I3 Calculo 2 11

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Interrogaci´ on N◦ 3 de Mat1512 L.06.06.2005 (1)

(i) Un estanque contiene inicialmente 800 litros de salmuera en la que est´an disueltos 600 gramos de sal. Se vierte agua pura a raz´on de 20 litros por minuto y la mezcla, que se mantiene uniforme revolvi´endola, sale con la misma rapidez. ¿Cu´antos gramos de sal quedar´an en el estanque despu´es de 10 minutos? [ 3 puntos] x3 1 (ii) Dado el arco homog´eneo de ecuaci´on y = + , con 1 ≤ x ≤ 2, se pide de6 2x terminar el ´area de revoluci´on que este arco produce en torno al eje de abscisas. [ 3 puntos].

(2)

(i) Acudiendo al resultado de la serie geom´etrica, demostrar que para aquellos ∞ X (k + 1)(k + 2) k 1 valores de x tales que | x | < 1, se tiene x = . 2! (1 − x)3 k=0 [ 3 puntos] senx − Arctg x (ii) Mediante la utilizaci´on de las series de potencias calcular lim x→0 x2 ln(1 + x) [ 3 puntos] Z x du √ (i) Sabiendo que Argsh x = , se pide demostrar que para | x | < 1: 1 + u2 0

(3)

Argsh x =

∞ X

(−1)k

k=0

(4)

1 · 3 · 5 · 7 · · · (2k − 1) x2k+1 · . 2 · 4 · 6 · 8 · · · (2k) 2k + 1

[ 3 puntos]

(ii) Cada una de las cinco primeras repeticiones de un experimento aleatorio cuesta 100 d´olares y cada una de las siguientes 75 d´olares. El experimento se detiene cuando se logra el primer ´exito y la probabilidad de ´exito es constante e igual a p = 0, 65. Se pide el costo esperado de la operaci´on completa. [ 3 puntos] Z π4 p 3 (i) Calcular la integral tg(2x)dx. [ 3 puntos] 0 Z ∞ xm (1 + x)−n−m−1 dx. [ 3 (ii) Sabiendo que m, n ∈ N, calcular la integral puntos]

0

Habr´ a cuatro puntos base ¡No hay consultas! Tiempo: 120 minutos

Pauta problema 1 Soluci´ on: Para (i): Sea x(t) la cantidad de sal en el instante t, con ello x(0) = 600. Tomando en cuenta el enunciado del problema, resulta: dx 20x x dx 1 =− =− ⇒ = − dt , dt 800 40 x 40 esta u ´ltima es una ecuaci´on de variables separables, que al ser integrada, nos conduce a: t t ln x = − + ln C ⇒ x(t) = Ce− 40 , 40 y como: t 600 = x(0) ⇒ x(t) = 600e− 40 , de donde:

1

x(10) = 600e− 4 ≈ 467, 2804699 . O sea, quedan aproximadamente 467, 2804699 gramos de sal en el estanque despu´es de 10 minutos de comenzado el experimento. [ 3 puntos] Para (ii): Se tiene:

p x4 − 1 x4 + 1 0 2 y = ⇒ ds = 1 + (y ) = , 2x2 2x2 luego el ´area pedida es: Z 2 4 Z 2 x + 3 x4 + 1 47 σ= yds = · dx = · · · = . 2 6x 2x 32 1 1 0

[ 3 puntos] 1 punto base

Pauta problema 2 Soluci´ on: Para (i): Sabemos que para | x | < 1: ∞ X

xk =

k=0

1 , 1−x

derivando llegamos a: ∞ X

∞

kxk−1 =

k=1

X 1 1 k ⇒ (k + 1)x = , 2 (1 − x)2 (1 − x) k=0

derivando ´esta: ∞ X

∞

(k + 1)kx

k=1

o sea:

k−1

X 2 2 = (k + 1)(k + 2)xk = ⇒ , 3 (1 − x) (1 − x)3 k=0

∞ X (k + 1)(k + 2) k=0

2!

xk =

1 . [ 3 puntos] (1 − x)3

Para (ii): Como:

x x3 x5 − + − ··· , 1! 3! 5! x3 x5 x7 Arctg x = x − + − + ··· , 3 5 7 x2 x3 x4 + − + ··· . ln(1 + x) = x − 2 3 4 1 senx − Arctg x , resulta ` = . [ 3 puntos] Al poner estas series en ` = lim 2 x→0 x ln(1 + x) 6 senx =

1 punto base

Pauta problema 3 Soluci´ on: Para (i): Z

x

Se sabe que Argsh x = 0

para | t | < 1, luego: Argsh x = 0

=

∞ X

(−1)k

k=0

¶ ∞ µ 1¶ Z x X −2 − 21 2k u du = u2k du = k k 0 k=0

∞ µ xX

Z

∞ µ 1 ¶ 2k+1 X −2 x = = k 2k + 1 k=0

∞ µ 1¶ X − 2 2k du − 12 2 √ t y tambi´en que (1 + t ) = k 1 + u2 k=0

k=0

−1 ∞ X 2

µ

k=0

¶µ ¶ µ ¶ −1 −1 −1 −1 − 1 ··· − (k − 1) x2k+1 2 2 2 = k! 2k + 1

1 · 3 · 5 · 7 · · · (2k − 1) x2k+1 · . [ 3 puntos] 2 · 4 · 6 · 8 · · · (2k) 2k + 1

Para (ii): Se tiene, seg´ un los datos, que el costo es: ½ 100k para : k = 1, 2, 3, 4, 5 C(k) = 500 + 75(k − 5) para : k = 6, 7, 8, · · · y la probabilidad es: p(k) = 0, 65 · 0, 35k−1 , k ∈ N , con lo que el costo esperado es: E[C] =

∞ X k=1

C(k)·p(k) =

5 X k=1

k−1

100·k·0, 65·0, 35

∞ X + (500 + 75 · (k − 5))·0, 65·0, 35k−1 = k=6

= 111, 105 + 0, 00555555 = 111, 1105555 . [ 3 puntos] 1 punto base

Pauta problema 4 Soluci´ on: Para (i): Tenemos: Z πp 4

0

3

1 tg(2x)dx = · 2

1 = · 4

à Z 2

π 2

Z

π 2

√ 3

0

1 tgudu = · 4

à Z 2

(senu)

2· 13 −1

(cos u)

µ

2 3

¶

µ ·Γ

1 3

¶ =

! 1 3

− 13

(senu) (cos u)

du

=

0

! 2· 23 −1

0

1 = ·Γ 4

π 2

du

1 = ·B 4

µ

2 1 , 3 3

¶ =

1 π π · π = √ . [ 3 puntos] 4 sen 3 2 3

Para (ii): En la integral planteada hacemos: µ ¶ x u du 1 u= ⇒ x= , dx = , 1+x= , 1+x 1−u (1 − u)2 1−u adem´as:

¯∞ ¯1 ¯ ¯ x ¯ ⇒ u¯ , 0

con lo que la integral pasa a ser: Z ∞ Z m −n−m−1 x (1 + x) dx = 0

1

0

u(n+1)−1 (1 − u)m−1 du = B(n + 1, m) =

0

=

Γ(n + 1) · Γ(m) n! · (m − 1)! = . [ 3 puntos] Γ(n + 1 + m) (n + m)! 1 punto base