Indices De Tasa
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Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
Índices de tasa de cambio real en Colombia. Montealegre, Jennyffer.
[email protected] FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
Resumen- Este informe tiene como fin solucionar un problema de la vida real utilizando métodos numéricos, en este caso utilizando indicadores del ICTR de los últimos 12 meses para prever el resultado de los 6 meses después o del dato que necesitemos en el futuro, utilizando regresión polinomica que es un método de análisis de los datos de la realidad económica que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables.
I.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El Índice de tasa de cambio real (ICTR) es el índice que busca medir la evolución del precio relativo de los bienes domésticos contra los bienes extranjeros, ambos expresados en una moneda común. En Colombia, el ITCR es calculado por el Banco de la República como un promedio geométrico ponderado de los 20 ITCR bilaterales que lo conforman. Las ponderaciones dependen de la participación del país respectivo en el comercio global sin café, petróleo, carbón, ferroníquel, esmeraldas y oro. Se utiliza el IPM (Índice de Precios al Por Mayor) como deflactor y 1994 como año base. 1+devtColombia 1+pjt ITCRjt=ITCRjt-1* * 1+devjt 1+ptColombia
ITCRt =?20j=1 (ITCRjt)wj ; Donde, p: inflación; dev: devaluación con respecto al dólar del país j; Wi: ponderación asociada a cada país. [1] El problema del ITCR es la marcada estacionalidad que presentan los indicadores de precios y de tipos de cambio nominales en un mes determinado. La estacionalidad se corrige cuando se utiliza el promedio de un año como base del ITCR. Independiente del período base que tiene el ITCR, la variación entre dos fechas de este índice refleja la tendencia de apreciación o depreciación de la Tasa de cambio real (TCR). El tener una TCR en equilibrio no siempre implica una cuenta corriente igual a cero, sino aquella compatible con un flujo de capital sostenible en el largo plazo. Por este motivo, aun si en un año se logra el equilibrio en la TCR, en dicho período puede existir un déficit o superávit temporal de la cuenta corriente. Por todo lo anterior, con un ITCR no se pretende medir de forma exacta el grado de devaluación o revaluación de la moneda nacional requerido para alcanzar un nivel similar a la propuesta de la paridad de compra del período base, sino más bien, tener un indicador que estime la tendencia de apreciación o depreciación real en el tiempo. Así, la base de ITCR debe entenderse como un período de comparación y no de equilibrio de la TCR [2] 1.
Por ejemplo, el Fondo Monetario Internacional publica los ITCR de los diferentes países con período base 1995 = 100. Ello no implica que en dicho año la TCR observada coincida con su equilibrio en todos los países.
1
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
II. JUSTIFICACIÓN DEL MÉTODO DE RESOLUCIÓN
El objetivo del trabajo es encontrar un modelo de regresión que explique el comportamiento del ITCR en los últimos 12 meses en función de unas variables regresoras. En primer lugar, se realiza un análisis descriptivo y gráfico de las observaciones muestrales, después se ajusta un modelo de regresión lineal, se halla el coeficiente de determinación que nos da un R² = 0,7777, luego se verifican los problemas que se presentan en el ajuste y se observa que no se consigue linealidad en la nube de puntos, En dicho caso, se recurre a modelos de regresión polinomica que son un caso particular, ya que se obtiene el que proporciona el mejor ajuste. [3]
Gráfica 1 Algunos fenómenos resultan ser mejor representados por un polinomio y aunque a veces puede no ser particularmente "natural", es decir, aquella que expresa una relación de causa y efecto entre las variables; sin embargo, es tan flexible y tan fácilmente manejable en forma matemática, que resulta de gran utilidad.
