Igualdad

Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x − 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2. Cierta 2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2 Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. 2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2 Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. x+1=2 x=1 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Tipos de ecuaciones según su grado 5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado. 5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado. 5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de tercer grado. 5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado. E c u a c i o n e s 1 g r ad o En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis: Agrupamos términos y sumamos: Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes: Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos: Sumamos: Dividimos los dos miembros por: −9

Expresiones algebraicas comunes El doble o dupl o de un número: 2x El t r iple de un número: 3 x El c uá dr uplo de un número: 4x La m it a d de un número: x /2 .

Un t e rc io de un número: x /3 . Un c ua r t o de un número: x /4 . Un número es pr opor c iona l a 2, 3, 4, ...: 2 x , 3 x , 4x ,.. Un número al c ua dr a do : x 2 Un número al c ubo : x 3 Dos números c ons e c utiv os : x y x + 1 . Dos números c ons e c utiv os pa re s : 2x y 2 x + 2 . Dos números c ons e c utiv os im pa re s : 2x + 1 y 2x + 3 . D es c om pone r 24 e n dos pa r te s : x y 2 4 − x . La s um a de dos números es 24: x y 2 4 − x . La dif e r e nc ia de dos números es 24: x y 2 4 + x . El pr oduc t o de dos números es 24: x y 2 4 /x . El c oc ie nt e de dos números es 24; x y 2 4 · x . Ecuaciones equivalente D o s e c u a c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s s i t i e n e n l a m i s m a s o l u ci ó n . 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 x + 3 = −2 x = −5 Criterios de equivalencia de ecuaciones 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 2 . S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a e c u a c i ó n s e l e s m ul t i pl i c a o s e l e s d i v i d e una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 −2= 3 −2 x=1

Sistemas de ecuaciones. Resumen Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo q u e p r e t e n d e m o s d e el l a s e s e n c o n t r a r s u s ol u c i ó n c o m ú n .

L a s o l u c i ó n d e u n s i st e m a e s u n p a r d e n ú m e r o s x 1 , y 1 , t a l e s q u e reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. Sistemas equivalentes D o s si s t e m a s d e e c u a c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s c u a n d o t i e n e n l a m i s m a solución. Criterios de equivalencia 1 º Si a a m b o s m i e m b r o s de una ecuación de un sistema s e l e s s u m a o s e l e s r e s t a u n a m i s m a e x p r e s i ó n , el s i st e m a resultante es e q u i v a l e n t e . 2 º Si m ul t i pl i c a m o s o d i vi d i m o s a m b o s m i e m b r o s de las ecuaciones de un sistema p o r u n n ú m e r o d i s t i n t o d e c e r o , el s i st e m a resultante es e q u i v a l e n t e . 3 º Si s u m a m o s o r e st a m o s a u n a e c u a c i ó n de un sistema otra ecuación d e l m i s m o s i s t e m a , el s i st e m a resultante es e q u i v a l e n t e al dado.

4 º S i n e n u n s i st e m a s e s u s t i t u y e u n a e c u a c i ó n p o r o t r a q u e r e s u l t e d e s u m a r l a s d o s e c u a c i o n e s d el s i s t e m a p r e v i a m e n t e m u l t i p l i c a d a s o d i v i d i d a s p o r n ú m e r o s n o n u l o s , r e s u l t a o t r o s i s t e m a e q u i v a l e n t e al p r i m e r o . 5 º Si en un sistema se c a m b i a el o r d e n d e l a s e c u a c i o n e s o e l o r d e n d e l a s i n c ó g n i t a s , resulta otro s i s t e m a e q u i v a l e n t e . Resolución de sistemas de ecuaciones Método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Método de reducción 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3 Se resuelve la ecuación resultante. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Tipos de sistemas Sistema compatible determinado Tiene una sola solución. Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas. Sistema compatible indeterminado E l s i st e m a t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s . G r á f i c a m e n t e o b t e n e m o s d o s r e c t a s c o i n c i d e n t e s . C u a l q u i e r p u n t o d e l a r e ct a es solución. Sistema incompatible No tiene solución Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas. Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1). Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0 La solución es x = 0. ax2 + bx = 0 Extraemos factor común x. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1er grado. x = 0.

