Hw3

‫ת'‬

‫הסתברות‬ ‫אביב ‪2008‬‬

‫תרגיל בית מס' ‪ – 3‬להגשה עד ‪15/6/08‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫בכד ‪ A‬יש ‪ 5‬כדורים שחורים ו‪ 6-‬כדורים לבנים‪ ,‬ואילו בכד ‪ B‬יש ‪ 8‬שחורים ו‪4-‬‬ ‫לבנים‪ .‬מכד ‪ B‬בוחרים באקראי שני כדורים ומעבירים אותם לכד ‪ .A‬אחר כך‬ ‫בוחרים כדור אחד מכד ‪.A‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מה ההסתברות שהכדור הזה הוא לבן?‬

‫‪.2‬‬

‫בהינתן שהוא כן לבן‪ ,‬מה ההסתברות שמתוך שני הכדורים‬

‫שהועברו מ‪ B-‬ל‪ A-‬לפחות אחד היה לבן?‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫לגברת לוין נולדו במזל טוב תאומים )לא זהים(‪ .‬ידוע לך שהייתה ברית‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫פגשת את גברת לוין ברחוב עם אחד התינוקות‪ ,‬מה ההסתברות‬

‫שהוא בן זכר?‬ ‫‪.2‬‬

‫פגשת את גברת לוין עם תינוק ממין זכר )מאורע ‪ .(B‬מה ההסתברות‬

‫שהתאום גם הוא זכר?‬

‫שאלה ‪3‬‬ ‫במיכל ‪ a‬כדורים שחורים ו – ‪ b‬לבנים‪ .‬בוחרים באקראי סדרות כדורים לפי החוקים‬ ‫הבאים‪:‬‬ ‫בכל בחירה בוחרים רק כדור אחד ואז מחזירים אותו פלוס ‪ c‬כדורים מאותו צבע‪.‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬אחרי ‪ n‬בחירות ימצאו בכד )‪ a+b)+nc‬כדורים(‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מה ההסתברות שאחרי ‪ n‬בחירות נבחרו ‪ n1‬כדורים שחורים ו – ‪n2‬‬

‫כדורים לבנים‬ ‫‪.2‬‬

‫)‪?(n1+n2=n‬‬

‫בהינתנן שהכדור השני היה שחור‪ ,‬מה ההסתברות שהראשון היה‬

‫לבן?‬ ‫‪.3‬‬

‫הוכיחו באינדוקציה שההסתברות לבחור כדור שחור בשלב כלשהו‬

‫היא ‪.(a/(a+b‬‬

‫שאלה ‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ .1‬נאמר שקיים מתאם חיובי )אינפורמציה חיובית( בין המאורעות ‪ A‬ו‪ B -‬אם‬ ‫מתקיים ש‪ .(P(A|B)>P(A -‬הוכח שבמקרה כזה מתקיים גם‪.(P(B|A)>P(B :‬‬ ‫הסבר‪.‬‬ ‫‪ .2‬ההסתברות ליום גשום בחודש אוקטובר היא ‪ .0.3‬ההסתברות שביום‬ ‫כלשהו בחודש אוקטובר תרד הטמפרטורה בת"א מתחת ל‪ 12 -‬מעלות היא‬ ‫‪ .0.6‬קיים מתאם חיובי בין המאורעות‪ .‬מה תוכל לומר על ההסתברות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫שביום בו לא ירד גשם הטמפרטורה הייתה מעל ‪ 12‬מעלות?‬

‫‪.2‬‬

‫שביום כלשהו בחודש אוקטובר ירד גשם והטמפרטורה תהיה‬

‫מעל ‪ 12‬מעלות?‬

‫שאלה ‪5‬‬ ‫שלושה אסירים ‪ A,B‬ו‪ C-‬יושבים בבית הסוהר‪ .‬שניים מהם ישוחררו מחר על ידי‬ ‫ועדת השחרור‪ ,‬אך כעת אף אסיר טרם יודע את גורלו‪ .‬נניח כי לכל אחד מהם יש‬ ‫אותו סיכוי להשתחרר‪ ,‬דהיינו ‪.2/3‬‬ ‫אסיר ‪ A‬ניגש בסודיות לסוהר שכבר שמע על החלטת ועדת השחרור וביקש לדעת‬ ‫מי משני חבריו ישתחרר מחר‪ B :‬או ‪ .C‬הסוהר אמר לו‪ .B :‬פתאום ‪ A‬נעשה עצוב‬ ‫מאד‪ ,‬כי התברר לו שסיכוי השחרור שלו ירד מ‪ 2/3-‬ל‪.1/2-‬‬ ‫‪.1‬‬

‫האם ‪ A‬צודק‪ ,‬ז"א‪ ,‬האם הידיעה על שחרור ‪ B‬השפיעה על הסיכוי‬

‫של ‪ A‬להשתחרר?‬ ‫הנחה‪ :‬אם ‪ A‬הוא אחד משני המשוחררים‪ ,‬הסוהר היה אומר לו את שם‬ ‫המשוחרר השני‪ .‬אם ‪ A‬הוא זה שנשאר בכלא‪ ,‬אז הסוהר יגיד ‪ B‬בהסתברות‬ ‫‪.p=1/2‬‬ ‫‪.2‬‬

‫חזרו על סעיף א' עבור ‪.p=1/3‬‬

‫‪.3‬‬

‫חזרו על סעיף א' עבור ‪ p‬כלשהו בין ‪ 0‬ל‪ .1-‬מה גיליתם?‬

‫שאלה ‪6‬‬ ‫לפרופסור מפוזר שתי קופסאות פתוחות של גירים‪ .‬בתחילת השבוע היו בכל אחת‬ ‫מהקופסאות ‪ 2‬גירים‪ .‬כל בוקר הוא הוציא גיר מקופסה שבחר אקראית‪ .‬כאשר‬ ‫הפרופסור מגלה לראשונה שהקופסה שבחר היא ריקה‪ ,‬הוא בודק גם את‬ ‫הקופסה השנייה‪.‬‬ ‫צייר עץ הסתברות המתאים לניסוי וחשב את ההסתברות שכאשר הוא יגלה‬ ‫לראשונה שהקופסה שבחר ריקה‪ ,‬יסתבר לו שגם השנייה ריקה‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫שאלה ‪7‬‬ ‫‪ 4‬אורחים הגיעו למסיבה אצל בני‪ .‬לבקשת המארח האורחים השאירו את נעליהם‬ ‫בערמה בכניסה לבית )סה"כ ‪ 8‬נעליים(‪ .‬בצאתם מהמסיבה היה חשוך למדי‪ ,‬על‬ ‫כן כל אורח בחר באקראי ‪ 2‬נעליים מתוך הערמה‪.‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מהי ההסתברות שאף אורח לא קיבל זוג נעליים תואם )הכוונה לזוג‬

‫כלשהו‪ ,‬לאו דווקא זוג נעליים שלו(?‬ ‫‪.2‬‬

‫מהי ההסתברות שכל אורח לקח את הזוג שלו?‬

‫‪.3‬‬

‫מהי ההסתברות שהאורח שניגש ראשון לערמת הנעליים לקח את‬

‫הזוג שלו?‬

‫בהצלחה וחג שמח!‬

‫‪3‬‬