Indrumar Laborator Calitate Si Fiabilitate.pdf

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

CUPRINS

1. Metode de analiză a caracteristicilor tehnice ale produselor……….........…………….2 2. Analiza staibilităţii proceselor tehnologice de fabricaţie…………………………….19 3. Estimarea statistică a parametrilor unui echipament……………………………........29 4. Teste asupra ipotezelor statistice…………………………................………………..41 5. Fiabilitatea produselor …………………………………………………………..…...60 6. Anexe…………………………………………………………………………………67 7. Bibliografie…………………………………………………………………………..79

Facultatea de Inginerie Electrică

1

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LUCRAREA CF -1

METODE DE ANALIZĂ A CARACTERISTICILOR TEHNICE ALE PRODUSELOR

1. TEMATICA LUCRĂRII Analiza caracteristicilor calităţii unei componente a unui produs, cu ajutorul statisticii descriptive. 2. SCOPUL LUCRĂRII Aplicarea şi asimilarea metodelor de analiză a caracteristicilor tehnice.

3. MODUL DE LUCRU 3.1. Achiziţia de date Primul pas în desfăşurarea acestui proces, este stabilirea caracteristicii de calitate a produsului respectiv, ce urmează a fi cercetată. Schiţa piesei a cărei caracteristică o analizăm, se va întocmi în fişa de lucru CF-1, la rubrica schiţa piesei, unde va fi indicată, de asemenea, şi caracteristica ce urmează a fi analizată. Măsurătorile se vor efectua asupra unui eşantion de volum n = 40 piese. Valorile obţinute în urma măsurătorilor, vor fi consemnate în tabelul datelor primare (Tabel nr.1 – Fişa CF -1). 3.2. Ordonarea valorilor obţinute în urma măsurătorilor Se vor ordona datele în ordine crescătoare. În EXCEL, pentru sortarea ascendentă a datelor, se va folosi funcţia Sort A to Z (Fig.1.1.).

Figura.1.1. Funcţia Sort & Filter

Tabelul nr. 2 (Fişa CF -1), va fi completat cu datele existente în ordine crescătoare. Facultatea de Inginerie Electrică

2

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

3.3. Gruparea valorilor Gruparea valorilor constă în constituirea unor clase sau intervalele de grupare, pe baza acestora. Pentru a putea constitui astfel de intervale, este necesar a se cunoaşte amplitudinea variaţiei naturale, numărul intervalelor de grupare precum şi amplitudinea intervalului. Toate cele trei mărimi sunt explicate în cele ce urmează: Amplitudinea variaţiei naturale: Numărul intervalelor de grupare: Amplitudinea intervalului :

w . m 1

Clasele de grupare au amplitudini egale. unde:

n reprezintă volumul eşantionului;

x n reprezintă cea mai mare valoare din setul de valori; x 1 reprezintă cea mai mică valoare din setul de valori. În EXCEL, funcţiile statistice se regăsesc în meniul Insert function – Statistical (Fig.1.2.).

Figura 1.2. Meniul Insert function - Statistical

Funcţia statistică, care returnează valoarea maximă a seriei de date, este funcţia MAX (Fig.1.3.).

Figura 1.3. Funcţia MAX

Valoarea minimă a seriei de date este returnată de funcţia MIN (Fig.1.4.).

Facultatea de Inginerie Electrică

3

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 1.4. Funcţia MIN

Intervalele de grupare sunt de forma [ ui ; ui 1 ) - închis la stânga, deschis la dreapta. Limita inferioară a primului interval este: u

x1

i

2

Limita superioară a ultimului interval este: u

i 1

xn

2

Valoarea centrală a intervalului de ordin “i”, notată cu xci , este: xci

ui

ui 2

1

În cadrul intervalelor constituite, se vor regăsi valorile măsurate. Numărul de apariţii ale acestor valori în cadrul intervalelor respective, poartă numele de frecvenţe absolute simple şi sunt notate cu “ ai ”. Aceste frecveţe se pot însuma, sub forma frecvenţei absolute cumulată. i

Ai

aj j 1

Dacă raportăm frecvenţa simplă absolută la numărul valorilor măsurate, obţinem frecvenţa relativă simplă, notată cu “ ”. ai n

fi

Mergând pe acelaşi principiu ca la frecvenţa absolută simplă, frecvenţa relativă cumulată se poate exprima astfel: i

Fi

fj j 1

3.4. Prelucrarea datelor Această etapă a lucrării, se referă la calculul indicatorilor statistici. Există două modalităţi de calcul a indicatorilor statistici, şi anume: a) prin calcul direct, pe baza valorilor măsurate xi (Tabelul 1 sau 2). Facultatea de Inginerie Electrică

4

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

b) prin calcul indirect, pe baza parametrilor intervalelor de grupare (Tabelul 3). a) Metoda directă Pe baza valorilor măsurate, se pot calcula 6 indicatori de localizare, 8 indicatori de variaţie şi 3 indicatori de asimetrie. În categoria indicatorilor de localizare avem: 1) Media aritmetică:

x

n

1 n

xi i 1

În EXCEL, media aritmetică este returnată de funcţia AVERAGE (Fig.1.5.).

Figura 1.5. Funcţia AVERAGE

2) Media geometrică: n

MG

xi

n i 1

Funcţia care returnează media geometrică a elementelor unei serii este funcţia GEOMEAN (Fig.1.6.).

Figura 1.6. Funcţia GEOMEAN

3) Media armonică: MH

n n i 1

1 xi

Facultatea de Inginerie Electrică

5

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Funcţia HARMEAN returnează media armonică a elementelor unei serii (Fig.1.7.).

Figura 1.7. Funcţia HARMEAN

4) Media pătratică: n

1 n

MP

xi2 i 1

5) Mediana: Pentru n = par: x Me

x

n 2

n 1 2

2

Pentru n = impar:

Me

x

n 1 2

În EXCEL, mediana este returnată de funcţia MEDIAN (Fig.1.8.).

Figura 1.8. Funcţia MEDIAN

6) Valoarea centrală:

xc

x1

xn 2

În urma calculului acestor indicatori de localizare, se poate verifica relaţia de ordonare:

MH

MG

X

MP

Facultatea de Inginerie Electrică

6

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

În continuare se vor calcula indicatorii de variaţie: 1) Dispersia estimată

În EXCEL, există funcţia DEVSQ, care returnează suma pătratelor deviaţiilor punctelor faţă de media eşantionului(Fig.1.9.).

Figura 1.9. Funcţia DEVSQ

2) Dispersia eşationară (dispersia corectată)

s2

1

n

n 1

i 1

xi

x

2

3) Abaterea standard estimată

În EXCEL, funcţia STDEVP, returnează deviaţia standard a populaţiei elementelor unei serii (Fig.1.10.).

Figura 1.10. Funcţia STDEVP

4) Abaterea standard eşantionară (abaterea standard corectată)

s s2 În EXCEL, funcţia STDEV, returnează deviaţia standard a eşantionului elementelor unei serii (Fig.1.11.).

Facultatea de Inginerie Electrică

7

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 1.11. Funcţia STDEV

5) Cuartilele (pentru n par): Cuartila de ordin 1: x Q1

x

n 4

n 1 4

2

Cuartila de ordin 2: x Q2

x

n 2

n 1 2

2

Cuartila de ordin 3: x Q3

x

3n 4

3n 1 4

2

În EXCEL, funcţia care returnează cuartila elementelor unei serii este funcţia QUARTILE (Fig.1.12.). Aceasta are sintaxa QUARTILE(Array; Quart). Primul argument se referă la elementele seriei de date, iar al doilea argument se referă la numărul cuartilei.

Figura 1.12. Funcţia QUARTILE

6) Intervalul intercuartilic:

Iq

Q3 Q1

7) Coeficientul de variaţie intercuartilică:

q

Iq Q2

8) Coeficientul de variaţie:

Facultatea de Inginerie Electrică

8

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

s x

Cv Indicatorii de asimetrie se calculează cu relaţiile: 1) Asimetrie absolută

as

x Mo

2) Asimetrie relativă as s

s

3) Coeficientul de asimetrie intercuartilic SQ

1 2

Q2 Q1 Q3 Q1

Pentru esmitarea asimetriei se compară media aritmetică cu modul. Dacă cele două mărimi sunt egale înseamnă că distribuţia este simetrică, dacă media aritmetică este mai mare decât modul vor avea asimetrie pozitivă(de stânga) şi dacă media aritmetică este mai mică decât modul vom avea asimetrie negativă(de dreapta). b) Metoda indirectă Metoda indirectă se bazează pe parametrii intervalelor de grupare. Indicatori de localizare sunt: 1) Media aritmetică :

x

*

1 n

m

m

ai xci

fi xci

i 1

i 1

2) Modul:

Mo

1

L1 1

2

unde L1 este limita inferioară a intervalului modal (max ai) 1

max(ai ) ai

1

2

max(ai ) ai

1

Facultatea de Inginerie Electrică

9

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Acestă variabilă exprimă valoarea cea mai des întâlnită din setul de valori. În EXCEL, funcţia care returnează valoarea cea mai frecventă a seriei de date, este funcţia MODE(Fig. 1.13.).

Figura 1.13 Funcţia MODE

Pentru indicatorii de variaţie avem următoarele relaţii: 1) Dispersia estimată

2) Dispersia eşantionară corectată

s

*2

1

m

n 1

i 1

ai

xci

x

* 2

3) Abaterea standard eşantionară

4) Abaterea standard eşantionară corectată

s*

s*2

5) Coeficientul de variaţie

Cv*

s* x

*

Se va calcula raportul Yule

x Mo x Me Raportul lui Yule, poate lua valori în intervalul [+1,-1],şi are rolul de a arăta tipul şi mărimea asimetriei. Dacă valoarea acestuia este mai apropiată de 0 cu atât asimetria este mai redusă.

