I3 2005 Calculo 1

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MAT1503 . C´ alculo I Interrogaci´ on N◦ 3 Nombre: .............................................................................Secci´ on N (1)

(i) Estudiar la continuidad de la funci´on real definida por f (x) = [ 2 puntos]

◦

: ......

x2 + x − 2 . x2 + 2x − 3

(ii) Utilizar el teorema del valor intermedio de las funciones continuas para establecer que la ecuaci´on x5 + x = 1 tiene alguna soluci´on real. [ 2 puntos] (iii) Utlizando el concepto de diferencial se pide calcular aproximadamente el valor √ de 5 245. [ 2 puntos] 1 punto base (2)

(i) Una persona mide un metro ochenta de altura y camina con una rapidez de 2, 4 metros por segundo alej´andose de un farol que est´a en un extremo de un poste de 5, 4 metros. ¿Qu´e tan r´apido se mueve el extremo de su sombra a lo largo del piso cuando la persona est´a a 300 metros del poste? [ 4 puntos] s √ 3 5 1 − √x (ii) Derivar y = x , aplicando derivaci´on logar´ıtmica. [ 2 puntos] 1+ x 1 punto base

xp (3) Trazar un gr´afico aproximado de f (x) = 98 − x2 . [ 6 puntos] 4 1 punto base (4)

(i) Resolver la ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden y 0 = ay + b, siendo a y b constantes conocidas. [ 2 puntos] (ii) Aplicando la parte (i) se pide resolver el problema siguiente: La ciudad de R´ıo Sokorai ten´ıa una cantidad de 1.500.000 habitantes en el a˜ no 1.990. Esta poblaci´on crece continuamente a una tasa anual del 4% y recibe 50.000 inmigrantes por a˜ no. ¿Cu´al ser´a cantidad de habitantes en el a˜ no 2.010? [ 4 puntos] 1 punto base

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Soluci´ on Problema (1) Para (i) Tenemos que: f (x) =

x2 + x − 2 (x − 1)(x + 2) = , x 6= 1 , x 6= −3 , 2 x + 2x − 3 (x − 1)(x + 3)

luego hay discontinuidades en x = 1 y x = −3. Podemos redefinir la funci´on f (x) mediante:  x+2      x+3 g(x) =

    

3 4

si x 6= 1 , si

x 6= −3

x=1

con esto observamos que en x = 1 hay una discontinuidad evitable y en x = −3 hay una discontinuidad esencial. [ 2 puntos] Para (ii) Consideramos la funci´on real f (x) = x5 + x − 1 en ella vemos que f (0) =£ −1¤ y f (1) = 1, por lo tanto, como esta funci´on real polin´omica es continua en el intervalo ¤ £ 0, 1 , f (0) < 0 y f (1) > 0, a causa del teorema del valor intermedio existe un valor c ∈ 0, 1 tal que f (c) = 0, o sea c es ra´ız de f (x). [ 2 puntos] Para (iii) Tomando la funci´on real f (x) =

√ 5

x, tenemos:

f (243 + 2) − f (243) ≈ f 0 (243) · 2 ⇒ f (245) ≈ f (243) + 2 · f 0 (243) , pero: f 0 (x) =

4 1 −4 1 1 1 1 x 5 ⇒ f 0 (243) = · 243− 5 = · = , 5 5 5 81 405

luego: f (245) ≈ 3 +

2 ≈ 3, 0049 . 405

[2 puntos] 1 punto base

2

Soluci´ on Problema (2) Para (i) Considerando la figura 1 donde se ha colocado AB = y, DB = x, a la persona se representa como DE = 1, 8 y al poste como BC = 5, 4 resulta:

C

y−x y = ⇒ 3x = 2y , 5, 4 1, 8

E

de donde: D

A

y como:

dx = 2, 4 , dt

Fig. 1 se consigue:

dy dx =3 , dt dt

2

B

· ¸ dy 3 m. = · 2, 4 = 3, 6 . [4 puntos] dt 2 seg.

