Indian Mathematcians And Thier Contributions (kannada Version)

¥ÁæaãÀ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç ªÀÄvÀÄÛ ¥Àæ¹zÀÝ ¨sÁgÀwÃAiÀÄ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕgÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ

PÁ®ªÀiÁ£À

¨ËzsÁAiÀÄ£À, D¥À¸ÀÛA§, PÁvÁåAiÀÄ£À, ªÀiÁ£ÀªÀ, ªÉÄÊvÁæAiÀit, ªÀgÁÀºÁ, ªÀÄvÀÄÛ ªÁzsÀÆ® JA§ «zÁéA¸ÀjAzÀ gÀa¸À¯ÁzÀ ±ÀÄ®é ¸ÀÆvÀæUÀ¼ÀÄ

800BC to 200BC

¦AUÀ¼À£À bÀAzÀ¸ÀÆìvÀæ

Qæ.¥ÀÇ. JgÀqÀ£Éà ±ÀvÀªÀiÁ£À Q.¥ÀÇ. 2000 ¢AzÀ Q.¥ÀÇ. 800 gÀªÀgÉUÉ

ªÉÃzÀPÁ°Ã£À UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç

¥ÁæªÀÄÄRå PÉÆqÀÄUÉ D¥À¸ÀÛA§ ªÀÄvÀÄÛ PÁvÁåAiÀÄ£À ±ÀÄ®é ¸ÀÆvÀæUÀ¼ÀÄ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ ¨É¼ÀªÀtÂUÉAiÀÄ zÀȶ֬ÄAzÀ §ºÀ¼À ªÀÄÄRåªÁzÀĪÀÅUÀ¼ÀÄ. ±ÀÄ®é¸ÀÆvÀæUÀ¼À°è, ««zsÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ªÀUÀð, DAiÀÄvÀ, wæ¨sÀÄd, vÁæ¦då, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀAZÀ§ÄdUÀ¼À gÀZÀ£Á«zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¤gÀƦ¸À¯ÁVzÉ. C£ÉÃPÀ eÁå«ÄwAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀåPÀÛgÀÆ¥ÀzÀ°è ¥ÀævÉåÃPÀªÁV ºÉüÀ¯ÁVzÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ 1. DAiÀÄzÀ PÀtðªÀÅ DAiÀĪÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.(Diagonal of a rectangle bisects the rectangle) 2. DAiÀÄzÀ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ MAzÀ£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀªÀĪÁV ¨sÁV¸ÀÄvÀÛªÉ.(Diagonals of rectangle bisect each other) 3. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ MAzÀ£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀªÀĨsÁUÀ ªÀiÁqÀÄvÁÛ ®A§PÉÆãÀzÀ°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛªÉ.4. wæPÉÆãÀzÀ PÉëÃvÀæ¥sÀ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝgÉ. CAvÉAiÉÄà F PɼÀV£À PÉ®ªÀÅ ¸ÁégÀ¸ÀåªÁzÀ gÀZÀ£ÉUÀ¼À£ÀÆß PÉÆnÖzÁÝgÉ: 1. JgÀqÀÄ ZÀZËÑPÀUÀ¼À PÉëÃvÀæ¥sÀ®ªÀżÀîAvÉ MAzÀÄ ZÀZËÑPÀªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ.( constructing a square whose area is equal to the sum of the areas of two given squares) 2. JgÀqÀÄ ZÀZËÑPÀUÀ¼À PÉëÃvÀæ¥sÀ®UÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀżÀîAvÉ MAzÀÄ ZÀZËÑPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹¸ÀĪÀÅzÀÄ. ( constructing a square whose area is equal to the difference between the areas of two given squares) 3. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ «¸ÁÛgÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¸ÁÛgÀæªÀżÀî ZÀZËÑPÀªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ ( (Squaring the circle). ¨ËzsÁAiÀÄ£À ±ÀÄ®é ¸ÀÆvÀæUÀ¼À°è ¥ÉÊxÁUÀgÀ¹ì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÉAzÀÄ ¥ÀæSÁåvÀªÁVgÀĪÀ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀPÉÌ ¸ÀA§AzsÀ¥ÀlÖ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¥ÉÊxÁUÀgÀ¸Àì¤VAvÀ ( Qæ.¥ÀÇ 6 £Éà ±ÀvÀªÀiÁ£À) C£ÉÃPÀ ±ÀvÀªÀiÁ£ÀUÀ¼À »AzÉAiÉÄà ±ÀÄ®é¸ÀÆvÀæUÀ¼À°è §¼À¸À¯ÁVzÉ. F SÁåvÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß “ ±ÀÄ®é ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ”ªÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ¸ÀÆPÀÛªÁVzÉ. ±ÀÄ®é ¸ÀÆvÀæUÀ¼À°è ax2 =c, ax2 + bx =c ªÀiÁzÀjAiÀÄ ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ. §ºÀ¼ÀµÀÄÖ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ G¯ÉèÃRUÉÆArªÉ. ¥Àæ¥ÀAZÀzÀ°è ªÉÆlÖªÉÆzÀ°UÉ ±ÀÆ£ÀåPÉÌ MAzÀÄ aºÉßAiÀÄ£ÀÄß ( MAzÀÄ ZÀÄPÉÌ) ¦AUÀ¼À£À bÀAzÀ¸ÀÆìvÀæzÀ°è §¼À¸À¯ÁVzÉ. ¢é¥ÀzÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ (Binomial theorem) PÉÌ ¸ÀA§AzsÀ ¥ÀlÖ PÉ®ªÀÅ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß EzÀgÀ°è ºÉüÀ¯ÁVzÉ. ªÉÃzÀPÁ°Ã£À d£ÀgÀÄ JtÂPÉUÁV ¸ÀASÉå 10 £ÀÄß DzsÁgÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV §¼À¹zÁÝgÉ, ¸ÀASÉåUÀ¼À ºÉ¸ÀgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀĪÀ zÀ±À( ºÀvÀÄÛ), ±ÀvÀ ( £ÀÆgÀÄ), ¸ÀºÀ¸Àæ ( ¸Á«gÀ) ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄÄvÀ ( ºÀvÀÄÛ ¸Á«gÀ) JA§ zÀ±ÀªÀiÁ£À JtÂPÉAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ IÄUÉéÃzÀ°è ¥ÀÅ£ÀB ¥ÀÅ£ÀB PÀAqÀħgÀÄvÀÛªÉ. Erà ¥Àæ¥ÀAZÀªÉ D¨sÁjAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÁzÀ CvÀåªÀÄÆ®åªÀÅ ªÀĺÀvÀÛgÀªÀÅ DzÀ PÉÆqÀÄUÉAiÉÄAzÀgÉ “ ±ÀÆ£Àå” ªÀÄvÀÄÛ “zÀ±ÀªÀiÁ£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ”. CªÀÅUÀ¼À aºÉßUÀ¼ÀÄ ºÁUÀÆ zÀ±ÀªÀiÁ£À ¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞw ¸ÀA¥ÀÇtðªÁV ¨sÁgÀwÃAiÀÄgÀ PÉÆqÀÄUÉAiÉÄà DVzÀÝgÀÆ, ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ EwºÁ¸ÀPÁgÀgÀÄ “ »AzÀÆ CgÉéPï £ÀÆåªÀÄgÀ¯ïì” JAzÉà G¯ÉèÃT¸ÀĪÀ vÀ¥ÀÅöà gÀÆrüAiÀiÁVzÉ. EAzÀÄ ¥Àæ¥ÀAZÀzÁzÀåAvÀ §¼À¸À¯ÁUÀÄwÛgÀĪÀ UÀt£ÉAiÀÄ ªÀiÁ£ÀªÁzÀ zÁ±À«ÄPÀ ¸ÀASÁå ¥ÀzÀÞwAiÀÄÄ ªÉÃzÀPÁ°Ã£À UÀtÂvÀzÀ ªÀĺÀvÀÛgÀªÁzÀ PÉÆqÀÄUÉ. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¨É¸À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀĸÀASÉå JA§ÄzÁV «AUÀr¹zÀÄÝ ªÉÆlÖªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÁV vÉÊvÀÛjÃAiÀÄ