Facultatea de Inginerie Electrică

10

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

4. OBSERVAŢII 4.1. Se vor trasa diagramele repartiţiei empirice: histograma şi poligonul frecvenţelor simple conform datelor obţinute( ai = f(xci), respectiv Ai =f(xci)). 4.2. Pe cele două diagrame, se vor indica indicatorii de localizare calculaţi. 4.3. Se vor interpreta diferenţele valorice dintre diferiţii indicatori de localizare sau de variaţie. 4.4. Se vor compara valorile aceloraşi indicatori calculaţi prin metoda directă şi indirectă şi se vor explica diferenţele. 5. ÎNTREBĂRI

1) Care sunt indicatorii statistici de localizare? 2) Care sunt indicatorii statistici de variaţie? 3) Care sunt indicatorii de asimetrie? 4) Care este relaţia de ordonare a mediilor? 5) Ce funcţii se apelează în EXCEL, pentru calculul mediei aritmetice, geormetrice, armonice? 6) Care este legătura între precizia aparatului de măsură şi abaterea standard estimată? 7) Care este funcţia care returnează valoarea cea mai frecventă a unei serii de date, în EXCEL?

Facultatea de Inginerie Electrică

11

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LABORATORUL: Calitate şi fiabilitate NUMELE ŞI PRENUMELE....................................... Grupa........................................................................... Data efectuării lucrării................................................. Data predării.................................................................

FIŞA DE LABORATOR CF-1 METODE DE ANALIZĂ A CARACTERISTICILOR TEHNICE ALE UNUI PRODUS C. Schiţa piesei, caracteristica X

A. Denumirea piesei analizate.......................... B. Caracteristica investigată.............................

Tabel nr1.

Tabel nr.2.

Date primare

Valori ordonate

Tabel nr.3. Valori grupate Nr. Interval de grupare int. [ u ;u ) i

i 1

Valoarea centrală xci

simplă ai

1. Indicatorii statistici a) Metoda directă (bazată pe date primare) Indicatori de localizare

Indicatori de variaţie

Frecvenţa cumulată fi Ai Fi

b) Metoda indirectă (bazată pe date grupate pe interval) Indicatori de localizare

Indicatori de variaţie

c) Indicatori de asimetrie .......................... ........................ .......................

Concluzii: ............................................................................................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ...................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ................... ............................................................................................................................................................................................................

Facultatea de Inginerie Electrică

12

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LUCRAREA CF -2

ANALIZA STABILITĂŢII PROCESELOR TEHNOLOGICE DE FABRICAŢIE

1. TEMATICA LUCRĂRII Determinarea intervalelor de variaţie, stabilitatea statică a procesului tehnologic de fabricaţie şi analiza reglajului şi preciziei în raport cu toleranţa. 2. SCOPUL LUCRĂRII Analiza stabilităţii unui proces tehnologic de fabricaţie.

3. MODUL DE LUCRU 3.1. Achiziţionarea datelor Pe un eşantion de volum n=40, se vor efectua măsurători, după ce în prealabil s-a stabilit caracteristica care se doreşte a se investiga . Valorile obţinute în urma măsurătorilor, se vor ordona în ordine crescătoare şi se vor nota în tabelul nr.1. al fişei de laborator CF-2. 3.2. Inegalitatea Bienaymé – Cebâşev şi regula celor 3σ Probabilitatea abaterii variabilei aleatoare faţă de medie , în cazul în care repartiţia nu este cunoscută, dar se cunosc cei doi parametrii statistici (media şi dispersia), se poate determina cu ajutorul inegalităţii Bienaymé – Cebâşev:

unde În ipoteza unei repartiţii normale, se vor calcula probabilităţile ca variabila x să aparţină intervalelor respective ±σ, ±2σ, ±3σ, utilizându-se tabelul repatiţiei Laplace (Anexa 1). Calculul acestor probabilităţi poartă numele de regula celor 3σ . Se numeşte regula celor 3σ, deoarece s-a constatat că abaterile mai mari de 3σ, au probabilităţi de realizare foarte mici. Intervalul de variaţie ±kσ, prezintă o importanţă deosebită în procesele de fabricaţie, deoarece ele se pot corela cu toleranţele tehnologice. Există şi noţiunea de interval de variaţie naturală, notat cu IVN, care se calculează astfel: Acesta se va compara cu amplitudinea variaţiei determinată experimental: Facultatea de Inginerie Electrică

13

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

3.3. Stabilitatea procesului tehnologic de fabricaţie Controlul statistic este o acţiune de urmărire a proceselor de fabricaţie. Pentru ca acesta să se poată efectua, este necesar ca procesul să fie stabil din punct de vedere al reglajului şi preciziei. Stabilitatea proceselor tehnologice este esenţială, deoarece fără aceasta nu se poate realiza reproductibilitatea în serie a unei caracteristici. Valorile obţinute în urma măsurătorilor se vor grupa pe intervale de grupare. Pe baza intervalelor constituite se vor determina frecvenţele relative simple, precum şi frecvenţa relativă cumulată. Dacă vom reprezenta valorile frecvenţelor simple obţinute în funcţie de valorile centrale ale intervalelor de variaţie, vom obţine probabilitatea repartizării valorilor în funcţie de media teoretică(clopotul lui Gauss). Dacă vom reprezenta valorile frecvenţelor cumulate obţinute în funcţie de valorile centrale ale intervalelor, se va obţine dreapta stabilităţii procesului tehnologic (dreapta Henry). Dacă punctele respective se înscriu dea lungul dreptei, atunci procesul tehnologic de fabricaţie se poate considera static stabil. Dacă procesul este stabil din punct de vedere al preciziei şi reglajului, se poate trece la etapa de analiză a reglajului şi preiciziei în raport cu toleranţa. Dreapta Henry, reprezentată în fişa de calcul CF-2, poate fi utilizată pentru determinarea grafică a , şi a abaterii standard

mediei

şi linia de probabilitate 0,814 la valoarea

0,5 la valoarea standard

. Se precizează că dreapta Henry intersectează linia de probabilitrate

şi a mediei

. Se va obţine astfel, valoarea abaterii

, pe cale grafică.

3.4. Calculul probabilităţilor rebutului în cazul specificării toleranţei tehnologice Toleranţa tehnologică, notată cu T, specificată în documentaţia tehnică are valoarea: unde Li reprezintă limita inferioară a şirului de date Ls este limita superioară a şirului de date reprezintă abaterea. În absenţa acestor date, se vor preciza, în cadrul lucrărilor de laborator, valorile limită admisibile , respectiv

.

Probabilitatea rebutului la partea inferioară, Se calculează cuantila:

Facultatea de Inginerie Electrică

14

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

unde media aritmetică , se calculează cu funcţia AVERAGE, iar abaterea medie estimată , cu ajutorul funcţiei STDEVP. Din tabelul repartiţiei Laplace (anexa 1), se extrage probabilitatea ca o statistică să fie mai mică decât z, notată cu

.

Nivelul de semnificaţie

, reprezintă riscul sau probabilitatea ca valoarea adevărată să cadă în

afara intervalului de încredere considerat. Procentul estimat al rebutului la partea inferioară este: Se reaminteşte proprietatea funcţiei Laplace: Probabilitatea rebutului la partea superioară, Se calculează cuantila:

căreia îi corespunde probabilitatea ca o statistică să fie mai mare decât z Procentul estimat al rebutului la partea superioară este: Probabilitatea totală a rebutului este:

Procentul estimat al rebutului total este:

3.5. Calculul toleranţelor tehnologice în cazul specificării riscurilor rebutului După modul cum este plasat riscul în raport cu limitele intervalului de încredere, acesta poate fi: interval de încredere cu risc bilateral simetric, interval de încredere cu risc bilateral asimetric, interval de încrederea cu risc unilateral (stânga sau dreapta). a) Riscuri bilaterale simetrice Se adoptă valoarea totală a riscului:

În acest caz Se extrage din tabelul repartiţiei Laplace (anexa 1) cuantila,

.

Limitele toleranţei vor fi: Facultatea de Inginerie Electrică

15

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

b) Riscuri bilaterale asimetrice Se consideră că

unde

este riscul total specificat anterior, reprezintă riscul la partea inferioară, este riscul specificat la partea superioară. Având în vedere că suntem în cazul riscuri bilaterale asimetrice, riscul total specificat anterior va fi

împărţit asimetric, la partea inferioară şi superioară. După care se vor extrage din tabelul Laplace, cuantilele corespunzătoare riscurilor specificate atât la partea inferioară , cât şi la partea superioară.

Limitele toleranţei tehnologice în acest caz vor fi:

c) Riscul unilateral stânga Riscul specificat anterior se consideră plasat la limita inferioară a caracteristicii:

Se va extrage cuantila:

Limitele toleranţei vor fi:

d) Riscul unilateral dreapta Riscul specificat anterior se consideră plasat la limita superioară a caracteristicii:

Se va extrage cuantila:

Rezultă limitele: Facultatea de Inginerie Electrică

16

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

4. OBSERVAŢII 4.1. Se vor reprezenta grafic rebuturile, poziţionându-se la scară pe graficul repartiţiei. 4.2. Se vor compara valorile ,

, ,

.

4.3. Pe graficul curbei teoretice a repatiţiei (clopotul lui Gauss), trasat pe fişa, se vor poziţiona intervalele x±σ, x±2σ, x±3σ. 4.4. Se va verifica corelarea dintre toleranţa T şi intervalul de variaţie naturală INV. 5. ÎNTREBĂRI 1) Cum se reprezintă funcţia densităţii de probabilitate a repartiţiei normale? 2) Cum se calculează intervalul de variaţie naturală? 3) Ce este inegalitatea Bienaymé – Cebâşev ? 4) Cum se calculează procentul rebutului? 5) Ce corelaţie trebuie să existe între intervalul de variaţie naturală şi toleranţă, pentru ca procesul de fabricaţie să fie precis? Dar pentru un proces de precizie mare în raport cu documentaţia 6) Cum se interpreteză cazul când punctele de pe graficul Henry nu descriu o dreaptă? 7) Când se poate introduce controlul statistic?

