Iii Unidad-s-07-a

Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Educación y CC.CC

GRUPO A

UTILIZAMOS FRACCIONES Y DECIMALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROCEDIMIENTOS LÓGICOS Y CONJUNTOS A

COMPETENCIA: RESUELVE PROBLEMAS PRESENTADOS EN SU ENTORNO APLICANDO ALGORITMOS DE LAS OPERACIONES CON FRACCIONES Y DECIMALES DEMOSTRANDO RESPONSABILIDAD Y TOLERANCIA.

SESIONES DE APRENDIZAJE: SESION Nº 7: RESOLVEMOS SITUACIONES CONTIDIANAS USANDO FRACCIONES ORDINARIAS Y DECIMALES

EJESTRANSVERSALES:

Actúa demostrando aceptación, respeto y tolerancia con los demás docentes, trabajando en equipo para fortalecer su quehacer pedagógico y el de sus pares. Demuestra que cultiva su desarrollo personal, formación ética y orientación educativa en el desarrollo de sus actividades dentro y fuera del aula.

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

PRONAFCAP 2009

GRUPO A

RESOLVEMOS SITUACIONES CONTIDIANAS USANDO FRACCIONES ORDINARIAS Y DECIMALES

APRENDIZAJES ESPERADOS  Identifica e interpreta la fracción y sus elementos.  Reconoce las diversas clases de fracciones.  Aplica los algoritmos para resolver ejercicios sobre operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones .  Resuelve problemas sobre fracciones.

INDICADORES 1. Explicar las relaciones entre fracciones y decimales con situaciones de su entorno. 2. Aborda con perseverancia y confianza en si mismo situaciones reales sobre fracciones fortaleciendo su autonomía y capacidad de indagación.

CONTENIDOS 1. Fracción: elementos, clasificación 2. Fracciones equivalentes 3. Operaciones con fracciones

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I.

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA / RECOJO DE SABERES PREVIOS

(Adaptado del problema de los 35 camellos de la obra El Hombre que Calculaba) Somos tres hermanos: Edilberto, Hernán y Joaquin y nuestro padre nos ha dejado en herencia 35 carneros y la siguiente condición de reparto: Para Edilberto será la mitad de los carneros, para Hernán, la tercera parte y para Joaquín, el pequeño, sólo la novena parte. El problema es que no nos sale bien el reparto. ¿Podría Ud. ayudarnos en tan intrincado caso, diciéndonos cuántos carneros nos corresponde a cada uno? ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

En parejas, analice la siguiente solución que dio un hombre que pasaba por el lugar, llevando consigo un hermoso carnero de su propiedad: Uniendo mi carnero a los que les dejó su padre, ahora son 36. Tú, Edilberto, recibirás la mitad, es decir 18. Para Hernán será la tercera, que es justo 12. Tú, pequeño Joaquín, recibirás la novena parte, es decir 4 . Ahora : “ 18 + 12 + 4 = 34. Pero como tenemos 36 carneros, sobran 2. Uno, como sabéis es mío, y el que sobra me lo llevaré por los servicios prestados. PARA MEDITAR... Es muy posible que el hombre se haya familiarizado con la idea de fracción inclusive antes de contar, pues las fracciones están más relacionadas con la vida real y con el lenguaje ordinario que los mismos números enteros. Con frecuencia nos expresamos en términos como: “véndame un cuarto de galón de pintura”, “sírvame una porción de torta helada”, “hoy sólo trabajaré media jornada”, etc. Veamos brevemente algunos aspectos teóricos sobre las fracciones.

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II.

DESARROLLO DEL CONTENIDO TEÓRICO CIENTÍFICO 2.1

FRACCIÓN En términos generales fracción es sinónimo de parte o porción de un total. En este sentido, establece una relación “parte – todo”, la cual se expresa a través de números fraccionarios. La expresión de un número fraccionario se da bajo la condición de dividir a la unidad o total en un número finito de partes todas iguales (del mismo tamaño o medida). Luego, si tomamos una o más partes, tenemos una fracción y lo podemos expresar a través de un número fraccionario. Términos o elementos de una fracción:

o

Numerador: Indica el número de partes tomadas o consideradas en la fracción.

o

Denominador: indica el número total de partes en que se dividió la unidad

2.2

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES •

POR EL VALOR QUE REPRESENTAN

Expresa valores menores a 1. Fracción propia

Numerador < denominador. Su gráfica requiere 1 unidad. Expresa valores mayores a 1.

