Incertitudine De Masurare

CAPITOLUL IX

EXPRIMAREA INCERTITUDINII IN MASURARI

8.1 DEFINITII ABATERE STANDARD EXPERIMENTALA - pentru un sir de n masurari ale aceluiasi masurand, este marimea s care caracterizeaza imprastierea rezultatelor si este data de formula: n

s=

∑ (x i =1

i

− x)

2

n −1

xi fiind rezultatul celei de-a i-a masurari, iar x fiind media aritmetica al celor n rezultate considerate. ABATERE STANDARD (a unei variabile aleatorii sau a unei distributii de probabilitate) radacina patrata pozitiva a variantei. INCERTITUDINE DE MASURARE - parametru, asociat rezultatului unei masurari, care caracterizeaza imprastierea valorilor ce in mod rezonabil ar putea fi atribuite masurandului. CORECTIE – valoare adaugata algebric rezultatului brut al unei masurari pentru compensarea erorii sistematice. EVALUARE DE TIP A (a incertitudinii) - metoda de evaluare a incertitudinii prin analiza statistica a unei serii de observatii. EVALUARE DE TIP B (a incertitudinii) - metoda de evaluare a incertitudinii prin alte mijloace decat analiza statistica a unei serii de observatii. INCERTITUDINE STANDARD - incertitudine a rezultatului unei masurari exprimata ca o abatere standard.

1

INCERTITUDINE STANDARD COMPUSA - incertitudine standard a rezultatului unei masurari atunci cand rezultatul acelei masurari este obtinut din valorile unui numar de alte marimi, egala cu radacina patrata pozitiva a unei sume de termeni, termenii respectivi fiind variantele sau covariantele acestor marimi, conform modului in care rezultatul masurarii variaza in functie de schimbarea acestor marimi. INCERTITUDINE EXTINSA - marime ce defineste un interval in jurul rezultatului unei masurari, interval in care este de asteptat sa fie cuprinsa o fractiune mare a distributiei valorilor care pot fi rezonabil atribuite masurandului. FACTOR DE ACOPERIRE - factor numeric folosit ca un multiplicator al incertitudinii standard compuse in vederea obtinerii incertitudinii extinse. NOTA - Un factor de acoperire, k, este in mod obisnuit in intervalul de la 2 la 3. COEFICIENT DE SENSIBILITATE ASOCIAT CU O ESTIMARE DE INTRARE - variatia estimarii de iesire generata de variatia estimarii de intrare impartita la variatia acelei estimari de intrare. PROBABILITATE - un numar real cuprins intre 0 si 1 si atasat unui eveniment aleatoriu. DISTRIBUTIE DE PROBABILITATE (a unei variabile aleatorii) - o functie exprimand probabilitatea ca o variabila aleatorie sa ia orice valoare data sau sa apartina unui sir dat de valori. PARAMETRU - o marime folosita in descrierea distributiei de probabilitate a unei variabile aleatorii. VARIABILA ALEATORiE - o variabila ce poate lua orice valoare intr-un sir specific de valori si careia i se asociaza o distributie de probabilitate. CORELATIE - relatie intre doua sau mai multe variabile aleatorii avand o distributie de doua sau mai multe variabile. VARIABILA ALEATORIE CENTRATA - o variabila aleatorie a carei medie este egala cu zero. VARIANTA/DISPERSIE (a unei variabile aleatorii sau a unei distributii de probabilitate) medie statistica a patratului variabilei aleatorii centrate; o masura a dispersiei care este egala cu raportul dintre suma patratelor abaterilor fata de media acestora si numarul de observatii minus unu. MEDIE ARITMETICA - valoarea raportului dintre suma valorilor si numarul lor. ESTIMARE - operatie de atribuire de valori numerice, din observatiile pe un esantion, pentru parametrii unei distributii alese ca model statistic al populatiei din care este luat esantionul. ESTIMATOR - o statistica folosita pentru estimarea unui parametru al populatiei. ESTIMATIE - valoarea unui estimator. 8.2 INTRODUCERE In 1978, recunoscand lipsa unui consens international in exprimarea incertitudinii de masurare, autoritatea mondiala suprema in metrologie, Comitetul International de Masuri si 2

Greutati (CIPM), a cerut Biroului International de Masuri si Greutati (BIPM) sa se ocupe de rezolvarea acestei probleme impreuna cu laboratoarele de etalonari nationale si sa elaboreze o recomandare. BIPM a formulat un chestionar detaliat cuprinzand chestiunile privitoare la subiect si l-a distribuit catre 32 laboratoare nationale de metrologie interesate. Aproape toti au fost de parere ca este important sa se ajunga la o procedura acceptata pe plan

international

pentru

exprimarea

incertitudinii

de

masurare

si

pentru

combinarea

componentelor individuale ale incertitudinii intr-o singura incertitudine totala. Nu s-a desprins insa nici un consens cu privire la destinatia metodei. Atunci BIPM a convocat un grup de lucru (Working Group on the Statement of Uncertainties / WGSU), care a elaborat Recomandarea INC-1(1980): Exprimarea Incertitudinilor Experimentale. Recomandarea a fost adoptata de catre CIPM in octombrie 1981 si reconfirmata in 1986. CIPM a transmis sarcina elaborarii unui ghid detaliat, bazat pe Recomandarea Grupului de Lucru, Organizatiei Internationale de Standardizare (ISO). Responsabilitatea elaborarii a fost atribuita Grupului Consultativ Tehnic al ISO pentru Metrologie - deoarece una din sarcinile acestui grup era sa coordoneze dezvoltarea liniilor directoare cu privire la chestiuni de interes comun pentru ISO, si altor sase organizatii care colaboreaza cu ISO in TAGA: •

Comisia Electrotehnica Internationala (IEC);

•

Comitetul International de Masuri si Greutati (CIPM);

•

Organizatia Internationala de Metrologie Legala (OIML);

•

Uniunea Internationala de Chimie Pura si Aplicata (IUPAC);

•

Uniunea Internationala de Fizica Pura si Aplicata (IUPAP);

•

Federatia Internationala de Chimie Clinica (IFCC).

In final s-a constituit Grupul de Lucru, compus din experti desemnati de BIPM, IEC, ISO si OIML. Acest grup a primit urmatoarea insarcinare: sa elaboreze un document bazat pe Recomandarea Grupului de Lucru BIPM pentru Exprimarea Incertitudinilor si care sa prevada reguli de exprimare a incertitudinii de masurare pentru a fi utilizate in standardizare, etalonare, acreditare de laboratoare si servicii metrologice. Scopul unui asemenea ghid era : •

sa furnizeze informatii complete asupra modului in care se ajunge la expresiile incertitudinii;

•

sa creeze o baza pentru compararea internationala a rezultatelor masurarilor.

