I3 De Calculo 1

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MAT1503 . C´ alculo I. Interrogaci´ on N ◦ 3 Nombre: .............................................................................Secci´ on N (1)

(2)

(i) Trazar el gr´afico aproximado asociado a la funci´on real f (x) =

◦

: ......

x3 + 8x2 + 12x , x2 + 2x − 3

encontrando as´ıntotas verticales y oblicuas.[ 4 puntos] £ ¤ x (ii) Probar que la funci´on real f (x) = es invertible en el intervalo − 1, 1 . 1 + | x| [ 2 puntos] 1 punto base µ ¶ 1+x a+x (i) ¿Ser´a verdad que las funciones f (x) = ln y g(x) = f tienen la 1−x 1 + ax misma derivada? [ 2 puntos]

(ii) Se sabe que la funci´on real f (x) = x3 − 3x + 2 es derivable e invertible en una vecindad del punto P0 (2, 4). Se pide determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva asociada a la funci´on f −1 en el punto P1 (4, 2). [ 4 puntos] 1 punto base (3)

(4)

(i) Demostrar que el gr´afico asociado a la ecuaci´on real x3 + y 3 = 3xy − 1 no tiene rectas tangentes horizontales [ 4,5 puntos] (ii) Considerando la ecuaci´on de la parte anterior demostrar que el gr´afico de ella consta de la recta de ecuaci´on x + y + 1 = 0 y del punto aislado P0 (1, 1). [ 1,5 puntos] 1 punto base s √ 1− x √ , aplicando derivaci´on logar´ıtmica. [ 2 puntos] (i) Derivar g(x) = x3 5 1+ x (ii) Utilizando el concepto de diferencial se pide calcular aproximadamente el valor √ 4 de 803 . [ 2 puntos] ³ πx ´ (iii) Establecer que la funci´on real f (x) = 3x − 2 + cos tiene exactamente una 2 ra´ız real.[ 2 puntos] 1 punto base

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Pauta de la segunda prueba de C´ alculo I (1)

(i) Trazar el gr´afico aproximado asociado a la funci´on real f (x) = x3 + 8x2 + 12x , encontrando as´ıntotas verticales y oblicuas.[ 4 punx2 + 2x − 3 tos] x (ii) Probar que la funci´on real f (x) = es invertible en el inter1 + | x| £ ¤ valo − 1, 1 . [ 2 puntos] 1 punto base Soluci´ on: Para (i) Es claro que: Y

f (x) =

–3

O

1

x3 + 8x2 + 12x , (x + 3)(x − 1)

con lo que tiene as´ıntotas verticales de ecuaciones x = −3 y x = 1. Si existe as´ıntota oblicua con ecuaci´on y = mx + n sabemos que m se calcula con:

X

f (x) x2 + 8x + 12 = lim 2 =1, →∞ x →∞ x + 2x − 3

m = lim

Fig. 1 y para obtener n, hacemos: n = lim (f (x) − x) = →∞

x3 + 8x2 + 12x − x = ··· = 6 , x2 + 2x − 3

por lo tanto hay as´ıntota oblicua de ecuaci´on y = x + 6. Por lo tanto, el gr´afico aproximado se presenta en la figura 1. [ 4 puntos] Para (ii) En efecto, primero vemos que f es impar (o sea, f (−x) = −f (x)), por tanto, es suficiente estudiar su crecimiento para x > 0 (ya que f (0) = 0). Pues bien, sean x1 > 0, x2 > 0 y tales que x1 < x2 , de ello x1 − x2 < 0, ahora tenemos: f (x1 ) − f (x2 ) = =

x1 x2 − 1 + x1 1 + x2 x1 − x2 <0 (1 + x1 )(1 + x2 )

de donde: f (x1 ) < f (x2 ) . Adem´as f es continua, porque es cuociente de funciones continuas. Luego, tiene funci´on inversa continua y estrictamente creciente. [ 2 puntos] 1 punto base

(2)

1+x (i) ¿Ser´a verdad que las funciones f (x) = ln y g(x) = f 1−x tienen la misma derivada? [ 2 puntos]

µ

a+x 1 + ax

¶

(ii) Se sabe que la funci´on real f (x) = x3 −3x+2 es derivable e invertible en una vecindad del punto P0 (2, 4). Se pide determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva asociada a la funci´on f −1 en el punto P1 (4, 2). [ 4 puntos] 1 punto base Soluci´ on: Para (i) Resulta: µ g(x) = f

a+x 1 + ax

¶

a+x 1 + ax = ln 1 + ax + a + x = ln (1 + a)(1 + x) , = ln a+x 1 + ax − a − x (1 − a)(1 − x) 1− 1 + ax 1+

en conclusi´on, se obtiene: g(x) = ln

1+a + f (x) , 1−a

con lo que se deduce que poseen la misma derivada. [ 2 puntos] Para (ii) En primer lugar vemos que f (2) = 23 − 3 · 2 + 2 = 4, o sea P0 (2, 4) pertenece al gr´afico asociado a f . Ahora bien, derivando tenemos que: f 0 (x) = 3x2 − 3 ⇒ f 0 (2) = 3 · 22 − 3 = 9 , por lo tanto, se consigue:

