Inecuaciones

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UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT

Profesora Minerva Bueno

Materia: Matemática I

Unidad I – Enero 2009

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Desigualdades: DEFINICIÓN: A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad y que ahora recordamos:

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman desigualdades, por ejemplo: 3<7 -2 > -5

Inecuaciones: A) DEFINICIÓN: Sabemos que las expresiones: 3x + 1 = x - 3 y x2 - 3x = 0 representan ecuaciones. Si en lugar de estar relacionados los dos miembros por una igualdad (=), lo están por alguna desigualdad, estaremos ante "inecuaciones". Por ejemplo: 3x + 1 > x - 3

ó

x2 - 3x ≤ 0

En tal sentido, las inecuaciones son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Es decir, son relaciones algebraicas que se expresan con los signos de desigualdad. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones. Por consiguiente, tenemos que son expresiones de la forma:

f(x) < g(x),

f(x) ≤ g(x),

f(x) > g(x)

f(x) ≥ g(x),

A continuación presentamos otros ejemplos de inecuaciones x≤2

x-3 ≥ y

x2-5x ≤ 4

xy-3 > 0

B) CARACTERISTICAS GENERALES: 1) Están conformadas por dos miembros. Los miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de desigualdad. El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c - d el primer miembro es a + b y el segundo c d. 2) Cada miembro esta constituido por los términos. Los términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30) separadas por el signo + ó -, o por la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y - d .

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3) Como en las ecuaciones, resolver una inecuación es encontrar el valor o valores de x que cumplen la relación. La solución de una inecuación no es un número, sino un conjunto de ellos. En general, la respuesta está expresada en un intervalo o en una unión de intervalos. Por ejemplo, en la inecuación: 5x + 15 > 30, el conjunto solución es: x > 3, que matemáticamente se expresa también como: (3, ∞).

4) El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo anterior el exponente de la variable es 1, por lo tanto es una inecuación de 1º grado o lineal. C) CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES: Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. INECUACIÓN

TIPO

2x-3 > x-5

1º grado; 1 incóg.

x-3 ≥ y

1º grado; 2 incóg

2

x -5x ≤ 4

2º grado; 1 incóg.

xy-3 > 0

2º grado; 2 incóg.

¿Cómo resolvemos una inecuación? En principio, debemos considerar las propiedades de las desigualdades y la interpretación de las respuestas de las desigualdades en intervalos.

D) PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

1) Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo sentido. Por ejemplo:

En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo (positivo o negativo), sin que se altere el sentido de la desigualdad, por ejemplo: a) En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer miembro con signo negativo quedando a - c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros. Observe que el sentido de la desigualdad no cambia. b) En la desigualdad a - b > c , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y quedando a > b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros. Observe que el sentido de la desigualdad no varia.

4 2) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido. Por ejemplo:

En una desigualdad un término cualquiera que sea positivo y que esté como factor multiplicador o divisor puede pasar al otro miembro, manteniendo el signo positivo, sin producir alteraciones en el signo de desigualdad. Por ejemplo: a) En la desigualdad a.b ≥ c se puede pasar b al segundo miembro con signo positivo, pero dividiendo, quedando

a≥

c , porque equivale a dividir entre b a los dos b

miembros. Observe que el sentido de la desigualdad no varía.

b) En la desigualdad

a ≤ c , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro b

pero multiplicando, quedando a ≤ c.b , porque equivale a multiplicar por b a los dos miembros. Observe que el sentido de la desigualdad no cambia.

3) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, resulta otra de sentido contrario. Por ejemplo:

En una desigualdad un término cualquiera que sea negativo y que esté como factor multiplicador o divisor puede pasar al otro miembro, manteniendo el signo negativo, y produce cambios en el signo de desigualdad. Por ejemplo: a) En la desigualdad (a).(-b) ≥ c se puede pasar -b al segundo miembro con signo negativo, pero dividiendo, quedando

a≤

c , porque equivale a dividir entre -b a los −b

dos miembros. Observe que el sentido de la desigualdad VARIA.