Fracción impropia

Numerador > denominador. Su gráfica requiere más de 1 unidad. Es equivalente a la fracción impropia.

Número mixto

Consta de parte entera y fracción propia. Su gráfica requiere más de 1 unidad. Expresa valores enteros.

Fracción aparente

El numerador es múltiplo del denominador.

2 6 10 8 1

2 8

6 =1 6

Su gráfica requiere 1 o más unidades.

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•

POR LA DIVISIBILIDAD DE SUS TÉRMINOS

Fracción ireductible Fracción reductible

•

El numerador y denominador

3 ; 5

son primos entre si. El numerador y denominador

3 ; 15

NO son primos entre si.

POR LA NATURALEZA DE SU DENOMINADOR

El denominador es una potencia Fracción decimal

de 10 (10, 100, 1000, 1tc.), o está formado sólo por factores

9 ; 16

múltiplos de 2 y/o 5. El denominador NO es una Fracción ordinaria

3 ; 10

3 ; 7

potencia de 10 (10, 100, 1000, 1tc.), o tiene por lo menos un factor no múltiplo de 2 y/o 5.

2.3

FRACCIONES EQUIVALENTES Dos

o

más

fracciones

son

equivalentes entre si, si representan la misma cantidad (la misma parte dentro de la unidad o total). Supongamos

que

el

gráfico

representa la partición de 3 tortas del mismo tamaño, y el sombreado (lado derecho) lo que consumen 3 personas diferentes. ¿quién consume más? ... Concluimos que:

1 2 3 = = (son equivalentes) 2 4 6

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III. LAS FRACCIONES DECIMALES, NUMEROS DECIMALES Y PORCENTAJES Tipo de fracción

Fracción

decimal

Fracción propia

0,3

Fracción impropia

1,8

Porcentaje 30%

101% Fracción aparente

100%

IV.FRACCION GENERATRIZ La fracción generatriz de un número decimal es la fracción ordinaria irreductible equivalente al número decimal. Su determinación depende de la clase de número decimal: Para número decimal exacto Ejemplo desarrollado de modo analítico: Convertir 3,25 en un número fraccionario. Si multiplicamos 3,25 por 100 desaparecen los decimales y nos quedaría 325. Como hemos multiplicado por 100, tenemos que dividir por 100 para que el número no cambie. Entonces nos quedaría: 325/100 = 13/4 Ejemplo: calcular la generatriz de 0,56:

0,56 =

56 14 = 100 25

Regla Práctica. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….

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Para número decimal periódico puro Ejemplo desarrollado de modo analítico: Convertir 3,252525... (25 se repite indefinidamente) en un número fraccionario. a = 3,252525... 100a = 325,252525... Restando nos queda: 99a = 322, luego a = 322/99

Ejemplo: calcular la generatriz de 0, 3 :

0, 3 =

3 1 = 9 3

Regla Práctica. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………. Para número decimal periódico mixto Ejemplo desarrollado de modo analítico: Convertir 3,12252525... (25 se repite indefinidamente) en un número fraccionario. a = 3,12252525... 10000a = 31225,252525... 100a = 312,252525... Restando nos queda: 9 900a = 30 913, luego a = 30 913/9900 Regla Práctica. • Se escribe la parte entera , si lo hubiera ,como parte entera de un número mixto. • En el numerador de la fracción se escribe la parte no periódica seguida del peri de un periodo .menos la parte no periodica. • El denomonador se escribe tantos ceros como cifras tenga la parte no periodica.

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•

Ejemplo: calcular la generatriz de 0,35 :

•

Practique con los siguientes casos:

•

0,45 =

•

2,363636... =

•

1,2434343...

0,35 =

35 − 3 32 16 = = 90 90 45

IV .OPERACIONES CON FRACCIONES 4.1.ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES 4.1.1. CON EL MISMO DENOMINADOR Ejemplo:

La profesora juanita dice a los tres primeros estudiantes que termine su

tarea le dará 1/8; 2/8 y 3/8 de un pastel que tiene .Qué parte del pastel repartió la profesora: Solución:

Para sumar o restar fracciones homogéneas se suman o se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador.

