQ -'questões mais frequentementepostas") Nassessões quetemosorganizado ou em quetemosparticipado,têmsidopostas váriasquestões querevelam aspreocupações dosprofessores e que mostrama utilidadedasreuniões de acompanhamento. As respostas àsquestões pontuaismaisfrequentes serão publicadasno Informat.Eisassegundas.

concretosque teremosque enfrentarfuturamente."Oúlia).

do conteúdomatemático,e com comentáriospertinentesque

"Foi uma ideia original e os trabalhosforam apresentadosde

completavamou forneciamalgumasorientações.

Cónicas

formasdistintas,tanto se procedeua uma resoluçãoanalítica (a que mais se identificava com a resolução matemática) como se realizaramresoluçÕescom um aspectográfíco e em ambiente computacional,chegando--semesmoao ponto de

Trabalhos escritos e comunicação

se realizar um filme a retratar enunciado de um exercício." (Paulo).

Em cada período lectivo propôs-seaos alunos a elaboração de um trabalhoescritopara a elaboraçãodo qual dispunham

No inquérito, sobreavaliação,praticamentena suatotalidade

de mêse meio. Por exemplo, o trabalho do segundoperíodo constavade uma propostapara a resoluçãode um conjunto

os alunos manifestaramconcordânciacom o processo,como

de algunsproblemas(escolhidosda brochurasobreFunções).

"Acho que está bem, pois obriga-nos não só a aprender

Os alunos realizaramo trabalho fora do ambientede aula e

matemática mas também saber um pouco da história da

em grupos de quatro ou cinco alunos. Após a entrega das

matemática pois temos de procurar elementos para

resoluções,procedeu-seà escolha das mais originais que foram apresentadasnuma 'conferência' sobre resoluçãode

elaborar relatóriose os trabalhos.Acho que devia continuar

é patentenos excertosseguintes:

com estetipo de avaliaçãofuturamentepois é muito benéfico

problemas,envolvendo todas as turmas de décimo ano da

para os alunos."(Valdemar).

escola à qual assistiram cerca de metade dos alunos. os restantestrabalhos foram defendidos durante as aulas

"A avaliaçãonão sedevecingir apenasaostestesmastambém

curriculares.Refira-seque a 'conferência'teve lugar durante

aos relatórios e trabalhos pois estesrepresentamuma outra

a interrupção das aulas para reuniões da área escola.

forma de avaliaçãoe além de aumentaremo campo de ava-

Tal como nos relatórios, a avaliação destestrabalhos teve

liação do professor,permiteaos alunos representarmelhor os

carácterqualitativo.

seus conhecimentos e interpretações no campo da

Do que se descreveuemergea diversidadedos instrumentos

As cónicasnãofazempartedo programa. O capítulode cónicasquefaziaparte do primeiroprogramado 12.. anoe que semantevenosnovosprogramas nãofoi considerado no Ajustamento dosprogramas de Matemática. A referência à elipse (10..ano),parábola(10..ano)e hipérbole (11..ano)temsomentea ver comfacto de certascurvasqueaparecem emvários contextosao longodo programa serem curvasconhecidas tambémpor outras razões.O programaapenasexigeuma referênciabrevea essas(importantes) razões.Comoo contextoemque aparecem ascónicasreferesempreas equações, issosignificaqueos alunos devemconhecerasequações dascónicas e nadamais. O casoda elipseé maisinteressante pois podeaparecernumcontextoinesperado. Sesetentartraçarumacircunferência . usandoumacalculadoragráficaou um programade computadoradequado, o maiscertoé aparecerumaelipse.

~Circle(0,0,5).

r

Matemática."(Alberto).

de avaliação,onde se procurou obter informação relevante

Estesdois últimos excertossãosignificativosuma vez que são

sobre trabalho individual e em grupo, tanto na forma oral como escrita.Poderáentãoperguntar-se:e como seatribuiu a

os própriosalunosa concluir que instrumentosdiversificados

classificaçãofinal~ 0 grupo dos sete professoresdo décimo ano da escola, estabeleceuque a classificação final era

merece destaquea associaçãoda avaliação com a oportu-

obtida da seguinteforma: 60% pelas fichas formativase os

da pesquisade conteúdosprogramáticos.No segundo,para

restantes40% pelosrelatóriosescritos,trabalhose defesados

além de se referir o aprofundamentodos assuntostratados,

mesmos e pela apreciação do desempenho dos alunos

ainda se assinalaque o modelo implementado permite ao

durante as aulas (participação na aula, trabalhos de casa,

professorobter mais e melhor informação,o que muito natu-

assiduidade,pontualidade...).Nestacomponentedos 40% os

ralmente o deverá induzir a repensar as suas práticas

relatórios e o desempenhona aula tinham peso um, os

pedagógicas,em ordem a produzir juízos mais objectivos.

trabalhose defesados mesmos,pesodois.