In epoca actuala a pietii mondiale este imperativ ca masurarile executate in tari diferite sa fie usor de comparat, iar calitatea masurarilor sa fie apreciata cantitativ peste tot in conformitate cu aceeasi procedura. Asa cum utilizarea aproape universala a SI a conferit coerenta tuturor masurarilor stiintifice si tehnologice, un consens mondial asupra modului de caracterizare a calitatii masurarilor era 3

absolut necesar si fezabil. In felul acesta s-a ajuns la Ghidul pentru Exprimarea Incertitudinii in masurari (caruia o sa-i spunem pe scurt Ghidul ISO). 8.3 OBIECTUL GHIDULUI Acest Ghid stabileste reguli generale pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii de masurare, care pot fi urmate la diferite niveluri de exactitate si in multe domenii cum ar fi cele implicate in: •

mentinerea controlului calitatii si asigurarii calitatii;

•

respectarea si impunerea legislatiei si a reglementarilor;

•

efectuarea de cercetari fundamentale si aplicative in stiinta si inginerie;

•

etalonari ale etaloanelor si a mijloacelor de masurare si efectuarea de incercari in cadrul unui sistem national de masurari, in vederea realizarii trasabilitatii la etaloanele nationale;

•

dezvoltarea, mentinerea si compararea etaloanelor de referinta nationale si internationale ale unitatilor marimilor fizice, inclusiv a materialelor de referinta.

Ghidul ISO furnizeaza reguli generale pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii de masurare si nu indicatii detaliate, specific tehnologice. De asemenea, el nu examineaza modul in care incertitudinea unei masurari particulare, o data evaluata, poate fi utilizata in diferite scopuri, de exemplu pentru a deduce concluzii asupra compatibilitatii acelui rezultat cu alte rezultate similare, a stabili tolerante in procesele de fabricatie sau a decide daca o anumita actiune poate fi considerata ca sigura. De aceea, va fi necesara elaborarea de standarde specifice bazate pe acest Ghid si consacrate problemelor caracteristice unor domenii anumite ale masurarilor sau unor utilizari diverse ale exprimarii cantitative a incertitudinii. Aceste standarde ar putea fi versiuni simplificate ale Ghidului ISO, dar vor trebui sa includa detaliile adecvate nivelului de exactitate si complexitatii masurarilor si utilizarilor avute in vedere. Cuvantul "incertitudine" inseamna "indoiala"; astfel, in sensul cel mai larg, "incertitudinea de masurare" inseamna dubiu cu privire la validitatea rezultatului unei masurari. Datorita lipsei altui cuvant mai potrivit, este necesar ca termenul "incertitudine" sa fie folosit atat pentru acest concept general cat si pentru a desemna acele marimi specifice care dau masurile cantitative ale conceptului - cum ar fi, de exemplu, abaterea standard. In acest Ghid, cuvantul "incertitudine" - fara adjective - se refera atat la conceptul general cat si la orice masura cantitativa a acestui concept. Atunci cand se face referire la o anumita masura, sunt folosite adjective corespunzatoare. Definitia incertitudinii de masurare este compatibila cu: •

o estimatie caracterizand intervalul de valori in interiorul careia se gaseste valoarea adevarata a masurandului;

4

•

o masura a erorii posibile in estimarea valorii masurandului, asa cum este data de rezultatul masurarii.

Aceste doua concepte au in vedere marimi care in principiu nu pot fi cunoscute: •

“valoarea adevarata” a masurandului;

•

“eroarea” rezultatului masurarii.

8.4 CONCEPTE DE BAZA Masurarea Scopul unei masurari este de a determina valoarea masurandului, adica valoarea marimii particulare de masurat. Ca urmare, o masurare incepe prin precizarea corespunzatoare a masurandului, a metodei de masurare si a procedurii de masurare. Rezultatul unei masurari Este numai o aproximatie sau estimatie a valorii masurandului si, de aceea, este complet numai daca este urmat de specificarea incertitudinii celei estimatii. Specificatia sau definitia masurandului In practica, specificatia sau definitia masurandului este dictata de exactitatea masurarii care se cere. Masurandul ar trebui definit suficient de complet in functie de exactitatea ceruta, astfel incat valoarea sa sa fie unica pentru toate scopurile practice asociate cu masurarea. Tocmai in acest sens este utilizata in Ghidul ISO expresia "valoare a masurandului". Conditii de repetabilitate In multe cazuri, rezultatul unei masurari este determinat pe baza unui sir de observatii repetate, obtinute in conditii de repetabilitate. Variatiile, in cazul observatiilor repetate, sunt presupuse a aparea din cauza ca marimile de influenta care pot afecta rezultatul masurarii nu sunt mentinute practic la un nivel constant. Masurand scalar sau vectorial In Ghidul ISO, masurandul este tratat ca un scalar. Generalizarea la un set de masuranzi interdependenti determinati simultan in aceeasi masurare necesita inlocuirea masurandului scalar si a variantei sale cu un masurand vectorial si matricea de covarianta. Erori In general, o masurare este afectata de imperfectiuni care dau nastere unei erori in rezultatul masurarii. In mod traditional, se considera ca o eroare are doua componente, si anume o componenta aleatorie si una sistematica. Erorile, in principial, nu pot fi cunoscute exact. Eroarea aleatorie Este de presupus ca eroarea aleatorie isi are originea in variatia imprevizibila sau stochastica temporala si spatiala a marimilor de influenta. Efectele unor asemenea variatii, numite de aici inainte efecte aleatorii, produc variatii in observatiile repetate ale masurandului. Eroarea aleatorie a unui rezultat de masurare nu poate fi compensata prin vreo corectie, dar in general poate fi redusa crescand numarul de observatii. 5

Eroarea sistematica Eroarea sistematica, ca si eroarea aleatorie, nu poate fi eliminata, dar de multe ori poate fi micsorata. Daca o eroare sistematica provine dintr-un efect identificat al unei marimi de influenta asupra rezultatului masurarii, ceea ce se va numi de acum inainte efect sistematic poate fi cuantificat si, daca acesta este semnificativ ca marime in raport cu exactitatea ceruta in masurare, se poate aplica o corectie sau un factor de corectie. Se presupune ca rezultatul unei masurari a fost corectat fata de toate efectele sistematice identificate si ca s-a incercat prin toate mijloacele identificarea acestor efecte. Incertitudinea rezultatului unei masurari reflecta lipsa cunoasterii exacte a valorii masurandului. Rezultatul corectat al unei masurari pentru efecte sistematice identificate este inca doar un estimator al valorii masurandului, datorita incertitudinii cauzate de efecte aleatorii si corectarii imperfecte a efectelor sistematice. 8.5 SURSE DE INCERTITUDINE In practica, exista multe surse posibile de incertitudine intr-o masurare, printre care includem urmatoarele: a) definitia incompleta a masurandului; b) realizarea imperfecta a definitiei masurandului; c) esantionarea

nereprezentativa,

esantionul

studiat

neputand

sa

reprezinte

masurandul definit; d) cunoasterea neadecvata a efectelor conditiilor de mediu asupra masurarii sau masurarea imperfecta a conditiilor de mediu; e) eroare de justete personala la citirea mijloacelor de masurare analogice; f) rezolutia finita a mijlocului de masurare sau pragul de discriminare; g) valori inexacte ale etaloanelor si materialelor de referinta; h) valori ale constantelor si ale altor parametri obtinuti din surse externe si folositi in algoritmul procesarii datelor; i)

aproximatii si presupuneri incorporate in metoda si procedura de masurare;

j)

variatii in observatiile repetate ale masurandului in conditii aparent identice.