4.1.2.CON DIFERENTE DENOMINADOR Ejemplo : Se desea pintar la fachada de la I.E. “Florencia de Mora “ ,y se pide la ayuda de los padres de familia , José pintó los 3/10 de la fachada , Carlos ¼ de la misma ¿Qué fracción de la pared pintaron entre los dos? Solución:

Para sumar o restar fracciones heterogéneas ,primero se reducen a común denominador todas las fracciones .Luego se resuelve como fracciones homogéneas.

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42. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES 4.2.1. MULTIPLICACIÓN Ejemplo: Se desea pavimentar los 3/5 partes del patio del colegio. El estacionamiento de bicicletas ocupa 1/(4 de la zona pavimentada .¿Qué fracción del patio ocupa el estacionamiento de bicicletas? .Solución

.

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

4.2.2. DIVISIÓN Ejemplo: Sara compró cuatro kilos y tres cuartos de carne de res y pagó en total S/. 57,¿Cuánto le costó el kilo de carne ?

Para dividir dos fracciones ,multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

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CONCLUSIONES:

•

Las cantidades que no son exactas o enteras se representan por medio de fracciones o números decimales.

•

Toda fracción tiene infinitas fracciones equivalentes, que son fracciones con términos distinto, pero que representan el mismo valor.

III.

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

ACTIVIDAD 1: ESTIMADO COLEGA: En equipos de trabajo resolver las situaciones problemáticas propuestas que luego serán socializadas en conjunto. Puede recurrir a las estrategias y procedimientos mostrados por el especialista en los ejemplos, o puede formular y desarrollar sus propias estrategias.

1. Un estudiante distribuye de lunes a viernes, las horas del día de la siguiente manera: Actividad

Fracción del día destinada

Dormir .................................. 1/3 Alimentación ........................ 2/24 Descanso y diversión ……... 1/6 Estudio …………………....... 1/4 Aseo personal ……………… 1/24 Tareas y trabajos en casa ... 1/8 a) ¿A que Actividad dedica, más tiempo? b) ¿A que actividad dedica menos tiempo?

2. Próximamente se realizarán las olimpiadas de las IE “Unidos venceremos” con la intervención de docentes, padres de familia y alumnos. Cada participante compite sólo en una disciplina, y en total se han inscrito 360 participantes para tres disciplinas deportivas. Los 2/5 han elegido fútbol. De los restantes, 1/3 han elegido básquet y los demás vóley. ¿Cuántas personas se han inscrito en cada disciplina deportiva?

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A) F = 144, B = 72, V = 144

B) F = 146, B = 72, V = 142

C) F = 140, B = 70, V

= 150 D) F = 142, B = 72, V = 146

E) F = 146, B = 74, V = 140

3. En la maratón que anualmente organiza el diario “La Industria”, 1/5 de los corredores representan al distrito de La Esperanza, 1/6 a Víctor Larco y los 76 restantes a Trujillo. ¿Cuántos atletas representan a cada distrito? A) E = 14, V = 34, T = 76

B) E = 34, V = 20, T = 66

C) E = 24, V = 20, T = 76

D) E = 24, V = 30, T = 66

E) E = 24, V = 40, T = 56

4. Un padre de familia era dueño de los 5/8 de un terreno. Hace 1 semana vendió 1/5 de su propiedad para el Biohuerto de la IE “Sembrando valores” contigua al terreno, el precio de venta fue de S/. 3 000. ¿Cuál es el valor total del terreno? A) S/. 12000

B) S/. 14000

C) S/. 16000

D) S/. 20000

E) S/. 24000

5. La Señora Cabrera, Ex - directora de la Institución Educativa “Miguel Grau” del distrito de Salaverry, recibió luego de su cese, un incentivo por años trabajados, lo cual decide distribuirlo en partes iguales entre sus tres hijos: Roberto, Jorge y Gloria, reservándose para sí un quinto del total. A su vez, Roberto renuncia a sus derechos a favor de sus hijas: Ana, Mercedes y María, que se reparten lo heredado en partes iguales. Jorge, que es el padrino de María, le da a ésta la mitad de lo que le correspondía y entonces María recibe en total S/. 800. ¿Con cuánto se quedó la Señora Cabrera? A) S/. 700

B) S/. 710

C) S/. 715

D) S/. 720

E) S/. 725

6. En una reunión de trabajo hay 15 docentes de CTA, 40 docentes de Comunicación y 5 docentes de Ciencias Sociales. ¿Qué parte del total son docentes de CTA? A) 1/3

