I Love You More Than I Can Say

Today!

Nhóm 5 xin chào

Gvhd:Thầy Ngô Thu Lương Nhóm 5:Hoàng Việt Anh Nguyễn Hoài Thuận Trần Thị Lý Đỗ Huy Vũ Hoàng Thị Hà Nguyễn Thị Hữu Lợi

3.1 Đạo hàm và hàm giải tích 3.2 Phương trình Cauchy-Rieman 3.3 Hàm điều hoà 3.4 Ứng dụng

• f(z)=u(x,y) +iv(x,y) giải tích trong miền D • u và v có các đạo hàm cấp hai liên tục trong D → u và v thỏa phương trình Laplace:

* Định nghĩa Hàm điều hòa: Một hàm Φ theo 2 biến thực x,y có đạo hàm riêng cấp 1,cấp 2 liên tục trên một miền D và thỏa mãn phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa trên D

*Định lý 1: Cho hàm phức f(z)=u(x,y)+iv(x,y) giải tích trên miền D thì 2 hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên D Chứng minh: Giả sử f(z)=u(x,y)+iv(x,y) giải tích trên một miền D u” và v” liên tục trên D.Vì f khả tích,phương trình Cauchy-Rieman được thỏa mãn điều kiện tại mọi điểm z : ;  

(1) ;

(2)  

(1)+(2)

→

hay

Vậy: u(x,y) điều hòa Tương tự với hàm v(x,y) Ta được:

hay

Vd1: cho hàm f(z) = và phẳng phức

nguyên. CM điều hòa trên D của mặt

Đã biết :Hàm f(z)=u(x,y)+iv(x,y) giải tích trên D ⇒ u và v điều hòa trên D. Cho u(x,y) là hàm thực điều hòa trên D. có thể tìm được hàm v(x,y) điều hòa trên D u và v thỏa mãn phương trình Cauchy-Rieman trên miền D hàm v được gọi là hàm điều hòa liên hợp của u. Kết hợp u(x,y)+iv(x,y) ta có hàm giải tích trên D

VD2: a)Chứng minh hàm điều hòa trên toàn mặt phẳng phức b)Tìm hàm điều hòa liên hợp của u GIẢI : a)Từ đạo hàm riêng

⇒

→

⇒ Vậy u là hàm điều hòa Vì hàm v phải thỏa mãn phương trình Cauchy-Rieman nên

Lấy tích phân phương trình (1) theo biến y ta được Đạo hàm riêng v(x,y) theo biến x ta được (3) Thay (3) vào (2) ta có h’(x),suy ra h(x) =5x+c(c là hằng số thực).Phương trình điều hòa liên hợp Kết hợp u và v có hàm phức

* Giả sử giải tích trên D (trừ gốc tọa độ). Dùng phương trình Cauchy-Rieman để chứng minh hàm giải tích trên D Chứng minh: Phương trình Cauchy-Rieman trong tọa độ cực ta có → hay là (1) → và Cộng (1), (2), (3) :

→

*Chú ý: u và v thỏa trên D →hàm f(z) giải tích trên miền D.Có thể tạo ra ánh xạ f(z) hoặc u(x,y),v(x,y) từ mặt phẳng xy sang mặt phẳng uv là mặt phẳng D’. Hàm Φ(x,y) thỏa mãn điều kiện phương trình Laplace trong D và trong D’. Ta giải phương trình Laplace trên miền D’ và trả về giá trị trên mặt xy và Φ(x,y) tính bất biến của phương trình Laplace, nó sẽ được đề ⇒ cụ thể trong chương 4 và chương 7 cập

Ex: cho chứng minh u điều hòa trên D Bài tập 2. u(x,y) = - e-x siny tìm hàm v(x,y) liên hợp với u(x,y) 3. 4. u(x,y) = ex (xcosy – ysiny) tìm hàm giải tích f(z) = u +iv thỏa điều kiện: 5. u(x,y) = xy + x + 2y; f(2i) = -1 + 5i 6. u(x,y) = 4xy3 – 4x3y + x; f(1+i) = 5 +4i cm điều hòa trong miền D trừ tọa độ

hàm f(z) = u(x,y)+iv(x,y) giải tích trong miền D ⇒ u và v có đạo hàm cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace và Ngược lại: hàm u(x,y) điều hoà trên D, tìm được hàm duy nhất liên hợp với u(x,y), và tạo thành ⇒ f(z) giải tích trên D hàm

