Hw7

‫ת'‬

‫הסתברות‬ ‫אביב ‪2008‬‬

‫תרגיל בית ‪7‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫במשחק "השונה יוצא בחוץ"‪ ,‬בכל סיבוב מטילים ‪ n‬שחקנים מטבע הוגן‪ .‬אם‬ ‫הוא יוצא מהמשחק‪.‬‬ ‫אחד השחקנים קיבל תוצאה שונה מכל השאר‪,‬‬ ‫כך ממשיכים‬ ‫אחרת מטילים כולם שוב – כלומר מתקיים סיבוב נוסף‪.‬‬ ‫הלאה עד שנשארים שניים‪ .‬הם המנצחים במשחק‪.‬‬ ‫שונות וסטיית התקן של מספר הסיבובים‬ ‫חשבו תוחלת‪,‬‬ ‫א‪ .‬עבור ‪n =3‬‬ ‫שהתקיימו‪.‬‬ ‫הכלילו ל‪ n -‬כלשהוא‪.‬‬

‫שאלה ‪:2‬‬ ‫יהיה ‪ N‬מספר ההטלות של קוביה אחת שדרוש עד שכל מספר יופיע לפחות פעם‬ ‫אחת )הטלות ב"ת(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪(E(N) , Var(N‬‬ ‫ב‪ .‬נגדיר‪ – X :‬מספר ההטלות על קבלת התוצאה השנייה ו‪ – Y -‬מספר ההטלות‬ ‫עד קבלת‬ ‫התוצאה השלישי‪ .‬חשב ) ‪. Cov ( X , Y‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫בקופסא של פוליה כדור אחד שחור ושניים לבנים‪ .‬מוציאים כדור באקראי‬ ‫ומחזירים אותו עם כדור נוסף מאותו צבע‪ .‬חוזרים על פעולה זו עוד פעמיים‪ .‬מצא‬ ‫התפלגות וחשב תוחלת ושונות של ‪ – X‬מספר הכדורים הלבנים שבקופסא בסוף‬ ‫התהליך‪ .‬חשב תוחלת עבור ‪ n‬חזרות‪.‬‬

‫שאלה ‪:4‬‬ ‫חרגול נמצא בנקודה )‪ (0,0‬במישור‪ .‬בכל צעד‪ ,‬באופן בלתי תלוי בשאר צעדיו הוא‬

‫‪1‬‬ ‫מחליט לקפוץ יחידה אחת ‪ :‬למעלה בהסתברות ‪ , 4‬ימינה בהסתברות ‪4‬‬

‫שמאלה בהסתברות ‪2‬‬

‫‪ 1‬או‬

‫‪.1‬‬

‫‪1‬‬

‫תהי ) ‪ ( X n , Yn‬הנקודה במישור שבה ימצא החרגול אחרי ‪ n‬צעדים‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫חשב ) ‪E ( X n +Yn‬‬

‫‪.2‬‬

‫הצג את טבלת ההתפלגות המשותפת של ) ‪ . ( X 2 , Y2‬חשב את‬

‫מקדם המתאם בין ‪X 2‬‬

‫ו ‪ Y2 -‬וכן את ) ‪. Var ( X 2 + Y2‬‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫בקורס למנהל עסקים הוחלט על סימולציות של משחקי בורסה‪ .‬כל סטודנט‬ ‫מקבל מניה שערכה ‪ .100‬בכל יום יוחלט מקרית אם ערך המניה יעלה או ירד‬ ‫וזאת בשיעור מקרי של ‪ 1‬או ‪ 2‬נקודות‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מצא תוחלת ושונות של ‪ – X‬ערך המניה לאחר שני ימי מסחר‬

‫סוערים כאלו‪.‬‬ ‫‪.2‬‬

‫מצא תוחלת של ‪ – Y‬מספר הימים בשבוע מסוים )‪ 5‬ימי מסחר(‬

‫בהם הייתה עליה של ‪ 2‬נקודות‪.‬‬ ‫סטודנט זהיר החליט למכור את המניה לראשונה כשערכה ירד ב‪ 2-‬נקודות‬ ‫ביום מסחר בודד‪.‬‬ ‫‪.3‬‬

‫כמה זמן בממוצע יחזיק הסטודנט במניה? מה תוחלת מספר הימים‬

‫בהם ערכה של המניה עלה ב‪ 2-‬נקודות? עלה בנקודה? ירד בנקודה?‬ ‫‪.4‬‬

‫מהי תוחלת ערכה של המניה ביום המכירה?‬

‫שאלה ‪:6‬‬ ‫‪ 300‬סטודנטים שובצו מקרית ל‪ 4-‬קבוצות שיעור‪ .‬יהי ‪ – X‬מספר הסטודנטים‬ ‫ששובצו לד"ר אפסילון )קבוצה א'( ו‪ Y-‬מספר הסטודנטים שובצו לד"ר דלתא‬ ‫)קבוצות ג' ו‪-‬ד'(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא תוחלת ושונות של ‪ X‬ושל ‪. Y‬‬

‫ב‪ .‬מצא )‪E ( X | X + Y = 250) , E (Y | X = 60‬‬ ‫ג‪ .‬מהו הסימן של מקדם המתאם בין ‪ X‬ל‪ ? Y-‬בין ‪ X‬ל‪ ? X+Y -‬נתח‪.‬‬ ‫שאלה ‪:7‬‬

‫‪2‬‬

‫שני ביולוגים ימיים שקלו באופן ב"ת זה בזה באותו מכשיר מדידה מפלצת‬ ‫שהוצאה מאגם לוך נס‪ .‬התקבלו שני מ"מ ‪ X 1‬ו‪ . X 2 -‬יהי ‪ – W‬משקל מפלצת‬ ‫באגם‪ .‬יהיו ‪ Z1‬ו‪ Z 2 -‬טעויות המדידה של הביולוגיים‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מהי השונות המשותפת בין שתי השקילות שנעשו? האם יתכן ש‪X 1 -‬‬

‫ו‪ X 2 -‬הם ב"ת?‬ ‫‪.2‬‬

‫חשב את מקדם המתאם בין שתי המדידות שהתקבלו‪ ,‬אם סטיית‬

‫התקן של משקל המפלצת היא ‪ 10 = σ w‬ק"ג וסטיית התקן של טעות‬ ‫מכשיר המדידה היא ‪ 1 = σ z‬ק"ג‪.‬‬

‫‪3‬‬