Imi Beugung 14 25 Intensitaeten

Instrumentelle Methoden I

Prof. Behrens / Dr. Schneider

IMI-Beugung-14

Intensitäten der Beugungsphänomene d1 d2

d1

d1

d1

d1

90°

90°

d2

d2

Instrumentelle Methoden I

Prof. Behrens / Dr. Schneider

IMI-Beugung-15

Intensitäten der Beugungsphänomene

d200

d100

d2h2k2l

dhkl

d200

dhkl

d100 a

d200

Instrumentelle Methoden I

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IMI-Beugung-16

Intensitäten der Beugungsphänomene systematische Auslöschungen Auslöschungs- Reflex- verursachende ReflektionsTyp klasse Symmetrie bedingung integral

zonal

hkl

0kl

I

h + k + l = 2n

C

h + k = 2n

A

k + l = 2n

B

h + l = 2n

F

h, k, l: alle gerade oder h, k, l: alle ungerade

b

a

k = 2n

c

a

l = 2n

n

a

k + l = 2n

c

b

l = 2n

n

b

h + l = 2n

hk0

a

c

h = 2n

hk0

b

c

k = 2n

hk0

n

c

h + k = 2n

hk0

d

c

h + k = 4n

h00

21 a

h = 2n

41,43 a

h = 4n (kubisch)

21 b

k = 2n

41,43 b

k = 4n (kubisch)

00l

21, 42, 63 c

l = 2n

00l

31, 32, 62, 64 c l = 3n (trigonal, hexagonal)

00l

41,43 c

l = 4n (tetragonal, kubisch)

00l

61,65 c

h = 6n (hexagonal)

h0l

seriell

P

0k0

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IMI-Beugung-17

Intensitäten der Beugungsphänomene Das intensitätsgewichtete reziproke Gitter c*

b* a* c*

hk0-Ebene

c*

hk1-Ebene

b* a*

b* a*

c*

00l-Stab

c*

b* a*

hhl-Ebene

b* a*

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IMI-Beugung-18

Abbildungen des reziproken Gitters 110 010 b* a* 100

Elementarvektoren des reziproken Gitters

hk0-Ebene 330

230

620

130

420

030 130

710 610

220

230

510 410

330

310

430

210

220

110 010

420

710

110 210

620

610

200

310

510 410

410

310

510 610

210

200

710

620

110

420

010 110

220

210

430

310

330

410 510

220

610 710

230 130 030

420 620

130 230 430

330

Indizierung

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IMI-Beugung-19

Abbildungen des reziproken Gitters

hk0-Ebene

hk0-Ebene

hk0-Ebene

hk1-Ebene

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IMI-Beugung-20

Übungsaufgaben 4-1

Im kubischen System gilt die folgende quadratische Form der Braggschen Gleichung:

1 2 d hkl

=

1 1 2 2 2 ( h + k + l ) = N a2 a2

2

2

mit N = h + k + l

2

Welche Werte von N als Summe dreier Quadratzahlen lassen sich darstellen ? Für manche N gibt es keine Kombination, für manche mehrere. Ergänzen Sie die nebenstehende Tabelle in der Spalte P für primitive Gitter (wo alle Reflexe auch tatsächlich auftreten können). Bei allseitig flächenzentrierten (F) bzw. innenzentrierten (I) Gittern gelten Auslöschungsbedingungen. Füllen Sie diese Spalten entsprechend aus !

N

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

100 110 111 200 210

F

I

4-2

Skizzieren ein mögliches Beugungsmuster für den Fall, dass senkrecht auf b eine Gleitspiegelebene c steht ! Beschreiben Sie die hk0- und die hk1-Ebene. b* a*

hk0-Ebene

b* a*

hk1-Ebene

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IMI-Beugung-21

Übungsaufgaben 5-1

Die Beugungsaufnahme stammt von einem hexagonalen Kristall. Bestimmen Sie die reziproke Elementarzelle in der gegebenen hk0-Ebene. Indizieren Sie die Beugungsaufnahme. Welche Symmetrieelemente können Sie dem Beugungsmuster entnehmen?

hk0-Ebene 5-2

h0l-Ebene

Die beiden Beugungsmuster stammen von unterschiedlichen Kristallen. Bestimmen Sie die jeweilige reziproke Elementarzelle in der gegebenen Ebene. Skizzieren Sie die entsprechende Ebenen-Elementarzelle im realen Raum. Welche Symmetrielemente können Sie den Beugungsmustern entnehmen ?