5 b) En la desigualdad

a ≤ c , se puede pasar -b con signo negativo al segundo −b

miembro pero multiplicando, quedando a ≥ (c).(-b) , porque equivale a multiplicar por -b a los dos miembros. Observe que el sentido de la desigualdad CAMBIA.

4) Al cambiar el signo a todos los términos, es decir, a los dos miembros de una desigualdad, el signo de ésta varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por - 1. Si en la desigualdad a - b > - c cambiamos el signo a todos los términos, se tiene: b-a
5) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b es evidente que b < a

6) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. Siendo a > b se 1 1 tiene que < a b 7) Cuando los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 5 > 3 cuadrado: 52 > 32 o sea 25 > 9

y

elevando

al

8) Si los dos miembros o sólo uno es negativo y se eleva a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Siendo - 3 > - 5 y elevando al cubo (- 3)3 > (- 5)3 o sea - 27 > - 125 Siendo 2 > - 2 y elevando al cubo 23 > (- 2) o sea 8 > - 8

9) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par

positiva, el signo de la desigualdad cambia. Siendo - 3 > - 5 y elevando al cuadrado (- 3)2 = 9 y (- 5)2 = 25 y queda 9 < 25.

10) Cuando un miembro es positivo y otro negativo, y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

Siendo 3 > - 5 y elevando al cuadrado 32 = 9 y (- 5)2 = 25 y queda 9 < 25 (cambia el signo) Siendo 8 > - 2 y elevando al cuadrado 82 = 64 y (- 2)2 = 4 y queda 64 > 4 (no cambia el signo)

11) Cuando los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia. a > b y n es positivo, se tiene:

n

anb

6 12) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro por miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Si a > b

a  b c  d ac > bd

y

c > d , se tiene:

a  b c  d ac > b d

13) Cuando dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro por miembro, el resultado no necesariamente será una desigualdad del mismo signo, pues, puede ser una igualdad. En 10 > 8 y 5 > 2, restando miembro por miembro:

10  8 5  2 10  5  8  2 56

(cambia de signo)

Al dividir miembro por miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4 tenemos

10  8 5  4 10  5  8  4 (resulta una igualdad) 2=2

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D) INTERVALOS:

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Los intervalos se pueden clasificar en: Intervalos con Extremos e Intervalos No Acotados.

Tipos de Intervalos Intervalo Cerrado

Intervalo Abierto

Intervalo Semi – Cerrado o Abierto por la Derecha

Definición

INTERVALOS CON Representación Matemática

Dados números reales “a” y “b”, el intervalo cerrado se define como el conjunto de todos los números reales entre “a” y “b”, incluidos ellos mismos que son los extremos o puntos terminales del intervalo. Dados números reales “a” y “b”, el intervalo abierto se define como el conjunto de todos los números reales entre “a” y “b”, sin incluir a ellos mismos, es decir excluyendo a los extremos o puntos terminales del intervalo. Es el conjunto de todos los números reales entre “a” y “b”, incluyendo “a” y excluyendo “b”

EXTREMOS Representación Gráfica

[a,b]= {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

(a,b)= {x ∈R / a < x < b}

Según vimos anteriormente los corchetes se utilizan para los intervalos cerrados y los paréntesis para los intervalos abiertos. Veamos como ahora se utilizan ambas denotaciones a la vez.

En una gráfica, los puntos finales de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ).

En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto ( ).

Si tenemos [a, b), la gráfica sería:

[a,b)= {x ∈R / a ≤ x < b} Intervalo Semi – Abierto o Abierto por la Izquierda

Es el conjunto de todos los números reales entre “a” y “b”, excluyendo “a” e incluyendo “b”

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos como ahora se utilizan ambas denotaciones a la vez.