Finalmente, merece destaque o trabalho colaborativo de

de avaliaçãofacilitam a aprendizagem.De facto, no primeiro, nidade de aprendermatemáticaquer atravésda históriaquer

Naturalmenteque estamosconscientesque este é um cami-

todos os professoresenvolvidos,que propiciou uma troca de

nho possívelparaa avaliação,emboramuito haja a fazer para encontraruma soluçãoparaos complexosproblemasque ela

ideias e de materiais,o que contribuiu, muito, para a imple-

envolve. De facto, surgiram problemas na procura de uma

e de avaliaçãonestaEscola.

mentaçãode uma mudançaefectivadas práticaspedagógicas

I nfor

Iv\at: 3

Os alunosdevemsaberporqueisso acontecee comoestárelacionada com a circunferência a curvaque Inesaparece.

Arsélio

Fundamentos de AnáliseInfinitesimal MárioR.S.Figueira Textosde Matemática, Volume5, 2.' ed., 1997 Ed.Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa

Martins,

Graziela

Fonseca

Carvalho

e Silva

sores,os programastornaram-sedesajustadosa vários títulos:

Dasideiasàs práticas.

praticistas(emtodosos casos)os professorescumpriamo programa quando lIdavam II todos os assuntosmatemáticose Tanto na concepçãonegociadado programacomo na nego-

com o maior detalhepossível,os professorescumpriamo pro-

ciação das práticas que o acompanhamentoé, o essencial

grama quando utilizavam "correctamentell todas as metodologiasIIcorrectasll,os professoresnão cumpriam os

está na luta de ideias sobreo que éo ensino da matemática em democracia, desde o saber que papéis fundamentaisa

Esteé um livro de textoparaos alunos da licenciaturaem Matemática mas é de leituraacessível a todosos queprocuremumaapresentação rigorosa dostemaselementares de funçõesreais de umavariávelreal.Começacom um estudodo conjuntodosnúmeroreais a partirde umaaxiomática(referindo-se a relaçãoentreQ e R assimcomo a representação decimale a representação geométrica dosreais).O livro contém ostemasclássicos de funções de umavariávelcomumaexposição muitoclara,complementada com bastantes exemplos e exercícios. Aparecemao longo destevolumealgunstemasmenos habituaiscomoo estudo dosdesenvolvimentos assimptóticos ou a definiçãodasfunçõestrigonométricas a partirda noçãode comprimento de arco.

e Jaime

programasporque não havia condições materiaisou porque

matemáticadesempenhana formaçãodos cidadãosaté saber

os alunos não tinham bases,os professoresseguiamcom os

que mandatosfundamentaissãoatribuídosaos professoresde

seusalunos 0 estudo de algum manual escolar,dia apósdia,

matemáticaenquantocidadãosno seu exercício profissional

e faziam o seu dever mesmoquando abordavamuma peque-

-componente fundamental da sua cidadania, A principal

na parte do programaprevisto...

preocupaçãona concepção -responsabilização das partes nas definições-traduz-se na responsabilizaçãodos professores,que se procura que sejam a um tempo autorese executantes.

...para a prática de ideias... Nenhum programade ensino pode considerar-seajustadose

Dasideiasem prática...

os professoresnão se apropriaremdele, devidamente,como coisa sua.