¨sÀPÁë½ ºÀ¸ÀÛ¥Àæw

Qæ.±À. 2 £Éà ±ÀvÀªÀiÁ£À

DAiÀÄð¨sÀl-1

Qæ.±À.476-550

¸ÀA»vÉAiÀÄ°è. ºÁUÉAiÉÄà ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÁzÀ CzsÀð, PÁ®Ä, JAl£Éà MAzÀÄ ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ ºÀ¢£ÁgÀ£Éà MAzÀÄ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß IÄUÉéÃzÀzÀ°è G¯ÉèÃT¹, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV CzsÀð, ¥ÁzÀ, ±À¥sÀ, ªÀÄvÀÄÛ PÀ¯Á JA§ ºÉ¸ÀgÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝgÉ. £ÀªÀÄä zÉñÀzÀ ªÁAiÀĪÀå ¥ÁæAvÀåzÀ°è ¥ÉõÁªÀgï £ÀUÀgÀzÀ ºÀwÛgÀ , vÀPÀ벯ÉUÉ ¸ÀĪÀiÁgÀÄ 70 ªÉÄÊ° zÀÆgÀzÀ°è ¨sÀPÁë½ JA§ UÁæªÀÄzÀ°è Qæ.±À. 1881 gÀ°è M§â gÉÊvÀ¤UÉ MAzÀÄ «zsÀªÁzÀ ªÀÄgÀzÀ vÉÆUÀmÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É §gÉAiÀÄ®àlÖ UÀtÂvÀ UÀæAxÀzÀ ºÀ¸ÀÛ¥Àæw ¹QÌvÀÄ. EzÀ£ÀÄß ¨sÁgÀvÀ ¸ÀgÀPÁgÀ EAVèÃµï ¨ÁµÁAvÀgÀzÉÆqÀ£É “ ¨sÀPÁë½ ºÀ¸ÀÛ¥Àæw” JAzÀÄ ¥ÀæPÀn¸À®ànÖzÉ. F UÀæAxÀzÀ°è CAPÀUÀtÂvÀ, ©ÃdUÀtÂvÀUÀ½UÉ ¸ÀA§AzsÀ¥ÀlÖ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼ÀÄ §ºÀ¼À¶ÖªÉ. ©ü£ÀßgÁ², ªÀUÀðªÀÄÆ®, ¯Á¨sÀ£ÀµÀÖ, §rØ, vÉæöÊgÁ² ªÀÄÄAvÁzÀ CAPÀUÀtÂvÀzÀ «µÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ, ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ( simple equations) , AiÀÄÄUÀä ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ( simaltaneous equations) , ªÀUÀð¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ(Quadratic equations) ºÁUÀÆ ±ÉæÃrUÀ¼ÀÄ(Progressions) ªÀÄÄAvÁzÀ ©ÃdUÀtÂvÀ «µÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ ¨sÀPÁë½ ºÀ¸ÀÛ¥ÀæwAiÀÄ°è ZÀað¸À®ànÖªÉ. ¥ÁæaãÀ ¨sÁgÀvÀzÀ M§â ªÀĺÁ£ï UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕ, RUÉÆüÀ±Á¸ÀÛçUÀ¼À DzÀAiÀÄ ¥ÀæªÀvÀðPÀ, ©ÃdUÀtÂvÀzÀ ¦vÁªÀĺÀ. DAiÀÄð¨sÀl FV£À ¥ÁmÁß( »A¢£À PÀĸÀĪÀÄ¥ÀÅgÀ CxÀªÁ ¥Ál°¥ÀÅvÀæ) zÀ°è d¤¹gÀÄ JA§ G¯ÉèÃR«zÉ. DAiÀÄð¨sÀl vÀ£Àß 23 £Éà ªÀAiÀĹì£À°èAiÉÄà “ DAiÀÄð¨sÀnÃAiÀÄA” JA§ ªÀĺÁPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß gÀa¹zÀ£ÀÄ JA§ G¯ÉèÃR«zÉ. F ¸ÀA¸ÀÌöÈvÀ UÀæAxÀzÀ°è £Á®ÄÌ ¨sÁUÀUÀ½ªÉ: 1. zÀ±ÀVÃwPÁ 2. UÀtÂvÀ¥ÁzÀ 3. PÁ®QæAiÀiÁ 4. UÉÆïÁzsÁåAiÀÄ zÀ±ÀVÃwPÁ ¨sÁUÀzÀ°è RUÉÆî«eÁÕ£ÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ PÉ®ªÀÅ ªÀÄÄRåªÁzÀ ¯ÉPÁÌZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆvÀægÀÆ¥ÀzÀ°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ: UÀtÂvÀ¥ÁzÀzÀ°è UÀtÂvÀPÉÌ ¸ÀA§AzÀ¥ÀlÖ «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß , PÁ®QæAiÀiÁ ¥ÁzÀzÀ°è UÀæºÀUÀ¼À ZÀ®£ÉUÉ ¸ÀA§AzÀ¥ÀlÖ ¯ÉPÁÌZÁgÀUÀ¼ÀÄ, ¸ÀAªÀvÀìgÀUÀ¼ÀÄ, ªÀiÁ¸ÀUÀ¼ÀÄ, C¢üPÀªÀiÁ¸À ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ ªÀiÁrPÉÆqÀ¯ÁVzÉ. UÉÆïÁzsÁåAiÀÄzÀ°è ¨sÀÆ«ÄAiÀÄÄ UÀÄAqÁVgÀĪÀ DPÁgÀ, ºÀUÀ®Ä gÁwæUÀ½UÉ PÁgÀt, ¸ÀÆAiÀÄðUÀæºÀtZÀAzÀæUÀæºÀtUÀ¼À ¯ÉPÁÌZÁgÀ , ¸ÀÆAiÀiÁð¸ÀÛ E¤ßvÀgÀ «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥Àæ¸ÁÛ¦¸À¯ÁVzÉ. 1.

2. 3.

4. 5.