ax2 + c = 0 Despejamos:

Estudio de las soluciones ax2 +bx +c = 0

b 2 − 4 a c se llama D I S C R I M I N A N T E de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos: b2 − 4ac > 0 L a e c u a c i ó n t i e n e d o s s o l u c i o n e s , q u e s o n n ú m e r o s r e a l e s di s t i n t o s. b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble. b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales. Propiedades de las soluciones L a s u m a d e l a s s ol u c i o n e s de una ecuación de segundo grado es igual a:

E l p r o d u c t o d e l a s s o l u c i o n e s de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como: Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2 Factorización de un trinomio de segundo grado a x2 + bx +c = 0 a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0 Ecuaciones racionales La ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas. P a r a r e s o l v e r l a s s e m ul t i pl i c a n a m b o s m i e m b r o s d e l a e c u a c i ó n p o r e l m í ni m o común múltiplo de los denominadores. D e b e m o s c o m p r o b a r l a s s ol u c i o n e s , para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original. Ecuaciones bicuadradas S o n e c u a c i o n e s de cuarto grado s i n t é r m i n o s d e g r a d o i m p a r : ax4 + bx2 + c = 0 Para resolverlas, efectuamos el cambio x 2 = t , x 4 = t 2 ; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t: at2 + bt + c = 0 P o r c a d a v a l o r p o s i t i v o d e t h a b r á d o s v al o r e s d e x :

Ecuaciones irracionales Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Resolución: 1 º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2 º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3 º Se resuelve la ecuación obtenida. 4 º S e c o m p r u e b a s i l a s s o l u ci o n e s o b t e n i d a s v e r i f i c a n l a e c u a c i ó n i n i c i al . Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. 5 º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. Ecuaciones de grado superior a dos E s u n a e c u a c i ó n d e c u a l q u i e r g r a d o escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores d e p r i m e r y s e g u n d o g r a d o , entonces basta ig u a l a r a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes. Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. Sistemas de ecuaciones Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Método de Gauss Este método consiste en utilizar el m é t o d o d e r e d u c c i ó n de manera que e n c a d a e c u a c i ó n tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. 1 º Ponemos como p r i m e r a e c u a c i ó n la que tenga el c o e f i c i e n t e e n x m á s b a j o . 2 º Hacemos r e d u c c i ó n c o n l a 1 ª y 2 ª e c u a c i ó n , para e l i m i n a r el término en x d e l a 2 ª e c u a c i ó n . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1 3 º Hacemos lo mismo con la ecuación 1 ª y 3ª e c u a c i ó n , para e l i m i n a r el término en x . E'3 = E3 − 5E1 4 º Tomamos las ecuaciones 2 ª y 3 ª , trasformadas, para hacer reducción y e l i m i n a r el término en y. E''3 = E'3 − 2E'2 5 º Obtenemos el sistema equivalente e s c a l o n a d o . 6 º Encontrar las soluciones. Sistemas de ecuaciones no lineales Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando a l m e n o s u n a d e s u s e c u a c i o n e s n o e s d e primer grado. La resolución de estos sistemas se suele hacer por el m ét o d o d e s u s t i t u c i ó n , para ello seguiremos los siguientes pasos: 1 º Se d e s p e j a u n a i n c ó g n i t a en una de las ecuaciones, preferentemente en l a d e p r i m e r grado. 2 º S e s u s t i t u y e el valor de la incógnita despejada e n l a ot r a e c u a c i ó n . 3 º S e r e s u e l v e l a e c u a c i ó n resultante. 4 º Cada uno de lo s v a l o r e s o b t e n i d o s s e s u s t i t u y e e n l a o t r a e c u a c i ó n , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.