Hw8

‫הסתברות ת'‬ ‫אביב ‪2008‬‬

‫תרגיל בית ‪8‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫יהיו ‪ X 1 ,..., X n‬מ"מ ב"ת המקבלים ערכים ‪ 1,0,1 -‬בהסתברות שווה‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫חשב את הפונקציה יוצרת המומנטים של ‪. X i‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫חשב את הפונקציה יוצרת המומנטים של ‪∑ X i‬‬ ‫‪n i =1‬‬

‫‪.3‬‬

‫חשב תוחלת ושונות של ‪ X n‬באמצעות פי"מ‬

‫‪.4‬‬

‫לפי אי שוויון צ'ביצ'ב מצאו לאלו ‪ n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫נגדיר‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∑i ⋅ X i‬‬ ‫‪n( n + 1) i =1‬‬

‫= ‪.Xn‬‬

‫≤ )‪P (| X n − E ( X i ) |≥ 1‬‬

‫= ‪Yn‬‬

‫‪.5‬‬

‫מצא( ‪E(Yn‬‬

‫‪.6‬‬

‫מצא ) ‪ Var(Yn‬ו ע"י כך תראה ש‪-‬‬

‫‪P (| Yn − E ( X i ) |> ε ) n‬‬ ‫‪→ 0‬‬ ‫∞> ‪−‬‬

‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתון כי ‪ X,Y,Z‬הם מ"מ ב"ת ש"ה עם הפונקציה יוצרת המומנטים הבאה )‪. e 2⋅( e −1‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪.1‬‬

‫מצא את ) ‪. P ( X > 2‬‬

‫‪.2‬‬

‫מצא את )‪. P ( X + Y + Z > 3‬‬

‫‪.3‬‬

‫מצא את פונקציה יוצרת המומנטים של ‪1 + X + 2 ⋅ Y − 3 ⋅ Z‬‬

‫שאלה ‪:3‬‬ ‫יהי ‪ X‬מ"מ ‪(X~Bin(n, p=λ/n‬‬ ‫‪(1‬‬

‫מצא את הפונקציה יוצרת המומנטים של ‪) .X‬רמז‪ :‬היעזר באינדיקטורים(‬

‫‪(2‬‬

‫מצא גבול )אם קיים( של פונקצית יוצרת המומנטים של ‪ X‬שמצאת‪ ,‬כאשר ‪n‬‬

‫שואף לאינסוף‪ .‬הסבר את התוצאה שקיבלת‪.‬‬ ‫שאלה ‪:4‬‬ ‫זבוב נלכד בנקודה מקרית על פני רשת עכביש עגולה שקוטרה ‪ 40‬ס"מ‬ ‫‪1‬‬

‫מצא את פונקצית ההתפלגות המצטברת ופונקצית הצפיפות של מרחק הזבוב‬

‫‪.1‬‬

‫משפת הרשת‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שמרחק הזבוב מהשפה קטן מ‪ 4 -‬ס"מ )אז יש לזבוב סיכוי‬

‫‪.2‬‬

‫להיחלץ(?‬ ‫שאלה ‪:5‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪ X‬הוא מ''מ בעל הצפיפות הבאה‪:‬‬ ‫‪1+ x2‬‬

‫= )‪( x‬‬

‫‪X‬‬

‫‪f‬‬

‫‪- ∞< X < ∞ ,‬‬

‫‪ .1‬מצא את ‪a‬‬ ‫‪ .2‬מצא )‪−1 ≤ 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪P( X‬‬

‫‪ .3‬מצא ‪) (E(X‬אם קיימת(‪.‬‬

‫שאלה ‪:6‬‬ ‫אבי תמיד מאחר לעבודה‪ .‬זמן האיחור שלו )בדקות( ‪ X‬מתפלג על פי פונ' הצפיפות‬ ‫‪ . (0 ≤ x ≤ 15) f ( x ) = c(15 − x) 2‬הנח שהאיחורים בימים השונים הם ב"ת‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מצא את ‪ , c‬וחשב את ‪ – (F(t‬ההסתברות שאבי יאחר במקסימום ‪ t‬דקות‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫חברו של אבי לעבודה מתערב עם הבוס שלפחות ב‪ 4 -‬מתוך ‪ 5‬הימים בשבוע‬

‫הבא‪ ,‬אבי יאחר ביותר מ‪ 5 -‬דקות‪ .‬מה ההסתברות שחבר של אבי יזכה בהתערבות?‬ ‫נסתכל על יומיים כלשהם‪ ,‬ונסמן ‪ – U‬איחור מינימלי ביומיים האלה‪ – V ,‬איחור‬

‫‪.3‬‬

‫מקסימלי ביומיים האלה‪ .‬מצא את פונ' הצפיפות המשותפת של ‪ U‬ו‪ ,V-‬וגם את פונ'‬ ‫הצפיפות השוליות של ‪ U‬ושל ‪.V‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫אורך זקן של תיש הוא מ"מ ) ‪ exp ( 0.25‬ס"מ לתיש לבן ו‪ exp ( 0.125 ) -‬ס"מ לתיש שחור‪.‬‬ ‫תיישים לבנים הם נדירים ומהווים ‪ 10%‬מאוכלוסיית התיישים‪.‬‬ ‫חשב את אחוז התיישים שזקנם‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.i‬‬

‫ארוך מ‪ 4-‬ס"מ‪.‬‬

‫‪.ii‬‬

‫קצר מ‪ 10-‬ס"מ‬

‫‪.2‬‬

‫מצא את פונקציית ההתפלגות המצטברת של אורך זקן תיש שנבחר מקרית‬

‫והסק את פונקצית הצפיפות שלו‪.‬‬ ‫‪.3‬‬

‫לתיש מסויים יש זקן ארוך מ‪ 5-‬ס"מ‪ .‬מה ההסתברות שהוא גם ארוך מ‪10-‬‬

‫ס"מ ?‬

‫‪2‬‬

3