(a,b]= {x ∈ R / a < x ≤ b}

Si tenemos (a, b], la gráfica sería:

8 Tipos de Intervalos Intervalos Infinitamente positivos

INTERVALOS NO ACOTADOS Definición Representación Representación Gráfica Matemática El conjunto de todos Abierto por la izquierda que los números reales se extiende hacia la mayores que “a”. derecha:

(a, ∞)= {x ∈ R / x > a} El conjunto de todos los números reales mayores o iguales que “a”.

Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

[a, ∞)= {x ∈ R / x ≥ a}

Intervalo Infinitamente negativos

El conjunto de todos los números reales menores que “b”

El conjunto de todos los números reales menores o iguales que “b”

Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

(- ∞, b)= {x ∈ R / x < b} Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

(- ∞, b]= {x ∈ R / x ≤ b}

Intervalo de todos los nros. reales

El conjunto de todos los números reales

(- ∞, ∞) = R -∞

NOTA: Cuando los extremos son infinitos, siempre será abierto, ya que no es un número de verdad.

Regla General de la Aplicación de los Intervalos en las Inecuaciones: En principio tenemos la siguiente regla general: - Si el signo de la desigualdad es > ó < el intervalo solución es ABIERTO. - Si el signo de la desigualdad es ≥ ó ≤ el intervalo solución es CERRADO.

∞

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Ejemplo 1

El intervalo cerrado [ -1, 3 ] representa el conjunto de todos los números reales entre -1 y 3, inclusive. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como -1 £ x £ 3 y gráficamente como:

Ejemplo 2 El intervalo abierto ( 2, 7 ) representa el conjunto de todos los números reales entre 2 y 7 PERO 2 y 7 no están incluídos. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como 2 < x < 7 y gráficamente como:

Ejemplo 3 El intervalo infinitamente positivo [ -2, ∞ ] representa el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a -2. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como x ≥ -2 y gráficamente como:

E) OPERACIONES CON INTERVALOS: Por el hecho de ser conjuntos, los intervalos se pueden unir e intersectar, operaciones que serán utilizadas posteriormente. Sean los intervalos M1  R y M 2  R podemos entonces definir: 1) Unión de Intervalos: La unión de dos intervalos tiene como resultado otro intervalo formado por todos los elementos de ambos comunes y no comunes.

M1  M 2   x  R / x  M1 ó x  M 2  2) Intersección de Intervalos: La intersección de dos intervalos tiene como resultado otro intervalo formado por todos los elementos comunes de ambos.

M1  M 2   x  R / x  M1 y x  M 2  Ejemplos: Dados los siguientes intervalos: A  Realizar las siguientes operaciones:

1) A  B

2) A  B

 2,5

3) A  C

B   2, 7  y C   7,   . 4) A  C

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Solución:

1) A  B =  2,5    2, 7  =  2, 7 

Considera los elementos comunes y no comunes.

Gráficamente:

Por lo tanto, en la unión se tomarán los segmentos y/o semirrectas que pertenezcan a todos los intervalos que intervienen, independientemente si coinciden o no en la gráfica.

2) A  B =  2,5    2, 7  =  2,5 

Considera solamente a los elementos comunes.

Gráficamente:

Es decir, en la intersección se tomarán los segmentos y/o semirrectas que pertenezcan a todos los intervalos involucrados que COINCIDAN en la gráfica. En caso de que los intervalos no se solapen, no hay intersección, y se dice que la intersección es VACIA.

3) A  C =  2,5    7,   = 

Considera solamente a los elementos comunes. Como no existen elementos comunes entre ellos da vacío.

Gráficamente:

4) A  C = [-2,5)   7,  

Considera los elementos comunes y no comunes.

Gráficamente: Es la misma representación.