Mais do que para qualquer outra disciplina, criou-se e ali-

Acompanhar o programa significou, por isso, torná-lo um

mentou-sea ideia que o programade matemáticaé uma lista

enunciado explícito como um todo. Por um lado, procurou

de temas e conteúdos de que os professoresnão têm que

explicitar-se a sua função na formação secundária qos

conhecer a razão da sua inclusão no sistemade saberesa

cidadãos, estabelecendoas razões para as escolhasfeitas e

ensinar nem devem preocupar-sesobre a sua utilidade con-

motivando a apropriação do programa como um mandato

creta para a formação. Mais Ihes foi dito que basta que os

social para cada professore cada grupo de professores.Por

alunos treinem certostipos de resoluçãode exercíciossobre

outro, procurou explicitar-se a sua organização por temas

cada um dos temasque as competências(não interessaquais)

essenciaisa desenvolverao longo dos três anos assimcomo

necessáriasserão aprendidas pelos alunos. A Matemática

as conexõesentre eles,de modo a que os professorespossam

aparece para o ensino como uma disciplina que ganha

seguirum conceito, uma noçãoou umatécnica num percurso

sentidocomo disciplinadorado pensamentoe ganharelevân-

que passapela introdução intuitiva e formal, mas também

cia social como disciplina de selecção/exclusão.

pelos seus usos na resolução de problemas, aplicações

Mais do que paraqualqueroutra disciplina, é natural poisque

noutros temase noutros ramos do saberou mesmona vida

seja aceite um qualquer programa definido de forma

prática.Irata-se nesteponto de estabelecerum percursopos-

autoritária (científica? a partir de um centro científico? a

sível para a aprendizagemde cada noção,de tal modo que o

partir de um governocom algum aval científico?)e é natural

professorsinta e saibaque pode abordá-laem diferenteseta-

também que os ensinantesnão procurem compreender o

pase não procureesgotá-la,semoutro resultadoque não seja

programano seu conjunto, nas suasconexõesinternase nas

o aborrecimento, numa primeira abordagem. Do mesmo

conexõescom os outros ramosdo saber.Tambémse tornou

modo se procurou estabeleceruma localizaçãopossívelpara

natural que, alertadospor novascorrentes,gruposde profes-

a apropriaçãode certosmétodose técnicasao mesmotempo

sores passema oscilar entre um programa de conteúdos

que se procura a sua aprendizagemem diversostempos e,

matemáticos,um programade objectivos, um programade

particularmente,a sua compreensãonum processode matu-

problemas,um programade actividades,...Face à fragilidade

ração que vai desdeo seu uso intuitivo até à sistematização

teórica e a uma cultura de (falsa in)dependênciados profes-

ou organizaçãoformal.

I nf"or

N\at:

4

Destetrabalho não se podem esperar resultadosimediatos.

positivos. Mas sabemos que esse trabalho deslocou a

De facto, fazer passaros professoresde um modelo teórico

discussãopara níveis sucessivamente maiselevados.

-que enfrentadisputasváriasentre as várias correntes,tanto mais concorrenciaisquanto maior é a fragilidade teórica -

Ao fim do primeiro ano de aplicação podemos,ao nível em que trabalhamos-,verificar algumas mudançasnas platafor-

para um modelo executávelnão é tarefa formativa para um

mas de debate, sem que saibamos se a esse crescimento

ano nem o seu produto pode sequerser adivinhado na cor-

teórico correspondemmudançasde práticas ou inibição ao

recção das práticas. Podemossó sublinhar que, apesar da

nível da apresentação de ideias consideradas erradas.

prática radical dos últimos anos, os professoresjá não se

De qualquer modo, essa inibição já representa,em alguma

manifestamcontra a exequibilidade do programa ao nível

medida,algum crescimentoem compreensãodo "espírito" do

mais baixo dos argumentosdo início e que, apesarde todos

programaou a aceitaçãode que algumasdas ideiasdefendi-

os deslizamentosque houve no primeiro ano de aplicação,há

das já são mais popularese consistentesentre os professores

uma preocupaçãona abordagemde todos os temasem cada

do que as ideiascontrárias.

ano de leccionação. E parece-nostambém que a generalidadedos professoresjá acha naturala nossadefesade uma gestãopor temas,para o tempo disponível,e acha naturalo nossoapelo para a neces-

Marginalmente...

sidade de decisõesperiódicas por parte dos grupos e de havermedidastendentesa gerir a utilização pelos alunos do

o acompanhamentotambémteve de fazer-sepelo combateà

manualescolar,bem como de Ihesestabelecerritmos de tra-

influência de algunsfazedoresde opinião que se enc~ntram

balho e de Ihes marcar cadência do estudo a partir do

em associações,sociedades,faculdades,escolas...