¡ −1 ¢0 f (4) =

1 1 = , f 0 (2) 9

luego la ecuaci´on de la recta tangente a la curva asociada a f −1 en su punto P1 (4, 2) es: 1 y − 2 = (x − 4) ⇒ x − 9y + 14 = 0 . [4puntos] 9 1 punto base

(3)

(i) Demostrar que el gr´afico asociado a la ecuaci´on real x3 +y 3 = 3xy−1 no tiene rectas tangentes horizontales [ 4,5 puntos] (ii) Considerando la ecuaci´on de la parte anterior demostrar que el gr´afico de ella consta de la recta de ecuaci´on x + y + 1 = 0 y del punto aislado P0 (1, 1). [ 1,5 puntos] 1 punto base Soluci´ on: Para (i) Al derivar en forma impl´ıcita resulta: dy y − x2 = 2 , dx y −x vemos que puede tener tangentes horizontales si y = x2 (con y 2 = 6 x). Al efectuar la sustituci´on y = x2 en la ecuaci´on dada, o sea en x3 + y 3 = 3x − 1 se obtiene dy x6 − 2x3 + 1 = 0 de donde se obtiene x0 = 1 con lo que y01 = 1 ´o y02 = −2, pero dx dy est´a indefinida en P0 (1, 1) y en P1 (1, −2) resulta = −1, o sea no existen tangentes dx horizontales para esta curva. Para (ii) En este caso se tiene: x3 + y 3 − 3xy + 1 =

£ ¤ 1 (x + y + 1) · (x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − y)2 . 2 1 punto base

s (4)

(i) Derivar g(x) = x3

5

√ 1− x √ , aplicando derivaci´on logar´ıtmica. [ 2 1+ x

puntos] (ii) Utilizando el concepto de diferencial se pide calcular aproximada√ 4 mente el valor de 803 . [ 2 puntos] ³ πx ´ (iii) Establecer que la funci´on real f (x) = 3x − 2 + cos tiene 2 exactamente una ra´ız real.[ 2 puntos] 1 punto base Soluci´ on: Para (i) s 3

Tenemos y = x

5

√ 1− x √ , aplicando logaritmo natural conseguimos: 1+ x ln y = 3 ln x +

√ √ ¢ 1¡ ln(1 − x) − ln(1 + x) , 5

derivando se obtiene: 3 1 y0 = − √ · y x 10 x por lo tanto:

s 0

3

y =x

5

µ

1 1 √ + √ 1− x 1+ x

¶

√ 15 − 15x − x = ··· = , 5x(1 − x)

√ √ 1 − x 15 − 15x − x √ · . 5x(1 − x) 1+ x

[2 puntos]

Para (ii) Tomando la funci´on real f (x) =

√ 4

3

x3 = x 4 , tenemos que f (81) = 27 como tambi´en:

f (81 − 1) − f (81) ≈ f 0 (81) · (−1) ⇒ f (80) ≈ f (81) − 1 · f 0 (81) , pero: f 0 (x) =

1 3 −1 3 3 1 1 x 4 ⇒ f 0 (81) = · 81− 4 = · = , 4 4 4 3 4

luego: f (80) ≈ 27 −

1 = 26, 75 . [2 puntos] 4

Para (iii) ³ πx ´

, con ello resulta f (0) = −1 < 0, f (1) = 1 > 0; 2 por teorema del valor intermedio se deduce que f (x) tiene por lo menos una ra´ız. Si tuviera m´as de una ra´ız estas fueran diferentes, digamos que dos, siendo ellas x1 y x2 , f 0 (x) tendr´ ¤ ıa una £ a causa del teorema de Rolle porque f (x1 ) = f (x2 ) = 0 luego existir´ıa c ∈ x1 , x2 tal que f 0 (c) = 0; veamos si esto es as´ı: Como f (x) = 3x − 2 + cos

f 0 (x) = 3 −

³ πx ´ π sen , 2 2

si esta derivada se anulara tendr´ıamos: ³ πx ´ 6 = >1, sen 2 π ecuaci´on que no posee soluci´on. Vemos que la derivada no se anula, de esto se sigue el resultado. [ 2 puntos] 1 punto base