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
El problema consiste en encontrar los coeficientes de los términos en las ecuaciones, que darán un polinomio que cumplirá el requisito de que la suma de cuadrados sea mínima. Para esto se hará uso de las "ecuaciones normales". Se necesitara tantas ecuaciones como coeficientes haya, o una mas que el grado de la ecuación que se quiera ajustar. [4]
III. INSUMOS PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Supongamos que se conocen los datos (xo, yo),(x1, y1),&..(xn, yn) con x0, x1, &.., xn números reales distintos, y se desea encontrar un polinomio Pm(x) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + &.. + a m x m, con m
n
n
(
S(a 0 , a 1 ,....., a m ) = ∑ (p m (x k ) − y k ) = ∑ a 0 + a 1 x k + a 2 x +,....., a m x − y k k =0
2 k
m k
2
)
k =0
sea mínima. P1) El grado m del polinomio pm(x) se puede escoger previamente con base en algún resultado teórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al polinomio. En cualquier caso estamos “libres” de elegir el grado que parezca mejor. En muchos casos el grado será uno y el polinomio obtenido se llamará la recta que mejor se ajusta o la recta de mínimos cuadrados para la tabla de datos. P2) Volviendo a la función S(a0, a1, ….., am), una condición necesaria para la existencia de un mínimo relativo de esta función es que las derivadas parciales de S(a0, a1, ….., am) con respecto a aj, j = 0, 1, 2, …,m sean cero. Resultan entonces las siguientes m+1 ecuaciones lineales en las incógnitas a0, a1, ….., am : n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k = 0 ∂a 0 k =0
(
)
n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k (x k ) = 0 ∂a 1 k =0
(
)
n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x 2k = 0 ∂a 2 k =0
(
)( )
.......... n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x kj = 0 ∂a j k =0
(
)( )
............ n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x mk = 0 ∂a m k =0
(
)( )
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
P3) Si en las ecuaciones anteriores cancelamos el 2, desarrollamos los paréntesis y usamos que n
∑a
0
= (n + 1)a 0
k =0
, obtenemos:
n n n (n + 1)a 0 + ∑ x k a 1 + ∑ x 2k a 2 + ..... + ∑ x mk a m k =0 k =0 k =0 n n n n m +1 2 3 x a + x a + x a + ..... + ∑ x k a m ∑ ∑ k 1 k 2 ∑ k 0 k =0 k =0 k =0 k =0 n n n n x 2 a + x 3 a + x 4 a + ..... + x m + 2 a ∑ k 1 ∑ ∑ k m k 0 k 2 ∑ k =0 k =0 k =0 k =0 . . n n n n x j a + x 1+ j a + x 2+ j a + ..... + x m + j a ∑ ∑ ∑ k 0 k 1 k 2 k m ∑ k =0 k =0 k =0 k =0 n n 1+ m n 2+ m n m+m m x a + x a + x a + ..... + ∑ x k a m ∑ k 1 ∑ k 2 ∑ k 0 k =0 k =0 k =0 k =0
= = =
n ∑ yk k =0 n ∑ x k yk k =0 n 2 ∑ x k yk k =0
...
...
