I2 De Calculo 2 2

Z

1

1. a) Calcule por definici´on

√

x dx .

0

(Sugerencia: Considere una partici´on de [ 0, 1 ] en n subintervalos [ xi−1 , xi ] haciendo xi = i2 /n2 y use sumas derechas) Respuesta: Tenemos que Z

1

√

x dx = l´ım

n→∞

0

n X p

x∗i (xi − xi−1 )

i=1

donde x∗i es cualquier punto en [ xi−1 , xi ]. Haciendo xi = i2 /n2 y x∗i = xi nos queda Z

1 0

√

µ 2 ¶ n 2 X p i (i − 1) x dx = l´ım i2 /n2 − 2 n→∞ n n2 i=1 n 1 X = l´ım 3 i ( i2 − (i − 1)2 ) n→∞ n i=1 n 1 X = l´ım 3 i ( 2i − 1 ) n→∞ n i=1 n 1 X 2 ( 2i − i ) n→∞ n3 i=1 " n # n X X 1 i2 − i = l´ım 3 2 n→∞ n i=1 i=1 ¸ · 1 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) = l´ım 3 − n→∞ n 3 2 · ¸ n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) = l´ım − n→∞ 3n3 2n3

=

l´ım

=

2 2 −0 = 3 3

¥

Z b) Calcule

√

x log(

√

x ) dx √

1 log(x), tenemos que 2 Z Z √ √ √ 1 I = x log( x ) dx = x log(x) dx. 2

Respuesta: Como log(

x) =

Integramos por partes con u = log(x); v 0 = 2 3 x2 . 3 As´ı tenemos que:

√

x . Entonces: u0 =

¸ Z 3 2 3 2 1 x 2 log(x) − x 2 · dx 3 3 x Z 1 1 3 1 = x 2 log(x) − x 2 dx 3 3

1 I = 2

=

·

1 3 2 3 x 2 log(x) − x 2 + C 3 9

1 ; v = x

2. Calcular Z (2x + 1) arctan(x) dx

a)

Respuesta: Integramos por partes con u = arctan(x); v 0 = 2x + 1

−→

u0 =

1 ; v = x2 + x 1 + x2

obteniendo Z

x + x2 dx 1 + x2 ¾ Z ½ x−1 2 1+ dx = (x + x) arctan(x) − 1 + x2 ¾ Z ½ x 1 2 = (x + x) arctan(x) − x − − dx 1 + x2 1 + x2 2

I = (x + x) arctan(x) −

= (x2 + x) arctan(x) − x − Z

2

b) 1

√

1 log(1 + x2 ) + arctan(x) + C 2

x2 − 1 dx x

Respuesta: Hacemos la sustituci´on x = sec(t). Entonces dx = sec(t) tan(t) y x = 1 → t = 0;

x=2 → t=

Como sec2 (t) − 1 = tan2 (t) y tan(t) es positiva en 0 ≤ t ≤ Z

2 1

√

x2 − 1 dx = x

Z

π/3 0

Z

π/3

=

tan(t) sec(t) tan(t) dt sec(t) tan2 (t) dt

0

Z

π/3

=

{sec2 (t) − 1} dt

0

= ( tan(t) − t )π/3 0 = tan

π 3

³π ´ 3

−

√ π π = 3− 3 3

π 3

tenemos que

Z

x

3. Sea F (x) =

p log(t) dt. Sin tratar de calcular esta integral demuestre que

1

a) F (x) es creciente y convexa (c´oncava hacia arriba) si x > 1. Respuesta: Por el teorema fundamental del C´alculo, µZ

d F (x) = dx

x

0

p

¶ log(t) dt

=

p

log(x) > 0

1

para todo x > 1. Por tanto, F (x) es creciente. Adem´as d p 1 p log(x) = > 0 dx 2x log(x)

F 00 (x) =

para todo x > 1. Por tanto, F (x) es c´oncava hacia arriba. b) Si x, y > 1, entonces F (xy) ≥ F (x) + xF (y) . Z xy Z x Z xy ( Sugerencia: Descomponga = + ) 1

1

x

Respuesta: Z

xy

F (xy) =

p

log(t) dt

Z

1 x

=

Z

p

xy

log(t) dt +

1

p

log(t) dt

x

Z

xy

= F (x) +

p

log(t) dt

x

t Haciendo el cambio de variables u = (dt = x du) en la u ´ltima integral, ´esta x se convierte en Z

y

x

Z

p

y

log(ux) dt = x

1

Z

p

log(u) + log(x) du

1 y

p

log(u) du

≥ x 1

= x F (y) ya que log(x) ≥ 0 si x ≥ 1. Por lo tanto, F (xy) ≥ F (x) + xF (y) .

Z

x

p

4. Sea G(x) = 0

dt (1 − t2 ) (1 − 2t2 )

.

Sin calcular ninguna integral demuestre que Z

3 0

·

dx

1 p = √ 7 (3 − 4x − x2 ) (10 − 4x − x2 )

µ G

5 √ 14

¶

µ −G

2 √ 14

¶¸ .

Respuesta: Completando cuadrados en cada uno de los trinomios del denominador Z

3

p 0

Z

dx

3

(3 − 4x − x2 ) (10 − 4x − x2 )

dx

p

=

( 7 − (x + 2)2 ) ( 14 − (x + 2)2 ) Z 3 dx 1 q        = √ √ 2 2 7 14 0 √ √ 1− x+2 1− x+2 0

7

14

Haciendo el cambio de variable x+2 t = √ 14 Adem´as, x = 0

→

dx =

2 t= √ ; 14

→

√

14 dt &

x=3

√ x+2 √ = 2t 7 5 t= √ 14

→

As´ı obtenemos: Z

1 I = √ √ 7 14 1 = √ 7 1 = √ 7

√

√ 5/ 14

14 dt p (1 − 2t2 ) (1 − t2 )

√ 2/ 14

"Z

√ 5/ 14

p

(1 − 2t2 ) (1 − t2 )

0

·

µ G

5 √ 14

¶

µ −G

√ 2/ 14

Z

dt

2 √ 14

− 0

¶¸ .

dt

p (1 − 2t2 ) (1 − t2 )

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