Para (ii) s Tenemos y = x

3

5

√ 1− x √ , aplicando logaritmo natural conseguimos: 1+ x ln y = 3 ln x +

√ ¢ √ 1¡ ln(1 − x) − ln(1 + x) , 5

derivando se obtiene: y0 3 1 = − √ · y x 10 x por lo tanto:

s 0

3

y =x

5

µ

1 1 √ + √ 1− x 1+ x

¶

√ 15 − 15x − x = ··· = , 5x(1 − x)

√ √ 1 − x 15 − 15x − x √ · . 5x(1 − x) 1+ x

[2 puntos] 1 punto base

3

Soluci´ on Problema (3) √ √ ¤ £ xp 98 − x2 , es claro que dom f = − 7 2, 7 2 y tambi´en que f es impar, 4 ¤ √ £ 1 49 − x2 bastar´ a estudiarla en 0, 7 2 , adem´as f (0) = 0. Por otro lado, resulta f 0 (x) = · √ , 2 98 − x2 luego: f 0 (x) > 0 ⇐⇒ 49 − x2 > 0 ⇐⇒ 0 < x < 7 , √ f 0 (x) < 0 ⇐⇒ 49 − x2 < 0 ⇐⇒ 7 < x < 7 2 , Como f (x) =

tambi´en tenemos que f (7) =

49 y f 0 (7) = 0 con lo que x0 = 7 es un m´aximo, porque 4 √ < 0, pues 0 < x < 7 2 ⇒ x2 − 147 < 0 .

1 x(x2 − 147) √ · 2 (98 − x2 ) 98 − x2 ¤ √ £ ¡ ¢ En 0, 7 2 la concavidad es hacia abajo porque si trazamos en P0 x0 , f (x0 ) , con x0 ∈ ¤ √ £ 0, 7 2 la recta tangente T cuya ecuaci´on es: f 00 (x) =

T : y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) , £ ¤ a causa del teorema del valor medio en x0 , x : ´ ¤ £³ f (x) − f (x0 ) ∃c ∈ xo , x = f 0 (c) , x − x0

Y

O X

o sea: f (x) = f (x0 ) + f 0 (c)(x − x0 ) , y como f 00 (x) < 0 se tiene:

Fig. 2

¡ ¢ ¡ ¢ x0 < c ⇒ f 0 (c) < f 0 (x0 ) ⇒ f (x0 ) + f 0 (c)(x − x0 ) < f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) , lo que nos dice que los valores de la funci´on f (x) en las cercan´ıas de x0 son menores que los valores que alcanza la ordenada de la tangente T. Por lo tanto, el gr´afico pedido se presenta en la figura 2 (despu´es de haber efectuado la simetr´ıa con respecto al origen porque la funci´on es impar). [ 6 puntos] 1 punto base

4

Soluci´ on Problema (4) Para(i) Sea z = (ay + b)e−ax , derivando z con respecto a x se obtiene: ¡ ¢ z 0 = ay 0 e−ax − a(ay + b)e−ax = ae−ax y 0 − (ay + b) , recordando que y 0 = ay + b resulta: z 0 = 0 ⇒ z = C1 ⇒ (ay + b)e−ax = C1 ⇒ ay + b = C1 eax , luego: y = Ceax −

b . a

[2 puntos]

Para(ii) Sea P (t) la poblaci´on en el tiempo t medido en a˜ nos, con P (0) = 1.500.000, se nos pregunta P (20). Del enuciado del problema se deduce que: dP = 0, 04P + 50.000 , dt en este caso a = 0, 04 y b = 50.000, con lo que: P (t) = Ce0,04t −

50.000 = Ce0,04t − 1.250.000 , 0, 04

pero: 1.500.000 = P (0) = C − 1.250.000 ⇒ C = 2.750.000 , luego: de donde:

P (t) = 2.750.000e0,04t − 1.250.000 , P (20) = 2.750.000e0,04·20 − 1.250.000 = 4.870.237

[4 puntos] 1 punto base

5