=
n j ∑ x k yk k =0
::: n = ∑ x mk y k k =0 Ec 2
P4) Este es un SEL de m+1 ecuaciones lineales en las m+1 incógnitas a0, a1, ….., am, que se llama Sistema de Ecuaciones Normales. Este sistema de ecuaciones normales se puede escribir en forma simplificada como sigue: m
n
n
i =0
k =0
k =0
∑ a i ∑ x ik+ j = ∑ x kj y k
con j = 0,1,....,.m
P5) Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de: p m (x k ) = a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k +,....., a m x mk = y k j P6) Multiplicando a ambos lados por x k , j = 0, 1, …, m, a 0 x kj + a 1 x k x kj + a 2 x 2k x kj +,....., a m x mk x kj = y k x kj ⇒
a 0 x kj + a 1 x 1k+ j + a 2 x 2k+ j +,....., a m x mk + j = x kj y k
P7) Sumando sobre k n
n
n
m
m
k =0
k =0
k =0
k =0
k =0
a 0 ∑ x kj + a 1 ∑ x 1k+ j + a 2 ∑ x 2k+ j + ..... + a m ∑ x mk + j = ∑ x kj y k
[5]
con j = 0,1,2,....., m
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
IV. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
El problema que quiero solucionar se relaciona con la predicción de la variación que presentan los indicadores de precios y de tipos de cambio nominales en un mes determinado. Para dicho problema usé Regresión polinomica; el primer paso sería graficar los datos estadísticos correspondientes que estarían contemplados en la tabla 1 [6], donde se puede ver, según el mes el ITCR indicado. La gráfica 2 ilustra la grafica de dispersión de los datos hasta abril de 2009. Con esta grafica podemos determinar que la nube de datos tiene una tendencia ascendente y hay poca dispersión entre los mismos. FECHA Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 2009 (p) Enero Febrero Marzo Abril
Tabla 1
GRAFICA. 2
ITCR NO TRADICIONAL (NT) (1) ITCRIPP(NT) (3)
117,26 112,47 112,78 111,06 110,93 106,57 112,07 114,1 123,88 128,22 126,75 122,65 124,29 134,51 132,07 129,2
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
Verificando los respectivos datos se proceden a hacer los cálculos matemáticos específicos que determinaran la curva de la regresión polinomica. En la tabla 2 se observa cada uno de los valores que toman X y Y correspondientes según su exponente.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 112,07 114,10 123,88 128,22 126,75 122,65 124,29 134,51 132,07 129,20
x² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
y² 12560,341 13018,647 15347,385 16440,283 16065,029 15044,004 15448,527 18093,125 17441,639 16691,839
P(x) = a₀ + a ₁x + a ₂x² + a ₃x³ x³ x⁴ x⁵ 1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000
x⁶ 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000
XY 112,072928 228,198568 371,653684 512,878668 633,739469 735,924013 870,044729 1076,08549 1188,60117 1291,969
X²y 112,07293 456,39714 1114,9611 2051,5147 3168,6973 4415,5441 6090,3131 8608,6839 10697,411 12919,69
x³y 112,07293 912,79427 3344,8832 8206,0587 15843,487 26493,264 42632,192 68869,471 96276,695 129196,9
Tabla 2 (donde X son los meses y Y es el ITCR correspondiente
Con estos datos debemos armar la matriz de coeficientes según las fórmulas requeridas para estas: (Ec 2) n 10
0
10 55 385 3025
1
2
3
55 385 3025 385 3025 25333 3025 25333 220825 25333 220825 1978405 MATRIZ DE COEFICIENTES
ΣYi Σxy ΣX²y
Σx³y
1247,74 7021,16772 49635,2848 391887,818
a0 = a1 = a2 = a3 =
103,62701 8,9296192 -1,133317 0,0517926
3,7666667 -2,6388889 0,5 -0,0277778 -2,6388889 2,116194 -0,4273504 0,0246374 0,5 -0,4273504 0,090035 -0,0053419 -0,0277778 0,0246374 -0,0053419 0,0003238 MATRIZ INVERSA
Ya con esta información tenemos la posibilidad de ir a la ecuación 1, reemplazar y obtener una curva, que es determinada por nuestros valores a0, a1, a2, a3. Luego de esto, y con base en esta función obtener la curva de regresión, tenemos la tabla 3 en la que damos valores de X y los evaluamos en nuestra función que nos dará el punto Y.