DAiÀÄð¨sÀl£ÀÄ ax + by =c ªÀiÁzÀjAiÀÄ KPÀWÁwÃAiÀÄ C¤¢ðµÀÖ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ (Indeterminate Equations of First Degree) UÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀPÁÌV «zsÁ£ÀªÉÇAzÀ£ÀÄß w½¹zÀ ¥Àæ¥ÀAZÀzÀ ¥Àæ¥ÀæxÀªÀÄ UÀtÂvÀdÕ£ÁVzÁÝ£É. ªÀÈvÀÛzÀ ¥Àj¢ü ºÁUÀÆ ªÁå¸ÀPÉÌ EgÀĪÀ C£ÀÄ¥ÁvÀ “Π” ¨É¯É 3.1416 JA§ ¸À¤ß»vÀ ¨É¯É ªÉÆlÖªÉÆzÀ® ¨ÁjUÉ ¤ÃrzÀªÀ. ªÀUÀðªÀÄÆ®, WÀ£ÀªÀÄÆ®, wæPÉÆãÁ¢ PÉëÃvÀæUÀ¼À ¥sÀ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«PÉ. ªÀÈvÀÛPÉÌ ¸ÀA§A¢¹zÀ ¸ÀÆvÀæUÀ¼ÀÄ, ±ÉæÃrUÀtÂvÀ, ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀt EvÁå¢ ºÁUÀÆ wæPÉÆãÀ«ÄwUÉ ¸ÀA§A¢¹zÀ PÉ®ªÀÅ ¥À°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÀªÀ. vÀ£Àß «²µÀÖªÁzÀ CPÀëgÁAPÀ ¥ÀzÀÝwAiÀÄ£Àß §¼À¹PÉÆAqÀÄ PÉêÀ® MAzÉà MAzÀÄ ±ÉÆèÃPÀzÀ°è Erà eÁå¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß ( Table of sines) ¤gÀƦ¹zÁÝ£É. ¨sÀÆ«ÄAiÀÄÄ J¯Áè ¢PÀÄÌUÀ¼À®Æè UÀÄAqÁVgÀĪÀÅzÉAzÀÆ, (¨sÀÆUÉÆîB ¸ÀªÀðvÉÆÃB ªÀÈvÀÛB- DAiÀÄð¨sÀnÃAiÀÄ UÉÆî¥ÁzÀ ±ÉÆèÃPÀ-6 ) ¨sÀÆ«ÄAiÀÄÄ vÀ£Àß CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É wgÀÄUÀÄwÛzÉ JAzÀÄ ¤gÀƦ¹, CzÀjAzÁVAiÉÄà UÀæºÀ£ÀPÀëvÀæUÀ¼À GzÀAiÀiÁ¸ÀÛ DUÀĪÀÅzÉAzÀÄ UÉ°°AiÉÆà ( ¸ÀÄ. Qæ.±À> 1600) ¤VAvÀ ¸Á«gÀ ªÀµÀð

ªÀÄÄAZÉAiÉÄà ªÉÆzÀ® ¨ÁjUÉ w½¹zÀªÀ. 6. wæPÉÆÃtzÀ PÉëÃvÀæ¥sÀ®( Area of a traingle) PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä DAiÀÄð¨sÀl: wæ¨sÀÄd¸Àå ¥sÀ®±ÀjÃgÀA ¸ÀªÀÄzÀ®PÉÆÃn ¨sÀÄeÁzsÀð ¸ÀAªÀUÀð| -(DgÀå¨sÀnÃAiÀÄA-UÀtÂvÀ¥ÁzÀ ±ÉÆèÃPÀ-6) CAzÀgÉ AiÀiÁªÀÅzÉ MAzÀÄ ¨sÀÄdzÀ CzsÀðªÀ£ÀÄß CzÀgÀ ®A§PÀ¢AzÀ UÀÄt¹zÀgÉ wæ¨sÀÄdzÀ PÉëÃvÀæ¥sÀ® zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁV w½¹zÁÝ£É. 7. ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸Àì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ ªÉAzÀÄ ¥Àæ¹zÀÞªÁVgÀĪÀ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ±ÀÄ®é¸ÀÆvÀæUÀ¼À°è G¯ÉèÃT¹zÀ £ÀAvÀgÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß DAiÀÄð¨sÀl£É “ AiÀıÉÑöʪÀ ¨sÀÄeÁªÀUÀðB PÉÆÃnªÀUÀð±ÀÑ PÀtð ªÀUÀð ¸ÀB|- MAzÀÄ eÁåvÀ(®A§PÉÆãÀ) wæPÉÆãÀzÀ°è ¨sÀÄdªÀUÀð ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃnAiÀĪÀUÀð MnÖUÉ PÀtðzÀ ªÀUÀðªÁVgÀÄvÀÛzÉ. JAzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁV ºÉýzÁÝ£É. 8. ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À CAvÀgÀªÀÅ(d) ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÉå (n) DVzÀÝgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrAiÀÄ ªÉÆvÀÛ (S) PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä DAiÀÄð¨sÀl ¤ÃrgÀĪÀ ¸ÀÆvÀæ : S= n{ a + ½(n-1)d}. MAzÀÄ ªÉÃ¼É ªÉÆvÀÛªÀÅ UÉÆwÛzÀÄÝ ¥ÀzÀUÀ¼À CAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ MlÄÖ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀ DAiÀÄð¨sÀl£À ¸ÀÆvÀæ : n= 1/2d { √8dS+(d-2a)2 -2a+d) 9. For the first time he estimated the length of the year at 365 days, 6hours, 12 minutes, 30 seconds. ¨sÁgÀwÃAiÀÄ UÀtÂvÀ ¸ÁªÀiÁædåPÉÌ DAiÀÄð¨sÀl£ÀÄ C£À©¶PÀÛ ZÀPÀðªÀwð JAzÀgÉ vÀ¥ÁàUÀ¯ÁgÀzÀÄ. ¨sÁ¸ÀÌgÀ-1

ªÀgÀºÁ«Ä»gÀ

¸ÀĪÀiÁgÀÄ Qæ.±À. 600(UÀÄdgÁvï£ À ¸ËgÁµÀÖç JA§°è d£À£À)

¨sÁ¸ÀÌgÀ£ÀÄ gÀa¹zÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀÈwUÀ¼ÀÄ: 1. ªÀĺÁ¨sÁ¸ÀÌjÃAiÀÄ 2. DAiÀÄð¨sÀnÃAiÀÄ ¨sÁµÀå 3. ®WÀĨÁ¸ÀÌjÃAiÀÄ ªÀĺÁ¨sÁ¸ÀÌjÃAiÀÄzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà (PÉÆãÀ-θ ªÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ) EµÀÖ “R” wædåzÀ PÀA¸ÀzÀ eÁåzÀ ( CAzÀgÉ, sin θ ) zÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀPÁÌV CvÀåAvÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÉÆUÀ¸ÁzÀ ¸ÀÆvÀæªÉÇAzÀ£ÀÄß ¨sÁ¸ÀÌgÀ£ÀÄ ¤gÀƦ¹zÁÝ£É. CzÀÄ EAwzÉ. 16x( 180 –x) Sinx = 5 2-4x(180-x) DAiÀÄð¨sÀnÃAiÀÄ ¨ÁµÀåzÀ°è ¥ÀÇtð¸ÀASÉåUÀ½UÀ®èzÉ ©ü£ÀßgÁ²UÀ¼ÀÄ ªÉÄÃ®Æ UÀtÂvÀ ¥ÀjPÀªÀÄðUÀ¼À ¤gÁAiÀiÁ¸À ¥ÀæAiÉÆÃUÀ; CAPÀ¸ÀAPÉÃvÀUÀ¼ÀÄ, aºÉßUÀ¼ÀÄ, ºÁUÀÆ «²µÀÖ ¥ÀzÀUÀ¼À §¼ÀPÉ; UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß gÁ²UÀtÂvÀ, PÉëÃvÀæUÀtÂvÀªÉA§ ±ÁSÉUÀ¼À°è «AUÀqÀuÉ: ªÀÄÄAvÁzÀ ªÀĺÀvÀézÀ ¸ÀAUÀwUÀ¼À£ÀÄß PÁt§ºÀÄzÀÄ. Qæ±À 488ªÀgÀºÁ«Ä»gÀ£À PÀÈwUÀ¼À°è ¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀĪÀÅUÀ¼ÀÄ: 1. ¥ÀAZÀ¹zÁÝAwPÀ 2. §ÈºÀeÁ”vÀPÀ 3. 587(CªÀAw(GeÉ §ÈºÀzïAiÀiÁvÁæ 4. AiÉÆÃUÁAiÀiÁvÀæ 5. «ªÁºÀ¥Àl® ªÀÄvÀÄÛ 6. §ÈºÀvï¸ÀA»vÁ. ªÀgÀºÁ«Ä»gÀ£ÀÄ ”öʤAiÀÄ ¥ÀAZÀ¹zÁÝAwPÀzÀ°è UÀtÂvÀ «µÀAiÀÄPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹EzÀ C£ÉÃPÀ ªÀĺÀvÀézÀ ¸ÀAUÀwUÀ¼À£ÀÄß ¤ªÁ¹AiÀiÁVzÀÝ) w½¹zÁÝ£É. wæPÉÆãÀ«ÄwAiÀÄ ªÀÄÆgÀÄ GvÀà£ÀßUÀ¼ÁzÀ eÁå( sin θ), PÉÆÃeÁå,(cosine θ) ªÀÄvÀÄÛ GvÀÌgÀªÀÄeÁå (tan θ ) UÀ¼À ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß w½¹zÁÝ£É. ªÀgÀºÁ«Ä»gÀ£À ¥ÀAZÀ¹zÁÝAwPÀªÀÅ RUÉÆüÀ ±Á¸ÀÛçzÀ EwºÁ¸ÀzÀ zÀȶ֬ÄAzÀ CªÀ£À PÀÈwUÀ¼À¯Éè CzÀÄ «±ÉõÀ ªÀĺÀvÀéªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¢zÉ.