manual ou de outras consultasbibliográficase da marcação Significativonestecampoé o combatepela responsabilização dos professorese dos gruposde docência na intermediaçãoa

de outrasactividades.

efectuarentre os modelosteóricos e os modelosexecutáveis -necessário se tornou discernir entre o que seria desejável teoricamentee o que se pode fazer em avaliação,por exem-

...até à prática negociada

plo; necessáriose tornou discernir entre o que é tecnologia em abstractono ensino da matemáticae o que são as apren-

Seo processode elaboraçãodo programaajustadoconstituiu

dizagenssignificativasda matemáticaque o uso da tecnolo-

uma negociaçãodemocráticadas suas basescom parceiros

gia pode proporcionarou apoiar,...

previamentedefinidos -institucionais (de governo, científi-

Manuaisescolares É naturalqueos manuaisescolares incluampropostas variadas,maisdo que aquelasqueos professores terãotempode trabalharnasaulas.Énaturalquenos manuaisapareçam algumaspropostas ou exercíciosqueexcedamo programa.Não é admissível queo professorleccioneaos alunosconteúdosnovosou excedao grau de dificuldadedo programasóporqueisso apareceno manual.O professor deveusar comos alunoso manualescolarà luz do programa.Devedeixarclaroao alunoqual a partedo manualqueestáa usar.Apenas se lhe sobrartempoparaissodevereferir outrostópicos.Contudo,pode,e deve, recomendar aosmelhoresalunosque leiame estudempor si outrascoisaspara alémdo programa,nomeadamente as partesdo manualescolarquenãoutilize comos restantes alunosou quesejam facultativas no programa.

O acompanhamentoé responsávelpela intermediaçãofeliz-

cas, académicas,profissionais...)e individuais -o processo

mente realizadaentre os exemplosmatemáticosda formação

em cursode acompanhamentoe negociaçãodas práticasdos

de professoresque permite libertar os professoresparao exercício autónornoda docênciae as actividadesda salade aula

professoresrepresentao ensaio mais sério para o reforço da participaçãodemocráticados professorese dele dependeem

adequadasàs diferentes comunidades de estudantes,pela

grande medida o sucessode futuras medidas de transfor-

intermediação entre o programa e os manuais, entre os

mação curricular em que os professorespossamatingir um

manuais e os alunos, entre o programa e as brochuras de

nível de desempenhoque aproximea lei de um compromisso

apoio aos professorese entre estase a leccionação,...

(com basescientíficas,profissionais)socialmenteapropriado e aceite pelos seusagentespara um determinadoperíodo de

O acompanhamentoé finalmente responsávelpor uma nova relaçãoentre os professorese as organizaçõesescolaresem

execução.

que trabalham. Estarelação sai fortalecida: mais assentena

A negociaçãodas práticas não se pode esgotarna explici-

compreensãodasdificuldadesdas organizaçõese semdeixar

tação do conteúdo do programa como um programa de

de ser cada vez mais exigente.Ao reunir e condensarexperiências diferentes de diferentes organizaçõesescolares,o

ensino adequadoao seu tempo e cuja execuçãoou cumprimento é tomada como condição necessáriaà formação

acompanhamentotornou permeáveisas organizaçõesesco-

secundáriados cidadãos.A negociaçãodas práticastem de

laresresistentesàs mudançase luta contra o isolamentodos

assentarna imersãode leituras do pormenor no programa

gruposde docência de comunidadesvizinhas.

global. É por issoque em muitas das sessõescom os professares, 0 acompanhamentopassou pela apresentaçãode

Finalmente, este acompanhamento prático e no terreno

exemplosde actividadesexecutáveisem ambientede salade

melhora em concreto a imagemdo Departamentodo Ensino

aula e até pela demonstraçãode resultadosjá observados

Secundáriojunto dos professorese estessentem-seacompa-

pelaaplicaçãodessasactividades.Uma partedestetrabalhoe da construção de uma imagem de exequibilidade foi

nhadospelo Departamentoao mesmotempo que compreendem e assumemos diferentespapéisdos agentes,incluindo

construída pela leccionação vivida pelos acompanhantes,

obviamente o que respeita à sua função como agentesda

incluindo autores/relatoresdo programa. Não estamosem

educaçãoe ensino ( parte interessadae interessantedo seu

condiçõesde saber até que ponto este trabalho teve efeitos

ministério).