P ( x ) = 103, 627 + 8,929 x − 1,133x 2 + 0, 051x3
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia. Tabulación
meses -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ITCR 65,23990006 80,82016394 93,51228242 103,6270113 111,4751062 117,3673229 121,6144171 124,5271447 126,4162612 127,5925225 128,3666843 129,0495022 129,9517321 131,3841297 133,6574507 137,0824509 141,9698859
Tabla 3
A continuación tendríamos la gráfica 3, la obtenemos luego de graficar los valores de la tabla 3 e incluirlos sobre la Grafica 2 de dispersión para verificar el comportamiento sobre esta, también es necesario obtener el coeficiente de correlación r, que describe la intensidad de la relación entre dos conjuntos de variables de ni nivel de intervalo. Es la medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde menos uno hasta uno más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables. Mientras más cercano a cero sea el coeficiente de correlación indicará que más débil es la asociación entre ambas variables. Si es igual a cero se concluirá que no existe relación lineal alguna entre ambas variables.
En
nuestro
caso
el
cálculo
de
r
se
hace
mediante
2 3 n n n ∑ x∑ y ∑ x ∑ y ∑ x ∑ y SCR= a1 ∑ xy − k =1 k =1 + a2 ∑ x 2 y − k =1 k =1 + a3 ∑ x3 y − k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 n n n n
2 n n ∑ y SCT= ∑ y 2 − k =1 k =1 n
n
n
R2 =
n
n
SCR SCT
n
la
ecuación
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Y da como resultado un valor que indica que la correlación es explicada en un 76%
Grafica. 3
REFERENCIAS
[1] http://www.ingeominas.gov.co/component/option,com_glossary/func,display/letter,I/Itemid,124/catid,82/li mit,25/limitstart,20/ Tomado el 24 de abril de 2009. [2] http://www.banrep.gov.co/documentos/publicaciones/pdf/reportes40.pdf [3] http://www.todoexpertos.com/categorias/educacion/respuestas/529391/regresion-modelo-exponencial [4] http://costaricalinda.com/Estadistica/Polino.htm [5] http://www.ingenieria.uady.mx/weblioteca/CompApp/aproximacion/poli/Regresionpolinomial.htm [6] http://www.banrep.gov.co/estad/dsbb/sec_ext_012.xls
Índices de tasa de cambio real en Colombia. Montealegre, Jennyffer.
[email protected] FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
Resumen- Este informe tiene como fin solucionar un problema de la vida real utilizando métodos numéricos, en este caso utilizando indicadores del ICTR de los últimos 12 meses para prever el resultado de los 6 meses después o del dato que necesitemos en el futuro, utilizando regresión polinomica que es un método de análisis de los datos de la realidad económica que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables.
I.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El Índice de tasa de cambio real (ICTR) es el índice que busca medir la evolución del precio relativo de los bienes domésticos contra los bienes extranjeros, ambos expresados en una moneda común. En Colombia, el ITCR es calculado por el Banco de la República como un promedio geométrico ponderado de los 20 ITCR bilaterales que lo conforman. Las ponderaciones dependen de la participación del país respectivo en el comercio global sin café, petróleo, carbón, ferroníquel, esmeraldas y oro. Se utiliza el IPM (Índice de Precios al Por Mayor) como deflactor y 1994 como año base. 1+devtColombia 1+pjt ITCRjt=ITCRjt-1* * 1+devjt 1+ptColombia
ITCRt =?20j=1 (ITCRjt)wj ; Donde, p: inflación; dev: devaluación con respecto al dólar del país j; Wi: ponderación asociada a cada país. [1] El problema del ITCR es la marcada estacionalidad que presentan los indicadores de precios y de tipos de cambio nominales en un mes determinado. La estacionalidad se corrige cuando se utiliza el promedio de un año como base del ITCR. Independiente del período base que tiene el ITCR, la variación entre dos fechas de este índice refleja la tendencia de apreciación o depreciación de la Tasa de cambio real (TCR). El tener una TCR en equilibrio no siempre implica una cuenta corriente igual a cero, sino aquella compatible con un flujo de capital sostenible en el largo plazo. Por este motivo, aun si en un año se logra el equilibrio en la TCR, en dicho período puede existir un déficit o superávit temporal de la cuenta corriente. Por todo lo anterior, con un ITCR no se pretende medir de forma exacta el grado de devaluación o revaluación de la moneda nacional requerido para alcanzar un nivel similar a la propuesta de la paridad de compra del período base, sino más bien, tener un indicador que estime la tendencia de apreciación o depreciación real en el tiempo. Así, la base de ITCR debe entenderse como un período de comparación y no de equilibrio de la TCR [2] 1.