§æºÀäUÀÄ¥ÀÛ

Qæ.±À. 598(GeÉ”öʤ ¤ªÁ¹)

§æºÀäUÀÄ¥ÀÛ£À JgÀqÀÄ ¥Àæ¹zÀÞ RUÉÆüÀ UÀæAxÀUÀ¼ÉAzÀgÉ §æºÀä¸ÀÄál ¹zÁÝAvÀ ªÀÄvÀÄÛ RAqÀªÁzsÀåPÀ. §æºÀäUÀÄ¥ÀÛ£À §æºÀä ¸ÀÄál ¹zÁÞAvÀzÀ°è 24 CzsÁåAiÀÄUÀ½zÀÄÝ 12 £Éà CzsÁåAiÀĪÀ£ÀÄß UÀtÂvÁzsÁåAiÀĪÉAzÀÄ ºÉ¸Àj¸À¯ÁVzÉ. EzÀgÀ°è CAPÀUÀtÂvÀ, ±ÉæÃrUÀtÂv (Progressions), ªÀÄvÀÄÛ PÉ®ªÀÅ gÉÃSÁUÀtÂvÀ «ZÁgÀUÀ¼ÀÄ EªÉ. 1. §æºÀäUÀÄ¥ÀÛ£ÀÄ ±ÀÄzÀÞUÀtÂvÀ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À°è CvÀåAvÀ ±ÉæõÀÖªÁzÀÄzÀÄ Nx2 + 1 =y2 JA§ JgÀqÀ£É ¥ÀæªÀiÁtzÀ C¤¢ðµÀÖ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°è ( x ªÀÄvÀÄÛ y ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½gÀĪÀAvÉ ) ¸Á¢ü¸ÀĪÀ «zsÁ£À. ¥Àæ¥ÀAZÀzÀ¯Éèà EAvÀºÀ ¸ÁªÀðwæPÀ ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆnÖgÀĪÀ QÃwð §æºÀäUÀÄ¥ÀÛ¤UÉ ¸À®ÄèvÀÛzÉ. 2. ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd(cyclic quadrilateral) ªÉÇAzÀgÀ°è CzÀgÀ ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ a, b, c,ªÀÄvÀÄÛ d DVzÀÝgÉ, S = a+b+c+d/2 DVzÀÝgÉ, DUÀ CzÀgÀ PÉëÃvÀæ¥sÀ®ªÀÅ A = √(s-a)(s-b)(sc) DVgÀĪÀÅzÉA§ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß §æºÀäUÀÄ¥ÀÛ£ÀÄ vÀ£Àß §æºÀä¸ÀÄál ¹zÁÝAvÀzÀ UÀtÂvÁzsÁåAiÀÄzÀ 21 £Éà ±ÉÆèÃPÀzÀ°è ¤gÀƦ¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ¥Àæ¥ÀAZÀPÉÌ F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¤ÃrzÀ ¥Àæ¥ÀæxÀªÀÄ UÀtÂvÀdÕ£ÉA§ QÃwðUÉ ¥ÁvÀæ£ÁVzÁÝ£É 3. £ÀÆål£ï-¸ÀÖ°ðAUï ¸ÀAPÉëÃ¥ÉÇÃQÛ (Newton-stirling Formula for Interpolation upto second order differences) JAzÉà JAzÀÄ ¥ÀæSÁåvÀªÁVgÀĪÀ ¸ÀÆvÀæzÀ §¼ÀPÉAiÀÄ£ÀÄß £ÀÆål£ïVAvÀ MAzÀÄ ¸Á«gÀ ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉAiÉÄà §æºÀäUÀÄ¥ÀÛ£ÀÄ EzÀPÉÌ ¸ÀªÀiÁ£ÀªÁzÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¤ÃrzÁÝ£É. ¯ÉPÁÌZÁgÀPÁÌV CAvÀBPÉëÃ¥À «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ §æºÀäUÀÄ¥ÀÛ£ÀÄ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçzÀ ºÉƸÀzÉÆAzÀÄ ±ÁSÉAiÀÄ£ÉßÃ(Numerical Analysis) DgÀA©ü¹zÀ£À®èzÉ, ¥Àæ¥ÀAZÀzÀ°è ªÉÆlÖªÉÆzÀ® CAvÀBPÉëÃ¥À (CAvÀgÀªÉñÀ£À) ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß ( Method of Interpolation) QÃwðUÀÆ ¥ÁvÀæ£ÁVzÁÝ£É. 4. Brahmagupta is credited with having putforth the concept of zero for the first time: In Brahma sputa siddantha, He defined Zero as the result of subtracting a number from itself and formulated the rules of the operation zero, foreshadowing the decimal system numeration. 5. He was the first mathematician to treat Algebra and Airthmatic as two different branches of Mathematics. 6. He also gave the sum of the squares of first n natural numbers as n(n+1)(2n+1)/6 and the sum of the cubes of the first n natural numbers as [n(n+1)/2]2 7.

He also gives arithmetical rules in terms of fortunes (positive numbers) and debts (negative numbers):A debt minus zero is a debt. A fortune minus zero is a fortune. Zero minus zero is a zero. A debt subtracted from zero is a fortune. A fortune subtracted from zero is a debt. The product of zero multiplied by a debt or fortune is zero. The product of zero multipliedby zero is zero. The product or quotient of two fortunes is one fortune. The product or quotient of two debts is one fortune. The product or quotient of a debt and a fortune is a debt. The product or quotient of a fortune and a debt is a debt.