I nf<>r

~at. 5

Que fazer com cos x = 1/7 ou cos x = 0,356 !

Devemresolver-se estetipo de equaçõesl O programaindicade formaclaraque: As equações trigonométricas a resolver devemsersimplesdo tipo sen(kx)= sena, cos(kx+a)= = cosa, tg (kx)= tg a. Assim,seequações comocosx = 112ou senx = 1 sereduzemrapidamente a estas, asequações comocosx = 1!7 ou cosx = = 0,356 nãodevemserresolvidas enquantotal. Énaturalcontudoque equações destasapareçam no decursoda resoluçãode um certonúmerode problemas. Claroqueentãosepodeme devemresolver,poisparaissobasta recorrerao círculotrigonométrico. Contudo,comoequações emsi, apenas devemserreferidasasqueo programa indicae maisnenhumas; nãosepretende valorizardemasiado aquiaJesolução de equações trigonométricas. Estãototalmente forade questãooutrasequações mais complexas(o quenãoquerdizerqueo professor nãoaspossareferirsehouver tempoparaisso,seos alunossemostrarem interessados ou comosugestão de trabalho paraalgumalunomaisavançado).

Graziela

Matemática e Novas Tecnologias João Pedro da Ponte, Ana Paula Canavarro Universidade Aberta, Volume 128, 1997

Estelivro forneceumaexcelente panorâmica da utilizaçãodasnovas tecnologias na Matemática e na aula de Matemática. Éapresentada uma perspectiva históricada utilização dastecnologias na matemática sendo discutidosbastantes exemplosemvárias áreascurriculares (números, funções, geometria, estatística e probabilidades) e analisados comalgumdetalhevários tiposde programas de computador (jogos,folhasde cálculo,linguagem LOGO,programas de geometria dinâmica). Ésemdúvidaumaobrade muitointeresse paraqualquerprofessor de Matemática pelaamplaperspectiva queoferece. Geometria-Temasactuais .Materiaisparaprofessores Eduardo Veloso Colecção"Desenvolvimento curricularno EnsinoSecundário", vol. II, 1998 Ed.Institutode InovaçãoEducacional

Fonseca

No prefáciodo LivroGeometry andtheImagínatíon, Hilbert escreveu:

Em Matemática,a visualizaçãonão é um fim em si mas um meio parase atingir um fim que é o da compreensão.A visualização em Matemática é um processode formar imagens (mentalmente,com papel e lápis ou com a ajuda da tecnologia) e usartais imagenspara descobrire compreender.

"Em Matemática (...) encontramos presentemente duas tendências.Por um lado a tendênciaparaa abstracçãoprocura evidenciar as relaçõeslógicasinerentesà perplexidadedo que está a ser estudado e correlaciona os dados de modo

A intuição desenvolvidapela visualizaçãodá profundidadee significadoà compreensão,inspira novasdescobertas.

sistemático e organizado. Por outro lado a tendência da compreensãoatravésda intuição encoraja uma mais ime-

Diz mais adiante:

O que se ouve muitas vezes esquece-se,o que se "vê" e descobre não! A força do desenhoé maior do que a da palavraembora necessitede ser, sempreque possível,legitimado pelasregrasdo "discurso".

I/Neste livro é nosso propósito fazer uma apresentaçãoda

Torna-se necessárioque o aluno reencontre o prazer da

Geometria,tal como ela existehoje, nos seusaspectosvisuais

geometria.

diata capacidadede aprender,de comunicar,dando ênfaseao significadoconcretodas suasrelaçõesl/.

e intuitivos. Com a ajuda da imaginaçãovisual podemosilu-

Seguem-setrês exemplos de como partir da intuição para a

minar a variedadedos factos e dos problemasda Geometria e, para além disso, é possível em muitos casos descrever aspectos geométricos dos métodos de investigação e de demonstração,sem entrar nos detalhesligados às definições estritase aos cálculos efectivosl/.

