I2 Calculo 2 4

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Interrogaci´ on N◦ 2 de Mat1512 S.15.05.2004 Nombre: ............................................................. Secci´ on N :........ (1) Calcular las integrales siguientes: Z dx (i) . (x2 − 4x + 13)2 [ 3 puntos] Z 2x3 dx (ii) . 2x2 − 4x + 3 [ 3 puntos]

Z (iii)

x2 Arcsen xdx .

[ 3 puntos] Z dx √ √ . (iv) x+5+ 3x+5 [ 3 puntos]

(2) Hallar el ´area interior a la lima¸c´on de ecuaci´on en polares:

3 2 1

ρ = 3 + 2 cos θ

–2

–1 0

1

2

3

4

5

–1

y exterior a la circunferencia de ecuaci´on en polares ρ = 2. (Ver la figura 1.) [ 6 puntos]

–2 –3

Fig. 1

(3) Encontrar el ´area de revoluci´on en torno al eje de abscisas para £ ¤ el arco de cicloide ~r(t) = a( t − sen t , 1 − cost ), cuando t ∈ 0 , 2π . [ 6 puntos] (4) La poblaci´on P (t) en el tiempo t, medida en millones, satisface la relaci´on dP = 0, 007P (1000 − P )dt. Si P (0) = 350, encontrar la expresi´on para P (t). ¿Podr´ıa Ud. entregar una interpretaci´on a esta forma de crecimiento poblacional? [ 6 puntos] 5 puntos base

¡No hay consultas! Tiempo: 120 minutos 1

(1) Calcular las integrales siguientes: Z dx . (i) 2 (x − 4x + 13)2 [ 3 puntos] Z 2x3 dx (ii) . 2x2 − 4x + 3 [ 3 puntos]

Z x2 Arcsen xdx .

(iii)

[ 3 puntos] Z dx √ √ (iv) . x+5+ 3x+5 [ 3 puntos]

Soluci´ on: Para (i): Se tiene: Z I1 =

dx = 2 (x − 4x + 13)2

Z

dx , ((x − 2)2 + 9)2

hacemos x − 2 = 3 tg θ y llegamos a: Z Z Z 1 sec2 θ 1 1 2 I1 = dθ = cos θdθ = (1 + cos2θ)dθ) = 27 sec4 θ 27 54 1 1 1 (θ + sen 2θ) + C = (θ + sen θ cos θ) + C = 54 2 54 µ ¶ 1 x−2 3(x − 2) = Arctg + 2 + C . [ 3puntos] 54 3 x − 4x + 13 =

Para (ii): Se tiene: Z

Z = =

2x3 dx = 2x2 − 4x + 3

5 (x + 2)dx + 4

Z

Z h (x + 2) +

5x − 6 i dx = 2x2 − 4x + 3

d(2x2 − 4x + 3) −2 2x2 − 4x + 3

Z 4x2

dx = − 8x + 6

√ √ (x + 2)2 5 + ln(2x2 − 4x + 3) + 2 Arctg 2(x − 1) + C . [ 3puntos] 2 4

Para (iii): Tenemos: Z

x3 Arcsen x − x Arcsen xdx = 3 2

2

Z

x3 dx √ = 3 1 − x2

Z x3 1 x3 dx √ = Arcsen x − , 3 3 1 − x2 en: Z x3 dx √ , 1 − x2 hacemos x = sen θ, con lo que: Z Z Z x3 dx sen3 θ cos θdθ √ = = sen3 θdθ = cos θ 1 − x2 Z 1 = − (1 − cos2 θ)d(cos θ) = − cos θ + cos3 θ = 3 ¢3 √ 1¡ 1√ = 1 − x2 2 − 1 − x2 = − 1 − x2 (2 + x2 ) , 3 3 por consiguiente: Z x3 1√ 2 x Arcsen xdx = Arcsen x + 1 − x2 (2 + x2 ) + C . [ 3puntos] 3 9 Para (iv): En:

Z I2 =

√

dx √ , x+5+ 3x+5

hacemos x + 5 = u6 , resultando: Z Z 3 u5 du u du I2 = 6 =6 = 3 2 u +u u+1 µZ ¶ Z Z Z du 2 u du − udu + du − =6 = u+1 = 2u3 − 3u2 + 6u − 6 ln(u + 1) + C = ³ √ ´ √ √ √ 6 3 6 = x + 5 2 x + 5 − 3 x + 5 + 6 −6 ln( 6 x + 5+1)+C . [ 3puntos]

3

(2) Hallar el ´area interior a la lima¸c´on de ecuaci´on en polares:

3 2 1

ρ = 3 + 2 cos θ

–2

–1 0

1

2

3

4

5

–1

y exterior a la circunferencia de ecuaci´on en polares ρ = 2. (Ver la figura 1.) [ 6 puntos]

–2 –3

Fig. 1

Soluci´ on: 1 Intersecando ρ = 3 + 2 cos θ con ρ = 2 se obtiene cos θ = − , con lo que 2 2π θ= [ 1 puntos], luego, el ´area pedida es: 3 Z 2π 3 ¡ ¢ 1 σ =2· (3 + 2 cos θ)2 − 4 dθ = [ 2 puntos] 2 0 Z

2π 3

= 0

Z

2π 3

=5

(5 + 12 cos θ + 4 cos2 θ)dθ = Z

2π 3

dθ + 12

0

Z cos θdθ + 2

0

=

2π 3

(1 + cos 2θ)dθ =

0

14 11 √ π+ 3 .[ 3 puntos] 3 2

4

(3) Encontrar el ´area de revoluci´on en torno al eje de abscisas para £ ¤ el arco de cicloide ~r(t) = a( t − sen t , 1 − cost ), cuando t ∈ 0 , 2π . [ 6 puntos] Soluci´ on: En la figura 2 tenemos dicho arco de cicloide. Pues bien, sabemos que el ´area pedida σ se obtiene con: Z 2π σ = 2π yds , [ 0, 5puntos]

Y

O

0

X

y en este caso se consigue: ¯ t ¯¯ ¯ sen ds = 2a Fig. 2 ¯ ¯dt , [ 0, 5puntos] 2 ¯ £ ¤ t ¯¯ t ¯ pero como t ∈ 0 , 2π resulta ¯ sen ¯ = sen [ 1 puntos], luego: 2 2 Z 2π Z 2π t t 2 a(1 − cos t)2a sen dt = 8πa sen3 dt = σ = 2π 2 2 0 0 ¶ Z 2π µ t 2 2 t = 8πa sen dt = 1 − cos 2 2 0 ·Z 2π µ ¶ Z 2π µ ¶¸ t t t 2 2 t sen d = 16πa cos + d cos = 2 2 2 2 0 0 µ ¯2π ¶ 64 t ¯¯0 1 3 t¯ 2 = 16πa cos ¯ + cos ¯ = πa2 . [ 4puntos] 2 2π 3 2 0 3

5

La poblaci´on P (t) en el tiempo t, medida en millones, satisface la relaci´on dP = 0, 007P (1000 − P )dt. Si P (0) = 350, encontrar la expresi´on para P (t). ¿Podr´ıa Ud. entregar una interpretaci´on a esta forma de crecimiento poblacional? [ 6 puntos] Soluci´ on: Es claro que P (t) = 0 y P (t) = 1000 son soluciones [ 0,5 puntos]. Luego, para las restantes tenemos: µ ¶ dP 1 dP dP = 0, 007dt ⇐⇒ + = 0, 007dt , P (1000 − P ) 1000 P 1000 − P [ 2,5 puntos] de donde, al integrar, resulta: 1 P 1 P ln − ln C = 0, 007t ⇐⇒ = Ce7t ⇐⇒ 1000 1000 − P 1000 1000 − P 1000Ce7t , 1 + Ce7t pero P (0) = 350 nos conduce a: ⇐⇒ P =

350 = con lo que: P (t) =

[ 1puntos]

1000C 7 ⇒C= , 1+C 13

7000e7t , 13 + 7e7t

[ 1puntos]

que es la soluci´on pedida. Para responder a: ¿Podr´ıa Ud. entregar una interpretaci´ on a esta forma de crecimiento poblacional? Es razonable suponer que las poblaciones crecen con una rapidez proporcional a su tama˜ no actual ( digamos que en este caso la tasa es de 0,7%), pero que existe una poblaci´on sostenible m´axima (1000) denominada capacidad m´ axima admisible, determinada por los recursos disponibles. Adem´as, a medida que la poblaci´on comienza a aproximarse a su capacidad m´axima admisible (y los recursos disponibles empiezan a escasear m´as), el crecimiento de la poblaci´on disminuir´a. En consecuencia, podemos suponer que la tasa de crecimiento de la poblaci´on es conjuntamente proporcional al nivel de poblaci´on presente y la diferencia entre el nivel corriente y el m´aximo (1000), es decir P (t) satisfar´a: P 0 (t) = 0, 7P (t)(1000 − P (t)) . [ 1puntos] 6