Facultatea de Inginerie Electrică

17

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LABORATORUL:Calitate şi fiabilitate NUMELE ŞI PRENUMELE....................................... Grupa........................................................................... Data efectuării lucrării................................................. Data predării.................................................................

FIŞA DE LABORATOR CF-2 ANALIZA STABILITATĂŢII PROCESELOR TEHNOLOGICE DE FABRICAŢIE D. Schiţa piesei, caracteristica X

C. Denumirea piesei analizate.......................... D. Caracteristica investigată.............................

Tabel nr.1.

Valori ordonate

Inegalitatea Bienaymé – Cebâşev şi regula celor 3σ Probabilitatea Repartiţie

k=1

k=2

k=3

Normală Necunoscută Tabel nr.2. Nr. int.

Valori grupate Interval de grupare [ u ;u ) i

i 1

Valoarea centrală xci

Frecvenţa simplă cumulată ai

fi

Fi

Indicatori calculaţi:

Indicatori obţinuţi pe baza graficului Henry:

Concluzii: ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .................................................................................

Facultatea de Inginerie Electrică

18

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LUCRAREA CF -3

ESTIMAREA STATISTICĂ A PARAMETRILOR UNUI ECHIPAMENT 1. TEMATICA LUCRĂRII Utilizarea metodelor de estimare punctuală sau cu interval de încredere a indicatorilor teoretici(media şi dispersia) în cazul caracteristicilor componentelor echipamentelor. 2. SCOPUL LUCRĂRII Însuşirea cunoştinţelor de estimare statistică a parametrilor unui echipament electric.

3. MODUL DE LUCRU 3.1. Achiziţionarea datelor Se determină caracteristica tehnică ai cărei indicatori tehnici urmează a fi cercetaţi. Această carateristică va fi menţionată pe schiţa piesei întocmită în fişa de lucru CF-3. Pentru a creşte precizia estimărilor, se vor folosi 3 eşantioane de volume : n 1=16, n2=16, n3=25. Cele trei eşantioane se vor nota în tabelele 1, 2 şi 3 din fişa CF-3. 3.2. Estimarea punctuală a indicatorilor teoretici Estimările indicatorilor pot fi: Punctuale – atunci când estimarea se bazează direct pe valorile existente în eşantioanele respective. Cu intervale de încredere – atunci când avem la bază intervale construite, care acoperă valoarea parametrului estimat. Estimarea punctuală a mediei teoretice Pe baza valorile măsurate pe cele trei eşantioane putem calcula media aritmetică a fiecărui eşantion, precum şi media mediilor a setului de valori. a) Media aritmetică(eşantionară)

Facultatea de Inginerie Electrică

19

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

În EXCEL, media aritmetică este returnată de funcţia AVERAGE (Fig.3.1.).

Figura 3.1. Funcţia AVERAGE

b) Media mediilor (media generală)

Media mediilor poate fi considerată ca fiind egală cu media adevărată a populaţiei. Estimarea punctuală a dispersiei teoretice Pe baza valorilor existente în cele trei eşantioane, putem calcula de asemenea, dispersiile celor trei eşantioane, dispersia echivalentă respectiv dispersia generală a întregului set de valori. a) Dispersia eşantionară

În EXCEL, există funcţia DEVSQ, care returnează suma pătratelor deviaţiilor punctelor faţă de media eşantionului respectiv(Fig.3.2.).

Facultatea de Inginerie Electrică

20

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 4.2.2.1. Funcţia STDEVP

b) Dispersia eşantionară corectată

c) Dispersia echivalentă corectată a eşantioanelor

unde

,

,

reprezintă numărul gradelor de libertate a fiecărui

eşantion. d) Dispersia generală Considerând întregul set de valori, de volum

, dispersia generală va fi:

Dispersia generală se poate considera ca fiind valoarea adevarată a dispersiei populaţiei. e) Dispersia generală corectată

3.3. Estimarea cu interval de încredere a indicatorilor teoretici Facultatea de Inginerie Electrică

21

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Din cele 3 eşantioane se va alege un eşantion, cu care se doreşte a se lucra în continuare. Se vor construi intervale de încredere atât pentru media teoretică cât şi pentru dispersia teoretică. Interval de încredere pentru media teoretică Populaţie cu dispersia necunoscută a) Interval de încredere cu risc bilateral simetric pentru media teoretică Se consideră un nivel de semnificaţie

.

Fiind populaţie cu dispersie necunoscută, se va folosi repartiţia Student (anexa 2). Din tabelul acestei repartiţii, se extrage valoarea cuantilei

, unde

reprezintă numărului gradelor de

libertate Matematic funcţia de repartiţie Student reprezintă raportul dintre eroarea măsurătorii şi suma erorilor măsurătorilor. Valorile calculate ale funcţiei de repartiţie se găsesc în anexa 2. Intervalul de încredere pentru media teoretică,

este dat de dubla inegalitate:

b) Interval de încredere cu risc bilateral asimetric pentru media teoretică Cazul αi< αs Pentru αi şi αs, adoptate arbitrar în contextul α= αi+ αs, din tabelul repatiţiei Student, se vor extrage cuantilele

respectiv

, cu ajutorul cărora poate fi determinat intervalul de încredere pentru

media teoretică.

Cazul αi> αs Din repartiţia Student se vor extrage cele două cuantile, corespunzătoare nivelelor se semnificaţie alese. Intervalul de încredere va fi dat de dubla inegalitate:

Facultatea de Inginerie Electrică

22

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Populaţie cu dispersie cunoscută Dacă în documentaţia tehnică, este specificată toleranţa caracteristicii respective, atunci populaţia va fi o populaţie cu dispersie cunoscută. Repartiţia folosită în cazul populaţiei cu dispersie cunoscută este repartiţia Laplace. Se vor considera în continuare acelaşi nivel de semnificaţie, . a) Interval de încredere cu risc bilateral simetric pentru media teoretică Considerând riscul bilateral

, din tabelul repartiţiei Laplace se va extrage cuantila

. Intervalul

de încredere pentru media teoretică va fi:

b) Interval de încredere cu risc bilateral asimetric pentru media teoretică Cazul αi< αs Cu valorile adoptate anterior pentru αi şi αs, în contextul α= αi+ αs, din tabelul repartiţiei Laplace se vor extrage cuantilele

, cu ajutorul cărora poate fi exprimat intervalul de încredere

, respectiv

pentru media teoretică, în acest caz.

Cazul αi> αs Extrăgând cuantilele

, respectiv

, din tabelul repartiţiei Laplace, în contextul αi > αs,

intervalul de încredere pentru media teoretică va fi:

c) Interval de încredere cu risc unilateral pentru media teoretică Riscul la limita superioară Considerând extrage cuantila

(riscul

, fiind cel adoptat anterior), din tabelul repartiţiei Laplace se va

. Ţinând cont şi de regula celor 3σ, pentru intervalul de încredere pentru media

teoretică, se vor obţine limitele: Facultatea de Inginerie Electrică

23

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Riscul la limita inferioară Considerând de această dată, Laplace se va extrage cuantila

(riscul , fiind cel adoptat anterior), din tabelul repartiţiei

. Intervalul de încredere pentru media teoretică, în acest caz va fi:

Interval de încredere pentru dispersia teoretică Pentru construirea intervalelor de încredere pentru dispersia teoretică, se va folosi repartiţia

.

a) Interval de încredere cu risc bilateral simetric Se adoptă nivelul de semnificaţie , respectiv

. Din tabelul repatiţiei

, se extrag cuantilele

, reprezintă numărul gradelor de libertate. Intervalul de încredere

unde

pentru media teoretică va fi :

b) Interval de încredere cu risc unilateral pentru dispersia teoretică Riscul la limita superioară (riscul , fiind cel considerat anterior). Din tabelul repatiţiei

Se va adopta valoarea se va extrage cuantila

,

. Intervalul de încredere cu risc unilateral la limita superioară pentru

dispersia teoretică, este definit prin inegalitatea:

Riscul la limita inferioară Se va adopta riscul

. Extrăgând din tabelul repatiţiei

cuantila

, se poate exprima

intervalul de încredere cu risc unilateral la limita inferioară pentru dispersia teoretică, astfel:

Facultatea de Inginerie Electrică

24

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

4. OBSERVAŢII 4.1. Se vor consemna toate valorile obţinute în fişa de calcul CF-3. 4.2. Se vor reprezenta grafic riscurile respective pentru fiecare caz investigat în fişa CF-3. 4.3. Se vor consemna comparaţiile şi interpretările diferitelor valori estimate ale aceluiaşi indicator. 5. ÎNTREBĂRI 1) Ce este populaţia statistică? 2) Ce este o ipoteză statistică? 3) De câte feluri pot fi estimaţiile? 4) Ce este intervalul de încredere? 5) Ce este nivelul de semnificaţie? 6) Ce repatiţie se foloseşte în cazul estimărilor privind populaţiile cu dispersii cunoscute? Dar în cazul populaţiilor cu dispersii necunoscute?

Facultatea de Inginerie Electrică

25

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LABORATORUL:Calitate şi fiabilitate NUMELE ŞI PRENUMELE....................................... Grupa........................................................................... Data efectuării lucrării................................................. Data predării.................................................................

FIŞA DE LABORATOR CF-3 ESTIMAREA STATISTICĂ A PARAMETRILOR UNUI ECHIPAMENT A. C.