Brahmagupta then tried to extend arithmetic to include division by zero:Positive or negative numbers when divided by zero is a fraction the zero as denominator. Zero divided by negative or positive numbers is either zero or is expressed as a fraction with zero as numerator and the finite quantity as denominator. Zero divided by zero is zero. ªÀĺÁ«ÃgÁZÁAi ÀÄð

8. Another arithmetical result presented by Brahmagupta is his algorithm for computing square roots. Qæ.±À. eÉÊ£Àå ªÀÄvÀ¸ÀÜ£ÁzÀ PÀ£ÁðlPÀzÀªÀ£Éà DzÀ ªÀĺÁ«ÃgÀZÁAiÀÄð£ÀÄ gÁµÀÖçPÀÆl zÉÆgÉAiÀiÁzÀ 9£ÉñÀvÀªÀiÁ£ CªÉÆÃWÀªÀµÀð £ÀÈ¥ÀvÀÄAUÀ£À D¸ÁÜ£ÀzÀ°èzÀÝ. ªÀĺÁ«ÃgÀ£À ¸ÀA¸ÀÌöÈvÀ UÀæAxÀ “ À UÀtÂvÀ¸ÁgÀ¸ÀAUÀæºÀ” zÀ°è CAPÀUÀtÂvÀªÀÄ ©ÃdUÀtÂvÀ ªÀÄvÀÄÛ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ ZÀað¸À®ànÖªÉ. ªÀĺÁ«ÃgÀ£À PÉ®ªÀÅ «±ÉõÀ PÉÆqÀÄUÉUÀ¼ÀÄ: 1.”ªÀiÁ¯ÁgÀÆ¥À” zÀ°è CAzÀgÉ JqÀ¢AzÀ §®PÁÌUÀ° §®¢AzÀ JqÀPÁÌUÀ° N¢zÁUÀ MAzÉà ¸ÀASÉåAiÀiÁUÀĪÀ(Palindromes) PÉ®ªÀÅ «±ÉõÀ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼ÀÄ §ºÀ¼À ¸ÁégÀ¸ÀåªÁVªÉ. 12345679×9 =111111111 14287143×7 =100010001 142857143×7 =1000000001 152207×73=11111111 2. ªÀĺÁ«ÃgÀ£ÀÄ vÀ£Àß UÀtÂvÀ¸ÁgÀ¸ÀAUÀæºÀzÀ°è «PÀ®à (combination) ¸ÀASÉå CAzÀgÉ, MlÄÖ n ¥ÀzÁxÀðUÀ½AzÀ MAzÉÆAzÀÄ ¨ÁjUÉ r ¥ÀzÁxÀðUÀ¼ÀªÀÄvÉ Dj¹PÉƼÀÀÄzÁzÀ MlÄÖ DAiÉÄÌUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀPÁÌV n(n-1)(n-2)...........(n-r+1) n Cr = 1.2.3......................................r JA§ ¸ÁªÀðwæPÀ ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß dUÀwÛ£À¯Éèà ªÉÆzÀ®¨ÁjUÉ ZÀað¹zÀ QÃwð ªÀĺÁ«ÃgÀ¤UÉ ¸À®ÄèvÀÛzÉ. 3.MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ WÀ£ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ªÀĺÁ«ÃgÀ£ÀÄ C£ÉÃPÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¹zÁÝ£É. 4. MAzÀÄ IÄt¸ÀASÉåAiÀÄ CxÀªÁ zsÀ£À¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÅ zsÀ£À¸ÀASÉåAiÉÄ DUÀĪÀÅzÀjAzÀ IÄt¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀÅ¢®è JAzÀÄ ªÀĺÁ«ÃgÀ£ÀÄ ¸ÀàµÀÖ¥Àr¹zÁÝ£É. (IÄt ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß “HºÀå¸ÀASÉå” (imaginary number) AiÀiÁV ¥ÀjUÀt¸À§ºÀÄzÉA§ PÀ®à£ÉAiÀÄÄ §ºÀ¼À ±ÀvÀªÀiÁ£ÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ¥Á²ÑªÀiÁvÀå UÀtÂvÀdÕgÀÄ ¤ÃrzÀ PÉÆqÀÄUÉ) 5.wæPÉÆãÀzÀ M¼ÀUÉ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸Àà²ð¸ÀĪÀAvÉ gÀa¸À§ºÀÄzÁzÀ ªÀÈvÀÛzÀ (Incirlce of a traingle) §UÉÎ ZÀað¹gÀĪÀ QÃwð ªÀĺÁ«ÃgÀZÁAiÀÄð£ÀzÀÄ. 6. MAzÀÄ ¢ÃWÀðªÀÈvÀÛzÀ(Ellipse) ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ PÉëÃvÀæªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¸ÀÆvÀæUÀ¼À£ÀÄß ¨ÁgÀwÃAiÀÄ UÀtÂvÀdÕgÀ°è ªÉÆzÀ® ¨ÁjUÉ ªÀĺÁ«ÃgÀ£À PÀÈwAiÀÄ°è PÁtÄvÉÛêÉ.

UÉÆëAzÀ¸Áé« Ä

Qæ.±À. 800860

PÉÃgÀ¼ÀzÀ UÀtÂvÀdÚ£ÁzÀ FvÀ CAvÀªÉÃð±À£À ¸ÀÆvÀæ( Interpolation formila) ªÀ£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝ£É. Govindasvami (or Govindasvamin) was an Indian mathematical astronomer whose most famous treatise was a commentary on the Mahabhaskariya of Bhaskara I. In Govindasvami's commentary there appear many examples of using a place-value Sanskrit system of numerals. One of the most interesting aspects of the commentary, however, is Govindasvami's construction of a sine table.