Aceste surse nu sunt in mod necesar independente, iar unele din sursele de la a) la i) pot contribui la sursa mentionata la j). Desigur, un efect sistematic neidentificat nu poate fi luat in considerare la evaluarea incertitudinii rezultatului unei masurari, dar contribuie la eroarea lui. 8.6 METODA PENTRU EVALUAREA INCERTITUDINII Metoda ideala pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii rezultatului unei masurari ar trebui sa fie: •

universala: metoda ar trebui sa fie aplicabila tuturor tipurilor de masurari si tuturor tipurilor de date de intrare utilizate in masurari; 6

•

consistenta intern: ar trebui sa fie direct derivabila din componentele care contribuie la ea, si, de asemenea, independenta de modul in care aceste componente sunt grupate si de descompunerea componentelor in subcomponente;

•

transferabila: este necesar ca incertitudinea evaluata pentru un anumit rezultat sa poata fi folosita ca o componenta in evaluarea incertitudinii unei alte masurari in care primul rezultat este utilizat.

In plus, in multe aplicatii industriale si comerciale, ca si in domeniile sanatatii si securitatii, este deseori necesar sa se furnizeze un interval in jurul rezultatului masurarii, care este de asteptat sa cuprinda cea mai mare parte a distributiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite marimii supuse masurarii. 8.7 RECOMANDAREA INC-1 (1980) A GRUPULUI DE LUCRU PENTRU EXPRIMAREA INCERTITUDINILOR Incertitudinea rezultatului unei masurari cuprinde - in general - mai multe componente, care pot fi grupate in doua categorii in functie de metoda utilizata pentru a estima valoarea lor numerica: A - cele care sunt evaluate cu ajutorul metodelor statistice s i2 – variante estimate s i – abateri standard estimate ni – numarul gradelor de libertate. B - cele care sunt evaluate prin alte mijloace ui2 – variante ui – abateri standard in cadrul unei distributii presupuse. Incertitudinile compuse trebuie caracterizate prin valoarea obtinuta aplicand metoda uzuala de compunere a variantelor. Incertitudinea compusa, ca si componentele sale, trebuie exprimate sub forma de "abatere standard". Daca, pentru anumite utilizari, este necesar sa se multiplice incertitudinea compusa cu un factor in scopul obtinerii unei incertitudini extinse, acest factor de multiplicare trebuie dat intotdeauna. Recomandarea INC-1 (1980) a Grupului de Lucru pentru Exprimarea Incertitudinilor clasifica componentele incertitudinii in doua categorii, pe baza metodei lor de evaluare: incertitudini de tip A si incertitudini de tip B. Aceste categorii se refera la modul de evaluare si nu sunt sinonime cu "aleatoriu", respectiv "sistematic". Incertitudinea corectiei unui efect sistematic identificat poate fi obtinuta uneori pe baza evaluarii de tip A, iar alteori pe baza evaluarii de tip B, la fel cu incertitutidinea ce caracterizeaza un efect aleatoriu. Scopul clasificarii in tip A si tip B este sa se indice cele doua modalitati de evaluare a componentelor incertitudinii, si se face numai din motive de comoditate a discutiei; clasificarea nu cauta sa indice vreo diferenta in natura componentelor rezultate din cele doua tipuri de evaluare. Ambele tipuri de evaluare se bazeaza pe distributii de

7

probabilitate si componentele de incertitudine provenite din amandoua tipurile sunt exprimate cantitativ prin variante sau abateri standard. Varianta estimata u2, ce caracterizeaza o componenta a incertitudinii obtinuta printr-o evaluare de tip A, este calculata dintr-o serie de observatii repetate si nu este altceva decat varianta obisnuita estimata statistic, s 2. Prin urmare, abaterea standard estimata u, radacina patrata a lui u2, este u = s si este numita, prin conventie, incertitudine standard de tip A. Pentru o componenta a incertitudinii obtinuta printr-o evaluare de tip B, varianta estimata u2 este calculata folosind informatii disponibile, iar abaterea standard u evaluata astfel este denumita incertitudine standard de tip B. O incertitudine standard de tip A se obtine cu ajutorul unei functii de densitate de probabilitate dedusa dintr-o distributie de frecvente observate, in timp ce o incertitudine standard de tip B se obtine dintr-o functie de densitate de probabilitate presupusa teoretic pe baza increderii acordate aparitiei unui eveniment (denumit frecvent probabilitate subiectiva). Ambele utilizeaza interpretari egal valabile ale probabilitatii. Incertitudinea standard a rezultatului unei masurari, cand rezultatul este obtinut din valorile unor alte marimi, este denumita incertitudine standard compusa si este notata cu uC . Ea este abaterea standard estimata asociata cu rezultatul, egala cu radacina patrata pozitiva a variantei totale obtinute prin sumarea tuturor componentelor variantei si covariantei, evaluate oricum, cu ajutorul legii propagarii incertitudinii. Pentru a satisface nevoile unor aplicatii industriale si comerciale, ca si unele cerinte in domeniul sanatatii si securitatii, se poate calcula o incertitudine extinsa U obtinuta prin multiplicarea incertitudinii standard compuse uC cu un factor de acoperire k. Scopul introducerii lui U este sa furnizeze un interval in jurul rezultatului masurarii care este de asteptat sa cuprinda o fractiune mare a distributiei valorilor ce pot fi atribuite rezonabil masurandului. Alegerea factorului k, care este uzual intre 2 si 3, se bazeaza pe probabilitatea de acoperire sau nivelul de incredere dorit pentru interval. 8.8 CONSIDERATII PRACTICE Variind toti parametrii de care depinde rezultatul unei masurari, incertitudinea lui poate fi evaluata prin mijloace statistice. Insa deoarece acest lucru este posibil numai rareori in practica, din cauza limitarilor de timp si de resurse, incertitudinea rezultatului masurarii se evalueaza de obicei pe baza unui model matematic al masurarii si pe baza legii de propagare a incertitudinii. Se face deci presupunerea implicita in acest Ghid ca o masurare poate fi modelata matematic pana la gradul impus de exactitatea ceruta masurarii. Modelul matematic trebuie revizuit intotdeauna daca datele observate, inclusiv rezultatele determinarilor independente ale aceluiasi masurand, arata ca modelul este incomplet. Un experiment bine proiectat poate usura mult evaluarea demna de incredere a incertitudinii si formeaza o parte importanta a artei masurarilor.