B. Schiţa piesei, caracteristica X

Denumirea piesei analizate.......................... Caracteristica investigată.............................

1. Date experimentale Eşantionul 1 Eşantionul 2 Eşantionul 3

2. Estimaţii punctuale ale indicatorilor teoretici şi Eşantionul 1 2 3 Cumulat

Estimatori punctuali Dispersii şi abateri statistice

Media aritmetică

s=

3. Estimaţii cu intervale de încredere pentru media teroretică μ Eşantionul de referinţă j=... Populaţie cu dispersie necunoscută Nivel de semnificaţie

Populaţie cu dispersie cunoscută

Cazul = α= Cazul =

4. Estimaţii cu intervale de încredere pentru disperisia teoretică Eşantionul de referinţă j=... Nivel de semnificaţie α=

Interval de încredere

Concluzii:………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ………………………………………………………………….

Facultatea de Inginerie Electrică

26

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LUCRAREA CF -4

TESTE ASUPRA IPOTEZELOR STATISTICE 1. TEMATICA LUCRĂRII Aplicarea testelor asupra ipotezelor statistice referitoare la valorile indicatorilor unor carasteristici tehnice. 2. SCOPUL LUCRĂRII Fundamentarea raţională adoptării deciziilor de acceptare sau de respingere a unui lot în cazul incertitudinii referitoare la indicatorii specificaţi.

3. MODUL DE LUCRU 3.1. Achiziţionarea datelor Pentru a se efectua teste de ipoteză asupra indicatorilor statistici ai unei caracteristici, este necesar ca măsurătorile să se efectueze pe două eşantioane, extrase din două populaţii, cu aceleaşi aparate de măsură şi în condiţii identice(de către aceeaşi persoană). Se menţionează că în documentaţia tehnică este specificată valoarea medie

precum şi abaterea standard

.

3.2. Testul ipotezei simple Pentru testul ipotezei simple, se extrage dintr-o populaţie, un eşantion de volum

.

3.2.1. Testul de egalitate cu dispersia Teste statistice sunt metode matematice de verificare a ipotezelor statistice. Conform documentaţiei tehnice, populaţia din care se extrage eşantionul are abaterea standard

cunoscută. Se doreşte a se

verifica dacă valoarea specificată în documentaţie a abaterii standard este valoarea adevărată sau nu a acesteia. Prin urmare, ipoteza H0 presupune că valoarea dispersiei

, specificată de documentaţia tehnică a

piesei este cea adevărată, iar ipoteza H1 presupune că valoarea dispersiei

, specificată de documentaţia

tehnică nu este valoarea adevărată.

Facultatea de Inginerie Electrică

27

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Cu datele primului eşantion ales, de volum eşantionară

, se calculează media aritmetică

şi dispersia

, a acestuia.

Se admite nivelul de semnificaţie Din tabelul repartiţiei

, cu risc bilateral simetric .

(anexa 5), se extrag cuantilele

, respectiv

unde

,

reprezintă numărul gradelor de libertate. Intervalul de acceptare a ipotezei H0, va fi:

Dacă dubla inegalitate se verifică, atunci se acceptă ipoteza H0 şi se respinge ipoteza H1. În acest caz

diferă nesemnificativ de

.

3.2.2. Testul de egalitate cu media Conform documentaţiei tehnice, populaţia din care se extrage eşantionul are media

cunoscută şi

este o populaţie cu repatiţie normală. Se doreşte a se verifica dacă valoarea specificată în documentaţie a mediei este valoarea adevărată. Menţionăm că dispersia

poate fi cunoscută sau necunoscută.

Populaţie cu dispersie cunoscută Se va considera că dispersia are valoarea precizată anterior (în documentaţia tehnică) şi anume . Se va construi ipoteza H0, care presupune că valoarea mediei

specificată de documentaţia

tehnică a piesei este cea adevărată, respectiv ipoteza H1 care presupune că valoarea mediei

, specificată

de documentaţia tehnică nu este valoarea adevărată.

Cu un nivel de semnificaţie normale se va extrage cuantila

, cu risc bilateral simetric , din tabelul repartiţiei

Cu datele eşantionului 1, se calculează media aritmetică .

Facultatea de Inginerie Electrică

28

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 4.1. Funcţia AVERAGE

Intervalul de acceptare a ipotezei H0, este:

Dacă dubla inegalitate se verifică, atunci se acceptă ipoteza H0 şi se respinge ipoteza H1. În acest caz

diferă nesemnificativ de

.

Populaţie cu dispersie necunoscută Se testează ipoteza:

Se calculează media aritmetică

şi abaterea standard eşantionară

.

Abaterea standard

eşantionară se calculeză cu ajutorul funcţiei:

Figura 4.2. Funcţia STDEV

Riscul este cuantila

, cu specificaţie bilateral. Din tabelul repartiţiei Student, se va extrage

. Se va construi intervalul de acceptare a ipotezei H0.

Dacă se verifică relaţia, înseamnă că

diferă nesemnificativ de

, acceptându-se astfel ipoteza H0. În

caz contrar, cele două valori diferă semnificativ, acceptându-se astfel ipoteza H1. Facultatea de Inginerie Electrică

29

Calitatea produselor şi fiabilitate 3.3.

Îndrumar de laborator

Testul ipotezei duble

În acest caz ipoteza se referă la valorile cunoscute a două populaţii. Pe lângă eşantionul extras anterior, se mai extrage un eşantion (eşantionul 2 de volum n2=16) dintr-o altă populaţie.

3.3.1. Testul de egalitate a dispersiilor a două populaţii (Testul F) Compararea mediilor populaţiilor ia în considerare împrăştierea datelor populaţiilor. De aceea este necesar să se cunoască dacă dispersiile celor două populaţii pot fi considerate egale sau nu. Se consideră că cele două eşantioane provin de la două populaţii cu dispersiile

, şi respectiv

.

Se va testa ipoteza:

Cu alternativa:

Următorul pas este să se calculeze atât pentru eşantionul 1 cât şi pentru eşantionul 2, media( , ), respectiv dispersia eşantionară ( Raportul dispersiilor eşantionare

şi

, reprezintă statistica Fisher.

Din tabelul repartiţiei F(anexa 3 şi anexa 4), se extrage cuantila

unde

reprezintă numărul gradelor de libertate, iar nivelul de semnificaţie este

cu

specificaţie unilaterală. Dacă

se acceptă H0 şi se respinge H1. În acest caz

şi

diferă nesemnificativ,

populaţiile având aceeaşi dispersie. În EXCEL, testele ipotezei duble se realizează prin proceduri apelate prin dialogul Data - Data Analyses.

Figura 4.3. Dialogul Data- Data Analyses

Procedura apelată este F-Test Two- Sample for Variances. Facultatea de Inginerie Electrică

30

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 4.4. Procedura F-Test Two- Sample for Variances

Dialogul iniţiat de alegerea acestei opţiuni este prezentat în cele ce urmează.

Figura 4.5. Fereastra opţiunii F-Test Two- Sample for Variances

Input Variable 1 Range – Se vor preciza datele primului eşantion Variable 2 Range – Se vor preciza datele celui de al doilea eşantion Labels – Se va marca, dacă domeniile eşantioanelor conţin în prima celulă denumirea variabilei. Alpha – Reprezintă valoarea nivelului de semnificaţie ales. Se observă că valoarea implicită a acestuia este 0,05. Output Output Range – Se va preciza poziţia colţului din stânga sus a tabelului, care va fi afişat pe aceeaşi foaie de lucru. New Worksheet Ply – Se va bifa acestă opţiune atunci când se doreşte afişarea rezultatelor pe altă foaie de lucru. De asemenea, se poate specifica numele acestei foi de lucru. New Workbook – Se bifează acestă opţiune atunci când se doreşte afişarea rezultatelor într-un nou document format xlx. În figura următoare este prezentat un exemplu de aplicare a procedurii F-Test Two- Sample for Variances. Facultatea de Inginerie Electrică

31

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 4.6. Structura rezultatelor F-Test

Mean – Reprezintă mediile eşantioanelor Variance – Dispersiile eşantioanelor Observations – Volumele eşantioanelor df – Reprezintă gradele de libertate F- statistica testului F – reprezintă probabilitatea critică unilaterală, adică probabilitatea ca o variabilă f repartizată Fisher, să depăşească valoarea calculată. Ipoteza nulă a egalităţii dispersiilor poate fi respinsă dacă valoarea raportată este mai mică sau egală cu nivelul de semnificaţie ales. – reprezintă valoarea critică a testului. Dacă valoarea lui F este mai mare sau egală cu valoarea critică, se poate respinge ipoteza egalităţii dispersiilor(la pragul fixat). 3.3.2. Testul de egalitate a mediilor a două populaţii

Dispersii cunoscute Se consideră că cele două populaţii, din care au fost extrase eşantioanele 1 şi 2 au dispersii

şi

cunoscute (se adoptă valorile stabilite anterior). Se testează ipoteza iniţială:

Cu alternativa:

Se adoptă un nivel de semnificaţie Din tabelul repartiţiei normale se extrage cuantila

, cu risc bilateral simetric . .

Facultatea de Inginerie Electrică

32

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Se calculează următorul discriminant, după ce s-a calculat, în prealabil mediile celor două populaţii , respectiv

Dacă

.

, se acceptă H0 şi se respinge H1. Rezultă că cele două populaţii au aceeaşi valoare

medie. În EXCEL, procedura care serveşte pentru compararea mediilor a două populaţii cu dispersii cunoscute este z –Test Two Sample for Mean.