B) 1/4

C) 1/5

D) 2/5

E) 3/8

7. Una competencia escolar de atletismo consiste en recorrer 25 Km haciendo postas en equipos de 4 participantes, las postas se harán al cansancio de cada participante. El primer participante del equipo “Los Ganadores” cede la posta luego de recorrer 1/5 de la distancia, el segundo participante recorre 1/5 del resto, el tercer participante recibe la posta y recorre los 5/8 del nuevo resto. ¿Qué distancia debe recorrer el último participante? A) 7 Km

B) 8 Km

C) 6 Km

D) 9 Km

E) 10 Km

8. Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de leche, alcohol y agua en la relación de 4, 5 y 6 respectivamente. Se extrae sucesivamente de la mezcla 2/5, 1/3 y 1/6 de lo que iba quedando, resultando el volumen final igual a 10 litros. Calcular el volumen inicial, en litros, de leche, alcohol y agua respectivamente.

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A) 8; 10; 12

IV.

B) 6; 7,5; 9

C) 6; 7; 8

D) 4; 5; 6

E) 12; 15; 18

COMPROBACIÓN DE SABERES ACTIVIDAD 2: ESTIMADO COLEGA: El proceso desarrollado en la presente sesión debe consolidarse en un producto, el cual evidencie el logro de los aprendizajes esperados. Dicho producto, consiste en resolver las situaciones problemáticas siguientes y organizar un informe escrito, el cual será presentado al docente especialista.

1. El grupo de teatro “las máscaras” presentó un espectáculo durante la semana pasada. A la función del día lunes asistieron 270 personas, a la del martes 450 y a la del miércoles 135.  El jueves se ocuparon 4/9 del total de las butacas.  El viernes se ocuparon los 5/6  El sábado se ocuparon los 7/10  El domingo asistieron 300 personas, lo que significa que estaban ocupados 5/9 del total de butacas. Calcula:

a) El número de espectadores para el día jueves, el viernes y el sábado b) La fracción del total de butacas que se ocuparon el lunes, martes y miércoles. 2. Juan, estudiante de una escuela de Simbal, recibe las indicaciones de su padre para inspeccionar y dividir el terreno de cultivo en cinco partes, dicho terreno es rectangular y mide 50 m x 32 m. Las 2/5 partes del área debe sembrarse de piña; una cuarta parte de plátano; 1/10 de verduras y el resto de alfalfa. a) ¿Cuántos metros cuadrados serán de verduras; b) ¿Cuántos metros cuadrados estarán cultivadas de alfalfa? c) ¿Qué diferencia de áreas, en fracción, hay entre la parte de plátanos y la parte de piñas? d) ¿cuántos metros cuadrados representa esta diferencia?

3. Una IE de nivel primario contaba el año pasado con 320 alumnos; para el presente año se retiraron los 3/8, pero luego llegaron 40 trasladados. ¿Cuántos alumnos tiene ahora la IE? A) 200

B) 240

C) 220

D) 250

E) 230

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4. Un rollo de alambrón se ha ido gastando de la siguiente manera: 1/8 del total en estribos para columnas, 0,25 del total en estribos para vigas de techo, la mitad en hacer el emparrillado total del techo y han sobrado 15 kg. Sabiendo que el kg de alambrón cuesta S/. 1,75. ¿Cuántos kg tenía inicialmente el rollo y cuánto costó? A) 140 kg y S/. 245,00

B) 110 kg y S/. 192,50

D) 120 kg y S/. 210,00

E) 130 kg y S/. 227,50

C) 108 kg y S/. 189,00

5. Los 2/3 de los profesores de de una IE son mujeres, ¼ de los hombres están casados. Si hay 9 hombres solteros, ¿cuántas mujeres hay en total? A) 24

B) 16

C) 20

D) 18

E) 25

6. Un caño llena un estanque en 4 horas, un segundo caño lo hace en 6 horas, ¿En cuánto tiempo lo llenarán juntos, empezando a funcionar al mismo tiempo y desde que el estanque está vacío? A) 2,4 min

V.

B) 2 h 4 min

C) 24 min

D) 2 h 24 min

E) 2,24 h

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN LECTURA COMPLEMENTARIA: ESTIMADO COLEGA: El siguiente texto describe las diversas aplicaciones e interpretaciones que en matemática puede darse a un número fraccionario. Lea y comparta con sus alumnos y colegas en el momento que le sea oportuno.