8

In anumite cazuri nu este nevoie ca incertitudinea corectiei unui efect sistematic sa fie luata in seama la evaluarea incertitudinii unui rezultat al masurarii. Chiar daca incertitudinea a fost evaluata, ea poate fi ignorata daca contributia sa la incertitudinea standard compusa a rezultatului masurarii este nesemnificativa. Daca valoarea corectiei insesi este nesemnificativa in comparatie cu incertitudinea standard compusa, ea poate fi, de asemenea, ignorata. Se intampla deseori in practica, mai ales in metrologia legala, ca un dispozitiv de masurare sa fie incercat/etalonat prin comparatie cu un etalon si incertitudinile asociate etalonului si cele ale procedeului de masurare sa fie neglijabile fata de exactitatea necesara a incercarii (exemplu: o balanta comerciala). In asemenea cazuri, intrucat componentele incertitudinii sunt destul de mici, ele pot fi neglijate si masurarea privita ca o determinare a erorii dispozitivului supus incercarii. Greselile facute la inregistrarea sau analiza datelor pot sa introduca in rezultatul masurarii o eroare semnificativa necunoscuta. Greselile mari pot fi de regula identificate printr-o revizie corespunzatoare a datelor, cele mici insa sunt mascate sau chiar pot aparea ca variatii aleatorii. Exprimarea incertitudinii nu are in vedere asemenea greseli. Desi Ghidul ISO ofera un cadru pentru stabilirea incertitudinii, el nu poate constitui un inlocuitor pentru gandirea critica, onestitatea intelectuala si calificarea profesionala. Evaluarea incertitudinii nu este o chestiune de rutina sau una pur matematica, ci presupune o cunoastere temeinica a naturii masurandului si a masurarii. Calitatea si utilitatea incertitudinii date pentru un rezultat al masurarii depind, in ultima instanta, de intelegerea, analiza critica si integritatea acelora ce contribuie la atribuirea valorii ei. 8.9 EVALUAREA INCERTITUDINII STANDARD 8.9.1 Modelarea masurarii In cele mai multe cazuri, masurandul Y nu este masurat direct, ci se determina din N alte marimi X1, X2,..., XN prin relatia functionala:

Y = f ( X 1 , X 2 , X 3 ,....., X N ) .

(1)

Marimile de intrare X1, X2,..., XN , de care depinde marimea de iesire Y, pot fi privite, ele insele, ca masuranzi si, la randul lor, pot sa depinda de alte marimi. Functia f care apare in acest Ghid trebuie considerata in acest sens mai general ca functia care contine toate marimile, inclusiv corectiile si factorii de corectie, ce pot contribui cu componente semnificative ale incertitudinii la rezultatul masurarii. Astfel, daca datele arata ca f nu modeleaza masurarea la nivelul cerut de exactitatea necesara a rezultatului masurarii, trebuie incluse si alte marimi de intrare in f pentru a elimina neajunsul. Aceasta poate implica si introducerea unei marimi de intrare care sa reflecte

9

cunoasterea incompleta a fenomenului ce afecteaza masurandul. Setul marimilor de intrare X1, X2,..., XN poate fi clasificat astfel: a) marimi ale caror valori si ***** - aceste valori si incertitudini se pot obtine, de pilda, pe baza unei singure observatii, a unor observatii repetate sau a unei pareri bazate pe experienta, si pot necesita determinarea unor corectii aplicate citirilor pe mijloace de masurare si corectii pentru marimile de influenta precum temperatura mediului, presiunea barometrica, umiditate etc.; b) marimi ale caror valori si incertitudini sunt introduse in masurare de la surse externe, cum ar fi marimi asociate cu etaloane etalonate, materiale de referinta certificate si date de referinta luate din manuale. O estimatie a masurandului Y, notata cu y, se obtine din ecuatia (1), pe baza estimatorilor de intrare x1, x2, x3,..., xN ai celor N marimi de intrare X1, X2,..., XN . Astfel, estimatia de iesire, y, ce reprezinta rezultatul masurarii, este data de:

y = f ( x1 , x2 , x3 ,.....xN ) .

(2)

Abaterea standard estimata asociata cu estimatia de iesire sau rezultatul masurarii y, denumita incertitudine standard compusa si notata cu uc(y), se determina pe baza abaterilor standard estimate ale fiecarei estimatii de intrare xi , denumite incertitudini standard si notate cu u(xi ) Fiecare estimatie de intrare xi si abaterea standard u(xi ) a sa se obtine din distributia valorilor posibile ale marimii de intrare Xi. Aceasta distributie de probabilitate poate fi bazata pe o serie de observatii X i,k ale lui Xi sau poate fi o distributie a priori. Evaluarile de tip A ale componentelor incertitudinii standard se bazeaza pe distributii de frecventa, in timp ce evaluarile de tip B se intemeiaza pe distributii a priori. 8.9.2 EVALUAREA DE TIP A INCERTITUDINII STANDARD In cele mai multe cazuri, estimatia disponibila cea mai buna a mediei statistice sau a mediei teoretice m q a unei marimi q ce variaza aleatoriu si pentru care se dispune de n observatii independente, qk, obtinute in conditii identice de masurare, este media aritmetica sau media experimentala a celor n observatii:

q =

1 n ∑ qk n k =1

(3)

Astfel, pentru o marime de intrare Xi estimata din n observatii repetate independente X

,

i,k

media aritmetica xi obtinuta din (3) este cea care se foloseste drept estimatie de intrare in ecuatia

10

(2) in vederea determinarii rezultatului masurarii y. Restul estimatorilor de intrare care nu sunt evaluati din observatii repetate trebuie obtinuti prin alte metode. Observatiile individuale qk difera ca valoare datorita variatiilor intamplatoare ale marimilor de influenta sau ale efectelor aleatorii. Variatia experimentala a observatiilor care estimeaza varianta s2 a distributiei de probabilitate a lui q este data de:

1 n s 2(q ) = (q − q )2 ∑ k n −1 k k =1

(4)