Figura 4.7. z – Test Two Sample for Mean

Input Variable 1 Range – Reprezintă datele primului eşantion Variable 2 Range – Se referă la datele eşantionului doi Hzpothesiyed Mean Difference – Reprezintă valoarea diferenţei mediilor. De exemplu, dacă se verifică ipoteza egalităţii mediilor atunci valoarea va fi zero. Variable 1 Variance(known) – Valoarea dispersiei populaţiei unu Variable 2 Variance(know) – Valoarea dispersiei populaţiei doi Labels – Se bifează dacă dacă domeniile eşantioanelor conţin în prima celulă denumirea variabilei. Alpha – Reprezintă valoarea nivelului de semnificaţie ales. Se observă că valoarea implicită a acestuia este 0,05.

Output Output Range – Se va preciza poziţia colţului din stânga sus a tabelului în care vor fi afişate rezultatele Facultatea de Inginerie Electrică

33

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

New Worksheet Ply – Se va bifa acestă opţiune atunci când se doreşte afişarea rezultatelor pe altă foaie de lucru. De asemenea, se specifică numele acestei foi de lucru. New Workbook – Se bifează acestă opţiune atunci când se doreşte afişarea rezultatelor într-un nou document format xlx. În figura următoare este prezentată structura tabelului în care sunt afişate rezultatele, în urma aplicării testului z – Test Two Sample for Mean.

Figura 4.8. Structura tabelului de rezultate a procedurii z – Test Two Sample for Mean

Primele patru mărimi care apar în table au fost explicate mai sus. z – Reprezintă valoarea calculată a statisticii testului P(Z<=z) one-tail – Reprezintă probabilitatea critică unilaterală, adică probabilitatea ca o variabilă repartizată normal, să depăşească valoarea calculată. Ipoteza egalităţii mediilor poate fi respinsă dacă valoarea raportată este mai mică decât nivelul de semnificaţie fixat. z Critical one-tail – Dacă valoarea z calculată este mai mare decât acestă valoare critică, atunci se respinge ipoteza egalităţii mediilor. P(Z<=z) two-tail – Reprezintă probabilitatea ca diferenţa dintre mediile populaţiilor să fie mai depărtată de zero decât diferenţa observată. Dacă acestă valoare este mai mică decât nivelul de semnificaţie fixat, atunci se poate respinge ipoteza egalităţii mediilor celor două populaţii. z Critical two-tail – Dacă valoarea z calculată este mai mare decât acestă valoare critică, atunci se respinge ipoteza egalităţii mediilor.

Dispersii necunoscute (Testul t) Acest test se mai numeşte şi Testul t, deoarece dispersiile fiind necunoscute se utilizează statistica t. Acest test poate fi întâlnit sub cele două forme: cu dispersii necunoscute dar egale sau cu dispersii necunoscute dar nu obligatoriu egale. Se aplică mai întâi testul F şi se consideră cazul respectiv (dispersii egale sau inegale). a) Dispersii necunoscute dar egale (

)

Facultatea de Inginerie Electrică

34

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Cu indicatorii calculaţi anterior se determină parametrul următor:

Unde:

Din tabelul repartiţiei Student se extrage cuantila Dacă

unde

, iar

.

atunci se acceptă H0 şi se respinge H1.

b) Dispersii necunoscute şi nu obligatoriu egale Se calculează termenul

Din tabelul repartiţiei Student se va extrage cuantila

, unde numărul de grade de libertate

echivalent este dat de relaţia:

Unde:

Pentru nivelul de semnificaţie se poate considera valoarea (

, cu risc bilateral simetric

). Din tabelul repartiţiei Student se extrage cuantila Dacă

.

se acceptă ipoteza H0 şi se respinge H1. Rezultă că valorile celor două eşantioane

diferă nesemnificativ.

Facultatea de Inginerie Electrică

35

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Testul t se poate efectua folosind instrumentele EXCEL, prin dialogul Data - Data Analyses. Sunt disponibile trei teste bazate pe distribuţia Student şi anume: testul t pentru eşantioane corelate, testul t pentru populaţii cu dispersii necunoscute egale şi testul t pentru populaţii cu dispersii necunoscute şi nu obligatoriu egale. Testul t pentru populaţii cu dispersii necunoscute şi egale Testul t pentru populaţii cu dispersii necunoscute şi egale se aplică atunci când dorim sa verificăm dacă mediile a două populaţii sunt egale sau nu, după ce s-a demostrat anterior că ipoteza egalităţii dispersiilor în testul F a fost acceptată.

Figura 4.9. t – Test: Two Sample Assuming Equal Variances

În urma aplicării procedurii t Test, rezultatele sunt afişate într-un tabel de forma:

Figura 4.10. Tabelul rezultatelor testului t Two Sample Assuming Equal Variances

Testul t pentru populaţii cu dispersii necunoscute şi nu obligatoriu egale Testul t pentru populaţii cu dispersii necunoscute şi nu obligatoriu egale, se aplică atunci când dorim sa testăm egalitatea mediilor a două populaţii, după ce s-a demostrat anterior că ipoteza egalităţii dispersiilor în testul F a fost respinsă. Facultatea de Inginerie Electrică

36

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Figura 4.3.2.5. t – Test: Two Sample Assuming Unequal Variances

În urma aplicării acestui test, tabelul cu rezultate arată astfel:

Figura 4.3.2.6. Tabelul rezultatelor testului t Two Sample Assuming Unequal Variances

4. OBSERVAŢII 4.1. Toate valorile calculate se vor trece în fişa CF-4. 4.2. Concluziile care reies în urma efectuării testelor vor fi trecute în fişa CF-4, la rubrica observaţii. 5. ÎNTREBĂRI 1) Ce reprezintă un test statistic? 2) Ce este o ipoteză statistică? 3) Care este utilitatea testelor de ipoteză? 4) Concluziile testelor se referă la eşantioanele respective sau la populaţii? 5) Care este principiul teoretic al testului F? Facultatea de Inginerie Electrică

37

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

6) Folosind instrumentele EXCEL, cum se poate efectua testul F? 7) Care este principiul teoretic al testului de egalitate a două medii? 8) Ce repartiţii se utilizează la testarea egalităţii a două medii? 9) Cu ajutorul căror funcţii se poate efectua testul de egalitate a mediilor a două populaţii, folosind instrumentele EXCEL?

Facultatea de Inginerie Electrică

38

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LABORATORUL:Calitate şi fiabilitate NUMELE ŞI PRENUMELE....................................... Anul, grupa.................................................................. Data efectuării lucrării................................................. Data predării.................................................................

FIŞA DE LABORATOR CF-4 TESTE ASUPRA IPOTEZELOR STATISTICE A. Denumirea piesei analizate.......................... B. Caracteristica investigată.............................

Date experimentale n1=16 Eşantionul X

C. Schiţa piesei, caracteristica X

n2=16

Eşantionul Y

Testul ipotezei simple Testul de egalitate cu dispersia

Se acceptă H0

Populaţie cu dispersie cunoscută Testul de egalitate cu media

DA NU Se acceptă H0 DA NU

Populaţie cu dispersie necunoscută

Se acceptă H0 DA NU

Testul ipotezei duble Testul de egalitate a dispersiilor a două populaţii Testul Fisher

Se acceptă H0 DA NU Se acceptă H0 a) Dispersii cunoscute

Testul de egalitate a mediilor a două populaţii

DA NU Se acceptă H0 b) Dispersii necunoscute (Testul t) dar egale c) Dispersii necunoscute (Testul t) şi nu obligatoriu egale

DA NU Se acceptă H0 DA NU

Concluzii:........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................

Facultatea de Inginerie Electrică

39

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LUCRAREA CF -5

FIABILITATEA PRODUSELOR 1. TEMATICA LUCRĂRII Analiza încercărilor de fiabilitate pentru un echipament electric. 2. SCOPUL LUCRĂRII Determinarea indicatorilor de fiabilitate ai unui echipament industrial.

3. MODUL DE LUCRU 3.1. Achiziţionarea datelor Aşa cum s-a mentionat şi în tematica lucrării, datele pentru acestă lucrare sunt obţinute din instalaţiile industriale de încercări de fiabilitate, ale echipamentelor electrice (contactoare, întrerupătoare, relee, etc) deoarece asemenea încercări necesită o durată mare de timp. Datele obţinute în urma încercărilor vor fi de fapt timpii de defectare ai produselor respective sau altfel spus duratele individuale de funcţionare până la prima defectare. Eşantionul cu care se lucrează este de volum n=20. Se va preciza unitatea de măsură, ore sau număr de cicluri, manevre, conectări. Datele eşantionului se vor ordona şi vor fi trecute în fişa CF-5. 3.2. Încercări de fiabilitate Încercările de fiabilitate pot fi cu eşantion epuizat, cenzurat sau trunchiat. a) Încercări cu eşantion epuizat - reprezintă încercări conduse până la căderea tuturor produselor. Durata cumulată a încercărilor cu eşantion epuizat va fi:

b) Încercări cu eşantion cenzurat – reprezintă încercările conduse până la apariţia unui număr de căderi, notat rc, dinainte stabilit. Prin urmare, toate produsele până la apariţia numărul numărului de căderi prestabilit sunt considerate defecte la momentele respective de timp, restul fiind considerate în stare de funcţionare. Durata cumulată a încercărilor cu eşantion cenzurat va fi egală cu:

Facultatea de Inginerie Electrică

40

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

c) Încercările cu eşantion trunchiat – reprezintă încercările conduse până la un moment t=tt dinainte stabilit, indiferent de numărul de căderi ce se produc. Astfel, pe durata tt se vor produce rt căderi. Restul produselor din eşantion rămân în stare de funcţionare. Durata cumulată a încercărilor cu eşantion trunchiat este:

3.3. Estimarea parametrilor fiabilităţii Când repartiţia căderilor este necunoscută, parametrii fiabilităţii pot fi estimaţi punctual sau cu interval de încredere. 3.3.1. Estimarea punctuală a parametrilor a) Încercări cu eşantion epuizat Valorile se vor grupa pe un număr m de intervale. Valoarea centrală a intervalului de ordin i se notează cu tci. Fiabilitatea la momentul tci este:

unde iar

reprezintă numărul de produse aflate în funcţionare la momentul tci reprezintă numărul total de produse

Rata defectărilor la tci este:

unde

şi reprezintă amplitudinea intervalului; reprezintă numărul de căderi în intervalul de ordin i; reprezintă numărul de căderi anterior intervalului de ordin i Valoarea punctuală a mediei timpului de bună funcţionare:

Abaterea standard de va calcula astfel:

Facultatea de Inginerie Electrică

41

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

b) Încercări cenzurate Valoarea punctuală a mediei timpului de bună funcţionare:

Valoarea punctuală a ratei defectărilor:

c) Încercări trunchiate Valoarea punctuală a mediei timpului de bună funcţionare:

Valoarea punctuală a ratei defectărilor:

3.3.2. Estimarea cu interval de încredere a parametrilor Se va considera nivelul de semnificaţie

cu specificaţia simetrică bilaterală

.

a) Încercări cenzurate Cu ajutorul cuantilelor extrase din repartiţia

(Anexa 4), se va obţine intervalul de încredere pentru

MTTF:

b) Încercări trunchiate Cu acelaşi nivel de semnificaţie considerat, cu specificatie simetrică bilaterală şi cu ajutorul cuantilelor extrase din repartiţia

, se va obţine intervalul de încredere pentru MTTF, în cazul

încercărilor trunchiate:

4. OBSERVAŢII 4.1. Se vor reprezenta grafic diagramele căderilor în fişa de lucru CF-5. Facultatea de Inginerie Electrică

42

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

4.2. Se vor reprezenta grafic funcţiile

şi

.

4.3. Se vor compara rezultatele obţinute în diferitele ipoteze adoptate şi se vor interpreta diferenţele. 4.4. Concluziile vor fi trecute în fişa CF-4, la rubrica observaţii. 5. ÎNTREBĂRI 1) Care este definiţia fiabilităţii? 2) Ce reprezintă rata defectărilor? 3) De câte tipuri sunt încercările de fiabilitate? 4) Cum se calculează durata cumulată a încercărilor în cele trei ipoteze: încercări cu eşantion epuizat, cenzurat şi trunchiat? 5) Care este formula de calcul la mediei timpului de bună funcţionare până la prima defectare, în cele trei cazuri?

Facultatea de Inginerie Electrică

43

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

LABORATORUL:Calitate şi fiabilitate NUMELE ŞI PRENUMELE....................................... Anul, grupa.................................................................. Data efectuării lucrării................................................. Data predării.................................................................

FIŞA DE LABORATOR CF-5 FIABILITATEA PRODUSELOR Produsul încercat :............................................................................................................................................................................. Parametrii încercărilor : n0 = ..................rc=.....................tt=............................................................................................................ Unitatea de măsură pentru t: ............................................................................................................................................................. Date eşantionare ordonate

Diagramele căderilor

Eşantion epuizat Se=.................. MTTF =..........

Eşantion cenzurat r c =........... tc =......... Sc =......................... MTTF =................. Metoda neparametrică (încercări cu eşantion epuizat) Intervale de grupare

Valoarea centrală tci

Numărul de căderi in intervalul de ordin i,

Eşantion trunchiat r t =........... tt =......... St =........................ MTTF =................

Numărul cumulat de defectări Numărul produselor care funcţionează

Fiabilitatea

Funcţia de defectare F =1-R

Intervale de încredere pentru MTTF, α = 20 % Eşantion cenzurat:.............................< MTTF < ………………. Eşantion trunchiat:............................< MTTF < ……………….

Observaţii:................................................................ .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. ................................................................................. Facultatea de Inginerie Electrică

44

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Repartiţia Laplace

Anexa 1

În acest tabel sunt calculate probabilităţile ca o statistică să fie mai mică decât z. Z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.5000

