Industrial Mechanics Exam 03

工業力学第一演習 2000

1.

年6月2日

それぞれの重心を求めよ． c

(a)

1.2m

(b)

(c)

8m

b

0.

G1 G2

d

a

a

2m

図

2.

1m

r

図 2 に示すように，両端支持の長さ l

1:

: m のはりに 6000N=m で直線的に増加する分布荷重

= 1 2

を作用させるとき，RA ,RB を求めよ．

RA

RB

A

B

l

図 3.

2:

図 3 のように，体積 V ，質量 M の球の付いた剛体棒を水の中で水平に保持する場合，棒の端に 直角に加えるべき力 P とその向きを求めよ．ただし，水の密度を, 重力加速度を g とし, 剛体棒 の体積と質量は無視する． a

b

P O M,V

図

3:

3.1

重心

長さ l, 一様な密度, 一様な太さの線の重心の位置は以下の式で与えられる. R

R

xdl = xg = R dl

R

R

ydl = yg = R dl

また, 長さ l の図形を有限個の図形 (長さ l1 ; l2 ; を (x1 ; y1 ),(x2 ; y2 ), ,(xn ; yn ) とすると,

111

Z

Z

l Z

l

xdl =

xdl l

(3.1)

ydl l

(3.2)

1 1 1 ; ln) に分割し, 分割された図形の重心位置

Z

l1

xdl1 +

l2

xdl2 +

111 +

Z

ln

xdln

1 1 1 + xnln Z ydl1 + ydl2 + 1 1 1 + ydln l l ln y1 l1 + x2 l2 + 1 1 1 + yn ln x1 l1 + x2 l2 +

=

Z

ydl =

Z

1

=

2

(3.3) (3.4) (3.5) (3.6)

のように変形できる. よって, 図形の重心は以下のように示される. xg = yg =

1 1 1 + xnln 1 1 1 + ln 1 1 1 + ynln 1 1 1 + ln

x1 l1 + x2 l2 + l1 + l2 + y1 l1 + y2 l2 + l1 + l2 +

(3.7) (3.8)

一方, 一様な密度, 一様な厚みの 2 次元物体の重心の位置は以下の式で与えられる. R

xdS xg = R = dS R

ydS = yg = R dS

R

R

また, 長さ S の図形を有限個の図形 (面積 S1 ; S2 ; 位置を (x1 ; y1 ),(x2 ; y2 ), ,(xn ; yn ) とすると,

111

Z

Z

S Z

l

xdS = =

ydS = =

xdS S

(3.9)

ydS S

(3.10)

1 1 1 ; Sn) に分割し, 分割された図形の重心

Z

S1

xdS1 +

S2

xdS2 +

111 +

Z

Sn

xdSn

1 1 1 + xnSn Z ydS1 + ydS2 + 1 1 1 + ydSn S S Sn y1 S1 + x2 S2 + 1 1 1 + yn Sn

x1 S1 + x2 S2 + Z

Z

1

2

(3.11) (3.12) (3.13) (3.14)

のように変形できる. よって, 図形の重心は以下のように示される. xg = yg =

1 1 1 + xnSn 1 1 1 + Sn 1 1 1 + ynSn 1 1 1 + Sn

x1 S1 + x2 S2 + S1 + S 2 + y1 S1 + y2 S2 + S1 + S 2 + 1

(3.15) (3.16)

(a) L 型図形の左側の長方形の面積を A1 , 右側を A2 とする. 原点を左下にとり, L 字型および

長方形 A1; A2 の重心の座標を G(xg ; yg ); G1 (x1 ; y1 ); G2 (x2 ; y2 ) とする. x1 d c c + a0 2 ; y2 = 2 であるので,

(3.17)

0 cd2 0 c)dg

(3.18)

bc2 + a2 d x1 A1 + x2 A2 = A1 + A2 2 bc + (a

yg =

y1 A1 + y2 A2 ad2 + b2 c = A1 + A2 2 bc + (a

f

b

0 c2d 0 c)dg

xg =

f

c

= 2 ; y1 = 2 ; x2 =

(b) 図形の左下を原点にとると, 重心は以下のように求めることができる. R

xg = R

1 ( xdS = 2 dS

R

xy = R

2 2) 2 (2 2 1) 0 1:2 2 f(0:4)2 2 g = 0:933[m] 2 2 1 0 (0:4)2 2 

(3.19)

2 1) 2 (2 2 1) 0 0:5 2 f(0:4)2 2 g = 0:5[m] 2 2 1 0 (0:4)2 2 

(3.20)

1 ( ydS = 2 dS

(c) 座標の原点を円弧の中心にとり, 右側を x 軸の正, 上側を y 軸の正とする. 与えられた図 の重心は xg =

R 0r R 0a0r xdx + 0 2 (rcos)rd

a + 32 r

R

0 2 r(rsin)d

yg = 3.2

a + 23 r

=

=

2r2

0 2ra 0 a2

2a + 3r

2r 2 2a + 3r

(3.21)

(3.22)

分布荷重

分布荷重は q = q0 x=l; q0 ら,RA が求まる.

= 7200N=m で表される.B 点まわりのモーメントの釣合の式か

RA =

1

Z l

l2

0

q0 x(l

0 x)dx = 16 q0 l = 1200[N ]

A 点まわりのモーメントの釣合の式から,RB

RB =

1

Z l

l2

0

(3.23)

が求まる.

q0 x2 dx = 2

1 3

q0 l = 2400[N ]

(3.24)

3.3

浮力

浮力は V で与えられる. 図の向きに加える力が働いているとすると, モーメントの釣合 の式より (M g

0 gV )a = P b

(3.25)

となる.P についてまとめれば, P =

(M g

0 gV )a b

(3.26)

となる. M

0 V

>0

(3.27)

M

0 V

<0

(3.28)

ならば,P の向きは上向きであり,

ならば,P の向きは下向きである.

3