Estimatia variantei s2(qk) si radacina sa patrata pozitiva s(qk), denumita abatere standard experimentala, caracterizeaza variabilitatea valorilor observate qk sau dispersia lor in jurul mediei. Estimatia cea mai buna pentru q este s2(q) = s2/n, varianta mediei, este data de:

s 2 (q ) k s 2( q ) = n

(5)

Varianta experimentala a mediei s2(q) si abaterea standard experimentala a mediei, s(q), egala cu radacina patrata al lui s2(q), exprima cantitativ cat de bine estimeaza media statistica mq a lui q, si oricare poate fi folosita drept masura a incertitudinii lui. Astfel, pentru o marime de intrare Xi determinata pe baza a n observatii repetate independente X

, incertitudinea standard u(xi ) a estimatiei ei xi = Xi este u(xi ) = s (Xi ), cu varianta

i,k

s2(Xi ) calculata conform ecuatiei (5). Pentru comoditate, u2(xi ) = s2(Xi ) si u(xi ) = s(Xi ) sunt denumite uneori varianta de tip A si, respectiv, incertitudine standard de tip A. Gradele de libertate ni ale lui u(xi ), egale cu n - 1 in cazul cand xi = Xi si u(xi ) = s(Xi ) se calculeaza pe baza a n observatii independente, ar trebui date intotdeauna atunci cand se expliciteaza evaluari de tip A ale componentelor incertitudinii. 8.9.3 EVALUARE DE TIP B A INCERTITUDINII STANDARD Pentru o estimatie xi a unei marimi de intrare Xi , care nu a fost obtinuta pe baza unui sir de observatii repetate, varianta estimata asociata u2(xi ) sau incertitudinea standard u(xi ) este evaluata prin analiza stiintifica bazata pe toate informatiile de care se dispune asupra posibilei variabilitati a lui Xi . Ansamblul de informatii poate include: 1. date ale unor masurari anterioare; 2. experienta sau cunostinte generale privitoare la comportarea si proprietatile materialelor si mijloacelor de masurare; 3. specificatii ale producatorului; 11

4. date prevazute in certificate de etalonare sau alte certificate; 5. incertitudini atribuite datelor de referinta preluate din tratate. Pentru comoditate, u2(xi ) si u(xi ) evaluate pe aceasta cale sunt denumite uneori varianta de tip B si, respectiv, incertitudine standard de tip B. Utilizarea corespunzatoare a ansamblului de informatii disponibile pentru o evaluare de tip B a incertitudinii standard necesita o viziune bazata pe experienta si cunostinte generale si este o deprindere care se invata in practica. Trebuie observat ca o evaluare tip B a incertitudinii standard poate fi la fel de demna de incredere ca si o evaluare de tip A, mai ales in situatia unei masurari in care evaluarea de tip A se bazeaza pe un numar relativ mic de observatii statistic independente. Daca estimatia xi este preluata dintr-o specificatie data de producator, un certificat de etalonare, o carte tehnica sau alta sursa si incertitudinea sa se da cu un multiplu anumit al abaterii standard, incertitudinea standard u(xi ) este pur si simplu valoarea citata impartita la multiplicator, iar varianta u2(xi ) este patratul acestui cat. EXEMPLU 1: Intr-un certificat de etalonare se mentioneaza ca masa unui etalon de masa din otel inoxidabil m s avand valoarea nominala de un kilogram este 1 000,000 325 g si ca "incertitudinea acestei valori este de 240 µ g, la nivelul de trei abateri standard". In acest caz, incertitudinea standard a etalonului de masa este, simplu, u(m s) = (240 µ g)/3 = 80 µ g. Aceasta corespunde unei incertitudini standard relative u(m s)/m s de 80x10-9. Varianta estimata este u2(m s) = (80 µ g)2 = 6,4x10-9 g2. Incertitudinea specificata a lui xi poate fi data ca un interval de nivel de incredere 90, 95 sau 99% si nu ca un multiplu al abaterii standard. Daca nu se indica altfel, se poate presupune ca s-a folosit o distributie normala pentru calculul incertitudinii si incertitudinea standard a lui xi poate fi regasita prin impartirea incertitudinii date ca interval cu factorul corespunzator valabil pentru distributia normala. Factorii ce corespund celor trei niveluri de incredere mentionate mai sus sunt: 1,64, 1,96 si 2,58. EXEMPLU 2: Intr-un certificat de etalonare se afirma ca rezistenta unui rezistor etalon RS avand valoarea nominala de 10 Ω este 10,000 742 Ω + 129 µ Ω la 23 oC si ca "incertitudinea specificata de 129 Wm defineste un interval avand nivelul de incredere de 99 procente". Incertitudinea standard a rezistorului poate fi luata ca u(RS) = (129 µ Ω )/2,58 = 50 µ Ω , ceea ce corespunde incertitudinii standard relative u(RS)/RS de 5,0x10-6. Varianta estimata este u2(RS) = (50 µ Ω )2 . In multe cazuri, este suficient doar sa se evalueze limitele (superioara si inferioara) pentru Xi, in particular afirmandu-se ca "probabilitatea ca Xi sa se afle in intervalul de la a- la a+, pentru 12

toate cazurile practice, este egala cu unitatea, iar probabilitatea ca Xi sa se afle in afara intervalului este nula". Daca nu exista nici o informatie specifica despre valorile posibile ale lui Xi din interiorul intervalului, se poate presupune numai ca fiecare valoare din interval este egal probabila (distributie uniforma sau dreptunghiulara a valorilor posibile). Atunci xi, media statistica sau valoarea teoretica a lui Xi , este mijlocul intervalului, xi =(a+ - a-)/2 cu varianta asociata

u

2

2 ( a+ − a− ) (x ) = i

(6)

12

Daca diferenta dintre limitele a+ - a- este notata cu 2a, atunci ecuatia (6) devine:

a2 u ( xi ) = 3

(7)