Por ejemplo, el Fondo Monetario Internacional publica los ITCR de los diferentes países con período base 1995 = 100. Ello no implica que en dicho año la TCR observada coincida con su equilibrio en todos los países.
1
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
II. JUSTIFICACIÓN DEL MÉTODO DE RESOLUCIÓN
El objetivo del trabajo es encontrar un modelo de regresión que explique el comportamiento del ITCR en los últimos 12 meses en función de unas variables regresoras. En primer lugar, se realiza un análisis descriptivo y gráfico de las observaciones muestrales, después se ajusta un modelo de regresión lineal, se halla el coeficiente de determinación que nos da un R² = 0,7777, luego se verifican los problemas que se presentan en el ajuste y se observa que no se consigue linealidad en la nube de puntos, En dicho caso, se recurre a modelos de regresión polinomica que son un caso particular, ya que se obtiene el que proporciona el mejor ajuste. [3]
Gráfica 1 Algunos fenómenos resultan ser mejor representados por un polinomio y aunque a veces puede no ser particularmente "natural", es decir, aquella que expresa una relación de causa y efecto entre las variables; sin embargo, es tan flexible y tan fácilmente manejable en forma matemática, que resulta de gran utilidad.
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
El problema consiste en encontrar los coeficientes de los términos en las ecuaciones, que darán un polinomio que cumplirá el requisito de que la suma de cuadrados sea mínima. Para esto se hará uso de las "ecuaciones normales". Se necesitara tantas ecuaciones como coeficientes haya, o una mas que el grado de la ecuación que se quiera ajustar. [4]
III. INSUMOS PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Supongamos que se conocen los datos (xo, yo),(x1, y1),&..(xn, yn) con x0, x1, &.., xn números reales distintos, y se desea encontrar un polinomio Pm(x) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + &.. + a m x m, con m
n
n
(
S(a 0 , a 1 ,....., a m ) = ∑ (p m (x k ) − y k ) = ∑ a 0 + a 1 x k + a 2 x +,....., a m x − y k k =0
2 k
m k
2
)
k =0
sea mínima. P1) El grado m del polinomio pm(x) se puede escoger previamente con base en algún resultado teórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al polinomio. En cualquier caso estamos “libres” de elegir el grado que parezca mejor. En muchos casos el grado será uno y el polinomio obtenido se llamará la recta que mejor se ajusta o la recta de mínimos cuadrados para la tabla de datos. P2) Volviendo a la función S(a0, a1, ….., am), una condición necesaria para la existencia de un mínimo relativo de esta función es que las derivadas parciales de S(a0, a1, ….., am) con respecto a aj, j = 0, 1, 2, …,m sean cero. Resultan entonces las siguientes m+1 ecuaciones lineales en las incógnitas a0, a1, ….., am : n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k = 0 ∂a 0 k =0
(
)
n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k (x k ) = 0 ∂a 1 k =0
(
)
n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x 2k = 0 ∂a 2 k =0
(
)( )
.......... n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x kj = 0 ∂a j k =0
(
)( )
............ n ∂S = ∑ 2 a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k + ..... + a m x mk − y k x mk = 0 ∂a m k =0
(
)( )
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P3) Si en las ecuaciones anteriores cancelamos el 2, desarrollamos los paréntesis y usamos que n
∑a
0
= (n + 1)a 0
k =0
, obtenemos:
n n n (n + 1)a 0 + ∑ x k a 1 + ∑ x 2k a 2 + ..... + ∑ x mk a m k =0 k =0 k =0 n n n n m +1 2 3 x a + x a + x a + ..... + ∑ x k a m ∑ ∑ k 1 k 2 ∑ k 0 k =0 k =0 k =0 k =0 n n n n x 2 a + x 3 a + x 4 a + ..... + x m + 2 a ∑ k 1 ∑ ∑ k m k 0 k 2 ∑ k =0 k =0 k =0 k =0 . . n n n n x j a + x 1+ j a + x 2+ j a + ..... + x m + j a ∑ ∑ ∑ k 0 k 1 k 2 k m ∑ k =0 k =0 k =0 k =0 n n 1+ m n 2+ m n m+m m x a + x a + x a + ..... + ∑ x k a m ∑ k 1 ∑ k 2 ∑ k 0 k =0 k =0 k =0 k =0
= = =
n ∑ yk k =0 n ∑ x k yk k =0 n 2 ∑ x k yk k =0
...