Họ trực giao: giả sử f(z) = u(x,y)+iv(x,y) là giải tích trong D.u(x,y) và v(x,y) được mô tả bằng 2 họ đường cong trong D.Phương trình: và trong đó ; là hằng số Tóm lại: Mỗi đường cong trong họ này thì trực giao với một đường cong tương ứng trong họ kia

Ứng dụng Chứng minh: xét điểm

,

tiếp tuyến tại tiếp tuyến tại Hệ số góc tiếp tuyến lần lượt là Tiếp tuyến và góc tại điểm

vuông

từ (1’) và (2’) ta có Vậy hai tiếp tuyến vuông góc →

Các đường cong trực giao tại các giao điểm của chúng

và

Họ đường và

trực giao

VD: cho hàm Vẽ họ trực giao của hàm f(z): (1) (2) (1)Và (2) là 2 họ hyperpolas Vì f giải tích với mọi z→ hai họ này là hai họ trực giao ví dụ xét tại 1 điểm xác định =2+i Ta có Hai họ đường cong này được biểu diễn trong hình trên

*Vector Gradient: Trong đại số.Nếu f(x,y) là 1 hàm vi phân vô hướng thì vector gradient của f được viết: grad f hoặc được định nghĩa bởi vetor 2 chiều : *Tính chất :Vector gradient tại điểm giao với đường cong f(x,y) đi qua điểm *Chứng minh:Lấy đường bất kì Giả sử x=g(t) y=h(t)

thì trực

Tại

ta có:

Lấy đạo hàm f(x(t),y(t)) =

theo biến t ta được

Vector tiếp tuyến của f r’( t) = x’(t)i+y’(t)j Tại

( Đfcm)

→

thì

Trường gradient: Chúng ta quan tâm đến trường vectơ 2 chiều F(x,y)=P(x,y)i + Q(x,y)j xác định trong miền phẳng D Trường vectơ trong kỹ thuật có thể biểu diễn được trường gradient của hàm vô hướng Φ (nếu nó có đạo hàm liên tục đến cấp 2). Hay F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j được biểu diễn F(x,y)=    

Φ=

P(x,y) = Q(x,y) =

F được gọi là trường gradient Φ được gọi là hàm thế

Trường gradient dùng trong nghiên cứu về điện, từ, dòng chảy lưu chất, lực hấp dẫn ở nhiệt độ ổn định

* Thế phức: Hàm thế thỏa mãn phương trình Laplace trong miền D thì nó điều hòa và tồn tại hàm liên hợp được xác định trên D để hàm phức giải tích. Khi đó hàm thực .

được gọi là thế phức, và

là thế

Trong trường tĩnh điện: (vectơ mật độ điện thông) có thể suy ra từ 1 hàm thế vô hướng gọi là thế tĩnh điện. Hàm là hàm điều hòa nên có phần thực (hàm dòng) của hàm giải tích F(z) (thế tĩnh điện phức): đường đẳng thế đường dòng Vectơ luôn luôn tiếp xúc với đường dòng(đường sức tĩnh điện), và hướng từ nơi có điện thế cao đến nơi điện thế thấp

Lưu chất lý tưởng: Dòng chảy lưu chất là 2 chiều và đặc tính chuyển động của nó ko thay đổi trong những mặt phẳng song song  chú ý mặt phẳng z Lưu chất lý tưởng là lưu chất ko nén và ko nhớt. Tương tự như trong trường tĩnh điện ta cũng có hàm thế phức vận tốc Dòng nhiệt:

Bảng tổng kết một vài ứng dụng hàm thế phức và tên các đường cong tương ứng

ứng dụng

Đường Φ(x,y)=c1

Đường Ψ(x,y)=c2

Tĩnh điện

Đường đẳng thế

Đường dòng

Lưu chất

Đường đẳng thế

Đường dòng chảy

Trọng lực

Đường đẳng thế

Đường dòng

Dòng nhiệt

Đường đẳng nhiệt

Đường nhiệt liên tục

Vấn đề

Vấn đề Dirichlet: D là miền xác định trong mặt phẳng g là hàm được xác định trên D Vần đề đặt ra: tìm hàm Φ(x,y) trong D bằng hàm g Dùng để giải những vấn đề trong trường tĩnh điện, lưu chất, trọng lực và nhiệt

Ex1: (hình bên) Miền D được giới hạn bởi đường thẳng -1< x <1, Giải;hàm Φ(x,y) ko phụ thuộc vào y (2 biên là hằng số) ⇒ Φ(x,y)= ax+b Giả sử: Φ(-1,y) = ko , Φ(1,y) = k1 Ta tìm được:

⇒

Mở rộng vấn đề tìm hàm liên hợp và hàm thế phức, ta có kết quả:

Đường đẳng thế và đường lực