2

EXEMPLU: Specificatiile unui producator pentru un voltmetru digital afirma ca in "intervalul de la 1 la 2 ani de la etalonare, incertitudinea sa pe domeniul de 1 V este de: (14x10-6xU U i n d + 2x10-6xU U c a p ).” Se va considera ca aparatul este utilizat la 20 luni dupa etalonare pentru a se masura, pe domeniul de 1 V, o tensiune U , iar media aritmetica a unui numar de observatii repetate independente ale lui va duce la U = 0,928 571 V, cu o incertitudine standard de tip A u(U U ) = 12 mV. Incertitudinea standard asociata cu specificatiile producatorului poate fi determinata printr-o evaluare de tip B, admitandu-se ca incertitudinea data prevede limite simetrice pentru o corectie aditiva, ∆ U , cu media statistica nula si cu probabilitate egala de a se afla oriunde in interiorul limitelor. Semilargimea a a distributiei dreptunghiulare simetrice a valorilor posibile ale lui ∆ U este a = (14x10-6) x (0,928571 V) + (2x10-6)x(1V) = 15 µ V, iar din ecuatia (7) rezulta: u2(∆ ∆ U ) = 75 mV si u(∆ ∆ U )= 8,7 mV. Incertitudinea standard compusa a acestei estimatii poate fi obtinuta prin combinarea incertitudinii standard de tip A a lui U , de 12 mV, cu incertitudinea standard de tip B a lui ∆ U , de 8,7 mV. Limitele superioara si inferioara a+ si, respectiv, a- pentru marimea de intrare Xi pot sa nu fie simetrice in raport cu cea mai buna estimatie xi ; de pilda, daca limita inferioara se scrie a-= xi - bsi cea superioara a+= xi + b+, atunci b- ≠ b+. Deoarece in acest caz xi (presupus a fi media lui Xi ) nu se afla in centrul intervalului de la a- pana la a+ , functia de distributie de probabilitate nu poate fi

13

uniforma pe intregul interval. Insa informatia disponibila poate fi insuficienta pentru a alege o distributie potrivita; modele diferite vor conduce la expresii diferite pentru varianta. In absenta unei asemenea informatii, aproximatia cea mai simpla este: 2 2 ( b+ + b− ) (a+ − a− ) u (x ) = =

(8)

2

i

12

12

ceea ce reprezinta varianta unei distributii dreptunghiulare cu latime totala b++b-. In multe cazuri este mai realist sa se considere ca valorile apropiate de cele limita sunt mai putin probabile decat cele apropiate de punctul de mijloc. De aceea, este rezonabil ca distributia simetrica dreptunghiulara sa fie inlocuita cu o distributie trapezoidala simetrica (un trapez isoscel), cu baza mare de a+ - a_ = 2a, si baza mica de 2aβ β , unde

0 < β < 1. Pentru β → 1 aceasta

distributie trapezoidala se apropie de cea dreptunghiulara, iar pentru β = 0 devine o distributie triunghiulara. Presupunand o astfel de distributie trapezoidala pentru Xi , gasim ca media statistica a lui Xi este xi =(a++a- )/2 si varianta asociata a sa este:

a 2 (1 + β 2 ) u ( xi ) = 6 2

(9a)

care pentru distributia triunghiulara (β β = 0) devine

a2 u ( xi ) = 6

(9b)

2

8.10 ILUSTRAREA GRAFICA A EVALUARII INCERTITUDINII STANDARD 8.10.1 CAZUL DISTRIBUTIEI NORMALE Figura 1 reprezinta estimarea valorii unei marimi de intrare Xi si evaluarea incertitudinii acelei estimatii pe baza distributiei necunoscute a valorilor masurate posibile ale lui Xi , sau distributia de probabilitate a lui XI , care este esantionata prin observatii repetate. In figura 1a se presupune ca marimea de intrare Xi este o temperatura t si ca distributia necunoscuta a sa este o distributie normala cu media m = 100 oC si abaterea standard s = 1,5 oC. Functia densitate de probabilitate este in acest caz:

 (t − µt )2  1 p (t ) = exp −  2σ 2  σ 2π  14

(10)

Figura 1 Media aritmetica sau media experimentala a celor n = 20 observatii este 100,145 oC ≅ 100,14 oC si este presupusa a fi cea mai buna estimatie a mediei statistice m t a lui t bazata pe datele disponibile. Abaterea standard experimentala este s(tk) = 1,489 oC ≅ 1,49 oC, iar abaterea standard experimentala a mediei, care este incertitudinea standard a mediei , este:

u (t ) = s (t ) =

s(t k ) = 0,333o C ≅ 0,33o C 20

(11)

8,10.2 CAZUL UNEI DISTRIBUTII APRIORI Figura 2 si 3 reprezinta estimarea valorii unei marimi de intrare Xi si evaluarea incertitudinii acelei estimatii pe baza unei distributii a priori a valorilor posibile ale lui Xi , sau distributia probabilitatii lui Xi utilizand toata informatia disponibila. Pentru ambele cazuri aratate, marimea de intrare este din nou presupusa a fi o temperatura t. Pentru cazul ilustrat in figura 2, se admite ca se dispune de prea putina informatie despre marimea de intrare t si ca tot ceea ce se poate face este sa se presupuna ca t este descris de o distributie de probabilitate a priori dreptunghiulara simetrica, cu limita inferioara a_ = 96 oC, limita superioara a+ = 104 oC si, astfel, semilargimea a = (a+ - a_)/2 = 4 oC. Functia densitatii de probabilitate a lui t este deci:

p (t ) =

1 ;a− ≤ t ≤ a+; 2a p (t ) = 0 → inafara 15

(12)

Estimatia cea mai buna a lui t este media sa m t = ( a+ + a_)/2 = 100 oC. Incertitudinea standard a acestei estimatii este:

u (µt )

a = 2,3o C 3

(13)

Figura 2 Pentru cazul ilustrat in figura 2, se admite ca informatia disponibila privind pe t este mai putin limitata si ca t poate fi descris printr-o distributie de probabilitate a priori triunghiulara simetrica, cu aceleasi limite - inferioara a_ = 96 oC si respectiv superioara a+ = 104 oC - si astfel aceeasi semilargime a = (a+ - a_)/2 = 4 oC. Functia densitatii de probabilitate a lui t este deci:

p (t ) =

(t − a − ) ; a

−

≤t ≤

(a +

+ a− ) 2

a2 (a + − t ) ; (a + + a − ) ≤ t ≤ a ; p (t ) = a2 2 p (t ) = 0 → inafara

(14)

Media statistica a lui t este m t = ( a+ + a_ )/2 = 100 oC. Incertitudinea standard a acestei estimatii este:

u (µ t ) =

a 6

= 1, 6o C

(15)

16

Figura 3 Valoarea de mai sus, u(m t) = 1,6 oC, poate fi comparata cu u(m t) = 2,3 oC, obtinuta dintr-o distributie dreptunghiulara de aceeasi largime de 8 oC, cu s = 1,5 oC a distributiei normale in care largimea de la -2,58σ σ la +2,58σ σ , incluzand 99 % din distributie, este apropiata de 8 oC, si cu u(t)=0,33

O

C, obtinuta din 20 de observatii presupuse a fi fost facute aleatoriu din aceeasi

distributie normala. 8.11 DETERMINAREA INCERTITUDINII STANDAR D COMPUSE

8.11.1 MARIMI DE INTRARE NECORELATE Incertitudinea standard a lui y, unde y este estimatia masurandului si deci rezultatul masurarii, se obtine compunand in mod adecvat incertitudinile standard ale estimatiilor de intrare, x1, x2,..., xN . Aceasta incertitudine standard compusa a estimatiei y se noteaza cu uC (y). Incertitudinea standard compusa uC (y) este radacina patrata pozitiva a variantei compuse uC 2(y), care este data de:

