Hw12

‫תרגיל בית מספר ‪21‬‬

‫שאלה ‪1‬‬ ‫נרקיס ורענן נכנסו ביחד למספרת הילדים "קטצוץ" ‪ .‬נרקיס רוצה‬ ‫להסתפר ורענן רוצה לצבוע את שיערו לירוק ‪ .‬משך התספורת מתפלג‬ ‫מעריכי עם ממוצע של ‪ 20‬דקות ומשך הצביעה מתפלג מעריכי עם‬ ‫ממוצע של ‪ 30‬דקות‪ .‬הטיפולים מבוצעים ע"י שני ספרים שונים‪.‬‬ ‫מצא את התפלגות זמן השהיה של הצמד במספרה‪.‬מהי‬ ‫‪.1‬‬ ‫תוחלת זמן השהיה?‬ ‫מה ההסתברות שרענן יאלץ להמתין לנרקיס?‬ ‫‪.2‬‬

‫שאלה ‪.2‬‬ ‫נתונים שני משתנים מקריים בלתי תלויים המפולגים נורמלי עם תוחלת ‪0‬‬ ‫ושונות ‪σ 2‬כל אחד‪.‬‬

‫‪X‬‬

‫‪(1‬‬

‫הגדר‬

‫קושי(‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫= ) ‪ f Z ( z‬לכל‬ ‫= ‪ Z‬הוכח כי‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪Π (1 + z‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪σ‬‬

‫‪z‬‬

‫)צפיפות‬

‫שאלה ‪3‬‬ ‫יהיו ) ‪ U (1) ,U (2) ,...,U ( n‬הערכים של ‪ n‬מ"מ ב"ת ‪ (U(0,1‬שמסודרים בסדר‬ ‫עולה )כלומר ) ‪ - U (i‬סטטיסטי הסדר ה‪ .(i-‬יהיו ‪ . 0 ≤ x ≤ y ≤ 1‬מצא נוסחא‬ ‫ל‪:-‬‬ ‫א‪P (U (1) > x, U ( n ) < y ) .‬‬ ‫ב‪P (U (1) > x, U ( n ) > y ) .‬‬ ‫ג‪P (U (1) < x,U ( n ) < y ) .‬‬ ‫ד‪P (U (1) < x,U ( n ) > y ) .‬‬ ‫ה‪ P (U ( k ) < x, U ( k +1) > y ) .‬כאשר ‪1 ≤ k ≤ n − 1‬‬

‫שאלה ‪4‬‬ ‫ל‪ X,Y,W -‬התפלגות אחידה על )‪. (0,1‬‬ ‫מצא את פונקצית הצפיפות של ‪.T=X+Y+W‬‬

‫שאלה ‪.5‬‬ ‫נתונים שני משתנים מקריים ‪ X‬ו‪ Y-‬ב"ת מפולגים אחיד על )‪.(1,0‬‬ ‫מצא את פונקצית הצפיפות המשותפת של ‪ S=X+Y‬ו‪.Z=Y-X -‬‬ ‫האם ‪ S‬ו‪ Z-‬ב"ת?‬

‫שאלה ‪.6‬‬ ‫יהיו ‪ X,Y‬שני מ''מים ב''ת בעלי התפלגות נורמלית סטנדרטית‪ .‬מצאו פונקצית‬ ‫צפיפות של‬ ‫מ''מ ‪ R‬ו ‪ φ‬כאשר‪:‬‬ ‫‪x = R cos ϕ‬‬ ‫‪y = R sin ϕ‬‬