LOS SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONES Tomado de: http://www.monografias.com/trabajos17/significados-fracciones/significados-fracciones.shtml el 13 de julio del 2008

¿Son las misma cosa los siguientes términos? Quebrados, fracciones, Números racionales Claro que no, sin embargo, en la educación básica se viene considerando como una evolución de la misma cosa que sólo ha cambiado de nombre, sin embargo son cosas diferentes, a medida de que vamos avanzando en nuestro trato con las matemáticas hemos conocido diferentes clases de números pero al fin números.

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En el lenguaje común se usa •

Medio kilo de...

•

Tres cuartos de hora

•

Dos tercios de veces de...

•

Tres partes de sal y tres partes de pimienta

•

De 5 tiros ganas con 3 que aciertes

Estos son usos de las fracciones en nuestra vida cotidiana, fíjate cuando hables y te darás cuenta de que usas alguno de las frases anteriores. ¿Qué representan los quebrados? •

Si quebrado viene de quebrar entonces debe ser: –Repartición de... –División de... –Recuerdo el pastel que se reparte entre varias personas y matemáticamente la maestra nos repartió ese pastel y me tocó un QUEBRADO.

A continuación te explicaré los diferentes SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONES y como los puedes distinguir. 

Operador comparación parte todo m/n se refiere a la identificación de n partes iguales en la unidad, de las cuales se toman m partes. Por ejemplo: 5/8 se puede referir a dividir un todo en ocho partes y tomar cinco de ellas.



La fracción como cociente m/n se refiere a una operación de división indicada, donde son m y n números enteros. Por ejemplo: 3/5 significa división 3 entre 5.



La fracción como razón m/n representa una relación entre dos cantidades. Por ejemplo: 8/13 puede interpretarse como ocho de cada trece personas hacen deportes.



Fracción medidora Describe una cantidad o un valor de magnitud por medio de otro. Por ejemplo: La mitad de..., un tercio de..., un cuarto de..., etc.



Fracción como porcentaje Cuando se habla de mezclas se establece una relación de cantidades tal es el caso del 3% el cual se representa en relación a un todo como 3/100.



La fracción como probabilidad

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La probabilidad tiene una representación en forma de fracción y sin embargo el uso es distinto, tal es el caso de que el valor de la probabilidad no excede a uno. P(m/n) representa la probabilidad de obtener m éxitos de n posibilidades. 

Fracción como tasa m/n es una cantidad que resulta de la relación de dos cantidades. Por ejemplo: Velocidad = distancia/tiempo; Aceleración = velocidad/tiempo.



Inverso operador multiplicador Cuando despejamos en las ecuaciones decimos: lo que esta multiplicando pasa al otro lado de la igualdad DIVIDIENDO. Sin embargo lo más correcto es interpretarlo como la operación inversa de la multiplicación.

VI.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. COVEÑAS, Manuel (2003). Matemática 1. Editorial Bruño. Lima. 2. ACADEMIA ADUNI (2001). Razonamiento Matemático. Lumbreras Editores. Lima. 3. GALDOS, Luis. (2001). Consultor Matemático: Aritmética. Editorial Cultural S.A. Tomo I. 4. HERRERA CACERES, Omar (2006). Olimpiada Matemática. Trujillo: Editorial “Atenas” S.A.C. Tomo I. 5.

GOMEZ Raúl y otros (2000). Nueva Serie de Matemática Moderna Estructurada Nº 2.-

6. GRUPO SANTILLANA. CLAVES. (2003) com. Editorial Santillana. Lima-Perú 7.

GRUPO SANTILLANA (2007). Razonamiento Matemático. Editorial Santillana. Lima Perú.

8.

MONTOYA CERDAN, Alfredo (2006). Aritmética. Lima-Perú. Editorial Septiembre SAC. Tomo 3.

9. RUBIÑOS T., Luis (2003) Razonamiento Matemático. Lima Editorial Moshera 10. SALVADOR, Timoteo.(2003) Razonamiento Matemático, Siglo XXI. Lima Perú. Editorial San Marcos. 11. SILVA SANTISTEBAN, Mario (2000) Aritmética Razonada. Lima-Perú. Editorial Ingeniería 12. VERA, Carlos ( 2004) Matemática. Ediciones El Nocedal S.A.C. Lima-Perú

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