I De Calculo 2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Interrogaci´ on N◦ 1 de Mat1512 S.13.04.2002 Nombre: ..................................................................................... Secci´ on N :........ n

(1)

1X (i) Calcular: lim n→∞ n

k=1

r 2+

2k . n Z

x

(ii) Sean f 0 funci´on continua y F (x) = F 0 (x) = f (0) − f (x).

(u−x)f 0 (u)du: Demostrar que se obtiene

0

(2) Demostrar que la par´abola de ecuaci´on 8y 2 = 9x divide a√la regi´on plana encerrada 3 + 4 3π por la elipse de ecuaci´on 3x2 + 4y 2 = 3 en la raz´on √ . 8 3π − 3 (3)

(i) Hallar el volumen de revoluci´on que se genera al hacer girar la elipse de ecuaci´on x2 (y − 8)2 + = 1 en torno al eje de abscisas. 9 25 (ii) La forma del mont´ıculo de un termitero se logra cuando la regi´on plana limitada por la curva de ecuaci´on y = 1 − x2 y el eje de abscisas gira alrededor del eje de ordenadas. Un bi´ologo retira un n´ ucleo cil´ındrico de la parte central del mont´ıculo. ¿Cu´anto debe medir el radio del cilindro para que el bi´ologo retire un 10% del termitero?

(4) Un puro tiene la forma del s´olido que se obtiene al girar la curva de ecuaci´on dada 1p por f (x) = x(12 − x) alrededor del eje de abscisas. Al fumarlo, la longitud de 6 dx 1 este puro decrece de acuerdo con una rapidez dada por = cent´ımetros dt 1 + σ(x) por minuto, donde σ(x) representa el ´area de la secci´on transversal en el valor x. Determinar el tiempo que debe arder el puro para que quede una porci´on de ´este con una longitud de 2 cent´ımetros.

¡No hay consultas! Tiempo: 120 minutos

Soluci´ on del problema 4 Se tiene: σ(x) = π

x(12 − x) dx ⇒ = 36 dt

de donde:

1 , x(12 − x) 1+π 36

[2puntos]

x(12 − x) dt =1+π , dx 36

es decir:

¶ µ x(12 − x) dx , dt = 1 + π 36

[2puntos]

e integrando se consigue: Z

Z

T

dt = 0

o sea: T = 10 + Un punto base

0

10

µ ¶ x(12 − x) 1+π dx , 36

200 π ≈ 33, 27105669 min. [2puntos] 27