Estetextoé umaferramenta indispensável paraqualquerpessoa quequeiraensinar seriamente Geometria em Portugal, ou seja,paratodosos professores de Matemática. Éumaobramonumental que cobreinúmerostemasde Geometria elementar (e menoselementar) e contém um manancialde sugestões de trabalho paraabordarosdiferentes aspectos da Geometria. Sãode salientaros muitos exemplos de Históriada Matemática que ajudama percebera importânciaquea Geometria desempenhou naevoluçãoda Matemática, ao mesmotempoque fornecemexcelentes exemplosparausona salade aulaou comopropostade trabalho paraclubesde matemática ou aindapara alunosmaisinteressados. Éaltamente recomendável a leiturado capítuloI que focaa evoluçãodo ensinoda Geometria em Portugale no restodo mundoe ajudaa percebera origemdasdificuldades actuais como ensinoda Geometria. A tecnologia é usadade forma#natural"para#resolver -ou suplementar a resolução-de problemas, procedera investigações, verificarconjecturas, etc." Estelivro temjá um #prolongamento" na Internet no endereço hllp://members.xoom.com/edveloso/ ondeo autorpodesercontactado porvia electrónica.

de conceitos matemáticos,princípios ou problemasquando se desenhaà mão ou se utiliza computador.

O termo visualizaçãoé usado paradescrevero procedimento de produzir ou usar representaçõesgeométricasou gráficas

mCA=9,61

demonstração. Recorrendoao Geomete(s Sketchpad,os alunos poderão descobrir o lugar geométricodescrito pelo baricentrode um triângulo [ABC]quandoo vérticeC se moveparalelamenteao lado [AB]. Poderão, ainda, fazer muitas outras pequenas investigações(investigaras relaçõesentre as áreasdos triângulos mais pequenos,etc).

Área ,I\FG

cm

m BC = 6,48 cm

Área

Área BCA = 15,17 cm2

BGF=

Área IE GB

m AR = 5,05 cm

= ,2,53 2,53

crn2

= 2,53

crn2

Perímetro BCA = 21,14 cm

~

= 0,33 (ma)

5. It~~i~~!~~

F

5

I nfor

""'at: 6

SB

crn2

10

Ou pelo seu ortocentro

(omo dar a trigonometria em 18 aulas?

Primeiroé precisochamara atençãopara o factode a trigonometria ter começadono 9.0anoe ir terminarno 12.0anocomo estudodasfunçõestrigonométricas. O estudodasfunçõestrigonométricas enquantotal nãoé objectodo 112ano;o programarefereapenasque: Nãoé de excluirumabrevereferência aos senoe co-senocomofunçõesreaisde variávelreale aosgráficosdestasfunções

"

/

Um outro exemplo de visualização e conexão entre Geometriae Funçõesé, por exemplo, o da determinaçãodo rectângulode maior áreacom perímetroconstante.Os alunos poderão I/ver" a solução que encontram (ou vão encontrar) quando resolvemo problemaanaliticamente.

Os alunos relembramassimconceitos básicosda geometria, fazem pequenasinvestigações.Ligam a geometria sintética com a analítica.Relacionama geometriacom as funções( os alunos poderão deduzir, logo que seja oportuno, as equações da recta e da parábolaencontradas).Elesencontrarão a universalidadeda Geometriae a riqueza do pensamentogeométrico.

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10

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I~~n!~at~,

m CÃ=

Relações entreasfunçõescircularesde IX,e de ./2 -IX, ./2 + IX,.-IX,.+IX e -IX:

í

E logo indica que:

"Depoisde compreendidas asrelações referidasporobservação do círculo trigonométrico tornam-se desnecessários exercíciosrepetitivosde purastécnicasde cálculoe rotina."

B

c

A

3,0 cm

m AR = 6,0 cm

Perímetro B'B"AC = 12,0 cm Área B'B"AC = 8,9 cm2 InforlV\at 7

I

I

I

I

1-~

trigonométricas. "Não é de excluir"significaqueé natural queapareça"umabrevereferência"aqui masqueestareferência sódeveserfeitase houvertempoparaisso.Nãoestáincluído nesta"brevereferência"um estudomais ou menossistemático daspropriedades das funçõestrigonométricas. O çapítulode trigonometria tem-secaracterizado nos últimosanospor umasobrevalorização dos exercíciosde manipulação algébrica. O programaindicaquesedevereduzira "ênfaseem exercícios de cálculo". Osexercíciosde cálculosãoimportantes masdevehavermuitobomsensona sua utilização.Porexemplo,o programarefere quesedevedar:

I

I

I

~.