Instrumentelle Methoden I

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IMI-Beugung-22

Intensitäten der Beugungsphänomene Berechnung von Strukturfaktoren

am Beispiel von NaCl strukturelle Daten:

Raumgruppe F 4/m 3 2/m , zentrosymmetrisch + Na in 4a: 000 1/2,1/2,0 1/2,0,1/2 0,1/2,1/2 Cl in 4b: 1/2,0,0 0,1/2,0 0,0,1/2 1/2,1/2,1/2

Na+ Cl -

Strukturfaktor-Formel für zentrosymmetrische Strukturen: Fhkl = S fi cos 2p (hxi + kyi + lzi) = f Na+ [cos 2p (h$0 + k$0 + l$0) + cos 2p (h$1/2 + k$1/2 + l$0) + cos 2p (h$1/2 + k$0 + l$1/2) + cos 2p (h$0 + k$1/2 + l$1/2)] + f Cl [cos 2p (h$1/2 + k$0 + l$0) + cos 2p (h$0 + k$1/2 + l$0) + cos 2p (h$0 + k$0 + l$1/2) + cos 2p (h$1/2 + k$1/2 + l$1/2)]

Strukturfaktor-Berechnung für den 100-Reflex d100 = a = 5.6402 A sin Q = 0.1367 f Na+ (0.0887) = 9.5

Q = 7.856° sin Q/l = 0.0887 f Cl (0.0887) =16.15

F100 = 9.5 [cos 2p (1$0 + 0$0 + 0$0) + cos 2p (1$1/2 + 0$1/2 + 0$0) + cos 2p (1$1/2 + 0$0 + 0$1/2) + cos 2p (1$0 + 0$1/2 + 0$1/2)] + 16.15 [cos 2p (1$1/2 + 0$0 + 0$0) + cos 2p (1$0 + 0$1/2 + 0$0) + cos 2p (1$0 + 0$0 + 0$1/2) + cos 2p (1$1/2 + 0$1/2 + 0$1/2)] = 9.5 [cos 2p (0) + cos 2p (1/2) + cos 2p (1/2) + cos 2p (0)] + 16.15 [cos 2p (1/2) + cos 2p (0) + cos 2p (0) + cos 2p (1/2)] = 9.5 [1 + (-1) + (-1) + 1] + 16.15 [(-1) + 1 + 1 + (-1)] = 9.5$0 + 16.15$0 =0

Die cosinus-Funktion

1

7/2 p

3p

5/2 p

2p

3/2 p

1p

1/2 p

1/2 p

1p

3/2 p

2p

5/2 p

3p

7/2 p

1

Instrumentelle Methoden I

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IMI-Beugung-23

Intensitäten der Beugungsphänomene Berechnung von Strukturfaktoren Flächenzentrierung F: nur Reflexe mit alle hkl gerade oder alle hkl ungerade treten auf d/A

Q

sin Q

sin Q / l

f Na+ (sin Q / l) f Cl (sin Q / l)