0.5040

0.5080

0.5120

0.5160

0.5199

0.5239

0.5279

0.5319

0.5359

0.1

0.5398

0.5438

0.5478

0.5517

0.5557

0.5596

0.5636

0.5675

0.5714

0.5753

0.2

0.5793

0.5832

0.5871

0.5910

0.5948

0.5987

0.6026

0.6064

0.6103

0.6141

0.3

0.6179

0.6217

0.6255

0.6293

0.6331

0.6368

0.6406

0.6443

0.6480

0.6517

0.4

0.6554

0.6591

0.6628

0.6664

0.6700

0.6736

0.6772

0.6808

0.6844

0.6879

0.5

0.6915

0.6950

0.6985

0.7019

0.7054

0.7088

0.7123

0.7157

0.7190

0.7224

0.6

0.7257

0.7291

0.7324

0.7357

0.7389

0.7422

0.7454

0.7486

0.7517

0.7549

0.7

0.7580

0.7611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7764

0.7794

0.7823

0.7852

0.8

0.7881

0.7910

0.7939

0.7967

0.7995

0.8023

0.8051

0.8078

0.8106

0.8133

0.9

0.8159

0.8186

0.8212

0.8238

0.8264

0.8289

0.8315

0.8340

0.8365

0.8389

1.0

0.8413

0.8438

0.8461

0.8485

0.8508

0.8531

0.8554

0.8577

0.8599

0.8621

1.1

0.8643

0.8665

0.8686

0.8708

0.8729

0.8749

0.8770

0.8790

0.8810

0.8830

1.2

0.8849

0.8869

0.8888

0.8907

0.8925

0.8944

0.8962

0.8980

0.8997

0.9015

1.3

0.9032

0.9049

0.9066

0.9082

0.9099

0.9115

0.9131

0.9147

0.9162

0.9177

1.4

0.9192

0.9207

0.9222

0.9236

0.9251

0.9265

0.9279

0.9292

0.9306

0.9319

1.5

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9382

0.9394

0.9406

0.9418

0.9429

0.9441

1.6

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9495

0.9505

0.9515

0.9525

0.9535

0.9545

1.7

0.9554

0.9564

0.9573

0.9582

0.9591

0.9599

0.9608

0.9616

0.9625

0.9633

1.8

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9686

0.9693

0.9699

0.9706

1.9

0.9713

0.9719

0.9726

0.9732

0.9738

0.9744

0.9750

0.9756

0.9761

0.9767

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

2.2

0.9861

0.9864

0.9868

0.9871

0.9875

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9890

2.3

0.9893

0.9896

0.9898

0.9901

0.9904

0.9906

0.9909

0.9911

0.9913

0.9916

2.4

0.9918

0.9920

0.9922

0.9925

0.9927

0.9929

0.9931

0.9932

0.9934

0.9936

2.5

0.9938

0.9940

0.9941

0.9943

0.9945

0.9946

0.9948

0.9949

0.9951

0.9952

2.6

0.9953

0.9955

0.9956

0.9957

0.9959

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9964

2.7

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9974

2.8

0.9974

0.9975

0.9976

0.9977

0.9977

0.9978

0.9979

0.9979

0.9980

0.9981

2.9

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9985

0.9985

0.9986

0.9986

3.0

0.9987

0.9987

0.9987

0.9988

0.9988

0.9989

0.9989

0.9989

0.9990

0.9990

3.1

0.9990

0.9991

0.9991

0.9991

0.9992

0.9992

0.9992

0.9992

0.9993

0.9993

3.2

0.9993

0.9993

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9995

0.9995

0.9995

3.3

0.9995

0.9995

0.9995

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9997

3.4

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9998

Facultatea de Inginerie Electrică

45

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Repartiţia Student

Anexa 2

Nivel de semnificaţie cu risc bilateral simetric α

50%

40%

30%

20%

10%

5%

2%

1%

0,5%

0,2%

0,1%

1

1.000

1.376

1.963

3.078

6.314

12.71

31.82

63.66

127.3

318.3

636.6

2

0.816

1.061

1.386

1.886

2.920

4.303

6.965

9.925

14.09

22.33

31.60

3

0.765

0.978

1.250

1.638

2.353

3.182

4.541

5.841

7.453

10.21

12.92

4

0.741

0.941

1.190

1.533

2.132

2.776

3.747

4.604

5.598

7.173

8.610

5

0.727

0.920

1.156

1.476

2.015

2.571

3.365

4.032

4.773

5.893

6.869

6

0.718

0.906

1.134

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

4.317

5.208

5.959

7

0.711

0.896

1.119

1.415

1.895

2.365

2.998

3.499

4.029

4.785

5.408

8

0.706

0.889

1.108

1.397

1.860

2.306

2.896

3.355

3.833

4.501

5.041

9

0.703

0.883

1.100

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

3.690

4.297

4.781

10

0.700

0.879

1.093

1.372

1.812

2.228

2.764

3.169

3.581

4.144

4.587

11

0.697

0.876

1.088

1.363

1.796

2.201

2.718

3.106

3.497

4.025

4.437

12

0.695

0.873

1.083

1.356

1.782

2.179

2.681

3.055

3.428

3.930

4.318

13

0.694

0.870

1.079

1.350

1.771

2.160

2.650

3.012

3.372

3.852

4.221

14

0.692

0.868

1.076

1.345

1.761

2.145

2.624

2.977

3.326

3.787

4.140

15

0.691

0.866

1.074

1.341

1.753

2.131

2.602

2.947

3.286

3.733

4.073

16

0.690

0.865

1.071

1.337

1.746

2.120

2.583

2.921

3.252

3.686

4.015

17

0.689

0.863

1.069

1.333

1.740

2.110

2.567

2.898

3.222

3.646

3.965

18

0.688

0.862

1.067

1.330

1.734

2.101

2.552

2.878

3.197

3.610

3.922

19

0.688

0.861

1.066

1.328

1.729

2.093

2.539

2.861

3.174

3.579

3.883

20

0.687

0.860

1.064

1.325

1.725

2.086

2.528

2.845

3.153

3.552

3.850

21

0.686

0.859

1.063

1.323

1.721

2.080

2.518

2.831

3.135

3.527

3.819

22

0.686

0.858

1.061

1.321

1.717

2.074

2.508

2.819

3.119

3.505

3.792

23

0.685

0.858

1.060

1.319

1.714

2.069

2.500

2.807

3.104

3.485

3.767

24

0.685

0.857

1.059

1.318

1.711

2.064

2.492

2.797

3.091

3.467

3.745

25

0.684

0.856

1.058

1.316

1.708

2.060

2.485

2.787

3.078

3.450

3.725

26

0.684

0.856

1.058

1.315

1.706

2.056

2.479

2.779

3.067

3.435

3.707

27

0.684

0.855

1.057

1.314

1.703

2.052

2.473

2.771

3.057

3.421

3.690

28

0.683

0.855

1.056

1.313

1.701

2.048

2.467

2.763

3.047

3.408

3.674

29

0.683

0.854

1.055

1.311

1.699

2.045

2.462

2.756

3.038

3.396

3.659

30

0.683

0.854

1.055

1.310

1.697

2.042

2.457

2.750

3.030

3.385

3.646

40

0.681

0.851

1.050

1.303

1.684

2.021

2.423

2.704

2.971

3.307

3.551

50

0.679

0.849

1.047

1.299

1.676

2.009

2.403

2.678

2.937

3.261

3.496

60

0.679

0.848

1.045

1.296

1.671

2.000

2.390

2.660

2.915

3.232

3.460

80

0.678

0.846

1.043

1.292

1.664

1.990

2.374

2.639

2.887

3.195

3.416

100

0.677

0.845

1.042

1.290

1.660

1.984

2.364

2.626

2.871

3.174

3.390

120

0.677

0.845

1.041

1.289

1.658

1.980

2.358

2.617

2.860

3.160

3.373

0.674

0.842

1.036

1.282

1.645

1.960

2.326

2.576

2.807

3.090

3.291

25%

20%

15%

10%

5%

2,5%

1%

0,5%

0,25%

0,1%

0,05%

t

α t

Nivel de semnificaţie cu risc unilateral

Facultatea de Inginerie Electrică

46

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Repartiţia F

Anexa

3

Cu probabilitatea 0,1 de a fi depăşită

Numărul de grade de libertate al numitorului (

)

Numărul de grade de libertate al numărătorului (

) ∞

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

1

39.8634

49.5000

53.5932

55.8329

57.2400

58.2044

58.9059

59.4389

59.8575

60.1949

60.7052

61.2203

61.7402

62.0020

62.2649

62.5290

62.7942

63.0606

63.3281

2

8.52632

9.00000

9.16179

9.24342

9.29263

9.32553

9.34908

9.36677

9.38054

9.39157

9.40813

9.42471

9.44131

9.44962

9.45793

9.46624

9.47456

9.4828

9.49122

3

5.53832

5.46238

5.39077

5.34264

5.30916

5.28473

5.26619

5.25167

5.24000

5.23041

5.21562

5.20031

5.18448

5.17636

5.16811

5.15972

5.15119

5.14251

5.13370

4

4.54477

4.32456

4.19086

4.10725

4.05058

4.00975

3.97897

3.95494

3.93567

3.91988

3.89553

3.87036

3.84434

3.83099

3.81742

3.80361

3.78957

3.77527

3.76073

5

4.06042

3.77972

3.61948

3.52020

3.45298

3.40451

3.36790

3.33928

3.31628

3.29740

3.26824

3.23801

3.20665

3.19052

3.17408

3.15732

3.14023

3.12279

3.10500

6

3.77595

3.46330

3.28876

3.18076

3.10751

3.05455

3.01446

2.98304

2.95774

2.93693

2.90472

2.87122

2.83634

2.81834

2.79996

2.78117

2.76195

2.74229

2.72216

7

3.58943

3.25744

3.07407

2.96053

2.88334

2.82739

2.78493

2.75158

2.72468

2.70251

2.66811

2.63223

2.59473

2.57533

2.55546

2.53510

2.51422

2.49279

2.47079

8

3.45792

3.11312

2.92380

2.80643

2.72645

2.66833

2.62413

2.58935

2.56124

2.53804

2.50196

2.46422

2.42464

2.40410

2.38302

2.36136

2.33910

2.31618

2.29257

9

3.36030

3.00645

2.81286

2.69268

2.61061

2.55086

2.50531

2.46941

2.44034

2.41632

2.37888

2.33962

2.29832

2.27683

2.25472

2.23196

2.20849

2.18427

2.15923

10

3.28502

2.92447

2.72767

2.60534

2.52164

2.46058

2.41397

2.37715

2.34731

2.32260

2.28405

2.24351

2.20074

2.17843

2.15543

2.13169

2.10716

2.08176

2.05542

11

3.22520

2.85951

2.66023

2.53619

2.45118

2.38907

2.34157

2.30400

2.27350

2.24823

2.20873

2.16709

2.12305

2.10001

2.07621

2.05161

2.02612

1.99965

1.97211

12

3.17655

2.80680

2.60552

2.48010

2.39402

2.33102

2.28278

2.24457

2.21352

2.18776

2.14744

2.10485

2.05968

2.03599

2.01149

1.98610

1.95973

1.93228

1.90361

13

3.13621

2.76317

2.56027

2.43371

2.34672

2.28298

2.23410

2.19535

2.16382

2.13763

2.09659

2.05316

2.00698

1.98272

1.95757

1.93147

1.90429

1.87591

1.84620

14

3.10221

2.72647

2.52222

2.39469

2.30694

2.24256

2.19313

2.15390

2.12195

2.09540

2.05371

2.00953

1.96245

1.93766

1.91193

1.88516

1.85723

1.82800

1.79728

15

3.07319

2.69517

2.48979

2.36143

2.27302

2.20808

2.15818

2.11853

2.08621

2.05932

2.01707

1.97222

1.92431

1.89904

1.87277

1.84539

1.81676

1.78672

1.75505

16

3.04811

2.66817

2.46181

2.33274

2.24376

2.17833

2.12800

2.08798

2.05533

2.02815

1.98539

1.93992

1.89127

1.86556

1.83879

1.81084

1.78156

1.75075

1.71817

17

3.02623

2.64464

2.43743

2.30775

2.21825

2.15239

2.10169

2.06134

2.02839

2.00094

1.95772

1.91169

1.86236

1.83624

1.80901

1.78053

1.75063

1.71909

1.68564

18

3.00698

2.62395

2.41601

2.28577

2.19583

2.12958

2.07854

2.03789

2.00467

1.97698

1.93334

1.88681

1.83685

1.81035

1.78269

1.75371

1.72322

1.69099

1.65671

19

2.98990

2.60561

2.39702

2.26630

2.17596

2.10936

2.05802

2.01710

1.98364

1.95573

1.91170

1.86471

1.81416

1.78731

1.75924

1.72979

1.69876

1.66587

1.63077

Facultatea de Inginerie Electrică

47

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

20

2.97465

2.58925

2.38009

2.24893

2.15823

2.09132

2.03970

1.99853

1.96485

1.93674

1.89236

1.84494

1.79384

1.76667

1.73822

1.70833

1.67678

1.64326

1.60738

21

2.96096

2.57457

2.36489

2.23334

2.14231

2.07512

2.02325

1.98186

1.94797

1.91967

1.8749

1.8271

1.77555

1.74807

1.7192

1.68896

1.65691

1.62278

1.58615

22

2.94858

2.56131

2.35117

2.21927

2.12794

2.06050

2.00840

1.96680

1.93273

1.90425

1.8592

1.8110

1.75899

1.73122

1.7020

1.67138

1.63885

1.60415

1.56678

23

2.93736

2.54929

2.33873

2.20651

2.11491

2.04723

1.99492

1.95312

1.91888

1.89025

1.8449

1.7964

1.74392

1.71588

1.6864

1.65535

1.62237

1.58711

1.54903

24

2.92712

2.53833

2.32739

2.19488

2.10303

2.03513

1.98263

1.94066

1.90625

1.87748

1.8319

1.7830

1.73015

1.70185

1.6721

1.64067

1.60726

1.57146

1.53270

25

2.91774

2.52831

2.31702

2.18424

2.09216

2.02406

1.97138

1.92925

1.89469

1.86578

1.8200

1.7708

1.71752

1.68898

1.6589

1.62718

1.59335

1.55703

1.51760

26

2.90913

2.51910

2.30749

2.17447

2.08218

2.01389

1.96104

1.91876

1.88407

1.85503

1.8090

1.7595

1.70589

1.67712

1.6468

1.61472

1.58050

1.54368

1.50360

27

2.90119

2.51061

2.29871

2.16546

2.07298

2.00452

1.95151

1.90909

1.87427

1.84511

1.7988

1.7491

1.69514

1.66616

1.6356

1.60320

1.56859

1.53129

1.49057

28

2.89385

2.50276

2.29060

2.15714

2.06447

1.99585

1.94270

1.90014

1.86520

1.83593

1.7895

1.7395

1.68519

1.65600

1.6251

1.59250

1.55753

1.51976

1.47841

29

2.88703

2.49548

2.28307

2.14941

2.05658

1.98781

1.93452

1.89184

1.85679

1.82741

1.7808

1.7306

1.67593

1.64655

1.6155

1.58253

1.54721

1.50899

1.46704

30

2.88069

2.48872

2.27607

2.14223

2.04925

1.98033

1.92692

1.88412

1.84896

1.81949

1.7727

1.7222

1.66731

1.63774

1.6064

1.57323

1.53757

1.49891

1.45636

40

2.83535

2.44037

2.22609

2.09095

1.99682

1.92688

1.87252

1.82886

1.79290

1.76269

1.71456

1.66241

1.60515

1.57411

1.54108

1.50562

1.46716

1.42476

1.37691

60

2.79107

2.39325

2.17741

2.04099

1.94571

1.87472

1.81939

1.77483

1.73802

1.70701

1.65743

1.60337

1.54349

1.51072

1.47554

1.43734

1.39520

1.34757

1.29146

120

2.74781

2.34734

2.12999

1.99230

1.89587

1.82381

1.76748

1.72196

1.68425

1.65238

1.60120

1.54500

1.48207

1.44723

1.40938

1.36760

1.32034

1.26457

1.19256

∞

2.70554

2.30259

2.08380

1.94486

1.84727

1.77411

1.71672

1.67020

1.63152

1.59872

1.54578

1.48714

1.42060

1.38318

1.34187

1.29513

1.23995

1.16860

1.00000

Facultatea de Inginerie Electrică

48

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Repartiţia F Anexa 4

Cu probabilitatea 0,05 de a fi depăşită Numărul de grade de libertate al numărătorului (

