I3 De Calculo 2 0

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Interrogaci´ on N◦ 3 de Mat1512 S.22.06.2002 Nombre: .................................................................. Secci´ on N : ..... (1) Una persona pesa 68 kil´ogramos e ingiere 2500 calor´ıas diarias de las cuales utiliza 1200 en el metabolismo y gasta 16 de ellas por kil´ogramo de peso durante el d´ıa. El exceso de calor´ıas se almacena como grasa (10000 calor´ıas son equivalentes a 1 kil´ogramo de grasa). Determinar, en funci´on del tiempo medido en d´ıas, el peso P (t) de este ser humano. [ 6 puntos] Un punto base. (2)

(i) Determinar el radio y el intervalo de convergencia absoluta de la serie de po∞ X (−3)k xk √ tencias . Estudiar la convergencia de esta serie en los extremos del k+1 k=0 intervalo anterior. [ 3 puntos] senx − Arctg x . (ii) Mediante la utilizaci´on de las series de potencias calcular lim x→0 x2 ln(1 + x) [ 3 puntos] Un punto base.

(3)

(i) Acudiendo al resultado de la serie geom´etrica, demostrar que para aquellos ∞ X x2 + x valores de x tales que | x | < 1, se tiene k 2 xk = [ 3 puntos] (1 − x)3 k=1

−p

(ii) Encontrar el desarrollo en serie de potencias de (1 − x) q , en torno a x0 = 0 y utilizarlo para calcular el valor de la serie num´erica: 15 15 · 39 15 · 39 · 63 1+ + + + · · · . [3puntos] 56 56 · 112 56 · 112 · 168 Un punto base.

Z (4)

1

√

(ln x)2002 dx. [ 3 puntos] r ∞ ³ x ´2k+ 12 X (−1)k 2 µ ¶ senx [ 3 puntos] (ii) Demostrar que = 1 2 πx k=0 k! · Γ k + 1 + 2 Un punto base. (i) Calcular la integral

x

3

0

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