Hw5

‫חורף תשס"ה‬

‫הסתברות ת'‬

‫תרגיל בית מס' ‪5‬‬ ‫תאריך הגשה‪29/11/04 :‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מטילים שתי קוביות הוגנות‬ ‫יהיה ‪ -X‬תוצאת הקוביה הראשונה‬ ‫יהיה ‪ -Y‬התוצאה המכסימלית‬ ‫מצא‪/‬י את ההתפלגות המשותפת של ‪ X‬ו‪.Y -‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫חברת "ג'ו קידוחי נפט בע"מ" מתכננת קידוחי נפט ב‪ 8 -‬אתרים שונים בזה אחר זה‪ .‬הניחו כי בדיוק ב‪ 2 -‬מתוך‬ ‫‪ 8‬האתרים הללו יש נפט‪.‬‬ ‫נסמן ‪ – Xi‬מספר הקידוחים שנעשו עד לגילוי נפט בפעם ה‪. i -‬‬ ‫א( כיצד מתפלג ‪) ? X1‬רשום פונקצית הסתברות(‪.‬‬ ‫ב( ידוע כי נפט התגלה לראשונה בקידוח ה‪) k-‬הנחה זו תקפה לסעיף זה בלבד(‪.‬‬ ‫כיצד מתפלג ‪) ? X2‬אין צורך לרשום פונקצית הסתברות(‪.‬‬ ‫ג( רשום‪/‬רשמי טבלה‪ ,‬וביטוי פורמלי לפונקצית ההסתברות המשותפת של ‪ X1‬ו‪. X2 -‬‬ ‫ד( מצא‪/‬י את פונקצית ההסתברות השולית )‪ P(X2= x2‬מתוך ההסתברות המשותפת‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫מטילים מטבע הוגן ‪ 3‬פעמים‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪ -X‬מספר הפעמים ש‪ H-‬מופיע ב‪ 2 -‬ההטלות הראשונות‪.‬‬ ‫‪ -Y‬מספר הפעמים ש‪ T-‬מופיע ב‪ 2 -‬ההטלות האחרונות‪.‬‬ ‫א( מהן פונקציות ההסתברות השוליות של ‪ X‬ו‪? Y-‬‬ ‫ב( מהי פונקצית ההסתברות המשותפת של ‪ X‬ו‪? Y-‬‬ ‫ג( האם ‪ X‬ו‪ Y-‬ב"ת ? נמק‪/‬י‪.‬‬ ‫ד( חשב‪/‬י את ההסתברות המותנית )‪.P(Y=1|X≥1‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫יהיו ‪ X‬ו‪ Y-‬זוג מ"מ המתארים את מספר השירים העיבריים והלועזיים ‪ ,‬בהתאמה‪ ,‬המשודרים בתחנת רדיו‬ ‫מסוימת‪ .‬נניח כי פונקצית ההסתברות המשותפת שלהם היא‪.‬‬ ‫‪−14‬‬ ‫‪e ⋅ (7.14) m ⋅ (6.86) n -m m = 0,1,..., n‬‬ ‫= )‪P(X = n, Y = m‬‬ ‫‪n = 0,1,2,...‬‬ ‫!)‪m!(n − m‬‬ ‫א( מצא‪/‬י את פונקציות ההסתברות השוליות של ‪ X‬ו‪.Y-‬‬ ‫ב( חשב‪/‬י את‪:‬‬ ‫)‪P(X=n|Y=m‬‬ ‫)‪P(Y=m|X=n‬‬ ‫)‪P(X-Y=k|Y=m‬‬ ‫)‪P(X-Y=k|X=n‬‬ ‫ותן‪/‬י פירוש לתוצאות שקיבלת‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫בפשיטה לילית התחלקו ‪ 7‬יתושות ו‪ 3 -‬יתושים באופן מקרי לזוגות‪ .‬יהא ‪ – X‬מספר הזוגות המעורבים )זכר‬ ‫ונקבה(‪ ,‬ו‪ Y -‬מספר הזוגות ה"זכריים"‪.‬‬ ‫א( רשום את פונקצית ההסתברות המשותפת של )‪.(X,Y‬‬

‫ב( מהי פונקצית ההסתברות השולית של ‪?X‬‬ ‫ג( מהי פונקצית ההסתברות השולית של ‪? Y‬‬ ‫ד( האם ‪ X‬ו‪ Y-‬ב"ת ?‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫יהיו ‪ Y , X‬מ"מ ב"ת בעלי התפלגות אחידה על }‪. {1,2,…,n‬‬ ‫כלומר לכל }‪ k∈{1,2,..,n‬מתקיים ‪ . P(X=k)=P(Y=k)=1/n‬מצא‪/‬י‪:‬‬ ‫א( )‪P(X=Y‬‬ ‫ב( )‪P(X>Y‬‬ ‫ג( )‪P(Y>X‬‬ ‫ד( לכל ‪P(max(X,Y)=k) 1≤k≤n , k‬‬ ‫ה( לכל ‪P(min(X,Y)=k) 1≤k≤n , k‬‬ ‫ו( לכל ‪P(X+Y=k) 2≤k≤2n , k‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫בכל יום חוזה החזאי שירד גשם בהסתברות ‪ , 0.3‬שיהיה בהיר בהסתברות ‪ 0.6‬אחרת הוא חוזה כי יהיה מעונן‬ ‫חלקית עם רוחות דרום מערבית מתונות‪ .‬התחזיות בימים שונים היא בלתי תלויות‪ .‬השאלות הבאות נוגעות‬ ‫לשבוע )שבוע של ‪ 7‬ימים(‪:‬‬ ‫א( מה ההסתברות שהחזאי יחזה שיהיה גשם ‪ 3‬ימים בדיוק?‬ ‫ב( מה ההסתברות שהוא יחזה גשם ב‪ 3 -‬מהימים ‪ ,‬שמש בשניים מהימים ובשאר הימים יחזה מעונן‬ ‫חלקית?‬ ‫ג( מה ההסתברות שהוא יחזה גשם ב‪ 3 -‬מהימים בהינתן שהוא חזה מעונן חלקית בדיוק פעמיים?‬ ‫ד( מה ההסתברות שהוא יחזה גשם ב‪ 3 -‬מהימים בהינתן שלא חזה מעונן חלקית יותר מפעמיים?‬