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Consideraciones de los Intervalos en R:

(- ∞, ∞) = R −

−

(- ∞, 0) = R (números reales negativos)

(- ∞, 0] = R U { 0 }

+

+

(0 , ∞) = R (números reales positivos)

[0 , ∞) = R U { 0 }

∗

(- ∞, 0) U (0 , ∞) = R (números reales sin el cero)

En el intento de ser metodológicos vamos a abordar los casos de resolución de inecuaciones en forma separada. Resolución de Inecuaciones: (a) Lineales, (b) Cuadráticas, (c) Racionales. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES. INECUACIONES DE UNA SOLA VARIABLE. F) RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES: Es toda inecuación bajo la forma: ( a  0 y

a y bR )

1) ax  b  0 2) ax  b  0 3) ax  b  0 4) ax  b  0 donde:

a  0 y a y bR

Para resolver inecuaciones de este tipo, se procede en forma similar a la resolución de las ecuaciones, pero teniendo en cuenta las propiedades de las inecuaciones antes explicadas. Ejemplo: 1) Dada la siguiente inecuación 3x  5  0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Solución:

3x  5  0 Sumando -5 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

3x  5  5  0  5 3x  5

12 Multiplicamos por

1 a ambos miembros de la ecuación para obtener: 3

1 1 3x  5 3 3 x

5 3 

5 5    ,     x  R / x    3  3  

El conjunto solución es entonces; S=  Gráficamente:

- INTERPRETACION GEOMETRICA: La solución de la inecuación de primer grado representa aquellos valores de X que hacen la función y = ax + b quede: Para ax  b  0 , por encima del eje X Para ax  b  0 , por encima y sobre el eje X Para ax  b  0 , por debajo del eje X Para ax  b  0 , por encima y debajo del eje X. Por ejemplo, para el ejercicio anterior, la interpretación geométrica es la siguiente: Y

Dado

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y = 3X + 5

X = -5/3

y=0

X=0

y=5

X=2

y = 11

5 Como la inecuación es 3X + 5 > 0, entonces la grafica corresponde a los

-5/3

2

x

valores sobre el eje de las “x”

G) RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRATICAS:

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Son aquellas inecuaciones que presentan las siguientes formas:

ax 2  bx  c  0 ax 2  bx  c  0

Con a  0 y a, b, c  R

ax 2  bx  c  0 ax 2  bx  c  0

Existe un método para resolver inecuaciones cuadráticas conocido como Método Gráfico, coloquialmente llamado “Método del Cementerio”. También este método es usado para inecuaciones que involucran productos, cocientes o bien polinomios de grado mayor a uno. A continuación se procederá a explicar el procedimiento a seguir con este método. Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando el Método Gráfico. Primer Paso: Comparar con cero. Segundo Paso: Factorizar el polinomio lo más posible, determinando las raíces o valores que anulan la expresión. Tercer Paso: Ubicar las raíces sobre una recta real. Empezar a hacer la tabla de signos. Cuarto Paso: Determinar el signo de cada binomio en los distintos intervalos que se originan; para ello se le asignará a la variable un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo que se esta analizando. Quinto Paso: Determinar que signo le corresponde al producto de los binomios en cada intervalo estudiado. Sexto Paso: Seleccionar los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad. El conjunto solución es la unión de los mismos. Ejemplo: 1) Dada la siguiente inecuación

x 2  5x  6  0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Haga la representación geométrica de la inecuación.

Primer Paso: En este caso, ya la expresión está comparada con cero. Segundo paso: Factorizar el polinomio dado, en este caso tenemos que factorizar un trinomio de la forma x 2  bx  c , caso ya estudiado anteriormente, por lo tanto se tiene:

x  5x  6   x  3  x  2  , nos queda entonces una inecuación de la forma:

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2

 x  3  x  2   0

Las raíces que anulan

 x  3  x  2 

son x  3 y

x  2 .

