Industrial Mechanics Exam 04

演習 4

工業力学第一

1. 下図に示すようにリールに巻かれたロープの先が速度 v0 で動くスライダに繋がれてい る．リールから繰り出されるロープの角度 θ の時間変化，すなわち角速度 ω を θ , v0 , l を用いて示せ．ただし，リールの径は無視できるものとする． s O

v0

θ l

2. 下図に示すように半径 r の円筒が速度 v0 で平面上を滑ることなく転がる．θ = θ0 のと きの円筒の円周上の一点 A の速度を求めよ． y v0 A θ

x

O

r

2πr

√ √ 3. 下図に示すように直方体が頂点 AB を軸として角加速度 14[rad/s2 ]，角速度 14[rad/s] で A から B にむかって右ネジが回転する向きに回っている．静止座標系の基本ベクト ル e1 , e2 , e3 を図中に示すようにとる．図の位置での点 P の速度ベクトルおよび加速 度ベクトルを e1 , e2 , e3 で示せ． P

3 A 1

2

e2

e3

B

e1

4. 点の 2 次元運動が，r(t) = t2 − t , θ(t) = t で与えられるとき，速度ベクトルおよび加速 度ベクトルを極座標で表せ．ただし，極座標の動径方向の基本ベクトルを er とし，周 方向の基本ベクトルを eθ とせよ．

工業力学第一 演習 4 解答 1. 図より tan θ = s/l となる．両辺を時間で微分すると sec2 θ

dθ ds = dt ldt

dθ/dt = ω , ds/dt = v0 であるので sec2 θω =

v0 l

∴

ω=

v0 cos2 θ l

2. 円筒の中心の位置を (x , r) とすると，点 A の位置 (Ax , Ay ) および速度は Ax = x + r cos θ , Ay = r(1 + sin θ) A˙ x = v0 − rθ˙ sin θ , A˙ y = rθ˙ cos θ となる．滑べらないという条件から −rθ˙ = v0 であるので

A˙ x = v0 (1 + sin θ) , A˙ y = −v0 cos θ ∴

A˙ x = v0 (1 + sin θ0 ) , A˙ y = −v0 cos θ0 , A˙ =

q A˙ 2x + A˙ 2y

3. 点 A を基準として考える． 点 P の位置ベクトル r と角速度ベクトル ω および角加速度ベクトル ω ˙ は r = 3e1 , ω = ω˙ =

√

14 ·

3e1 − 2e2 − e3 √ = 3e1 − 2e2 − e3 14

であるので，速度ベクトル v および加速度ベクトル a は

∴

v = ω × r = −3e2 + 6e3 , a = ω˙ × r + ω × v = −15e1 − 21e2 − 3e3

4. テキスト P110 ∼ 111 参照． 速度 v および加速度 a は 1 d 2˙ ˙ θ , a = (¨ (r θ)eθ v = re ˙ r + rθe r − rθ˙2 )er + r dt と表される．r = t2 − t , θ = t なので

∴

v = (2t − 1)er + (t2 − t)eθ , a = −(t2 + t − 2)er + 2(2t − 1)eθ