¨sÁ¸ÀÌgÀZÁAiÀÄ Qæ.±À. 1114ð 1200

ºÀ¯ÁAiÀÄÄzsÀ

11£Éà ±ÀvÀªÀiÁ£À

¨sÁ¸ÀÌgÀ£ÀÄ vÁ£ÀÄ gÀa¹zÀ UÀæAxÀ” ¹zÁÝAvÀ ²gÉÆêÀÄt” AiÀÄ°è vÁ£ÀÄ ¸ÀºÁå¢æ ¥ÀªÀðvÀzÀ §½AiÀÄ ©d”qÀ©qÀ ¸ÀܼÀzÀªÀ£ÉAzÀÄ, ±Á°ªÁºÀ£À ±ÀPÀ 1036, JAzÀgÉ Qæ.±À. 1114 gÀ°è ºÀÄnÖzÀ£ÉAzÀÄ , vÀAzÉAiÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ ªÀĺÉñÀégÀ£ÉAzÀÄ ºÉýPÉÆArzÁÝ£É. FvÀ£À d£Àä¸ÀܼÀ ©d”qÀ©qÀ JA§ÄzÀÄ FV£À PÀ£ÁðlPÀzÀ ©eÁ¥ÀÅgÀ JAzÀÄ §ºÀ¼À «zÁéA¸ÀgÀ C©ü¥ÁæAiÀÄ. ¨sÁ¸ÀÌgÀ£À ¥ÀæSÁåvÀ UÀæAxÀªÁzÀ ¹zÁÞAvÀ ²gÉÆÃAtÂAiÀÄÄ £Á®ÄÌ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. CªÀÅUÀ¼ÉAzÀgÉ, °Ã¯ÁªÀw, ©ÃdUÀtÂvÀA, UÀæºÀUÀtÂvÀA ªÀÄvÀÄÛ UÉÆüÁzsÁåAiÀÄ. ±ÀÄzÀÞ UÀtÂvÀzÀ «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÉÆzÀ°£À JgÀqÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼À°è ¸ÁégÀ¸ÀåªÁV ZÀað¸À¯ÁVzÉ. F JgÀqÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ ¨sÉÆÃzsÀ¥ÀæzÀªÁzÀ, ªÀÄ£ÉÆÃgÀAdPÀªÁzÀ, ±ÉÊPÀëtÂPÀ zÀȶ֬ÄAzÀ CvÀåAvÀ ªÀĺÀvÀézÀ ¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArªÉ. 1. £ÀÆål£ï ªÀÄvÀÄÛ ¯ÉÊ©ßfæVAvÀ DgÀÄ ±ÀvÀªÀiÁ£ÀUÀ¼À »AzÉAiÉÄà PÀ®£À±Á¸ÀÛçzÀ (Calculus) ¥ÀjPÀ®à£É ¤Ãr §Ä£Á¢ ºÁQzÁÝ£É.CµÉÖ C®èzÉ CªÀ®£ÁA±ÀªÀÅ ( Derivative) UÀjµÀÖ CxÀªÁ PÀ¤µÀÖ ©AzÀÄ«£À°è ±ÀÆ£ÀåªÁVgÀÄvÀÛzÉ( AiÀÄvÀæ UÀæºÀ¸Àå ¥ÀgÀªÀÄA ¥sÀ®A vÀvÉæöʪÀ UÀw¥sÀ¯Á¨sÁªÉãÀ §«vÀªÀåA”). JA§ E£ÉÆßAzÀÄ §ºÀÄ ªÀÄÄRåªÁzÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß w½¹zÁÝ£É 2. ªÀUÀð ¥ÀæPÀÈw, CAzÀgÉ Nx2 + 1 = y2 JA§ ªÀiÁzÀjAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ vÀ£ÀßzÉà DzÀ ZÀPÀæªÁ¼À «zsÁ£À zÀ ªÀÄÆ®PÀ ¥ÀjºÁgÀ zÉÆgÀQ¹PÉÆnÖzÁÝ£É. 3. ¨sÁ¸ÀÌgÀæ£ÀÄ CAPÀUÀtÂwÃAiÀÄ “C£ÀAvÀ” zÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¤gÀƦ¹ CzÀPÉÌ “ RºÀgÀ” ( R JAzÀgÉ ¸ÉÆ£Éß, ªÀÄvÀÄÛ ºÀgÀ JAzÀgÉ bÉÃzsÀ) JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹zÁÝ£É. ‘a’ MAzÀÄ zsÀ£À¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀĪÁUÀ, a/0= RºÀgÀ. RºÀgÀ+¥Àj«ÄvÀ ¸ÀASÉå = RºÀgÀ JA§ ¸ÀAUÀwAiÀÄÄ ¨Á¸ÀÌgÀ¤UÉ UÉÆwÛvÀÄÛ. 4. °Ã¯ÁªÀw (CxÀªÁ ¥ÁnÃUÀtÂvÀ, CAPÀUÀtÂvÀ) JA§ ªÉÆzÀ®£É ¨sÁUÀzÀ°è KPÀ, zÀ±À, ±ÀvÀ EvÁå¢ ¸ÁÜ£À¨ÉÃzÀUÀ¼ÀÄ, ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À, UÀÄuÁPÁgÀ, ¨sÁUÀPÁgÀ, ªÀUÀð, ªÀUÀðªÀÄÆ®, WÀ£À, WÀ£ÀªÀÄÆ® JA§ 8 CAPÀUÀtÂvÀ «zsÁ£ÀUÀ¼ÀÄ, ±ÀÆ£Àå ¥ÀjPÀªÀiÁðµÀÖPÀ, «¯ÉÆêÀÄ, EµÀÖPÀªÀÄð, ©ü£ÀßgÁ², vÉæöÊgÁ², «Ä±Àæ ªÀåªÀºÁgÀ(Interest calculation ), ±ÉæÃr, PÉëÃvÀæ UÀtÂvÀ (Mensuration) ªÀÄÄAvÁzÀ §ºÀ¼ÀµÀÄÖ «µÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ ZÀað¸À®ànÖªÉ. 5. ©ÃdUÀtÂvÀA JA§ JgÀqÀ£É ¨sÁUÀzÀ°è ±ÀÆ£Àå, C£ÀAvÀ, zsÀ£À(+) ªÀÄvÀÄÛ IÄt(-) aºÉßUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ, ºÁUÀÆ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀ£ÀÄß ¸ÉÆ£É߬ÄAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ G½AiÀÄĪÀÅzÀÄ ±ÀÆ£Àå JA§ ªÀÄÄAvÁzÉ «µÀAiÀÄUÀ½UÉ «ªÀgÀuÉ ¤ÃrzÁÝ£É. 6. Bhaskara can also be called the founder of Differential calculus. He gave an example of what is now called” Differential coefficient” and the basic idea of what is now called as “ Roll’s theorem” Unfortunately, later Indian mathematicians did not take any notice of this. Five centuries later, Newton and Leibniz developed this subject. ºÀ¯ÁAiÀÄÄzsÀ£À §UÉÎ ¹QÌzÀ ªÀiÁ»w PÀrªÉÄ. ¢é¥ÀzÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ( Binomial theorem) PÉÌ ¸ÀA§AzsÀ¥ÀlÖAvÉ ¢é¥À¢UÀ¼À WÁvÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è ¥ÀæwAiÉÆÃAzÀÄ ¥ÀzÀzÀ ¹ÜgÀUÀÄtPÀ( Binomial coefficients) ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä C£ÀPÀÆ®ªÁUÀĪÀAvÉ ºÀ¯ÁAiÀÄÄzsÀ£ÀÄ ¦AUÀ¼À£À bÀAzÀ¸ÀÆìvÀæzÀ DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ¯É “ªÉÄÃgÀÄ¥Àæ¸ÁÛgÀ” ªÀ£ÀÄß gÀa¹zÁÝ£É. EzÉà jÃwAiÀÄ ¢é¥À¢

WÁvÀUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉUÉ ªÀÄÄAzÉ LgÉÆÃ¥Àå UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç EvÀºÁ¸ÀzÀ°è “ ¥Á¸À̯ï læAiÀiÁAUÀ¯ï”(Pascal’s traingle) JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹zÁÝgÉ. ¥Áå¸À¯ï¤VAvÀ 600 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉAiÉÄà ºÀ¯ÁAiÀÄÄzÀ£ÀÄ F «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß PÉÆnÖzÀÝ£ÀÄ. ²æÃzsÀgÁZÁAiÀ Äð

Q.±À. 9-10 £Éà ±ÀvÀªÀiÁ£À

RUÉÆüÀ ±Á¸ÀÛç¢AzÀ UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß ¨ÉÃ¥Àðr¹ UÀtÂvÀPÉÌ vÀ£ÀßzÉà DzÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ PÉÆqÀÄUÉ. ªÀUÀð ¥ÀÆtð ªÀiÁqÀÄ«PÉ ¬ÄAzÀ ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀt zÀ ªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«PÉ. Sridhara is known as the author of two mathematical treatises, namely the Trisatika (sometimes called the Patiganitasara ) and the Patiganita. However at least three other works have been attributed to him, namely the Bijaganita, Navasati, and Brhatpati.

Sridhara was one of the first mathematicians to give a rule to solve a quadratic equation. Unfortunately, as we indicated above, the original is lost and we have to rely on a quotation of Sridhara's rule from Bhaskara II:Multiply both sides of the equation by a known quantity equal to four times the coefficient of the square of the unknown; add to both sides a known quantity equal to the square of the coefficient of the unknown; then take the square root. In his books he gives rules for computing with natural numbers, rules for operating with rational fractions. He gives a wide variety of applications including problems involving ratios, barter, simple interest, mixtures, purchase and sale, rates of travel, wages, and filling of cisterns. Some of the examples are decidedly non-trivial and one has to consider this as a really advanced work. Other topics covered by the author include the rule for calculating the number of combinations of n things taken m at a time. There are sections of the book devoted to arithmetic and geometric progressions, including progressions with a fractional numbers of terms, and formulas for the sum of certain finite series are given.