N  ∂f 2 u (y) = ∑  c  i = 1  ∂xi

2  2  u (x ) i  

(16)

unde f este functia din ecuatia (1), iar δ f/δ δ xi reprezinta coeficientii de sensibilitate. Fiecare u(xi ) este o incertitudine standard evaluata de tip A sau de tip B. Incertitudinea standard compusa uC (y) este o abatere standard estimata si caracterizeaza dispersia valorilor ce pot fi rezonabil atribuite masurandului Y. Ecuatia (16) si corespondenta ei pentru marimi de intrare corelate, exprima ceea ce in Ghidul ISO este denumita legea de propagare a incertitudinii. 17

8.11.2 MARIMI CORELATE Ecuatia (16), este valabila numai daca marimile de intrare Xi sunt independente si necorelate. Daca vreunele dintre marimile Xi sunt corelate semnificativ, corelatiile trebuie luate in considerare. Cand marimile de intrare sunt corelate, expresia potrivita pentru varianta compusa uC 2(y) a rezultatului masurarii este:

N N ∂f ∂f N  ∂f u 2 (y) = ∑ ∑ u(x , x ) = ∑  c i j  i = 1 j = 1 ∂xi ∂x j i = 1  ∂xi N −1 N ∂f ∂f 2 ∑ u(x , x ) ∑ i j ∂ x ∂ x i =1 j =i+1 i j

2   u 2 (x ) +  i 

(17)

unde xi si xj sunt estimatiile lui Xi si Xj , iar u(xi , xj ) = u(xi , xj ) este covarianta estimata asociata cu xi si xj . Gradul de corelatie intre xi si xj este caracterizat de coeficientul de corelatie estimat:

u(x , x ) i j r(x , x ) = i j u(x )u(x ) i j

(18)

unde r(xi , xj ) = r(xj , xi ) si - 1 < r(xi , xj ) < + 1. Daca estimatiile xi si xj sunt independente, r(xi ,xj )=0 si o variatie a unuia nu implica o variatie a celeilalte. Intre doua marimi de intrare poate exista o corelatie semnificativa daca se foloseste in determinarea lor acelasi mijloc de masurare, acelasi etalon fizic sau aceeasi data de referinta avand o incertitudine standard semnificativa. De pilda, daca este nevoie sa se determine o corectie de temperatura pentru estimarea marimii de intrare Xi si se foloseste un anumit termometru, iar pentru obtinerea marimii Xi este nevoie iar de o corectie de temperatura si se foloseste acelasi termometru, cele doua marimi de intrare pot fi corelate semnificativ. Corelatiile intre marimile de intrare nu pot fi ignorate daca exista si sunt semnificative. Covariantele asociate trebuie evaluate experimental, daca este posibil, prin varierea marimilor de intrare sau folosind toata informatia de care se dispune despre variabilitatea corelata a marimilor in chestiune. Evaluarea de tip B a covariantei necesita abilitate bazata pe experienta si cunostinte generale, in special atunci cand se estimeaza gradul de corelare intre marimi de intrare ce apar ca rezultat al efectelor marimilor de influenta comune, cum ar fi temperatura mediului ambiant, presiunea barometrica si umiditatea. Din fericire insa, in multe cazuri efectele unor asemenea influente au o interdependenta neglijabila si marimile de intrare afectate pot fi presupuse necorelate. Totusi, daca ele nu pot fi considerate necorelate, corelatiile in sine pot fi evitate daca influentele comune sunt introduse ca marimi de intrare independente suplimentare.

18

8.12 DETERMINAREA INCERTITUDINII EXTINSE. INCERTITUDINEA EXTINSA Cu toate ca uC (y) poate fi folosit universal pentru exprimarea incertitudinii unui rezultat de masurare, in anumite aplicatii comerciale, industriale si de reglementare, precum si in domeniul sanatatii si securitatii este deseori nevoie sa se dispuna de un indicator al incertitudinii ce ofera un interval - in jurul rezultatului masurarii - care este de asteptat sa cuprinda o mare parte a distributiei valorilor ce pot fi rezonabil atribute masurandului Aceasta masura aditionala a incertitudinii este denumita incertitudine extinsa si se noteaza cu U. Incertitudinea extinsa U se obtine inmultind incertitudinea standard compusa uc(y) cu un factor de acoperire k:

U = ku c ( y )

(19)

Astfel, rezultatul unei masurari se exprima convenabil ca Y = y + U, ceea ce se interpreteaza astfel: cea mai buna estimatie a masurandului Y este y, iar intervalul definit de y - U si y + U este un interval care este de asteptat sa cuprinda o mare parte a distributiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite lui Y. Un asemenea interval este exprimat ca y-U < Y < y+U. De cate ori este posibil, nivelul de incredere p asociat cu intervalul definit de U trebuie estimat si raportat. Valoarea factorului de acoperire k este aleasa pe baza nivelului de incredere dorit pentru intervalul de la y - U la y + U. In general, k va fi cuprins in intervalul de la 2 la 3. Totusi, pentru aplicatii speciale, factorul de acoperire poate fi in afara acestui interval.

In mod ideal, ar fi de

dorit sa se poata alege o asemenea valoare a factorului de acoperire care sa conduca la un interval Y = y + U = y + kuC (y) asociat cu un nivel de incredere bine definit, p, de exemplu 95 % sau 99% sau, ceea ce de fapt este acelasi lucru, pentru o valoare data a lui k sa se poata declara fara echivoc nivelul de incredere asociat cu acel interval. Tabelul de mai jos ofera corespondenta dintre factorul de acoperire si nivelul de incredere:

Nivelul de incredere p (%)

Factorul de acoperire kp

68,27

1

90

1,645

95

1,960

95,45

2

99

2,576

99,73

3

19

8.13 EXPRIMAREA INCERTITUDINII 8.13.1 EXPRIMAREA INCERTITUDINII - INDICATII GENERALE In general, pe masura ce se urca in ierarhia masurarilor sunt necesare din ce in ce mai multe detalii despre modul in care s-a obtinut un rezultat al masurarii si s-a determinat incertitudinea lui. Cu toate acestea, la orice nivel al acestei ierarhii, toate informatiile necesare pentru reevaluarea masurarii ar trebui sa fie disponibile pentru cei ce pot avea nevoie de ele. In comert si in industrie se fac zilnic un numar mare de masurari fara vreo raportare explicita a incertitudinii. Totusi, multe din aceste masurari sunt efectuate cu mijloace de masurare supuse etalonarii periodice sau care sunt sub incidenta inspectiei legale. Daca mijloacele de masurare satisfac cerintele prescriptiilor si ale normelor existente, incertitudinile indicatiilor lor pot fi preluate din aceste specificatii sau documente normative. Cand se exprima un rezultat al unei masurari si incertitudinea acestuia, este preferabil sa se greseasca in sensul oferirii mai multor informatii decat sa se dea prea putine. De exemplu, ar trebui: •

sa se descrie clar metodele folosite pentru calculul rezultatului masurarii si al incertitudinii sale din observatiile experimentale si datele de intrare;