...
=
n j ∑ x k yk k =0
::: n = ∑ x mk y k k =0 Ec 2
P4) Este es un SEL de m+1 ecuaciones lineales en las m+1 incógnitas a0, a1, ….., am, que se llama Sistema de Ecuaciones Normales. Este sistema de ecuaciones normales se puede escribir en forma simplificada como sigue: m
n
n
i =0
k =0
k =0
∑ a i ∑ x ik+ j = ∑ x kj y k
con j = 0,1,....,.m
P5) Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de: p m (x k ) = a 0 + a 1 x k + a 2 x 2k +,....., a m x mk = y k j P6) Multiplicando a ambos lados por x k , j = 0, 1, …, m, a 0 x kj + a 1 x k x kj + a 2 x 2k x kj +,....., a m x mk x kj = y k x kj ⇒
a 0 x kj + a 1 x 1k+ j + a 2 x 2k+ j +,....., a m x mk + j = x kj y k
P7) Sumando sobre k n
n
n
m
m
k =0
k =0
k =0
k =0
k =0
a 0 ∑ x kj + a 1 ∑ x 1k+ j + a 2 ∑ x 2k+ j + ..... + a m ∑ x mk + j = ∑ x kj y k
[5]
con j = 0,1,2,....., m
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
IV. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
El problema que quiero solucionar se relaciona con la predicción de la variación que presentan los indicadores de precios y de tipos de cambio nominales en un mes determinado. Para dicho problema usé Regresión polinomica; el primer paso sería graficar los datos estadísticos correspondientes que estarían contemplados en la tabla 1 [6], donde se puede ver, según el mes el ITCR indicado. La gráfica 2 ilustra la grafica de dispersión de los datos hasta abril de 2009. Con esta grafica podemos determinar que la nube de datos tiene una tendencia ascendente y hay poca dispersión entre los mismos. FECHA Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 2009 (p) Enero Febrero Marzo Abril
Tabla 1
GRAFICA. 2
ITCR NO TRADICIONAL (NT) (1) ITCRIPP(NT) (3)
117,26 112,47 112,78 111,06 110,93 106,57 112,07 114,1 123,88 128,22 126,75 122,65 124,29 134,51 132,07 129,2
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
Verificando los respectivos datos se proceden a hacer los cálculos matemáticos específicos que determinaran la curva de la regresión polinomica. En la tabla 2 se observa cada uno de los valores que toman X y Y correspondientes según su exponente.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 112,07 114,10 123,88 128,22 126,75 122,65 124,29 134,51 132,07 129,20
x² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
y² 12560,341 13018,647 15347,385 16440,283 16065,029 15044,004 15448,527 18093,125 17441,639 16691,839
P(x) = a₀ + a ₁x + a ₂x² + a ₃x³ x³ x⁴ x⁵ 1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000
x⁶ 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000
XY 112,072928 228,198568 371,653684 512,878668 633,739469 735,924013 870,044729 1076,08549 1188,60117 1291,969
X²y 112,07293 456,39714 1114,9611 2051,5147 3168,6973 4415,5441 6090,3131 8608,6839 10697,411 12919,69
x³y 112,07293 912,79427 3344,8832 8206,0587 15843,487 26493,264 42632,192 68869,471 96276,695 129196,9
Tabla 2 (donde X son los meses y Y es el ITCR correspondiente