Tercer paso: Ubicamos las raíces sobre la recta real. En base a ello determinamos los intervalos, ubicados en la primera fila de la tabla. En la primera columna ubicamos los factores que se obtuvieron en la factorización antes realizada. Cuarto y Quinto paso: Se le asignan valores arbitrarios a “x” en cada intervalo, y se determinan los signos. Por ejemplo: Para el intervalo: (-∞, -3), podemos tomar x = -4, y si sustituimos este valor en el factor (x + 3), obtenemos -4 + 3 = - 1, por ello en ese recuadro se observa un signo negativo.

Factores Factores Producto final

Para el intervalo: (-∞, -3), volvemos a tomar x = 4, y lo sustituimos en el factor (x + 2), así obtenemos -4 + 2 = -2, por ello en ese recuadro se observa un signo negativo. Luego el signo que aparece en el recuadro de la expresión

 x  3  x  2 

se obtiene de

multiplicar los dos signos anteriores obtenidos (-).(-) = +

De igual manera se procede a hacer el estudio de signos para los intervalos restantes.

Estudio de signos para el intervalo (-3, -2): - Para el intervalo: (-3, -2), podemos tomar x = -2,5, y si sustituimos este valor en el factor (x + 3), obtenemos -2,5 + 3 = 0,5, por ello en ese recuadro se observa un signo positivo. - Volvemos a tomar x = -2,5, y si sustituimos este valor en el factor (x + 2), obtenemos -2,5 + 2 = - 0,5, por ello en ese recuadro se observa un signo negativo.

15 - Luego el signo que aparece en el recuadro de la expresión

 x  3  x  2 

para el

intervalo (-3, -2), se obtiene de multiplicar los dos signos anteriores obtenidos (+).(-) =Estudio de signos para el intervalo (-2, +∞): - Para el intervalo: (-2, +∞), podemos tomar x = 0, y si sustituimos este valor en el factor (x + 3), obtenemos 0 + 3 = 3, por ello en ese recuadro se observa un signo positivo. - Volvemos a tomar x = 0 y si sustituimos este valor en el factor (x + 2), obtenemos -0 + 2 = 2, por ello en ese recuadro se observa un signo positivo. - Luego el signo que aparece en el recuadro de la expresión

 x  3  x  2 

para el

intervalo (-2, +∞), se obtiene de multiplicar los dos signos anteriores obtenidos (+).(+) = +

Sexto paso: Como la inecuación

x 2  5x  6  0 , es igual a  x  3  x  2   0 ; en tal

sentido, y para que se cumpla esa desigualdad, se buscan los valores de “x” que son mayores a cero, es decir los positivos. Por lo tanto, tomaremos aquellos intervalos donde el estudio de signos arrojó una respuesta positiva en el producto final (ver tabla de signos).

Factores Factores Producto final

En tal sentido, la solución viene dada por:

SG   , 3   2,  

Representación del Conjunto Solución sobre la Recta Real:

Representación Geométrica: Antes de pasar a la interpretación geométrica de esta clase de inecuaciones se hace necesario indicar como se grafican las funciones cuadráticas o de segundo grado.

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GRAFICACION DE FUNCIONES CUADRATICAS:

Los polinomios del tipo p(x) = ax2+ bx + c con a ≠ 0, y a , b, c son constantes se denominan funciones cuadráticas, de segundo grado o parabólica, ya que su gráfica corresponde a una parábola. Para trazar la gráfica de una función cuadrática es necesario conocer: A) Como abre la parábola (cóncava hacia arriba o hacia abajo), para ello basta con observar el signo que acompaña al coeficiente de x2, es decir el signo que acompaña a la constante “a”. Entonces: - Si a > 0, es decir es positiva, la parábola abre hacia arriba. - Si a < 0, es decir es negativa, la parábola abre hacia abajo.