)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

∞

1

161.447

199.500

215.707

224.583

230.161

233.986

236.768

238.882

240.543

241.881

243.906

245.949

248.013

249.051

250.095

251.143

252.195

253.252

254.3144

2

18.5128

19.0000

19.1643

19.2468

19.2964

19.3295

19.3532

19.3710

19.3848

19.3959

19.4125

19.4291

19.4458

19.4541

19.4624

19.4707

19.4791

19.4874

19.4957

3

10.1280

9.5521

9.2766

9.1172

9.0135

8.9406

8.8867

8.8452

8.8123

8.7855

8.7446

8.7029

8.6602

8.6385

8.6166

8.5944

8.5720

8.5494

8.5264

4

7.7086

6.9443

6.5914

6.3882

6.2561

6.1631

6.0942

6.0410

5.9988

5.9644

5.9117

5.8578

5.8025

5.7744

5.7459

5.7170

5.6877

5.6581

5.6281

5

6.6079

5.7861

5.4095

5.1922

5.0503

4.9503

4.8759

4.8183

4.7725

4.7351

4.6777

4.6188

4.5581

4.5272

4.4957

4.4638

4.4314

4.3985

4.3650

6

5.9874

5.1433

4.7571

4.5337

4.3874

4.2839

4.2067

4.1468

4.0990

4.0600

3.9999

3.9381

3.8742

3.8415

3.8082

3.7743

3.7398

3.7047

3.6689

7

5.5914

4.7374

4.3468

4.1203

3.9715

3.8660

3.7870

3.7257

3.6767

3.6365

3.5747

3.5107

3.4445

3.4105

3.3758

3.3404

3.3043

3.2674

3.2298

8

5.3177

4.4590

4.0662

3.8379

3.6875

3.5806

3.5005

3.4381

3.3881

3.3472

3.2839

3.2184

3.1503

3.1152

3.0794

3.0428

3.0053

2.9669

2.9276

9

5.1174

4.2565

3.8625

3.6331

3.4817

3.3738

3.2927

3.2296

3.1789

3.1373

3.0729

3.0061

2.9365

2.9005

2.8637

2.8259

2.7872

2.7475

2.7067

10

4.9646

4.1028

3.7083

3.4780

3.3258

3.2172

3.1355

3.0717

3.0204

2.9782

2.9130

2.8450

2.7740

2.7372

2.6996

2.6609

2.6211

2.5801

2.5379

11

4.8443

3.9823

3.5874

3.3567

3.2039

3.0946

3.0123

2.9480

2.8962

2.8536

2.7876

2.7186

2.6464

2.6090

2.5705

2.5309

2.4901

2.4480

2.4045

12

4.7472

3.8853

3.4903

3.2592

3.1059

2.9961

2.9134

2.8486

2.7964

2.7534

2.6866

2.6169

2.5436

2.5055

2.4663

2.4259

2.3842

2.3410

2.2962

13

4.6672

3.8056

3.4105

3.1791

3.0254

2.9153

2.8321

2.7669

2.7144

2.6710

2.6037

2.5331

2.4589

2.4202

2.3803

2.3392

2.2966

2.2524

2.2064

14

4.6001

3.7389

3.3439

3.1122

2.9582

2.8477

2.7642

2.6987

2.6458

2.6022

2.5342

2.4630

2.3879

2.3487

2.3082

2.2664

2.2229

2.1778

2.1307

15

4.5431

3.6823

3.2874

3.0556

2.9013

2.7905

2.7066

2.6408

2.5876

2.5437

2.4753

2.4034

2.3275

2.2878

2.2468

2.2043

2.1601

2.1141

2.0658

16

4.4940

3.6337

3.2389

3.0069

2.8524

2.7413

2.6572

2.5911

2.5377

2.4935

2.4247

2.3522

2.2756

2.2354

2.1938

2.1507

2.1058

2.0589

2.0096

17

4.4513

3.5915

3.1968

2.9647

2.8100

2.6987

2.6143

2.5480

2.4943

2.4499

2.3807

2.3077

2.2304

2.1898

2.1477

2.1040

2.0584

2.0107

1.9604

18

4.4139

3.5546

3.1599

2.9277

2.7729

2.6613

2.5767

2.5102

2.4563

2.4117

2.3421

2.2686

2.1906

2.1497

2.1071

2.0629

2.0166

1.9681

1.9168

19

4.3807

3.5219

3.1274

2.8951

2.7401

2.6283

2.5435

2.4768

2.4227

2.3779

2.3080

2.2341

2.1555

2.1141

2.0712

2.0264

1.9795

1.9302

1.8780

Numărul de grade de libertate al numitorului (

)

1

Facultatea de Inginerie Electrică

49

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

20

4.3512

3.4928

3.0984

2.8661

2.7109

2.5990

2.5140

2.4471

2.3928

2.3479

2.2776

2.2033

2.1242

2.0825

2.0391

1.9938

1.9464

1.8963

1.8432

21

4.3248

3.4668

3.0725

2.8401

2.6848

2.5727

2.4876

2.4205

2.3660

2.3210

2.2504

2.1757

2.0960

2.0540

2.0102

1.9645

1.9165

1.8657

1.8117

22

4.3009

3.4434

3.0491

2.8167

2.6613

2.5491

2.4638

2.3965

2.3419

2.2967

2.2258

2.1508

2.0707

2.0283

1.9842

1.9380

1.8894

1.8380

1.7831

23

4.2793

3.4221

3.0280

2.7955

2.6400

2.5277

2.4422

2.3748

2.3201

2.2747

2.2036

2.1282

2.0476

2.0050

1.9605

1.9139

1.8648

1.8128

1.7570

24

4.2597

3.4028

3.0088

2.7763

2.6207

2.5082

2.4226

2.3551

2.3002

2.2547

2.1834

2.1077

2.0267

1.9838

1.9390

1.8920

1.8424

1.7896

1.7330

25

4.2417

3.3852

2.9912

2.7587

2.6030

2.4904

2.4047

2.3371

2.2821

2.2365

2.1649

2.0889

2.0075

1.9643

1.9192

1.8718

1.8217

1.7684

1.7110

26

4.2252

3.3690

2.9752

2.7426

2.5868

2.4741

2.3883

2.3205

2.2655

2.2197

2.1479

2.0716

1.9898

1.9464

1.9010

1.8533

1.8027

1.7488

1.6906

27

4.2100

3.3541

2.9604

2.7278

2.5719

2.4591

2.3732

2.3053

2.2501

2.2043

2.1323

2.0558

1.9736

1.9299

1.8842

1.8361

1.7851

1.7306

1.6717

28

4.1960

3.3404

2.9467

2.7141

2.5581

2.4453

2.3593

2.2913

2.2360

2.1900

2.1179

2.0411

1.9586

1.9147

1.8687

1.8203

1.7689

1.7138

1.6541

29

4.1830

3.3277

2.9340

2.7014

2.5454

2.4324

2.3463

2.2783

2.2229

2.1768

2.1045

2.0275

1.9446

1.9005

1.8543

1.8055

1.7537

1.6981

1.6376

30

4.1709

3.3158

2.9223

2.6896

2.5336

2.4205

2.3343

2.2662

2.2107

2.1646

2.0921

2.0148

1.9317

1.8874

1.8409

1.7918

1.7396

1.6835

1.6223

40

4.0847

3.2317

2.8387

2.6060

2.4495

2.3359

2.2490

2.1802

2.1240

2.0772

2.0035

1.9245

1.8389

1.7929

1.7444

1.6928

1.6373

1.5766

1.5089

60

4.0012

3.1504

2.7581

2.5252

2.3683

2.2541

2.1665

2.0970

2.0401

1.9926

1.9174

1.8364

1.7480

1.7001

1.6491

1.5943

1.5343

1.4673

1.3893

120

3.9201

3.0718

2.6802

2.4472

2.2899

2.1750

2.0868

2.0164

1.9588

1.9105

1.8337

1.7505

1.6587

1.6084

1.5543

1.4952

1.4290

1.3519

1.2539

∞

3.8415

2.9957

2.6049

2.3719

2.2141

2.0986

2.0096

1.9384

1.8799

1.8307

1.7522

1.6664

1.5705

1.5173

1.4591

1.3940

1.3180

1.2214

1.0000

Facultatea de Inginerie Electrică

50

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Repartiţia

(HI-pătrat)

Facultatea de Inginerie Electrică

Anexa 5

51

Calitatea produselor şi fiabilitate

Îndrumar de laborator

Facultatea de Inginerie Electrică

52