Con estos datos debemos armar la matriz de coeficientes según las fórmulas requeridas para estas: (Ec 2) n 10
0
10 55 385 3025
1
2
3
55 385 3025 385 3025 25333 3025 25333 220825 25333 220825 1978405 MATRIZ DE COEFICIENTES
ΣYi Σxy ΣX²y
Σx³y
1247,74 7021,16772 49635,2848 391887,818
a0 = a1 = a2 = a3 =
103,62701 8,9296192 -1,133317 0,0517926
3,7666667 -2,6388889 0,5 -0,0277778 -2,6388889 2,116194 -0,4273504 0,0246374 0,5 -0,4273504 0,090035 -0,0053419 -0,0277778 0,0246374 -0,0053419 0,0003238 MATRIZ INVERSA
Ya con esta información tenemos la posibilidad de ir a la ecuación 1, reemplazar y obtener una curva, que es determinada por nuestros valores a0, a1, a2, a3. Luego de esto, y con base en esta función obtener la curva de regresión, tenemos la tabla 3 en la que damos valores de X y los evaluamos en nuestra función que nos dará el punto Y.
P ( x ) = 103, 627 + 8,929 x − 1,133x 2 + 0, 051x3
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia. Tabulación
meses -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ITCR 65,23990006 80,82016394 93,51228242 103,6270113 111,4751062 117,3673229 121,6144171 124,5271447 126,4162612 127,5925225 128,3666843 129,0495022 129,9517321 131,3841297 133,6574507 137,0824509 141,9698859
Tabla 3
A continuación tendríamos la gráfica 3, la obtenemos luego de graficar los valores de la tabla 3 e incluirlos sobre la Grafica 2 de dispersión para verificar el comportamiento sobre esta, también es necesario obtener el coeficiente de correlación r, que describe la intensidad de la relación entre dos conjuntos de variables de ni nivel de intervalo. Es la medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde menos uno hasta uno más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables. Mientras más cercano a cero sea el coeficiente de correlación indicará que más débil es la asociación entre ambas variables. Si es igual a cero se concluirá que no existe relación lineal alguna entre ambas variables.
En
nuestro
caso
el
cálculo
de
r
se
hace
mediante
2 3 n n n ∑ x∑ y ∑ x ∑ y ∑ x ∑ y SCR= a1 ∑ xy − k =1 k =1 + a2 ∑ x 2 y − k =1 k =1 + a3 ∑ x3 y − k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 n n n n
2 n n ∑ y SCT= ∑ y 2 − k =1 k =1 n
n
n
R2 =
n
n
SCR SCT
n
la
ecuación
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montealegre, Jennyffer. Índices de tasa de cambio real en Colombia.
Y da como resultado un valor que indica que la correlación es explicada en un 76%
Grafica. 3
REFERENCIAS
[1] http://www.ingeominas.gov.co/component/option,com_glossary/func,display/letter,I/Itemid,124/catid,82/li mit,25/limitstart,20/ Tomado el 24 de abril de 2009. [2] http://www.banrep.gov.co/documentos/publicaciones/pdf/reportes40.pdf [3] http://www.todoexpertos.com/categorias/educacion/respuestas/529391/regresion-modelo-exponencial [4] http://costaricalinda.com/Estadistica/Polino.htm [5] http://www.ingenieria.uady.mx/weblioteca/CompApp/aproximacion/poli/Regresionpolinomial.htm [6] http://www.banrep.gov.co/estad/dsbb/sec_ext_012.xls