SenãoseinsistirnosHexercícios repetitivosH os alunosnãocriarãoaversão pelaTrigonometria (comoacontececom assustadora frequência) e o professor conseguirá maisfacilmentemotivá-lospara realizarexercíciospor vezesmais complexosqueos clássicos Hexercícios repetitivosde purastécnicasde cálculoe rotinaH. Umaabordagem rigorosae bemplaneada da partede trigonometria do primeiro Temado 11.Q anopermitirá,emcondições normais,quesejaleccionadocomsucesso em 18 ou menosaulas.

Jaime

FICHATÉCNICA Editor: Departamentodo EnsinoSecundário[DESJ Director: DomingosFernandes

Carvalho

Iremosaqui indicarváriossítiosda Internet(emlínguapor- Miguel de Guzmanna Net tuguesa)que podemter interessepara um professorde httpJ/www .mat.ucm.es/deptos/am/guzman/guzman .htm Matemática, tantoparaa suaformaçãopessoalcomopara umapossívelfontede actividades curriculares ou extra-curricu/ares comosalunos. o Prof. Miguel de Guzmán tem uma página na Internetcom

Design Gráfico: DELTAGRAPHOS, Design e

um conteúdobastantevariado. DesdeHistóriada Matemática até textosde divulgação,passandopor projectosem que está

Publicidade,Lda. Fotolito:A8C Gráfica, Lda. Impressão. FomentoGráfico-artes gráficas,Ida. Periodicidade:Trimestral

envolvido ou ficheiros para trabalhar Geometriacom o proMocho

gramaDERIVE,muito de interessantee útil se pode encontrar

http j / softc ienc i as.ccg .uc .pt/moc ho/moc ho .htm I

nestapágina.

liragem: 4 000 exemplares ISSN:0874-0844 Lisboa1998 Distribuiçãogratuita Todaa correspondênciadeve ser enviada para InforMAT Av. 24 de Julho, 138, 5.. 1391 Lisboa Fax:39381 08

e Silva

Uma entrevistacom Miguel de Guzman sobre a aprendizao Mocho é um apontador dirigido paras as disciplinas de gem da Matemáticanosdias de hoje pode serencontradaem: MMaatemátaicaF,Físicaee Química e cujo objectivo é apresentar uma lista tão exaustiva quanto possível das páginas da http i Iwww .po rtoed itora .pt!netproflm atemati cal euens i no1 Internetem línguaportuguesaque digam respeitoàquelasdisciplinas. Tem ainda distinguido as melhores páginas destas junholassuntoe.htm áreas cpm a atribuição da distinção "Mocho Sábioll, Para quem queira procurar algo na Internet em Portuguêsdeve começar pelo "Mochol/, quem queira ver páginas de boa que é uma das páginas que se encontra no sítio da Porto qualidadedeve começarpelo I/Mocho Sábiol/ EEditoraccuja área de Matemáticapode servista em:

http i /www .pa rtaed itara. pt/ netpraf/ matem ati cal defau It.asp

Trigonometria: onteme hoje-mini-cursoemlinha As opiniões expressasnos textos apresentados nestapublicaçãosão da responsabilidadedos

httpj /athena.mat. ufrgs.br/ -portosiI/curtrig. ~tmI

autorese não reflectemnecessariamente a opinião do Departamentodo EnsinoSecundário ou do Ministério da Educação.

Um mini-curso em língua portuguesa,na páginado departamento de Matemáticade uma universidadebrasileira,com o

Geometria do Prof. Arala Chavesna Net

seguinteplano:

httpJ/www .fc.up.pt/mp/machaves/d iocles.htmI

1. Os dois tipos básicosde Trigonometria: Planae Esférica

httpJ/www .fc.up.pt/mp/machaves/espel hos.htmI

2. A invençãoda Trigonometria: 3. As aplicaçõesclássicasda Trigonometria

o Prof. Arala Chavesdo Departamentode MatemáticaPura

4. Duas aplicações clássicasda Trigonometria:a determinaçãoda latitude e longitudede pontossobrea Terra

da Universidadedo Porto colocou numa página na Internet

5. Atualmente, a importância da Trigonometria ainda se resumeem sua capacidadede resolvertriângulosl

com recursoao programade GeometriaDinâmica "Geometer

informaçõessobredois problemasde Geometriaque resolve Sketchpad// , contendoainda uma versãointeractivaem lava.

MIN!STÉRtO D4 EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DO ENSINOSECUNDARIO

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