PÉÃgÀ¼ÀzÀ UÀtÂvÀdÕgÀÄ 1. ªÀiÁzsÀªÀ

Qæ.±À. 13401425

PÉÃgÀ¼ÀzÀ RUÉÆî±Á¸ÀÛçdÕgÀ°è ªÀiÁzsÀªÀ£ÀÄ CvÀåAvÀ ZÀvÀÄgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥Àæw¨sÁ¤évÀ£ÁVzÀÄÝ UÉÆðÃAiÀÄ wæPÉÆãÀ«Äw(Spherical trigonametry) AiÀÄ°è ¤µÁÚvÀ£ÁVzÀÝ£ÀÄ 1. ªÀiÁzsÀªÀ£ÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß 11 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÁÛ£ÀUÀ¼ÀªÀgÉUÉ ¤RgÀªÁzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝ£É. 2. eÁå (sine) ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃeÁå (cosine) ±ÉæÃtÂUÀ¼À£ÀÄß ªÉÆlÖªÉÆzÀ®Ä ªÀiÁzsÀªÀ£ÀÄ (1340-1425) C£ÀAvÀgÀ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ jÃvÁå rªÀiË«æÃ(Demoivre 1707-38AD) ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄègï(Euler-1744) EªÀgÀÄUÀ¼ÀÄ ¥Àæ¸Àܦ¹zÀÝgÀÆ PÀÆqÀ CzÀgÀ ±ÉæÃAiÀĸÀÄì CUÁUÉÎ £ÀÆål£ï¤UÉ (1642-1727) ¸À°è¸À¯ÁUÀÄwÛzÉ. 3. 4.

2. ¥ÀgÀªÉÄà ±ÀégÀ

about 1370 in Alattur, Kerala, India Died: about 1460 in India

Madhava discovered the series equivalent to the Maclaurin expansions of sin x, cos x, and arctan x around 1400, which is over two hundred years before they were rediscovered in Europe. Madhava of Sangamagramma was born near Cochin on the coast in the Kerala state

¥ÀgÀªÉÄñÀégÀ£ÀÄ vÀ£Àß ¹zÁÞAvÀ¢Ã¦PÁ JA§ UÀæAxÀzÀ°è vÀ£Àß ¢ÃWÀð fêÁªÀ¢üAiÀÄ°è 55 ªÀµÀðUÀ¼À PÁ® ( Qæ.±À> 1393-1448) ±ÀæzÉݬÄAzÀ «ÃQì¹zÀ ¸ÀÆAiÀÄð-ZÀAzÀægÀ UÀæºÀtUÀ¼À «ªÀgÀUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁÝ£É. CµÉÖ C®èzÉ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹ UÀæºÀtUÀ¼À ¯ÉPÁÌZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀë÷ä¥Àr¹zÁÝ£É. ¥ÀgÀªÉÄñÀégÀ£ÀÄ zÀÈUÀtÂvÀ, UÉÆî¢Ã¦PÁ-1, UÉÆî¢Ã¦PÁ-2, UÀæºÀt£ÁåAiÀÄ ¢Ã¦PÁ, UÀæºÀuÁµÀÖPÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÁåPÀgÀtUÀ¼ÉA§ ¸ÀévÀAvÀæ PÀÈwUÀ¼À£ÀÄß RUÉÆî±Á¸ÀÛçzÀ ªÉÄïÉAiÀÄÆ, DZÁgÀ¸ÀAUÀæºÀ, eÁvÀPÀ ¥ÀzÀÞwUÀ¼ÉA§ PÀÈwUÀ¼À£ÀÄß ¥sÀ®eÉÆåÃwµÀåzÀ ªÉÄ®Æ , ºÁUÀÆ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç UÀæAxÀUÀ¼À ªÉÄïɯÁè §gÉzÀ ¨ÁûµÀåUÀæAxÀUÀ¼ÁzÀ DAiÀÄð¨sÀnÃAiÀÄzÀ

3. ¤Ã®PÀAo À ¸ÉÆêÀÄ AiÀiÁf

¨ÁµÀå ‘¨sÀl¢Ã¦PÁ’ ¨sÁ¸ÀÌgÀ ¥ÀæxÀªÀÄ£À ªÀĺÁ¨sÁ¸ÀÌjÃAiÀÄzÀ ¨sÁµÀå’ PÀªÀÄð¢Ã¦PÁ’ , ¨sÁ¸ÀÌgÀ£À °Ã¯ÁªÀwAiÀÄ ¨sÁµÀå ‘«ªÀgÀtÂ’ ªÀÄÄAvÁzÀĪÀUÀ¼ÁVªÉ. ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¨sÀÄdUÀ¼À C¼ÀvÉ a,b,c,d DzÁUÀ CªÀÅUÀ½AzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥Àj(ªÀÈvÀÛzÀ) wædå-R PÀAqÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀPÁÌV Qæ.±À. 14441545

¤AiÀĪÀĪÉÇAzÀ£ÀÄß ¥ÀgÀªÉÄñÀégÀ£ÀÄ R = ¼ √[(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd) /(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝ£É. F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¸ÀĪÀiÁgÀÄ 350 ªÀgÀĵÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ¥ÀÅ£ÀB 1782 gÀ°è ºÀĬĮgï JA¨ÁvÀ£ÀÄ PÀAqÀÄ »rzÀ£ÀÄ.. £ÀªÀÄUÉ ¥ÀjavÀ«gÀĪÀ a+ar+ar2+.......... JA§ C£ÀAvÀ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrAiÀÄÄ C©ü¸ÀgÀtªÁVzÀÝ ¥ÀPÀëzÀ°è ( CzÀPÉÌ ¤AiÀĪÀÄ : -1
4. avÀæ¨sÁ£ ÀÄ

Qæ.±À. 14751550

The Tantrasamgraha is his major astronomy treatise written in 1501. It consists of 432 Sanskrit verses divided into 8 chapters, and it covers various aspects of Indian astronomy. It is based on the epicyclic and eccentric models of planetary motion. The first two chapters deal with the motions and longitudes of the planets. The third chapter Treatise on shadow deals with various problems related with the sun's position on the celestial sphere, including the relationships of its expressions in the three systems of coordinates, namely ecliptic, equatorial and horizontal coordinates.

avÀæ¨sÁ£ÀĪÀÅ ¤Ã®PÀAoÀ ¸ÉÆêÀÄAiÀiÁfAiÀÄ ²µÀå£ÁVzÀÝ£ÀÄ. FvÀ£ÀÄ PÀgÀuÁªÀÄÈvÀªÉA§ RUÉÆî±Á¸ÀÛçUÀæAxÀªÉÇAzÀ£ÀÄß gÀa¹zÁÝ£É. avÀæ¨sÁ£ÀĪÀÅ vÀ£Àß KPÀ«A±Àw ¥Àæ±ÉÆßÃvÀÛgÀ JA§ PÀÈwAiÀÄ°è 21 eÉÆvÉAiÀÄ JgÀqÀÄ CªÀAiÀÄPÀÛUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉƪÀÄqÀ KPÀPÁ°PÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¤gÀƦ¹zÁÝ£É.

eÉÊ£ÀågÀÄ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçP ÉÌ ¤ÃrzÀ PÉÆqÀÄUÉ

Jainism is a religion and philosophy which was founded in India around the 6th century BC. To a certain extent it began to replace the Vedic religions which, with their sacrificial procedures, had given rise to the mathematics of building altars. The ideas of the mathematical infinite in Jaina mathematics is very interesting indeed and they evolve largely due to the Jaina's cosmological ideas. In Jaina cosmology time is thought of as eternal and without form. The world is infinite, it was never created and has always existed.

This cosmology has strongly influenced Jaina mathematics in many ways and has been a motivating factor in the development of mathematical ideas of the infinite which were not considered again until the time of Cantor. The Jaina cosmology contained a time period of 2588 years. Note that 2588 is a very large number! 2588 = 1013 065324 433836 171511 818326 096474 890383 898005 918563 696288 002277 756507 034036 354527 929615 978746 851512 277392 062160 962106 733983 191180 520452 956027 069051 297354 415786 421338 721071 661056. By the second century AD the Jaina had produced a theory of sets. In Satkhandagama various sets are operated upon by logarithmic functions to base two, by squaring and extracting square roots, and by raising to finite or infinite powers. The operations are repeated to produce new sets. Permutations and combinations are used in the Sthananga Sutra. In the Bhagabati Sutra rules are given for the number of permutations of 1 selected from n, 2 from n, and 3 from n. Similarly rules are given for the number of combinations of 1 from n, 2 from n, and 3 from n.

