Hw4

‫הסתברות ת' – תרגיל בית מס' ‪4‬‬ ‫תאריך הגשה‪22/11/04 :‬‬

‫שאלה ‪1‬‬ ‫א‪ .‬נניח ‪ n‬מאורעות ‪ .A1,A2,…,An‬מה מספר הבדיקות שצריך לבצע כדי לבדוק‪:‬‬ ‫‪ .1‬אי תלות בזוגות‪.‬‬ ‫‪ .2‬אי תלות של המאורעות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נבחרו מקרית שלושה אנשים‪ .‬בדוק האם שלושת המאורעות ‪, A13 , A12‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ -Aij‬יום ההולדת של ‪ i‬חל בדיוק באותו תאריך כמו של אדם ‪.1≤i<j≤3 j‬‬

‫‪ A23‬ב"ת בזוגות והאם הם ב"ת‪.‬‬

‫שאלה ‪2‬‬ ‫מכונה מייצרת כל שעה ‪ 500‬פריטים ב"ת מהם נלקחים לביקורת איכות ‪ 10‬פריטים‪ .‬בשעת‬ ‫עבודה שבה ‪ 20‬מתוך ‪ 100‬היו פגומים‪ ,‬מצא בקירוב את ההסתברות‪:‬‬ ‫א‪ .‬לקבל לכל היותר פגום אחד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לקבל לכל היותר שני פגומים‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫מאוחר בערב דוד יושב מול המחשב ומקליד מכתב לחברתו‪ .‬כתוצאה מעייפותו הוא יכול‬ ‫לבצע טעות דפוס בהקלדה של כל אות במכתב בהסתברות ‪ .0.002‬וכל זה באופן בלתי תלוי‬ ‫בהקלדת האותיות הקודמות‪ .‬נניח שבמכתב ‪ 1000‬אותיות‪ .‬מצא בקירוב את ההסתברות‬ ‫שבסופו של דבר הוא יעשה‪:‬‬ ‫א‪ .‬בדיוק ‪ 5‬טעויות דפוס‬ ‫ב‪ .‬יותר מ‪ 5 -‬טעויות‬ ‫ג‪ .‬לפחות ‪ 2‬טעויות‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪ X‬מתפלג עפ"י ‪ .P(X=0)=1-p ,P(X=1)=p‬רשום את פונקצית ההסתברות של כל אחד‬ ‫מהמשתנים הבאים‪:‬‬ ‫‪X1=exp(X) .I‬‬ ‫‪X2=sin(πX) .II‬‬ ‫‪X3=cos(πX) .III‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫השודד הידוע קפטן הוק החביא שני ארגזים באי קטן‪ .‬בארגז אחד מטבעות אמיתיים ובשני‬ ‫מטבעות מזויפים‪ .‬ידוע כי בהטלת מטבע אמיתי ההסתברות לקבל ‪ T‬ו ‪ H‬זהות ושוות ל ‪, 0.5‬‬ ‫ואילו בהטלת מטבע מזוייף ההסתברות לקבל ‪ H‬שווה ל ‪ 1/3‬וההסתברות לקבל ‪ T‬שווה ל‬ ‫‪.2/3‬‬ ‫פיטר פן חפר באי וחיפש אחרי הארגזים‪ ,‬אולם למרות מאמציו הצליח לגלות רק ארגז אחד‪.‬‬ ‫להערכתו הסיכוי כי הארגז שמצא מכיל מטבעות אמיתיים שווה לסיכוי שהארגז מכיל‬ ‫מטבעות מזוייפים‪ .‬במבוכתו הוא מחליט להטיל את המטבעות אחד אחרי השני עד אשר‬ ‫יופיע לראשונה ‪.H‬‬ ‫א‪ .‬יהיה ‪ X‬מ"מ המתאר את מספר ההטלות הדרוש עד שבפעם הראשונה מופיע ‪.H‬‬ ‫חשב את ההסתברות של המאורע }‪ {X=k‬עבור כל …‪k=1,2‬‬

‫ב‪ .‬מה ההסתברות שפיטר פן מצא את הארגז עם המטבעות האמיתיים אם התוצאה ‪H‬‬ ‫מופיעה לראשונה בהטלה השלישית?‬

‫שאלה ‪6‬‬ ‫שודד ים מצא תיבה ובה ‪ N‬מטבעות זהב‪ ,‬ומתוכם רק אחת אמיתית‪ .‬השודד החל לבדוק‬ ‫מטבע אחר מטבע‪ ,‬אך מאחר שהיה שרוי בגילופין‪ ,‬הוא החזיר לתיבה כל מטבע מזויף‬ ‫שבדק‪.‬‬ ‫כיצד מתפלג ‪ - X‬מספר הבדיקות עד שהגיע למטבע הזהב )כולל(?‬ ‫‪.I‬‬ ‫אילו השודד היה פיכח‪ ,‬הוא לא היה מחזיר לתיבה מטבעות מזויפים‪ .‬מהי‬ ‫‪.II‬‬ ‫התפלגות של ‪ ,X‬ומהי התפלגות של ‪ -Y‬מספר המטבעות שנותרו בתיבה לאחר מציאת‬ ‫מטבע הזהב‪ ,‬במקרה זה?‬ ‫)התפלגות גיאומטרית קטומה( השודד שיכור מאוד‪ .‬למעשה אם הוא לא יצליח‬ ‫‪.III‬‬ ‫להגיע למטבע הזהב עד הניסיון העשירי )כולל(‪ ,‬הוא יירדם ולא יוכל להמשיך בניסיונותיו‪.‬‬ ‫כיצד מתפלג מספר הניסיונות ‪ X‬במקרה זה? מה ההסתברות שהשודד יצליח למצוא את‬ ‫מטבע הזהב? )בסעיף זה השודד מחזיר כל מטבע ‪ -‬כמו בסעיף א'(‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫בובה מכנית נעה על ציר המספרים צעד אחד ימינה )בסיכוי ‪ ,(p‬צעד אחד שמאלה )בסיכוי‬ ‫‪.(1-p‬‬ ‫הבובה מתחילה את מסעה בראשית‪.‬‬ ‫א‪ .‬רשום את פונקצית ההסתברות של ‪ – X‬מיקום הבובה לאחר ‪ n‬צעדים )‪ X‬מקבל‬ ‫ערכים שלמים‪ ,‬כאשר הם חיובים מימין לראשית וערכים שלילים משמאל לראשית(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עבור ‪ , p=0.5‬חשב את ההסתברות שלאחר ‪ n‬צעדים הבובה תמצא ימינה‬ ‫מהראשית‪.‬‬