Vértice (-b/2a, f(-b/2a)) Punto máximo

Vértice (-b/2a, f(-b/2a)) Punto mínimo

f(x)=ax2+ bx+c a>0

f(x)=ax2+ bx+c a<0

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

B) El punto máximo o mínimo de la parábola es llamado VERTICE. - Si a > 0, es decir es positiva, el trinomio tiene un punto mínimo. - Si a < 0, es decir es negativa, el trinomio tiene un punto máximo. Las coordenadas “x” y “y” del vértice están dadas por la siguiente relación:

b 2a

Coordenada en “x” =

Vx =

−

Coordenada en “y” =

Vy =

4ac − b 2 4a

Es decir, la coordenada del vértice viene dada por la siguiente coordenada: (x , y) = (Vx , Vy) = ( −

b 4ac − b 2 ) , 2a 4a

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C) Corte con el eje “y”. Viene dado por la constante “c”. Para la coordenada x = 0,

y = f(x) = c

Con lo cual la curva pasa por el punto (0 , c) D) Corte con el eje “x”: Para ello se resuelve la ecuación f(x) = 0, esto es: ax2+ bx + c = 0 Si la ecuación tiene solución, la parábola corta al eje “x” en el punto o puntos que solucionan la ecuación (es decir, x1 y x2 ). Si la ecuación no tiene solución (raíces imaginarias) entonces, la parábola no corta al eje “x”. Evaluamos entonces el discriminante: Si b2 – 4ac > 0 , entonces la parábola corta al eje “x” en dos puntos distintos. Si b2 – 4ac = 0 , entonces la parábola corta al eje “x” en un solo punto. Si b2 – 4ac < 0 , entonces la parábola no corta al eje “x” . Si b2 – 4ac = 0 , entonces la parábola corta al eje “x” en un solo punto, que será el vértice. Por lo tanto, las coordenadas de la parábola cuando corta al eje “x” viene dadas por: (x1 , 0)

y

(x2 , 0)

Es decir,

  2  − b + b − 4ac  ,0   2a    

y

  2  − b − b − 4ac  ,0   2a    

Y finalmente como se observa, la parábola tiene un eje de simetría con respecto al vértice

Ahora, dada la explicación anterior, podemos hacer la interpretación geométrica de la inecuación de segundo grado planteada: x2+ 5x + 6 > 0 Pero primero debemos graficar la función y = x2+ 5x + 6

18 A) La parábola abre cóncava hacia arriba, ya “a” es +1, es un valor positivo. B) La curva tiene un vértice que constituye el punto mínimo o más bajo de la curva, ya que el valor “a” de la función es positivo. Las coordenadas “x” y “y” del vértice están dadas por la siguiente relación: Coordenada en “x” =

Coordenada en “y” =

b 5 5 =− = − = −2,5 2a (2)(1) 2

Vx =

−

Vy =

4ac − b 2 4a

=

[ (4)(1)(6)] − 5 2  

(4)(1)

 = 24 − 25 = − 1 = −0.,25 4 4

Vértice: (Vx , Vy) : (-2,5 , -0,25) C) Corte con el eje “y”. Viene dado por la constante “c” : (0, 6) D) Corte con el eje “x”. Calculamos el discriminante: b2 – 4ac = [52] – [(4)(1)(6)] = 25 – 24 = 1. Por lo tanto, como el discriminante es mayor que cero, entonces la parábola corta al eje “x” en dos puntos distintos. Para determinar los puntos del eje “x” que la parábola corta, utilizamos la resolvente cuadrática.

2 − b ± b 2 − 4ac − 5 ± 5 − 4(1)(6) − 5 ± 1 − 5 ± 1 x= = = = 2 2a 2(1) 2 x1 =

− 5 +1 4 = − = −2 2 2

x2 =

− 5 −1 6 = − = −3 2 2

Coordenadas que indican el punto de corte con el eje “x”:

(-2 , 0)

Con todos los puntos antes deducidos procedemos a graficar:

y

(-3 , 0).