²æäªÁ¸À gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï

1887-1920

vÀ«Ä¼ÀÄ£Ár£À PÉÆAiÀÄA§vÀÆÛgÀÄ f¯ÉèAiÀÄ FgÉÆÃr£À°è 1887£Éà E¸À« r¸ÉA§gï 22 gÀAzÀÄ gÁªÀÄ£ÀÄd£ï d£Àä vÁ½zÀgÀÄ. vÀAzÉ ²æäªÁ¸À CAiÀÄåAUÁgÀgÀÄ ºÁUÀÆ vÁ¬Ä PÉÆêÀÄ®vÀªÀiÁä¼ï . gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï vÀ£Àß «zÁå¨Áå¸ÀªÀ£ÀÄß PÀÄA§PÉÆÃtA Hj£À ¸ÀgÀPÁj ¥ËæqsÀ±Á®;JAiÀÄ°èAiÀÄÆ ºÁUÀÄ 1904 gÀ°è C°èAiÀÄ ¸ÀgÀPÁj PÁ¯ÉÃf£À°èAiÀÄÄ «zÁå¨Áå¸À ªÀÄÄAzÀĪÀgɹzÀ£ÀÄ. vÀ£Àß D¸ÀQÛAiÀÄ£ÀÄß KPÉÊPÀ «µÀAiÀĪÁzÀ UÀtÂvÀzÀvÀÛ PÉÃA¢æPÀj¹zÀ ¥sÀ®ªÁV EvÀgÀ «µÀAiÀÄUÀ¼À°è ¸ÁPÀµÀÄÖ C¸ÀQÛAiÀÄ£ÀÄß vÉÆÃgÀzÉ J¥sï.J.(FV£À ¦.AiÀÄÄ.¹) ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è ¥sÉïÁzÀ£ÀÄ. 1909 gÀ°è PÉêÀ® MA§vÀÄÛ ªÀµÀðUÀ¼À ¥ÀÅlÖ ¨Á®QAiÀiÁzÀ eÁ£ÀQAiÉÆA¢UÉ «ªÁºÀªÁ¬ÄvÀÄ. vÀ£Àß 13 £Éà ªÀAiÀĹì£À°è 4£Éà ¥ÁgÀA£À°è (FV£À 8 £É vÀgÀUÀw) NzÀÄwzÁÝUÀ J¸À.J¯ï.¯ÉÆäAiÀÄ “wæPÉÆÃt«Äw” JA§ ¥ÀŸÀÛPÀzÀ°èzÀÝ J®è ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄ¥ÀðPÀªÁV ©r¹zÀÝ£ÀÄ. gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï ¸ÀvÀvÀªÁV GZÀѪÀÄlÖzÀ UÀtÂvÀ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£ÉAiÀÄ°è vÉÆqÀV, vÁ£ÀÄ ¸Á¢ü¹zÀ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ “ £ÉÆÃmï §ÄPï £À°è §gÉ¢lÄÖPÉƼÀÄîwzÀÝ£ÀÄ. gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï CªÀgÀ AiÀıÀ¹ì£À ¨ÁV®£ÀÄß ¤dªÁVAiÀÄÆ vÉgÉ¢zÀÄÝ CAzÀgÉ PÉæÃA©eï «±Àé«zÁå®AiÀÄzÀ «±Àé«SÁåvÀ UÀtÂvÀ ¥ÁæzÁå¥ÀPÀgÁVzÀÝ ¥ÉÇæ|| f.JZï. ºÁrðAiÀĪÀgÉÆA¢UÉ ¸ÀA¥ÀPÀð. ªÀÄÄAzÉ ¥ÉÇæ|| ºÁrðAiÀĪÀgÀÄ vÉÆÃjzÀ «±ÉõÀ D¸ÀQÛ¬ÄAzÁV gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï CªÀgÀÄ 1914 gÀ°è PÉæÃA©eï£À ¥ÀæSÁåvÀªÁzÀ næ¤n PÁ¯ÉÃfUÉ ¸ÉÃjPÉÆAqÀgÀÄ. gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï CªÀgÀ ±ÉæõÀÖ ªÀÄlÖzÀ PÉÆqÀÄUÉUÁV ‘®AqÀ¤ß£À gÁAiÀÄ¯ï ¸ÉƸÉÊn D¥sï ¸ÉÊ£ïì’ ¸ÀA¸ÉÜAiÀĪÀgÀÄ 1918 gÀ°è DvÀ¤UÉ “K¥sï.Dgï.K¸ï” (¥sɯÉÆà D¥sï ¢ gÁAiÀÄ¯ï ¸ÉƸÉÊn) JA§ G£ÀßvÀ ªÀÄlÖzÀ ªÀÄ£ÀßuɬÄvÀÛgÀÄ. gÁªÀiÁ£ÀÄd£ï C¥À¸ÀägÀt ±ÉæÃtÂ(Hypergeometric series) , ªÀiÁPïyÃmÁ GvÀà£ÀßUÀ¼ÀÄ, ¸ÀASÁåWÁvÀUÀ¼À «±ÉõÀUÀÄtUÀ¼ÀÄ, ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀUÀð¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ, PÀgÀtÂgÀÆ¥ÀzÀ°è ¸ÀASÉåUÉ ¸À¤ß»vÀ ¨É¯É, C©ü¸ÀgÀt, C£ÀAvÀ ±ÉæÃr gÀÆ¥ÀUÀ¼ÀÄ, ªÀiÁAiÀiÁ ZËPÀUÀ¼ÀÄ, ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À CzsÀåAiÀÄ£À, UÀtÂvÀPÉÌ ¸ÀA§AzÀ¥ÀlÖ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃrzÁÝgÉ. Ramanujan published 21 papers , some in collaboration with Hardy. His achievements include Hardy-Ramanujan-Littlewood Circle method in number theory. Ramanujan Idintities in partition of numbers, work on algebra of inequalities, elliptic functions, continued fractions, partial sums and products of hypergeometric series, etc. He was the second Indian to be elected Fellow of Royal Society in 1918 and he became the first indian to be elected Fellow of Trinity college, Cambride. Ramanujan had intimate familiarity with numbers. Unfortunatley, Ramanujan’s health deteriorated due tuberculosis, he returned to India in 1919. He died in Madras on April

26, 1920.

P.C. Mahalanobis

: He founded the Indian Statistical Research Institute in Calcutta. In 1958, he started the National Sample Surveys which gained international fame. He died in 1972 at the age of 79. A well known statistician, famous for his "theory of estimation"(1945). His formulae and theory include "Cramer -Rao inequality", "Fischer -Rao theorem" and "Rao - Blackwellisation

C.R. Rao :

D.R. Kaprekar

(1905-1988)

Harish Chandra

1923-1983

Narendra Karmarkar

Fond of numbers. Well known for "Kaprekar Constant" 6174. Take any four digit number in which all digits are not alike. Arrange its digits in descending order and subtract from it the number formed by arranging the digits in ascending order. If this process is repeated with reminders, ultimately number 6174 is obtained, which then generates itself. Greatly developed the branch of higher mathematics known as the infinite dimensional group representation theory. India born Narendra Karmarkar, working at Bell Labs USA, stunned the world in 1984 with his new algorithm to solve linear programming problems. This made the complex calculations much faster, and had immediate applications in airports, warehouses, communication networks etc.