Hw6

‫אביב תשס"ח‬

‫הסתברות ת'‬ ‫תרגיל בית ‪6‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬

‫ברבי משתתפת בתחרות יופי ‪.‬כ"א מ‪ k-‬השופטים נותן לברבי ציון מקרי מבין האפשרויות ‪,1‬‬ ‫…‪ .10,‬יהי ‪ – X‬הציון המינימלי שקיבלה ברבי ויהי ‪ – Y‬הציון המקסימלי שלה‪.‬‬ ‫‪(1‬‬

‫מצא את ערכו של ‪ EX‬כאשר ‪. k=2‬‬

‫מצא את ‪ EY‬כאשר ‪.k=2‬‬ ‫מה התוחלת של מס' השופטים שנתנו לברבי את הדירוג המקסימלי)‪.(10‬‬ ‫מהי תוחלת מס' הדרוגים השונים ‪ N‬שקיבלה ברבי )‪ k‬כללי(?‬ ‫)רמז ‪:‬כדאי לחשב תוחלת מס' הדרוגים שלא התקבלו (‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫בבניין טאוב ‪ 15‬קומות ‪ 7.‬סטודנטים להסתברות נכנסים למעלית הבניין )בקומת הקרקע(‪.‬‬ ‫נתון כי הסטודנטים בוחרים קומה באקראי וכי הסטודנטים ב"ת אחד בשני‪ .‬מצא ‪:‬‬ ‫תוחלת מס' הקומות שהמעלית עצרה בהם ‪.‬‬ ‫תוחלת מס' הקומה הגבוהה ביותר ‪.‬‬ ‫שאלה ‪: 3‬‬ ‫קבוצת כדורגל מתכננת את משחקה הראשון בעונה לתאריך ‪ .1/10/07‬אם ירד גשם‬ ‫בתאריך זה‪ ,‬ידחה המשחק ויערך ביום הראשון בו יפסק הגשם‪.‬‬ ‫לקבוצה יש ביטוח נגד גשם‪ .‬פוליסת הביטוח תשלם ‪ 1000‬שקלים עבור כל יום שירד‬ ‫גשם עד למקסימום יומיים של איחור במשחק )מקסימום תשלם על יומיים גשם‬ ‫ברציפות(‪.‬‬ ‫ידוע כי מספר הימים בהם ירד גשם ברציפות החל מה‪ 1/10/07-‬הוא מ"מ פואסוני עם‬ ‫תוחלת ‪.0.6‬‬ ‫חשב את תוחלת סכום הכסף שחברת הביטוח תצטרך לשלם לקבוצה‪.‬‬

‫שאלה ‪: 4‬‬ ‫א‪ .‬שלושה אנשים ב"ת משתתפים בתוכנית "חפש את המטמון"‪ .‬אייל דרש ‪ ₪ 150‬ויגיע‬ ‫בסיכוי של ‪ , 0.4‬סיגל דרשה ‪ ₪ 100‬ותגיע בסיכוי של ‪ ,0.5‬עדי דרשה ‪ ₪ 50‬ותגיע בסיכוי‬ ‫של ‪ .0.6‬כל משתתף שיגיע למטמון יקבל את הסכום אותו דרש‪.‬‬ ‫יהיו ‪ – X‬מספר המגיעים למטמון ‪ – R ,‬הסכום הכולל שישולם‪ .‬חשב את התוחלת של ‪ X‬ו‪-‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ב‪ .‬האם ישתנו התוחלות אם קיימת תלות בין המחפשים‪ ,‬כך שלכל שניים מהמחפשים יש‬ ‫סיכוי של ‪ 0.25‬ששניהם יגיעו למטמון וכן בסיכוי של ‪ 0.2‬כל שלושת המחפשים יגיעו למטמון‬ ‫?‬ ‫שאלה ‪: 5‬‬ ‫מוצע לך להשתתף במשחק המזל הבא‪ :‬הטל מטבע הוגן עד אשר לראשונה תקבל "ראש"‬ ‫ואז תפסיק‪ .‬אם תקבל "ראש" בהטלה הראשונה הפרס הוא ‪ 2‬מטבעות‪,‬אם תקבל "ראש"‬ ‫בהטלה השניה הפרס הוא ‪ 4‬מטבעות‪ ,‬עבור "ראש" בהטלה השלישית הפרס הוא ‪ 8‬מטבעות‬ ‫‪,‬וכו'‪.‬‬ ‫רשום את פונקציית ההסתברות של הפרס ‪.Y‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫חשב את תוחלת הפרס‪ EY.‬כמה כדאי לך לשלם כדי להשתתף במשחק?‬ ‫‪.2‬‬ ‫נתח‪.‬‬ ‫חשב את ההסתברות להרוויח יותר מ‪ 10-‬מטבעות‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫חשב את החציון של ‪ Y‬ואת העשירון העליון ‪. 0.9‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫שאלה ‪:6‬‬ ‫צפרדע נמצאת בתחתית סולם‪.‬בכל דקה היא קופצת למעלה שלב בהסתברות ‪ 1/4‬או‬ ‫נשארת במקומה‪.‬‬ ‫מהי תוחלת זמן השהיה של הצפרדע בתחתית הסולם?‬ ‫‪.1‬‬ ‫מהי תוחלת מספר השלב בו תמצא הצפרדע לאחר ‪ 10‬דקות?‬ ‫‪.2‬‬ ‫מהי תוחלת זמן השהיה הכולל של הצפרדע בשני השלבים התחתונים של‬ ‫‪.3‬‬ ‫הסולם?‬ ‫שאלה ‪:7‬‬ ‫לפניך ערימה של ‪ 20‬מעטפות‪.‬באחת מהן יש פרס של ‪ ₪ 100‬ובשאר אין פרסים‪.‬עליך‬ ‫להחליט בין ‪:‬‬ ‫‪ (i‬בדיקת המעטפות בזו אחר זו ללא החזרה עד לזכייה‪,‬כשהתשלום לכל‬ ‫בדיקה הוא ‪.₪ 5‬‬ ‫‪ (ii‬בדיקת המעטפות בזו אחר זו עד לזכייה‪ ,‬כך שכל מעטפה שלא נשאה פרס‬ ‫תוחזר לערימה‪ .‬במקרה זה ‪,‬התשלום על כל בדיקה הוא ‪.₪ 3‬‬ ‫איזו שיטה תביא למקסימום את תוחלת הרווח?‬ ‫‪.1‬‬ ‫איזו שיטה תעדיף אם יש בידך רק ‪ , ₪ 60‬ועליך לשלם דמי בדיקה מיד‪,‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫לפני קבלת הפרס?‬