•

sa se enumere toate componentele incertitudinii si sa se expliciteze complet cum s-a evaluat fiecare;

•

sa se prezinte analiza datelor astfel incat fiecare pas important sa poata fi urmarit usor si calculul rezultatului raportat sa se poata reface in caz de nevoie, in mod independent;

•

sa se dea toate corectiile semnificative si constantele utilizate in analiza, precum si sursele acestora.

8.13.2 EXPRIMAREA INCERTITUDINII - INDICATII SPECIFICE La raportarea rezultatului unei masurari, daca masura incertitudinii este incertitudinea standard compusa, uC (y), ar trebui: •

sa se dea o descriere completa a definirii masurandului Y;

•

sa se dea estimatia y a masurandului si incertitudinea standard compusa uC (y) a sa;

•

unitatile lui y si ale lui uC (y) ar trebui date intotdeauna;

•

sa se includa si incertitudinea standard compusa relativa uC (y)/|y|, cu |y|

0 - atunci

cand este cazul. Atunci cand masura incertitudinii este uC (y), pentru a se evita confuziile este de preferat ca rezultatul numeric al masurarii sa fie formulat intr-unul din urmatoarele patru feluri posibile (marimea a carei valoare este raportata se considera a fi masa unui etalon avand valoarea nominala de 100 g; cuvintele dintre paranteze pot fi omise, pentru simplificare, daca uC este definit in alta parte a documentului de raportare a rezultatului). 1) "ms = 100,021 47 g (cu o incertitudine standard compusa uC = 0,35 mg)"; 20

2) "ms = 100,021 47(35) g, unde numarul dintre paranteze este valoarea numerica a (incertitudinii standard compuse) uC , exprimat in cifre de acelasi rang cu ultimile cifre ale rezultatului dat"; 3) "ms = 100,021 47(0,00 35) g, unde numarul intre paranteze este valoarea numerica a (incertitudinii standard compuse) uC , exprimat in aceleasi unitati ca si rezultatul dat"; 4) "ms = (100,002 47 + 0,000 35) g, unde numarul ce urmeaza dupa semnul + este valoarea numerica a (incertitudinii standard compuse) uC si nu un interval de incredere". La raportarea rezultatului unei masurari, precum si atunci cand masura incertitudinii este incertitudinea extinsa U = k uC (y), ar trebui: •

sa se dea definitia completa a masurandului Y;

•

sa se exprime rezultatul masurarii sub forma y = Y + U si sa se dea unitatile lui y si U;

•

sa se includa incertitudinea extinsa relativa U/|y| , y ≠ 0 - cand este cazul;

•

sa se dea valoarea lui k utilizata la obtinerea lui U (sau, pentru comoditatea utilizatorului rezultatului, sa se dea atat k, cat si uC (y));

• sa se dea nivelul de incredere aproximativ asociat cu intervalul y + U si sa se mentioneze cum a fost determinat. Atunci cand masura incertitudinii este U, este preferabil, pentru claritate maxima, sa se specifice rezultatul numeric al masurarii ca in exemplul urmator. Valorile numerice ale estimatiei y si ale incertitudinii sale standard uC (y) sau incertitudinii extinse U asociate nu trebuie date cu un numar excesiv de cifre. Este, de obicei, suficient ca uC (y) si U sa fie date cu cel mult doua cifre semnificative; totusi, in unele cazuri, poate fi necesara retinerea mai multor cifre, pentru a se evita erorile de rotunjire in calculele ulterioare. La raportarea rezultatelor finale, poate fi uneori recomandabil ca incertitudinile sa fie rotunjite cu mai mult de o singura cifra. Estimatiile de iesire si cele de intrare ar trebui rotunjite in concordanta cu incertitudinile lor; de exemplu, daca y = 10,057 62 Ω cu uC (y) = 27 m Ω , y ar trebui rotunjit la 10,058 Ω . Coeficientii de corelatie ar trebui dati cu trei cifre daca valorile lor absolute sunt apropiate de unu. 8.14 REZUMAT AL PROCEDURII DE EVALUARE SI EXPRIMARE A INCERTITUDINII Etapele de urmat pentru evaluarea si exprimarea incertitudinii rezultatului unei masurari, conform Ghidului ISO: 1. Se exprima matematic relatia dintre masurandul Y si marimile de intrare Xi de care depinde Y : Y = f (X1, X2,..., XN ). Functia f ar trebui sa contina toate marimile, inclusiv corectiile si factorii de corectie, care pot contribui semnificativ la incertitudinea rezultatului masurarii.

21

2. Se determina xi , valoarea estimata a marimii de intrare Xi, fie pe baza analizei statistice a unei serii de observatii, fie prin alte mijloace. 3. Se evalueaza incertitudinea standard u(xi ) a fiecarei estimatii de intrare este xi . Evaluarea de tip A a incertitudinii standard sau evaluarea de tip B a incertitudinii standard. 4. Se evalueaza covariantele asociate cu oricare din estimatiile care sunt corelate. 5. Se calculeaza rezultatul masurarii, adica estimatia y a masurandului Y, pe baza relatiei functionale f, utilizand pentru marimile de intrare Xi estimatiile xi obtinute la pasul 2 . 6. Se determina incertitudinea standard compusa uC (y) a rezultatului masurarii y, din incertitudinile standard asociate si covariantele asociate estimatiilor de intrare. Daca in cadrul masurarii sunt determinate simultan mai multe marimi de iesire, se vor calcula covariantele lor. 7. Daca este necesar sa se dea o incertitudine extinsa U, al carei scop este sa ofere un interval de la y - U la y + U, ce este de asteptat sa cuprinda o fractiune mare a distributiei valorilor ce rezonabil pot fi atribuite masurandului Y, se multiplica incertitudinea standard combinata uC (y) cu un factor de acoperire k, pentru a se obtine U = kuC (y). Se alege k pe baza nivelului de incredere dorit al intervalului. 8. Se raporteaza rezultatul masurarii y impreuna cu incertitudinea standard compusa uC (y) a sa sau cu incertitudinea extinsa U.

22