111

3.256

13.68°

0.2367

0.1535

8.8

13.8

200

2.820

15.85°

0.2733

0.1772

8.7

13.2

220

1.994

22.72°

0.3866

0.2508

7.6

9.8

311

1.701

26.96°

0.4533

0.2940

6.8

8.9

222

1.628

28.26°

0.4735

0.3071

Atomformfaktor f

hkl

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.0

+

K Cl

Na

0.1

0.2

0.3

0.4

sin q / l

0.5

0.6

0.7

+

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IMI-Beugung-24

Intensitäten der Beugungsphänomene Berechnung von Strukturfaktoren

Strukturfaktor-Berechnung für den 200-Reflex F200= 8.7 [cos 2p (2$0 + 0$0 + 0$0) + cos 2p (2$1/2 + 0$1/2 + 0$0) + cos 2p (2$1/2 + 0$0 + 0$1/2) + cos 2p (2$0 + 0$1/2 + 0$1/2)] + 13.2 [cos 2p (2$1/2 + 0$0 + 0$0) + cos 2p (2$0 + 0$1/2 + 0$0) + cos 2p (2$0 + 0$0 + 0$1/2) + cos 2p (2$1/2 + 0$1/2 + 0$1/2)] = 8.7 [cos 2p (0) + cos 2p (1) + cos 2p (1) + cos 2p (0)] + 13.2 [cos 2p (1) + cos 2p (0) + cos 2p (0) + cos 2p (1)] = 8.7 [1 + 1 + 1 + 1] + 13.2 [1 + 1 + 1 + 1] = 34.8 + 52.8 = 87.6

Strukturfaktor-Berechnung für den 111-Reflex F111= 8.8 [cos 2p (1$0 + 1$0 + 1$0) + cos 2p (1$1/2 + 1$1/2 + 1$0) + cos 2p (1$1/2 + 1$0 + 1$1/2) + cos 2p (1$0 + 1$1/2 + 1$1/2)] + 13.8 [cos 2p (1$1/2 + 1$0 + 1$0) + cos 2p (1$0 + 1$1/2 + 1$0) + cos 2p (1$0 + 1$0 + 1$1/2) + cos 2p (1$1/2 + 1$1/2 + 1$1/2)] = 8.8 [cos 2p (0) + cos 2p (1) + cos 2p (1) + cos 2p (1)] + 13.8 [cos 2p (1/2) + cos 2p (1/2) + cos 2p (1/2) + cos 2p (3/2)] = 8.8 [1 + 1 + 1 + 1] + 13.8 [(-1) + (-1) + (-1) + (-1)] = 35.2 - 55.2 = -20.0

Strukturfaktor-Berechnung für den 220-Reflex F220= 7.6 [cos 2p (2$0 + 2$0 + 0$0) + cos 2p (2$1/2 + 2$1/2 + 0$0) + cos 2p (2$1/2 + 2$0 + 0$1/2) + cos 2p (2$0 + 2$1/2 + 2$1/2)] + 9.8 [cos 2p (2$1/2 + 2$0 + 0$0) + cos 2p (2$0 + 2$1/2 + 0$0) + cos 2p (2$0 + 2$0 + 0$1/2) + cos 2p (2$1/2 + 2$1/2 + 0$1/2)] = 7.6 [cos 2p (0) + cos 2p (2) + cos 2p (1) + cos 2p (2)] + 9.8 [cos 2p (1) + cos 2p (1) + cos 2p (0) + cos 2p (2)] = 7.6 [1 + 1 + 1 + 1] + 9.8 [1 + 1 + 1 + 1] = 30.4 + 39.2 = 69.6

Instrumentelle Methoden I

Prof. Behrens / Dr. Schneider

IMI-Beugung-25

Übungsaufgaben 6-1

Berechnen Sie die Strukturfaktoren 311 und 222 für die NaCl-Struktur. Sollte der Strukturfaktor 222 größer, kleiner oder gleich groß sein wie die der des 111-Reflexes?

hkl

d/A

Q

sin Q

sin Q / l

f Na+

f Cl

Fhkl

111

3.256

13.68°

0.2367

0.1535

8.8

13.8

20.0

200

2.820

15.85°

0.2733

0.1772

8.7

13.2

87.6

220

1.994

22.72°

0.3866

0.2508

7.6

9.8

69.6

311

1.701

26.96°

0.4533

0.2940

6.8

8.9

222

1.628

28.26°

0.4735

0.3071

6-2

hkl

Berechnen Sie die Strukturfaktoren 111, 200 und 220 für die KCl-Struktur (a = 6.2917 A). Welche Besonderheit fällt auf und wie ist sie zu erklären ?

d/A

Q

sin Q

sin Q / l

f K+

f Cl

Fhkl

111 200 220 6-3

Bei einfachen Strukturen reichen bereits einfache Überlegungen, um die Strukturfaktoren von Reflexen abzuschätzen. Welches ist wohl der stärkste Strukturfaktor der Graphitstruktur ?

c

b a hexagonale Elementarzelle

Struktur des Graphits