19 (0 , 6)

(-3,0)

(-2,0)

Vértice (-2,5 , -0.25)

Ahora bien, ¿cual es la parte o partes de la curva que corresponden, para satisfacer la inecuación: x2+ 5x + 6 > 0?. Entonces, solamente tomaremos los tramos de la curva para “y” > 0, los cuales se indican a continuación

(0 , 6) Por lo tanto, los tramos de la curva resaltados son los que corresponden a la inecuación planteada. Este gráfica resulta la representación geométrica de la inecuación. (-3,0) Vértice (-2,5 , -0.25)

(-2,0)

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INECUACIONES FRACCIONARIAS Son inecuaciones en las que tenemos una fracción algebraica formando parte de la misma. - Expresión general: Son del tipo

ax  b cx  d

0

, o todas sus equivalentes

grados mayores que uno.

ax  b cx  d

 0, o

ax  b cx  d

 0 , etc. … y de

El denominador debe tener por lo menos un polinomio de primer grado. El numerador puede ser un término independiente. - Método de resolución: Paso 1: Comparar con cero. Paso 2: Descomponer factorialmente (factorizar) los polinomios que componen el numerador y denominador, aplicando Ruffini, resolvente cuadrática, etc… el método que consideres más apropiado o que mejor te resulte, claro siempre y cuando sea aplicable al caso. Una vez descompuestos nunca simplificar o cancelar factores entre el numerador y el denominador, ya que podríamos perder soluciones. Posteriormente se procede como con las inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos.

Ejemplo 1) Dada la siguiente inecuación grafíquelo.

x 2  3x  10  0 . Halle el conjunto solución y x2  x  2

Primer paso: Comparar con cero. En este caso ya esta comparada la inecuación con cero. Factorizamos los polinomios dados:

x 2  3x  10   x  5   x  2  , x 2  x  2   x  2   x  1

Las raíces que anulan el numerador son x  5 y x  2 , y las que anulan el denominador son x  2 y x  1 , las ubicamos sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

21

Se aprecia entonces en la representación anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, por lo tanto la solución viene dada por:

SG   5, 2    1, 2 

Como se puede observar todos los intervalos son abiertos, ya que la inecuación es estrictamente menor que “0”, por lo tanto los valores que anulan o hacen cero a la inecuación no se pueden asumir como intervalo cerrado del conjunto solución. Gráficamente:

Otros ejemplos:



Ejemplos:



x2

x  x  1

0

En este caso ya tenemos la inecuación igualada a cero y al numerador y el denominador descompuestos en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, así:

x2 x x 1 División

(-, 2 ) — — — — No es solución

(-2, 0 )

(0,1)

(1,)

+ — — +

+ + — —

+ + + +

Solución

No es solución

Solución

Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los límites o extremos de los

 2, 0    1,   .

intervalos en la misma, así pues la solución será



x 1 x 1

1

x 1 x 1

22

1  0 ,

Ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x  1  x  1 y compara los resultados. Para nuestro caso, operando

x 1 x 1

1  0 

x 1 x 1 x 1



2

x 1

 0 , y todo se reduce a

averiguar cuál es el signo del denominador, cuando éste es negativo, y haciendo la tabla de signos podemos comprobar que lo es en

x 1 1 x x 1 División

(-,1) — + — + Solución



1  x2 x 1

0

 x  1  1  x   x  1

 ,1 .

(-1,1]

[1,)

+ + + +

+ — + —

Solución

No es solución

0

Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos, recuerda, no simplificar. La solución, por tratarse de una desigualdad no estricta, es (-,-1) U (-1,1].

2 x 1 División

(-,1) + — — Solución

(1,) + + + No es solución

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 Valores que anulan el numerador:

Como para x2 + 4, el discriminante es menor que cero, entonces no es factorizable; por lo tanto, la factorización completa de x3 + 4x es la indicada en (*) y así debe quedar expresada en la tabla de signos. Por lo tanto, para el numerador, el único valor que lo anula es 0. Valores que anulan el denominador: Como es obvio -1 es el valor que hace cero el denominador.

Como la inecuación es menor o igual que cero, entonces el intervalo solución corresponde al recuadro negativo final. Conjunto Solución: [-1 , 0]